close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Некоторые вопросы расчета течений с тангенциальными разрывами.

код для вставкиСкачать
УЧЕНЫЕ
т о ом
удк
ЗАПИСКИ
ЦАГИ
1975
V/
М4
533.6.011.32.629.7.025.1
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ РАС4ЕТА ТЕ4ЕНИЙ
С ТАНГЕНЦИАЛЬНЫМИ РАЗРЫВАМИ
В. Ф. Молчанов
Проведено исследование схемы метода дискретных вихрей. при­
меняемой при расчетах плоских течений с тангенциальными разры­
вами. Показано, что обычно наблюдаемое при расчетах разбрасыва­
ние вихрей является следствием некорректности задачи на множестве
растущих возмущений и неустойчивости разностной схемы на множе­
стве убывающих возмущений. На основе применения теории реше­
ния
некорректно
поставленных
задач
и
теории
разностных
схем
построена методика, дающая потенциальную возможность проведения
расчета с заданной степенью точности. Результат проиллюстрирован
на
примере
крыла
расчета
малого
нелинейных
характеристик
прямо угольного
удлинения.
Необходимость расчета плоских нестационарных течений с тан­
генциальными разрывами
возникает в задачах нелинейной теории
крыла (11, в задачах по обтеканию идеальной жидкостью колеблю­
щегося профиля и других. При этом вопрос сводится к нахожде­
нию формы .и интенсивности тангенциального разрыва. Прочие
характеристики могут быть затем найдены путем решения линейной
задачи по отысканию обтекания известного тела при наличии уже
найденного тангенциального разрыва. Общеизвестен закон, сог лас­
но которому скорость движения каждой точки тангенциального
разрыва, определяемой условием Г = const, совпадает со значе­
нием скорости частиц жидкости в ней (Г - циркуляция ПО кон­
туру, который охватывает часть
разрыва,
имея с ним лишь одну,
данную точку пересечения). Это позволяет свести рассматриваемый
вопрос к задаче Коши. Однако в случае решения разностным мето­
дом возникает необходимость выбора такого малого шага At, на
котором все функции меняются достаточно мало. В общем случае
этого
сделать
кривизна
скольку
нельзя,
траекторий
так
как
движения
погрешность счета
кривизны на шаг, то она
разрыва,
уменьшении
отдельных
пропорциональна
остается
шага. Безусловно, здесь важную
генциального
при
однако
шага
частей
возрастает
разрыва.
произведению
неизменной и при
По­
этой
уменьшении
роль играет неустойчивость тан­
при
отсутствии
коротко-периоди­
ческих возмущений, обусловленных погрешностями округления
и аппроксимации, решение, по-видимому, было бы гладким.
В настоящей статье дается методика построения такого реше­
ния. Основу ее составляет известная теория решения некорректно
поставленных
задач.
Схема счета. Уравнение движения тангенциального разрыва,
примыкающего к острой кромке тела, в комплексной плоскости
может быть записано в следующей форме
z
(И + (v) )*.= ~ ;
(1)
IU+(v>l<oo;
(2)
U -- комплексная скорость, соответствующая обтеканию тела
наличии разрывов в потоке; (v) - главное значение комплекс­
здесь
при
ной скорости, индуцируемой вихрями разрыва. Верхняя звездочка
справа
-
означает
комплексно-сопряженную
величину,
dz
--
(]т
произ-
водная по времени от комплексной координаты точки тангенци­
ального разрыва при условии f=const, где Г - величина, отличаю­
щаяся
на
некоторую
постоянную
тывающему часть разрыIа •.
щить
когда
от циркуляции
Такое
по
контуру, охва­
определение Г позволяет обоб­
форму (1) на случай движения тангенциальных разрывов,
их длина стремится к бесконечности и, следовательно,
к. бесконечности может стремиться циркуляция части разрыва, огра­
ниченного точкой
z.
В силу определения
)
ar
го (t)
(v)=21ti
Su z-~*'
*-
г де Г
переменная интегрирования, а Z* - переменная, от нее
зависящая; ro(t) - циркуляция по контуру, охватывающему весь
разрыв.
z
Координаты точек разрыва
можно считать функциями цирку­
ляции Г и времени
Неравенство (2), которое следует из посту­
лата Жуковского, в силу определенных свойств течений идеальной
жидкости, эквивалентно некоторому равенству. Задача сводится
к решению системы (1), (2) относительно неизвестных
(Г, t), ro(t),
определенных внутри области: O<:r<;:ro(t), O<;:t<oo при началь­
ных данных: го(о)=о, Z(O, O)=Z', где Z'-координата кромки
t.
z
тела. Однако на определенную
ответы,
проведя
исследование
циального разрыва при И
сводится
к
решению
=
одного
1
21ti
при заданной форме
в момент t
О.
