Нахождение периодических решений уравнения колебаний математического маятника.

КЯШКИН А. А., ШАМАНАЕВ П. А.
НАХОЖДЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ
УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МАЯТНИКА
Аннотация. В статье с использованием метода Ляпунова-Шмидта найдено семейство
периодических решений для уравнения колебаний математического маятника. Получено
асимптотическое разложение периода решений по малому параметру.
Ключевые слова: уравнение колебаний математического маятника, периодические
решения, метод Ляпунова-Шмидта.
KYASHKIN A. A., SHAMANAEV P. A.
FINDING PERIODIC SOLUTIONS FOR THE EQUATION
OF MATHEMATICAL PENDULUM OSCILLATIONS
Abstract. The article presents a family of periodic solutions for the equation of
mathematical pendulum oscillations found by the method of Lyapunov-Schmidt. An asymptotic
expansion of the period of solutions in the small parameter is obtained.
Keywords: equation of mathematical pendulum oscillations, periodic solution, LyapunovSchmidt method.
Рассмотрим модельный пример – уравнение колебаний математического маятника [2]
d 2z
+ sin z = ε 
dt 2
Ответвляющиеся
от
z0
2π
1 μ
 dz 
f  z,  .
 dt 
–
периодические
(1)
решения
уравнения
(1)
рассматриваются как решение системы
 dx1
 dt = x2 ,

 dx
x3 x5
 2 =  x1 + 1  1 +  + ε   a j j x1j1 x2j2 ,
12
3! 5!

j1 j2  1
 dt
(2)
где x1 = z .
С учетом обозначений
0


 3

Rx, ε  =  x1 x15
j1 j2  ,
  3! + 5!    ε   a j1 j2 x1 x2 
j1 j2  1


x 
x =  1  , система (2) принимает вид
 x2 
1
 0 1
 ,
B = 
 1 0 
dx
= Bx  Rx, ε ,
dt
(3)
где B : E1  E2 .
После применения подстановки А. Пуанкаре t =
получаем x(t ) t 
τ
1 μ
τ
, где με   0 при ε  0 ,
1+ μ
 τ  def
 = yτ . Тогда система (3) перепишется в виде
= x
 1+ μ 
B y = μCy + R y, ε ,
где By  B  C  y , Cy  y ' τ  , B : ε1  ε2 ,
εk = Ek + iEk ,
B имеет вид N ( B)  φ( τ ), φ ( τ ), где φτ  = φ =
Рассмотрим
εk* = Ek* + iEk* ,
также
k = 1,2 .
сопряженные
Множество
(4)
k = 1,2 . Множество нулей оператора
1  i  iτ
1   i  iτ
 e .
 e , φ τ  = φ =
2 1 
2 1
операторы
нулей
B * : E2*  E1*
сопряженного
и
оператора
B * : ε2*  ε1* ,
имеет
вид
N ( B* )  ψ ( τ ), ψ ( τ ), где ψ τ  = ψ = φ , ψ τ  = ψ = φ .
Согласно следствию из теоремы Хана-Банаха в
ε1*
существуют функционалы γ1 , γ 2
такие, что [1, с. 337]
φi ,γ j
= δi, j , i, j = 1,2 .
По тому же следствию из теоремы Хана-Банаха в
ε2
существуют элементы z1 , z 2 такие, что
= δk,s , k,s = 1,2 .
zk ,ψ s
Здесь φ1 = φ , φ2 = φ ; ψ1 = ψ , ψ 2 = ψ ; а
f, g =
1
2π
2π
 f τ , g τ  dτ
– значение функционала
0
g τ  на элементе f τ  . Используя лемму о биортогональности, получим γi = ψi = zi = φi ,
i = 1,2 .
Решение системы (4) будем искать по обобщенной лемме Шмидта. Введем оператор
2
~
By  By +  ξi zi ,
i =1
где
ξj =
y, γ j
, j = 1,2 ,
ξ1 = ξ , ξ 2 = ξ ,
и запишем (4) в эквивалентной форме
2
(5)
(6)
2
~
By = μCy + R y, ε  +  ξi zi .
(7)
i =1
Решение уравнения (7) представим в виде
2
y = w +  ξi φi ,
(8)
i =1
где
w = wξ1 ,ξ 2 , μ,ε  = y0010 μ + y0001ε +

k1 k2  k l  2
yk
1 k2 k l
k
k
ξ1 1 ξ 2 2 μ k ε l .
(9)
Подставляя (8) в (7), получим
2