=
и
группу
вопросов можно получить
движения
изолированного
танген­
О. В этом случае ГО (t)=const, и задача
уравнения
5
dr
dz*
z-z* = dt
интенсивности
(3)
тангенциального
разрыва
Рассмотрим соответствующее ему разностное уравнение:
(
1 r.'
2 1':i
здесь
мера
t:.t
и
t:.r -
шагов
шаги по
z': _Г)
z,!:
IJ.
*
_
-
гm+l
n
- zm
n.
IJ.t
(4)
'
времени и по циркуляции,
соответственно
по
времени
и
по
т и
Штрих над знаком суммы означает отсутствие члена при
2
n-
но­
циркуляции.
k=n.
Пусть
Z-
<o:=Z:+Z:,
н
(4)
некоторое
решение
уравнения
а
(3),
u)
Z
=
+z
и
где,Z:==Z(АГm, Мn)-близкие к нему решения (3)
COOT~eTCTBeHHO. Тогда, считая
z-z .. '~ 1,
Iz-z*
(5)
I;;=;;I~ 1,
(6)
:можно произвести линеаризацию
дz·
1
дt
(r,:'+1 - z:)·
-' \', 'At
1
+ 211:l ~
+ 211:[
уравнения
и
(4):
S(Z-Z
z-z ..
.. )2 dr*=O,
,~:r (z: - z7:)
(z: _
(3)
(7)
1
z:+1 - z:
=
Z'J:)2
At
-
211:l
a:r '
:Е z~":"'z7: .
(8)
О-на основана на разложении в геометрическую прогрессию выра­
жения
_1_1
ro-ш .. -z-z.
В качестве
(1 + z-z*
z-z .. )-1 =
•
QO
~ (-1)/1
1
z-z.~
Г/I,
1= const,
_ zm).
(zm+l
11
11
'At
=
в нуль.
'У 2
дГ
Учитывая, что Z
обращается
(8)
z ..
+2 11:[ S(l'z_ г .. )2 dr * = о,
дz·
в
·
00 < Г < +00.
--
в этом случае правая часть уравнения
Урав~ения приобретают следующий вид:
х
,Z-Z..
11=0
Z положим наиболее простое
Z=
менных,
(z-z,,)/I
Х
t
'Y~
+ 2 1ti
'Zm _ Zm
11
~
+ [у, Z: =
(9)
АГ (n -
х:
k
k)2
+ [у,:,
=
О
(10)
.
проведем замену пере­
положив;
+у =
этих
ер,
х
-- у =
ф,
Х':
+ У: =
переменных уравнения
дЧ'
дt
х:
-
У':
=
'Р':
.
разделяются
+ ~'У S(ГЧ'_- ГЧ'... )2 d Г *=0,
(11 )
5tJi - :r.)2
tJi.. dr '" -
,
(12)
=0,
(13)
=0.
(14)
дCjI
2
'У
2
7fi - fi'"
Ч'':+ 1 - Ч'':
~t
tJi,:+1 - tJi':
дt
ер:,
(Г -
I'
J:I'
'У
+211:
2
211:
О
'Р': - Ч'7:
A:r (n -
k)2
tJi': - tJi7:
~:r(n
-
k)2
Обозначая символами I и 1", интегральные операторы, стоящие
в уравнениях (11) и (13), заметим, что
I
'
lехр iar=Tl2aexP [аГ,
(15)
l",ex Piar=+1 2 (a- +a2~~)exPiar, O~a-<~;.
(16)
3
Свойства
системы
(11) - (14)
и
(15)
позволяют
(16)
<Р р '
решений
Фр'
получить
<Р':р' ф~, Р =
фундаментальные
1, 2, 3'... для уравнений
соответственно:
<Рр = ехр ( ipr - -} 12 pt ) ,
+
фр = ехр ( ipr <P~ =
(17)
(18)
12 pt ) ,
[i - -} fJ. t12 (Р - р2 :~ )]m ехр ipnfJ.r,
'~':p = [1
Как следует из
+ -} М12
(
Р - р2 ~~)] ехр ipnfJ.r.