~
Bw = μw' + μξ1φ1 τ  + μξ 2 φ2 τ  + R w +  ξ i φi , ε  .
i =1


(10)
Подставив ряд (9) в систему (10), методом неопределенных коэффициентов найдем
коэффициенты для w , а значит и для y .
Для нахождения системы разветвления подставим полученный ряд (9) в уравнения (5):
 L
i+ j  2
m
ij 00
ξ1i ξ 2j +
 ξ ξ  L
i+ j  0
i j
1 2
k+l  1
m
ijkl
μ k ε l = 0 , m = 1,2 ,
где коэффициенты уравнения разветвления задаются так:
m
Lijkl
=
yijkl , γs
, m = 1,2 .
(11)
Для реализации метода неопределенных коэффициентов используется математический
пакет Maxima. Для построения системы разветвления ограничимся третьим порядком
коэффициентов.
Приведем значения ненулевых коэффициентов:
1  a01 + 2a10  + i2a01  a10   iτ
1 1 iτ
1  1  iτ

e ,
 e , y0110 =
 e , y1001 =
4 2   2a01 + a10  + i a01 + 2a10 
2 i 
2 i
1  a01 + 2a10   i2a01  a10   iτ
1   i / 3  3iτ

e , y3000 =
y0101 =

e ,
4 2   2a01 + a10   i a01 + 2a10 
32 2  1 
y1010 =
y2100 =
1  2 + i  iτ
1  2  i  iτ
1  i / 3  3iτ

e , y0300 =

e , y1200 =

e ,
16 2   1  2i 
16 2   1 + 2i 
32 2  1 
y1020 = 
 a + a02 
1  a20  a02  + ia11  2iτ
1   i  iτ
1  i  iτ
e , y1101 =  20
 ,
 e , y0120 = 
 e , y2001 = 
6   2a11 + i2a20  2a02 
2 1
2 1 
 0

1  a20  a02   ia11  2iτ
e ,
y0201 = 
6   2a11  i2a20  2a02 
3
1   9a01 + 2a10  + i2a01 + 9a10  iτ

e ,
8 2  2a01  7a10   i7a01 + 2a10  
y1011 =
y0111 =
1   9a01 + 2a10   i2a01 + 9a10  iτ

e ,
8 2  2a01  7a10  + i7a01 + 2a10  
y1002 =
2
2
2
1  4a10  8a10 a01 + i 3a10 + 4a10 a01  5a01
2
2
16 2   5a102 + 4a10 a01 + 3a01
 i 8a10 a01  4a01
y0102 =
2
2
1  4a10  8a10 a01  i 3a10 + 4a10 a01
2
16 2   5a102 + 4a10 a01 + 3a01
+ i 8a10 a01


 

 

 
 
 e

 5a  
e
 4a 
iτ
2
01
2
01
,
iτ
.
Коэффициенты уравнения разветвления найдем по формуле (11). Приведем ненулевые
коэффициенты:
1
L1001
= y1001 , γ1 = 
1
L1010
= y1010 , γ1 = i ,
1
a01  a10 i  ,
2
2
L0110
= y0110 , γ2
1
L1002
= y1002 , γ1 =