задача
(18),
(19)
Коши
для
(20)
уравнения
(12)
некор­
ректна. Поэтому на основании общей теории решения некорректно
поставленных
кроме
задач
постановка
начального условия
еще
задачи
должна
включать
дополнительные
сведения,
в себя
позво­
ляющие выделить такое подмножество приближенных решений,
на котором задача корректна. Как следует из [2], для этого доста­
точно
считать
известной
величину
погрешности
s
в
начальном
условии. Применительно к случаю уравнения (12) рассмотрим про­
цесс получения приближенного решения. стремящегося к точному
при s -+ О, если s задано. Общий принцип построения таких про­
цессов, известный
МЯItутой рабьте
как
"принцип
регуляризации",
изложен в упо­
[2].
Введем необходимые для дальнейшего
определения и обозна-
.
чения:
1) 11·111 -
норма, определяемая следующим тождеством:
со
со
р=1
р=1
III cpexpipr 111 = L.lcpl,
где
ер
могут
зависеть
от
времени;
00
2)
W:J(r, t)=
L. арехр (iPr +
р=1
+
12 pt) ,
со
go (Г) = Wо(Г, О) =
L. ар ехр ipr
р=l
есть предполагаемый
ного
начального
вид точного
решения
уравнения
(12)
и точ­
условия;
со
3) gl (Г) =
L. (ар + Ьр) ехр ёрГ -
приближенное начальное усло-
р=1
вие,
причем
00
11 go -
gtlll == L. I Ьр 1= В,
р=l
где
4
s
задано;
(21 )
4) L s -
оператор,
определенный, для положительных
чисел
s
00
L
и функций
с р ехр ipr согласно тождеству:
р=l.
00
l'
L s ~ срехрЁРГ==
р=1
L
Ср ехрiрГ+СГ +l(s-г)ехрi(г+l)Г,
р=1
тде г=[s]-целая часть числа s;
5) g2 (8,' Г)
ное условие
и
= L s g 1(Г), '1"2 (s, Г, t) - регуляризированное началь­
"2 "2
решение
уравнения
удовлетворяющее
(12),
этому
условию
(s, Г, О) = g2 (s, Г).
Решение
при S
О существует всегда.
>
докажем, что, если
определяется из условия
s
IIL s g 1 -g1 11 1 =
то во
всех
решения
"2
внутренних
-+
"о при s
точках
-+
fЗ,
области
(22)
существования
точного
О.
Предварительно докажем, что
"Q;'211 1<= 11 "о 1\1'
Из (1) - (5) и (18) следует
11 'lf 2 ! 11 =
(23)
.
,
1
L I ар + Ьр 1ехр т 12 pt +
1а г +l
+
1
+b1'+II(s-r)exp+,2(r+ l)t.
Условие
(22)
(24)
приводится к следующему виду:
00
(25)
'+2
Очевидно, при
11 "2111
заданных
абсолютных
величинах ар. Ьр норма
при условии (25) приобретает свое наибольшее
значение,
когда знак каждого ар совпадает со знаком Ьр • Поэтому, не нару-
шая общности, можно считать ар
11
"2 111 <= ~apexp т,2
г
1
pt
>- О,
Ьр
>- О.
1
аг+l (s - г) ехрт,2(Г+ l)t
+
+
1
г
1
+[LЬр+Ьгн(s-г)]ехр Tj2(r+l)t.
(26)
1
С другой стороны, исключив s из
(25) и (21), приходим к нера­
венетву:
00
Lap + a r +l(l-s + г)
,+2
Подставляя правую часть
(27)
в
г
>- L Ьр +Ь'+1 (s -
(26),
г).
(27)
1
получаем
искомое
неравен­
·ство:
,
1
1
11" 2111 <= ~ ар ехр т ,2 pt + аГ +l (s - г) ехр "2,2 (г + 1) t +
1
1
00
+ [Lap + аг +! (l-s+r>] ехр 2
,+2
.из которого следует
1/"2 -
00
1
т2(г + 1) t<;;: Lapexp т pt
"о 111
<= 211 "о 111'
=
11"0111'
1
5
Если
Wо (Г, t)
Ilw2 (r,
существует при t
=
Т, то, очевидно, в интервал~
t)-Wo(r, t)lIl<21IWo(r, T)I/I'
Точная оценка выражения аналогичного
ства
(28~
O<t-<T.
левой части неравен­
была проведена Л. А. Чудовым [3].
Она основана иа свойствах логарифмически выпуклых функций:
(28)
ос>
d2
если dt 2 ln fn и) ;> о,
0< t< Т,
n = 1, 2, ... ,
j(t)=
L
fn (t),
n=1
то
t
d2
t
f(t) <f(O)I- т f(T)T .
dt21nj (t);>0,
Применяя (29) к норме 11 qr 2 -
WО
(29}
С учетом (21), (22), (28), полу­
111
чаем:
IIW 2 (s, Г, t)-Wo(r, t)111«2e)
что и доказывает
утверждение
1-..!..
..!.TI12W o (r, T)I/{,
(30}
(23).
Таким образом, существо процесса отыскания приближенного
решения заключаеrся в отбрасываюlИ старших членов ряда Фурье.
Этот процесс можно рассматривать как элементарный шаг при
расчете разностным
дится по
методом.
Действительно,
некоторой разностной
место погрешность, величина
схеме,
которой
если расчет прово­
то на каждом шаге имеет·
может быть оценена. Сле­
довательно, на каждом шаге можно проводить описанную выше
процедуру. Покажем, что и в этом случае имеет место сходи­
мость приближенного решениSi к точному, когда суммарная по­
грешность стремится к нулю. В силу линейности задачи доказа­
тельство может быть проведено следующим образом.
Пусть в кащ;.ыЙ
ности
момент
аппроксимации,
описанного
времени I1tт
округления,
а
в
также
результате
погрешности
погреш­
за
счет
процесса регуляризации решение изменяется на функ­
цию:
со
L
е'; ехр iрГ ,
р=!
тЬгда в силу
(18)
OQ
tjAt
L L
р=1 т
норму
t
в момент времени
отличаться от точного на
приближенное решение будет­
функцию
е'; ехр [ЁРГ
1
+ 212 Р (t -
Atm)] ,
которой
ос
L
р=l
IL.
tjAt
1
s,;exP212p(t-Аtm)!
m=1
необходимо оценить.
Рассмотрим выражение
00
~
р=l
6
(31}
=1
tjAt
IL
m=1
1
Е'; ехр 212 р (t* - Atm)
I= 8 (t*);
(32}
оно яВляется
Toro,
по
логарифмически
выпуклой
функцией
от
t*.
Кроме
построению
и
•
CIO
tj6t
1
CIO
TJM
а(о)= L.I~ Е; ехр( - Мт) <: L.~ 1Е; 1=1$o,
р=l
r де 1$0 -
суммарная
р=l
m=1
m=1
погрешность.
Следовательно, применяя
(29),
получаем неравенство:
(34)
которое
имеет
приближенного
место и
при
решения
t* = t,
что и доказывает сходимость
точному. Результаты обобщаются на
случай нормы
'Р (Г, t)
=
~2 dr)l j 2.
В рассмотренных построениях основным моментом является
ограниченность получаемого приближенного решения. В некото­
рых случаях специальный характер погрешности обусл овливает
ограниченность приближенного решения без применения принципа
регу ляризации. Согласно (18) и (20), имеем
11'112' 11
к
~~
Таким образом, при
погрешности
схеме
112
< ~p (n~Г,
точном
округления
(S
тМ).
начальном
приближенное
(35)
условии и отсутствии
решение,
не превосходит точного по норме
(14),
11'111'
полученное
по
обобщенной на
случай функций, определенных на сетке. Следовательно, в про­
цессе регу J1яризации необходимо учитывать только погрешность
округления. Условие (35) .является частным случаем условия устой­
чивости,
з&дач
найденного для
в работе
[3].
разностных
Следовательно,
схем
расчета
доопределяя
некорректных
оператор
случай функций, заданных на сетке, получаем схему
't
</Im+l
-</1т
n. м
где
n
I~~;:z = о,
-
Е m +l -
'JI;:Z+I
погрешность
Обращаясь к схеме
=
L s 'f:,+ I ,
11 Ls ~:,+1 - 'f;::+1111 =
Ls
на
Е m +l, (36)
округления.
(13), заметим, что на основании (17) она
соответствует корректной задаче. Поэтому для правомерности ее
примененйя необходимо потребовать условия устойчивости. По­
следнее
для
накладывает
ограничение
на
величину
модуля
перехода
всех р
I'f':/1 \-< 1.