1
a01 + a10i  ,
2
= i ,
2
L0101
= y0101 , γ2 = 
2
L0102
= y0102 , γ2 =






1 2
1
2
a01  a102  i 4a01a10  a102  a01
,
4
8
1
L1020
= y1020 , γ1 =  1 ,
1 2
1
2
a01  a102 + i 4a01a10  a102  a01
,
4
8
2
L0120
= y0120 , γ2 =  1 ,
i
1
L2100
= y 2100 , γ1 = ,
8
1
L1011 = y1011 , γ1 =  a10  ia01 ,
i
2 
L1200
= y1200 , γ2 =  ,
8
2 
L0111 = y0111 , γ2 =  a10 + ia01 .
=
С учетом (6) и ξξ  ξ
2
=
записываем систему разветвления:
1
1 2 2 1


ξ   μ 2  a10 εμ  a102 ε 2 + a01
ε  a01ε  +
4
4
2


1
1
1 2 2 1
1 2

+ ξ i   a01εμ + μ + a102 ε 2  a01a10 ε 2 + a01
ε + a10 ε + ξ   = 0,
8
2
8
2
8 

1
1 2 2 1


ξ   μ 2  a10 εμ  a102 ε 2 + a01
ε  a01ε  
4
4
2


(12)
1
1
1 2 2 1
1 2

 ξ i   a01εμ + μ + a102 ε 2  a01a10 ε 2 + a01
ε + a10 ε + ξ   = 0,
8
2
8
2
8 

Рассматриваем первое уравнение системы (12). Решение ξ = 0 отвечает тривиальному
решению уравнения (1).
Пусть ξ  0 . После сокращения первого уравнения на ξ и отделения вещественной и
мнимой части [2, 3] получим:
4
1 2 2 1 2 2 1
a10 ε + a01ε  a01ε = 0,
4
4
2
1
1
1 2 2 1
1 2
Im :  a01εμ + μ + a102 ε 2  a01a10 ε 2 + a01
ε + a10 ε + ξ  = 0.
8
2
8
2
8
Из второго уравнения выразим μ :
Re :  μ 2  a10 εμ 
μ = μξ , ε  =
1  1 2 2 1
1 2 2 1
1 2
1
2
.
  a10 ε + a01a10 ε  a01ε  a10 ε  ξ   , ε 
1  a01ε  8
2
8
2
8 
a01
(13)
Подставив (13) в первое уравнение, получаем приближенное редуцированное уравнение
разветвления:
ξ 4 + 2ε 2 a012 + a102 ξ 2 + a104 ε 4 15a014 ε 4 + 2a012 a102 ε 4 + 64a013 ε3  80a012 ε 2 + 32a01ε = 0 .
(14)
Пусть ξ и ξ имеют вид [3]: ξ = r ε  e iΘ , ξ = r ε  eiΘ , где Θ  R . Следовательно,
r  r ε  = ξ  .
Найдем решения биквадратного относительно ξ  уравнения (14). Очевидно, имеет
смысл только корень уравнения:

ξ  =


2
3 3
2 2
 ε 2 a01
+ a102 + 4 a01ε a01
ε  4a01
ε + 5a01ε  2

(15)
при условиях





2
2
2
3 3
2 2

 ε a01 + a10 + 4 a01ε a01ε  4a01ε + 5a01ε  2 > 0,

3 3
2 2

a01ε a01ε  4a01ε + 5a01ε  2 > 0.

Подставив (15) в (13), получаем
μ  μr ε , ε  =



1
1
3 3
2 2

a01a10 ε 2  a10 ε  a01ε a01
ε  4a01
ε + 5a01ε  2 .
2 1  a01ε
Подстановка найденных ξ и μ в (9) и (8) дает приближенное однопараметрическое
семейство периодических решений системы (4):
 sin α 
1  a01 + 2a10  cos α  2a01  a10  sin α 

 rε +
 r +
y τ, ε,Θ  = 2 
2 2   2a01 + a10  cos α   a01 + 2a10  sin α 
 cos α 
 cos α 
  sin α  2
1 1 / 3  sin 3α  3
 rμ +