'f'np
Так как
(37)
то при
; 12M/~Г -<,1. Схема (13) устойчива.
7
Практически удобно иметь возможность модиФицировать схему
таким образом, чтобы она была устойчива при произвольно задан-
ном соотношении шагов М и ДГ. При ТI 2Дf jДГ> 1 модуль пере­
хода
не
превосходит
единицы
в
том
случае,
когда:
(38)
Следовательно, если в схему ввести процесс отбрасывания
членов ряда Фурье с номером р> q, то в резу ль тате будет полу­
чена схема, устойчивая при произвольном соотношении шагов. Для
ее построения можно воспользоваться свойствами оператора Ди­
рихле,
определенного
D
на сетке,
+00
т_
1 "" sln q.:lГ (п - k)
q9 n - - ; - ~ ~Г(п-k)
т
9k,
-00
ехр iрnдГ,
D q ехр
iрnдГ =
Получаем схему
Отбрасываuие
+ехр iрnДГ,
!
старших
О,
если
p<q,
если
p=q,
еслир>q.
членов
ряда
I
(39)
Фурье,. происходящее
в схемах (36) и (39), может быть объединено и ВКJ{ючено нецосред­
ственно в CJ\eMy {8). При этом отбрасывать необхо,lЩМО члены
с номером р, БРЛЬШJ:lМ наименьшего из чисел q Ii S . .
.
.
Однако отбрасывани~ст~рших членов ряда Фурье не является
необходимым. Достаточно лишь в должной степени их уменьшать.
Поэтому вместо операторов Ls , Dq могут применяться более про­
стые. В схемах
--}--;
<?
1
ЕZn.
т
..
•
••
••••
••
•
••
.
.
••
0,001
•••
Фиг.
I
т
Zn.
+ Т1 (т
+ т )'
Zn_l.. Zn+l.·
на каждом шаге дважды
цт. д. Роль чисел 5,
ность
•
••
•
••
••
....
4997 0,.9.98 4.9991
8
меняться
.•
•
= 2I
При необходимости он может при­
S=OOOO.J57
,
4002
порядка
ратор:
v)
i
о,оо()
первого
точности удобен следуюший опе­
играет KpaT~
этого
рпера­
тора, в большинстве задач теории
••
••
••
•••
крыла
достаточно
однократного
его применения. Оператор Е вно­
сит
.
на
каждом
порядка (ДГ2).
ство
•
••
1,ОО(
q
применения
.х
шаге
погрешность
Следующее
определя~т
величину
равен­
изме­
нения ряда Фурье при примене­
нии оператора Е
Е ехр Ё!1.nДГ =;: cos~ (!1.д Г /2) ехр i!1.nДГ,
O<;;;:cx<;;;:1t!bl'.
Оценка эффекта от использования этого оператора может быть
проведена аналогично.
При переменном шаге правая часть (8) не равна нулю и, сле­
довательно, также вносит аппроксимационную погрешность. Однако
можно
в
показать, что
процессе
при изменении шага по аналитическому закону
регу ляризации
учет такой погрешности не является
необходимым. Все построения можно провести и для случая, когда
Z не конкретизировано. Если результаты данного исследования
формально перенести на систему (1), (2), то получим схему, кото­
рая будет содержать следующие элементы:
zm+l =
n
здесь
j -
наименьшее из чисел
s
Далее необходимо провести
венства
(2),
которое,
по
и
q
D.
J
(40)
Zm+l
n*
'
для всего разрыва.
разностную аппроксимацию нера­
существу,
является
краевым
условием
задачи. Эта процедура была проведена, например, в работах [4, 5],
где были представлены расчеты треугольных крыльев. Расчеты не
дали оснований считать схему
нутого
краевого
неустойчивой
относительно упомя­
условия.
Здесь в качестве примера предлагается расчет прямоугольного
крыла, который сводится, согласно [1}, к расчету течения около
плоской
пластинки,
мгновенно
приведенной
в
движение
вдоль
своей нормали. Расчет про водился с целью определения константы с
в нелинейной части коэффициента подъемной силы
подтверждения
тельно
малых
качественных
отыскивалось
значениях
результатов
автомодельное
теории
течение,
и
[1].
численного
Предвари­
существующее
при
времени.