 r + 2 
 rμ +
+ 2 
16 2  cos 3α 
  sin α 
  cos α 
+
1  2 cos α + sin α  3 1  a20  a02  cos 2α  a11sin 2α  2
r ε+

 r + 
3   2a11 cos 2α  2a20  2a02  sin 2α 
8 2   cos α  2 sin α 
a +a 
1   9a01 + 2a10  cos α  2a01 + 9a10  sin α 

 r +
+  20 02  r 2 ε +
4 2  2a01  7a10  cos α + 7a01 + 2a10  sin α 
 0

5




2
2
2
1  4a10  8a10 a01 cos α  3a10 + 4a10 a01  5a01 sin α  2
+
rε ,
2
2
8 2   5a102 + 4a10 a01 + 3a01
cos α + 8a10 a01  4a01
sin α 




где α  α τ, Θ  = τ + Θ .
= xt  получаем
С учетом обратной замены yτ  |τ = t 1+μ  = yτ 1+ μ  def
 sin β 
1  a01 + 2a10  cos β  2a01  a10  sin β 

 rε +
 r +
xt, ε,Θ  = 2 




cos
β

2
a
+
a
cos
β


a
+
2
a
sin
β
2
2


01
10
01
10


 cos β 
  sin β  2
1 1 / 3  sin 3 β  3
 rμ +

 r + 2 
 rμ +
+ 2 
16 2  cos 3 β 
  sin β 
  cos β 
+
1  2 cosβ + sin β  3 1  a20  a02  cos 2 β  a11sin 2 β  2
r ε+

 r + 
3   2a11 cos2β  2a20  2a02  sin 2 β 
8 2   cos β  2 sin β 
(16)
a +a 
1   9a01 + 2a10  cos β  2a01 + 9a10  sin β 

 rμε +
+  20 02  r 2 ε +
4 2  2a01  7a10  cos β + 7a01 + 2a10  sin β 
 0





2
2
2
1  4a10  8a10 a01 cos β  3a10 + 4a10 a01  5a01 sin β  2
+
rε ,
2
2
8 2   5a102 + 4a10 a01 + 3a01
cos β + 8a10 a01  4a01
sin β 




где β  β t, μ, Θ  = (1  μ)t + Θ .
С учетом 1-го уравнения системы (2) и x1  z , запишем полученные приближенные
решения уравнения (1):
a01 + 2a10  cos β  2a01  a10  sin β  rε +
2 2
1
+ 2 cos β   rμ +
sin 3 β   r 3  2 sin  β   rμ 2 +
48 2
1
2 cos β + sin β  r 3 + 1 a20  a02  cos 2 β  a11 sin 2 β  r 2 ε +
+
3
8 2
1
 9a01 + 2a10  cos β  2a01 + 9a10  sin β  rμε +
+ a20 + a02  r 2 ε +
4 2
1
2
+
4a102  8a10 a01 cos β  3a102 + 4a10 a01  5a01
sin β rε 2 .
8 2
z t, ε,Θ  = 2 sin  β   r +

1




Учитывая, что уравнение (1) автономное, z t , ε , Θ  в (16) – приближенное решение
этого уравнения, то приближенным решением уравнения (1) также будет
z t  C , ε, Θ  , где C  R , β  β t  C, μ, Θ  = (1  μ)(t  C ) + Θ .
(17)
Таким образом, мы получили двухпараметрическое семейство приближенных
решений уравнения (1).
6
ЛИТЕРАТУРА
1. Вайнберг М. М., Треногин В. А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. – М.:
Наука, 1969. – 528 с.
2. Кочуров В. В. Модельный пример бифуркации Андронова-Хопфа // Механика и процессы
управления: сб. науч. тр. – Ульяновск: УлГТУ, 2004. – С. 37–40.
3. Треногин В. А. Периодические решения и решения типа перехода абстрактных уравнений
реакции-диффузии // Вопросы качественной теории дифференциальных уравнений: сб. науч.
тр. – Новосибирск: Наука. Сиб. отделение, 1988. – С. 134–140.
7