В результате такого расчета была получена первоначальная
форма тангенциального разрыва (фиг. 1) и константа с
3,61. На
фиг. 2 представлено дальнейшее развитие разрыва. Резко выра­
=
жено
уклонение закона развития тангенциального разрыва
от
авто­
модельного после прохождения пластиной расстояния, равного трем
полуразмахам
пластины.
В момент, когда путь S, пройденный пластиной и измеренный
в полуразмахах, равнялся 0,000357, шаг ,1,S = 0,00000858. В дальней­
шем шаг непрерывно возрастал до величин порядка 0,05.
На фиг. 3 и 4 дано сравнение результатов расчета прямоуголь­
ного крыла л
0,25 с экспериментальными данными.
Здесь 1 - резу льтаты расчета по нелинейной теории, 2 - экспе­
риментальные результаты работы [6], 3-экспериментальные резуль­
таты, заимствованные из работы [7], 4 - результаты расчета по
линейной теории. В работе [6] не учитывалось влияние стенок
рабочей части трубы на аэродинамические характеристики, что,
=
воЗможно, привело к завышению значений
ной силы и момента.
коэффициента подъем­
График зависимости с m (а;) В начале координат имеет горизон­
тальную касательную. ЭТО объясняется тем, что линейная часть
сил, определяемых теорией тонкого тела, не дает момента относи­
тельно передней кромки прямоугольного крыла.
9
..................
...
...
...
...
.:.-_:
/
S=6
..•••
....
...
..
..
·
···
.... .........
·
·i· / ..•.•.
}'.
~З
·· ..
:
~
,
:.:
-t
\ .
+
:
~- .:
:
е
А
:
'\ ....
-
.: ...... i
- е.
•
..._.:
.-...... •• ...... -.. -...... .
............
--
..
- -
:: :
•
ее
~
~
-\.
~
..
/ .........
~
~>
_"\
+
:.:J-
.
...:...
~
~.:
.
: \
.... /
s- о., 11
•• -
i •••:.
v
;~.::••
__________~~,~----------~,~t·
0,5
Фиг.2
Фиг.3
С',т
,
0.'
,
,
2
Кl
V
,
1/
405
.J
~
1/
l'
17
/
-!6
0
-/2
-8"
.. !i'
-'1~
.-
8"
12"
15"
а.
/
/
'
о
,"
v
I
7
I
/
-D-05
J.I
r
'О
.1
-0..1
Фиг.
10
;
;
/
I
{
4
в целом
1t основ-ном
:потока
можно
констатировать,
правильно
отражает
что метод плоских
характер
силовых
сечений
воздействий
на крыло.
Согласно результатам расчета, область применимости линей­
0
ной теории чрезвычайно мала. даже при а=2 нелинейная часть
аэродинамических сил составляет более 40% их общей величины.
ЛИТЕРАТУРА
1. Н и к о л ь с к и й А. А. Законы подобия для трехмерного ста·
ционарного отрывного обтекания тел жидкостью и газом .• Ученые
записки ЦАГИ', т. 1, N! 1, 1970.
2. Т и х о н о в А. Н. О решении некорректно поставленных задач
и методе регуляризации. МатеРИ/lJlЫ к совместному советско·амери­
канскому симпозиуму по уравнениям с частными производными. Изд.
Сиб.АН СССР, 1963.
3. Ч у д о в Л. А. Разностные методы решения задачи Коши для
уравнения Лапласа. ДАН СССР, т. 143, .N'!! 4, 1962.
4. М о л ч а н о в В. Ф. О реализации метода плоских сечений
в нелинейной теории крыла. -.Ученые записки ЦАГИ', .т. У, ом 2, 1974.
5.
ного
С У д а к ов Т. Г. Расчет ''Отрывного
крыла
малого
удлинения.
.Ученые
течения около треуголь­
записки
ЦАГИ",
т.
У,
Ne 2, 1974.
6. W j с k е n s R. Н. ТЬе vortex wake and aerodynamic 10ad gistribuHon of slender rectangularwings Canad. Aeronaut. and Space J., vol.3,
N 6, 1967.
7. С h е n g Н. I(. Remarks оп nonlinear lift and vortex Separation.
Journa1 of the Aeronautfcal ScJences, vo1. 21, N 3, 1954.
Рукопись поступила 26/ХIl1974 г_
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
9
Размер файла
635 Кб
Теги
вопрос, расчет, некоторые, разрывами, течение, тангенциального
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа