close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Некоторые экстремально-оценочные задачи для норм в матрично-векторных представлениях.

код для вставкиСкачать
ВЕСТНИК СВФУ, 2013, том 10, № 5
УДК 512.643
В. В. Осипов
НЕКОТОРЫЕ ЭКСТРЕМАЛЬНО-ОЦЕНОЧНЫЕ ЗАДАЧИ
ДЛЯ НОРМ В МАТРИЧНО-ВЕКТОРНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЯХ
Рассматриваются экстремально-оценочные задачи для норм в матрично-векторных представлениях. Такие задачи
позволяют определить вектор с заданной нормой, доставляющий максимум квадрату эвклидовой нормы другого вектора.
Решения таких задач для модуля скалярного произведения обычно получают на основе неравенства Коши-Буняковского.
В данной работе используется неравенство Гёльдера. Показано, что все lp-нормы произвольного n-вектора при всех
p ≥ 1 ограничены сверху его l1-нормой.
Ключевые слова: норма Гёльдера, эвклидова норма, спектральная норма, амплитудная норма, положительная определённость, квадратичная форма, матрично-векторные представления, оценки для норм, экстремальные задачи.
V. V. Osipov
Some Extremal-Evaluative Tasks for the Norms in Matrix-Vector Representation
Extremal-evaluative tasks for the norms in matrix-vector representations are observed. With a help of such tasks the vector
with a given norm, delivering maximum to squared of Euclidean norm of another vector can be determined. Solutions of such
tasks for the module of dot product are usually got on the base of inequality of Cauchy-Bunyakovsky. In this paper Holder
inequality is used. It is showed, that all lp-norms of arbitrary n-vector at all p ≥ 1 are bounded above by it’s l1-norm.
Key words: Holder norm, Euclidean norm, spectral norm, amplitude norm, positive norm, quadratic form, matrix-vector
representations, estimations for norms, extremal problems.
причем
Предположим некоторый n-мерный вектор
ψ = Colon [ ψ1 , ⋅ ⋅ψ k , ⋅ ⋅ψ n ]
(1)
коэффициентами
(
vk k = 1, n
координаты
связан с n-вектором
V = Colon [ v1 , ⋅ ⋅ vk , ⋅ ⋅ vn ]
n-вектор
оказываются
V (2).
Введем эвклидовы нормы векторов
(2)
линейным преобразованием
)
разложения
ψ
(1) и
V
(2)
2
ψ = H ⋅V ,
(3)
ψ 2 = ( ψ, ψ ) = ( HV , HV ) = ( H + HV ,V ) = ψ
2
, (7)
осуществляемым квадратной и невыраженной матрицей
H = h1 ⋅ ⋅ hk ⋅ ⋅ hn
столбцы
которой,
( n × n ) ; DetH ≠ 0,
следовательно,
образуют
(4)
V
линейно-
2
2
n
n
= (V ,V ) =
vk2 ; V
2
= V
k =1
независимую систему векторов, т. е. базис l в пространстве
vk2
=
(8)
k =1
и поставим следующую задачу:
Rn.
Вектор
ψ (3)
из Rn может быть представлен в виде
V
определить n-вектор
(2), имеющий заданную эвклидову
норму
разложения по этому базису
(
)
hk = Colon [ h1k ⋅ ⋅hik ⋅ ⋅hnk ] k = 1, n ,
(5)
n
V
т. е. в виде
= V
2
2
k
=
v
1
2
= N 2 (V )
V
2
2
= N 22 (V ) ,(9)
k =1
n
vk ⋅ hk ,
ψ = H ⋅V =
(6)
k =1
доставляющий
вектора
ψ
максимум
квадрату
эвклидовой
нормы
(1).
В математической постановке имеем экстремальную
ОСИПОВ Владимир Владимирович – к. ф-м. н., доцент
кафедры высшей математики-3 ФГАОУ ВПО «Сибирский
федеральный университет» (СФУ).
Е-mail: vv-osipov@yandex.ru
12
задачу: найти максимум положительной квадратичной формы
2
ψ 2 = ( H + HV ,V ) >0
(10)
В. В. Осипов. НЕКОТОРЫЕ ЭКСТРЕМАЛЬНО-ОЦЕНОЧНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ НОРМ В МАТРИЧНО-ВЕКТОРНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЯХ
при условии
2
V
H + HVM0 = λ max ⋅ VM0
= (V ,V ) = N (V ) = Const
N (V ) − V
2
2
2
2
2
2
2
= 0. (11)
H +ψ M = λ
VM
−1
ψ M = ( H + ) ⋅ λ max ⋅ VM0 .
H ψ M = λ max ⋅ VM0
(17)
Эта классическая задача на условный экстремум для
функции векторного аргумента, которая эффективно решается
ψ = ψ
Таким образом, для эвклидовой нормы
ψ
методом Лагранжа. Возможное решение находится среди
всякого
n-вектора
(1),
определяемого
стационарных точек функции Лагранжа, которая в нашем
преобразованием (3), будет иметь оценку
2
линейным
случае имеет вид
ψ 2 ≤ ψM
L (V ) = ( H HV ,V ) + λ N (V ) − (V ,V ) .
2
2
+
2
= λ max ⋅ VM0
(12)
VM0
Заметим, что n-вектор
Ее стационарные точки в Rn, т. е. векторы
= λ max ⋅ N 2 (V ) . (18)
2
, как всякий собственный
0
V , опре-
H +H (n × n),
делятся как решения при некоторых λ следующего векторно-
вектор матрицы
матричного уравнения:
(13) с точностью до произвольного множителя, который может
dL (V )
dV
0
+
=0
0
0
+
0
H HV = λV . (13)
2 H HV − 2λV = 0
V
0
j
решения
( j = 1, n )
оказываются
собственными
векторами
положительно определенной симметричной
при соответствующих положитель-
(
)
(
)
λ j >0 j = 1, n ,
т. е. имеем
H + H ⋅ V j0 = λ jV j0 j = 1, n
0
Векторам
Vj
(
V j0 j = 1, n
j
0
j
HV ,V
0
j
имеет во множестве своих положительных собствен-
(
λ j j = 1, n
ных значений
)
) = λ (V
j
0
j
,V
n- вектора
максимальное
ψ
2
= max λ j V
Символом
0 2
j 2
λ min >0,
2
2
0
j
j
V
0 2
j 2
( j = 1, n ) , (15)
=
эвклидовой
значение
V
нормы
V
+
HV ,V )
(V ,V )
≤ λ max .
H
(20)
(1),
2
(H
= max
2
2
= max
V
V
2
HV ,V )
(V ,V )
V
HV
+
= λ max
H
= max
V
(21)
2
= λ max
H (n × n)
и,
следовательно, оценка (18) может быть записана в виде
= λ max ⋅ N 22 (V ) . (16)
n-вектор
2
определяет спектральную норму матрицы
= max ( H + HV j0 ,V j0 ) =
обозначен
(19)
Отметим также, что представление
)=λ
=λ max ⋅ V
0
M
j
0
j
соответствуют n стационарных
0 2
M 2
ψM
0
j
(H
≤
λ min
имеющий
максимально возможную эвклидову норму (7), определяемый n-вектором
и наименьшее значение
будет следовать двустороннее неравенство:
(1), которое будет равно
max ψ 2 = ψ M
0
j
+
среди которых находится и искомое максимальное значение,
е.
)
( H HV ,V ) = λ j = 1, n ,
(
)
(V ,V )
(14)
.
значений квадратичной формы (10):
+
H +H
0
j
n определяющих уравнений
– собственным вектором матрицы
H +H ,
соответствующим ее максимальному собственному
значению
λ max. Явная связь этих векторов имеет представле-
ния
V
вектора
поэтому из представления (15), которое запишем в виде
H +H (n × n)
ных собственных значениях
т.
0
M 2
, т. е. из равенства
Положительно определенная и симметричная матрица
матрицы
(H
N 2 (V )
= N 2 (V ) .
быть определен по заданной норме
Его
V
находится из уравнения
ψ 2 ≤ H 2 ⋅ VM0
2
= H 2 ⋅ N 2 (V ).,
Эвклидова норма (l2-норма) n-вектора (1)
n
1
2
ψ 2 = ( ψ, ψ ) =
ψk
2
(22)
1
2
(23)
k =1
является частным случаем гёльдеровской векторной нормы
(lp-нормы), определяемой формулой
13
H
ВЕСТНИК СВФУ, 2013, том 10, № 5
1
p
n
ψ
=
p
ψk
p
n
; p ≥ 1.,
ψ2=
(24)
ψk
2
1
2
≤ ψ 1,
(31)
k =1
k =1
Кроме частного случая (23) (p = 2) широко используются и
а при p = ∞ оценку для l∞-нормы
случаи p = 1 и p = ∞, т. е. l1-норма (первая норма)
ψ
n
ψ1=
( p = 1)
ψk
∞
= max ψ k ≤ ψ 1 ,
(32)
k
(25)
k =1
причем окажется
и l∞-норма (амплитудная норма)
ψ
ψ
∞
( p = ∞).
= max ψ k
k
n
ψ
p
p
=
Доказательство данного утверждения представлено в [1].
(
≤ n ⋅ max ψ k
ψj
j =1
1
p
=n ψ
Предельное
ψ
p
в
k
)
Пусть в Rn снова задано линейное преобразование
p
1
p
ψ = H ⋅V ,
= n max ψ k =
(34)
k
V
связывающее n-векторы
≤n ψ
для
1
p
p
1
p
значение
( p ≥ 1)
1
p
ψ
∞
(33)
(26)
Последняя возникает в силу оценки
1
p
≤ ψ 2 ≤ ψ 1.
∞
∞
( p ≥ 1) .
гёльдеровской
полученном
(27)
Матрицу
ψ
(1).
(
g i+ = [ hi1 , hi 2 , ⋅ ⋅hik , ⋅ ⋅hin ] i = 1, n
нормы
неравенстве
H (n × n)
(2) и
с помощью n-вектор-строк
)
(35)
при
и n-вектор-столбцов
n →∞
p → ∞ n 
→1
и объявляется l∞-норма вектора
(
hk = Colon [ hik , h2 k , ⋅ ⋅hik , ⋅ ⋅hnk ] k = 1, n
ψ∈ Rn .
В частности, при p = 1 неравенство (27) устанавливает
сравнительную связь между нормами
ψ 1 (2
(25) и ψ
ψ 1 ≤ n⋅ ψ ∞,
∞
)
(36)
представим следующим образом
(26):
h11
h12
h1k
h1n
g1+
H = hi1
hi 2
hik
hin
= g i+
(28)
а при p = 2 между l2-нормой (23) и l∞-нормой (26):
1
2
ψ 2 ≤n ⋅ ψ ∞.
h1 h2 ⋅ ⋅ hk ⋅ ⋅ hn .
(29)
(37)
Неравенство в (27) означает, что всякая норма Гёльдера
hn1
hn 2
hnk
hnn
g n+
вектора из Rn ограничена сверху значением, явно определяемом l∞-нормой этого вектора и его размерностью. Для
гёльдеровских норм n-векторов существуют сравнительные
Отметим, что n-вектор-столбцы
n
n
nk
n
оценки и независящие от размерности n.
(
g i = Colon [ hi1 , hi 2 , ⋅ ⋅hik , ⋅ ⋅hin ] i = 1, n
Утверждение 1. Все lp-нормы произвольного n-вектора
ψ
)
(38)
при всех p ≥ 1 ограничены сверху его l1-нормой:
n
ψ
p
=
ψk
k =1
p
1
p
окажутся таковыми для транспонированной матрицы
n
H +:
ψ k ; p ≥ 1. (30)
≤ ψ1=
H + = [ g1 g2 ⋅⋅ gi ⋅⋅ gn ] ( n × n ) .
k =1
(39)
В частности, при p = 2 получаем оценку для эвклидовой
нормы
Заметим также, что предположение о невырожденности
матрицы
14
H (n × n)
[и матрицы
H + ] означает линейную
В. В. Осипов. НЕКОТОРЫЕ ЭКСТРЕМАЛЬНО-ОЦЕНОЧНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ НОРМ В МАТРИЧНО-ВЕКТОРНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЯХ
независимость векторных систем (36) и (38), которые,
ψ
матричного представления (37) n-вектор
ψ
любой lp-нормы вектора
следовательно, будут образовывать базисы в Rn. В силу
ψ
(34) запишется
1
p
p
≤n ψ
:
1
p
∞
≤ ⋅n V
⋅ H+
∞
( p ≥ 1) .
1
(45)
в виде
В частности, получим для l1-нормы
( g ,V )
g1+V
ψ1
1
ψ 1 <n V
⋅ H+ ,
∞
(46)
1
а для эвклидовой нормы окажется
1
( g ,V )
ψ = ψ i = g i+V =
i
.
ψ 2 ≤ n2 V
(40)
⋅ H+ .
∞
(47)
1
Заметим, что полученные предельные значения для
1
2
n , но характер
ψ 2 остается
этих норм отличаются лишь множителем
+
n
ψn
Его
координаты
( g ,V )
g V
n
представляются
в
(
скалярных
V
ψ 1 = HV
Для l1-нормы
H (n × n)
(2):
(37) может быть получено и иное предельное
)
(41)
цепочки преобразований
n
ψ 1 = HV 1 ≤
Максимальная координата по модулю из этого множества
ψ
ψ ∞ = max ψi = max ( gi ,V ) = max
=
1
k =1
vk max hi =
1
1≤i ≤ n
k =1
i
i
n
n
vk ⋅ hM =
1
k =1
hik vk ≤
vk ⋅ H 1 = H 1 ⋅ V
ψ 1 ≤ H 1 ⋅ V 1.
1
k =1
(48)
k =1
(42)
i
1
n
vk hk ≤
. Найдем ее оценку
n
≤ max
n
vk hk =
k =1
n
1≤i ≤ n
при неврожденной матрице
1
значение, выражаемое только через l1-нормы, что следует из
ψ i = ( g i ,V ) i = 1, n .
даст l∞-норму n-вектора
и
неопределенным.
виде
произведений n-вектор-столбцов (38) и n-вектора
ψ1
взаимоотношения самих норм
Теперь имеем столбцевую l1-норму матрицы H (37):
n
hik ⋅ vk ≤ max vk ⋅ max
k
k =1
i
max g i
Выражение
1≤i ≤ n
1
hik ≤ V
k =1
⋅ max g i
∞
1≤i ≤ n
H + (39)
матрицы [2, 3, 4]:
1
1≤i ≤n
1≤i ≤ n
hik = g M 1 .
(43)
k =1
ψ
V
ψ = H ⋅V ,
а именно: во множестве
с некоторой заданной lp-нормой (p ≥ 1) найти
V p0 ,
значение l∞-норме ψ
такой вектор
который доставлял бы максимальное
∞
вектора
ψ.
V
, будем иметь
различные ограничивающие условия в возникающих задачах
на условный экстремум (максимум).
Таким образом, будем иметь следующую оценку для l∞нормы вектора
n-векторов
Задавая различные lp-нормы вектора
n
(49)
1
Подобные задачи могут быть поставлены, в частности, и для
l∞-нормы n-вектора
и
называется поэтому максимальной столбцевой li-нормой
H + = max g i 1 = max
1
1≤k ≤ n
имеет смысл максимума li-нормы
n-вектор-столбца транспонированной матрицы
H 1 = max hk = hM .
1
Рассмотрим три задачи такого рода при значениях
2 и 1,, т., ,е. при задании норм
(40):
V
∞
,, ,
V
и
2
V
1
p = ∞,
.
Итоговые результаты представим в виде следующей теоремы.
ψ
∞
≤ V
∞
⋅ gM 1 = V
∞
⋅ H+ .
1
(44)
Теорема 1. Если матрица H (37) в представлении
ψ = H ⋅V
невырождена, то в Rn существуют векторы
Умножая обе стороны этого неравенства на положительную ,,, с заданными нормами
величину
n
1
p
( p ≥ 1) ,
согласно (27), получим оценку и для
максимумы l∞-норме
V
∞
ψ
∞
,,,
V
2
вектора
и
V
1
ψ
V p0
, доставляющие
. Эти векторы и
15
ВЕСТНИК СВФУ, 2013, том 10, № 5
соответствующие
им
максимальные
значения
Коши-Буняковского.
Векторы
max0 ψ
V =V p
∞
( p = ∞,2,1)
max0 ψ
V =V∞
∞
= max0 HV
V =V∞
2)
определятся формулами:
V∞0 = V
p=∞
1)
= V
∞
⋅ Sign g M ;
∞
∞
∞
⋅ gM
V =V2
∞
gM
2
gM
p =1
V =V1
∞
⋅ H+
,
)
g M есть n-вектор-столбец транспонированной матрицы H +
(52)
⋅ gM ;
n
g M 1 = max gi 1 = max
1≤i≤ n
2
2
= V
2
⋅ gM
2
,
(53)
Поставим
i =M
следующую
(α
V = α p ⋅V1M
задачу:
>0 ) ( p ≥ 1)
p
hik
определить
gM
(54)
⋅ gM ;
1
p
n
ψ
1
∞
= α p ⋅ V1M
p
= αp ⋅
p
v1k
2
⋅ gM
≤ V 1 ⋅ gM
2
1
.
n-вектор
с заданной lp-нормой
V
1
(60)
.
k =1
n
=
vk
k =1
1
(59)
(51)
1
2
V10 =
gM
V1 = Colon[ v11 , ⋅⋅ v1k , ⋅⋅ v1n ] ,
2
⋅ gM
V
=
)
(39), имеющий максимальную l1-норму (43):
2
V =
V =V2
max0 ψ
∞
V
0
2
= max0 V , g M =
3)
= V
где
V
max0 ψ
1
gM = Colon [ hM 1 , ⋅⋅ hMk , ⋅⋅ hMn ];
(50)
∞
p=2
V1 , согласно (38) и (2), определятся в виде
gM
p
1
p
,
(61)
k =1
(55)
который делал бы положительный функционал (56), т. е.
1
Доказательство представлено в [1].
Представление для l∞-нормы
V
модуль
запишем в виде
скалярного
произведения
в
(57),
максимально
возможным, превращая тем самым неравенство Гёльдера в
∞
равенство.
ψ ∞ = ( gM ,V ) = ( g M , α p V1 ) = α p ⋅ ( g M , V1 ) ,
(56)
Это произойдет, если соответствующие члены гельдеровских сумм в (57) будут просто совпадать, т. е. при условиях
где положительный скалярный множитель αp, связывающий
(
p
)
вектора
V
1
V
V.
( k = 1, n) ;
q
v1k = hMk
и V1 V 1= α p ⋅V1 , как масштабный множитель,
будет определяться заданием нормы (в частности, длины)
n-векторы
V1
(g
модуля скалярного произведения
M ,V )
n
n
p
v1k =
были получены
k =1
на основе неравенства Коши-Буняковского. Однако для этого
представления, т. е. функционала (56), как уже отмечалось,
hMk
Коши-Буняковского
–
его
частного
варианта. Это неравенство Гёльдера [2, 3]:
q
1 1
+ = 1.
p q
;
k =1
(63)
При этом окажется, в силу условий (58) и (63)
существует еще одно неравенство, более сильное и общее,
неравенство
(62)
и, следовательно, при равенстве
1
Решения некоторых экстремально-оценочных задач для
чем
1 1
+ =1 .
p q
n
max ( g M ,V1 ) =
V1 =V1M
hMk
q
1
q
n
⋅
hMk
k =1
q
1
p
n
n
q
=
k =1
hMk =
k =1
hMk
q
k =1
n
ψ
= ( g M ,V ) = α p ⋅ ( gM , V1 ) = α p ⋅
∞
hMk v1k ≤
k =1
n
≤ αp
hMk
k =1
q
1
q
n
⋅
v1k
p
n
= gM
q
q
1
p
v1k
=
k =1
= gM
q
⋅ α p V1 p ,
(57)
v1k
p
1
p
p
= V1M
p
p
,
(64)
k =1
а функционал (57) получает максимальное значение, равное
k =1
max ψ
имеющее место при выполнении условия
V
1 1
+ = 1 (1 ≤ p ≤ ∞ ) ( ∞ ≥ q ≥ 1) .
p q
(58)
При p = q = 2 это неравенство становится неравенством
16
=
n
p
причем
∞
= α p ⋅ max ( g M ,V1 ) = α p g M
V1 =V1 M
скалярный
q
q
положительный
определяется заданием lp-нормы V
p
= α p V1M
p
, (65)
коэффициент
(61).
p
Будет справедливой следующая теорема.
αp
1
q
q
=
В. В. Осипов. НЕКОТОРЫЕ ЭКСТРЕМАЛЬНО-ОЦЕНОЧНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ НОРМ В МАТРИЧНО-ВЕКТОРНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЯХ
Теорема 2. Если матрица H ( n × n ) (37) в представлении
q
ψ = H ⋅ V (34) невырождена, то в Rn определится вектор
VM
q
p
ωk hMk = hMk
q
p
1M
h p
ωk = Mk
hMk
q
p
(66)
= α p ⋅V
(
v1k = ωk hMk k = 1, n
И для компонент
V p (61) при всех заданных p и q,
с заданной lp-нормой
q
)
(72)
искомого
вектора (71) будем иметь:
q
удовлетворяющих условию (58), и вида
q
( k = 1, n ).
q
q
h p
v1k = ωk ⋅ hMk = Mk ⋅ hMk = hMk p SignhMk ; k = 1, n , (73)
hMk
(
q
VM p = α p ⋅ Colon hM 1 p ⋅ SignhM 1, ⋅⋅ hMk p ⋅ SignhMk , ⋅⋅ hMn p ⋅ SignhMn , (67)
)
где
доставляющий
максимально
возможное
значение
+1 hMk >0;
hMk
= SignhMk =
−1 hMk <0.
hMk
функционалу (57), которое будет равно
q
max ψ
V
q
= α p gM
∞
q
p
= α p V1Mp
=V
p
⋅ gM q ,
(68)
gM
p
q −1
1 1
+ =1
p q
q
gM
ψ р∞ вектору
Определим коэффициент αp, задав lp-норму
по крайней мере, должен иметь все
VM
q
p
q
p
(67).pИмеем:
M
V
т. Rе.n находиться с ним в одном октанте
(длине). Это означает, что такой вектор
быть связан с вектором
V1M ∈ Rn
g M ∈ Rn , линейным
должен
V
p
= VM
преобразова-
q
p
n
= αp ⋅
n
= αp ⋅
k =1
p
= αp ⋅
(70)
1
p
hMk SignhMk
n
Ω = Diag [ ω1, ⋅⋅ωk , ⋅⋅ωn ] ( n × n ) ,
p
q
p
hMk
q
hMk
1
p
=
1
q
q
p
= α p ⋅ gM
q
p
q
= α p ⋅ gM
q −1
q
,
k =1
т. к.
т. е. иметь представление
V1M = Ω ⋅ g M = Colon [ ω1hM 1, ⋅⋅ωk hMk , ⋅⋅ωn hMn ] = Co
k
n
q
1
1
= q ⋅ = q 1−
= q − 1.
p
p
p
(93)
(71)
= Colon [ v11, ⋅⋅v1k , ⋅⋅v1n ] .
Следовательно, для всех p и q, удовлетворяющих
условию (58), получим (69). В результате, для max ψ
Элементы
q
k =1
нием, осуществляемым положительной диагональной матрицей
n
(57),
∞
согласно (65), представление (68).
пространства Rn, хотя может и не совпадать с ним по норме
⋅ω h
ψ
представление (67), а максимум функционала
q
свои координаты, совпадающие по знаку с координатами
n-вектора
получит
(69)
.
максимум своему скалярному произведению с некоторым
g M ∈ Rn ,
в
q
VM p = α p ⋅ V1Mp
выделяемой символике
Доказательство. Вектор V1M из Rn, способный доставить
вектором
VM = α p ⋅ V1M
Таким образом, искомый вектор
p
αp =
(74)
есть функция знака.
т. к. коэффициент αp получает представление
V
( k = 1, n)
ωk ( k = 1, n )
V =VM
матрицы Ω (70) могут быть
найдены из условий (62), выполнение которых означает
∞
получим представление (68).
Теорема доказана.
переход неравенства Гёльдера в (57) в равенство, приобретение функционалом (57) своего максимального значения.
Литература
Именно такой подход был реализован при решении
задачи оптимального управления одномерным линейным
динамическим
объектом
на
основе
метода
представлений (точечных моделей) [1, 5, 6, 7, 8].
Из условий (62) следуют равенства
точечных
1.
Осипов
В.
В.
Моделирование
динамических
процессов методом точечных представлений – Красноярск:
Сибирский федеральный университет, 2012.
2.
Маркус М. Обзор по теории матриц и матричных
неравенств. – М.: Либроком, 2009.
17
ВЕСТНИК СВФУ, 2013, том 10, № 5
3.
Хорн Р. Матричный анализ. – М.: Мир, 1989.
4.
Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. – 5-е изд. – М.:
федеральный университет, 2011.
ФИЗМАТЛИТ, 2004.
5.
Осипов
В.
Решение
экстремальных
задач
терминального управления методом точечных представлений.
Осипов
В.
Осипов В. М. Положительная определённость и
положительность функций. Элементы теории и некоторые
В.
// Системы методы технологии. – 2009. – № 3. – C. 52-58.
6.
7.
В.
Точечное
моделирование
приложения
и
Красноярск:
Сибирский
федеральный
университет, 2008.
8.
преобразования Лапласа и Фурье. – Красноярск: Сибирский
–
Осипов В. В. Точечные модели многомерных
линейных динамических систем. // Вестник Кемер. гос. ун-та.
– 2011. – № 3. – С. 85-92.
УДК: 530.145 (571.56)
Б. В. Яковлев
ИНТЕРПРЕТАЦИЯ КВАНТОВЫХ ЯВЛЕНИЙ НА ОСНОВЕ КОНЦЕПЦИИ
ВОЗМОЖНЫХ ВСЕЛЕННЫХ
На основе концепции возможных вселенных даны интерпретации основных законов, принципов и понятий
современной физики, это: второй закон термодинамики, стрелы времени, информационная энтропия, редукция волнового
пакета, принцип наименьшего действия, дискретность функции действия, принцип неопределенности Гейзенберга, волновая
природа движения частиц. Предлагаемая концепция позволяет по-новому взглянуть на проблемы измерения квантовых
систем, квантовой нелокальности, явления декогеренции, феномена сознания и современной эпистемологии.
Ключевые слова: Вселенная, бесконечность, пространство, время, состояние, информация, энтропия, квант, принцип,
корреляция.
B. V. Yakovlev
The Interpretation of Quantum Phenomena on the Base
of the Concept of Possible Universes
On the base of the concept of possible universes the interpretations of general laws, principles and concepts of the modern
physics are given. They are: the second thermodynamics law, the time arrows, the information entropy, the reduction of wave packet,
the principle of least action, discretization of action function, Heisenberg indeterminacy principle, the wave nature of particle motion.
With a help of the suggested concept one can see at the issue of quantum systems dimension, quantum nonlocality, decoherence
phenomenon, phenomenon consciousness and modernepistemology in a new light.
Key words: the Universe, infinity, space, time, condition, information, entropy, quantum, principle, correlation.
ЯКОВЛЕВ Борис Васильевич – д. ф.-м. н., профессор
кафедры
теоретической
физики
Физико-технического
института Северо-Восточного федерального университета
им. М.К. Аммосова.
E-mail: b-yakovlev@mail.ru
18
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
2
Размер файла
937 Кб
Теги
норм, экстремальных, векторных, оценочный, матричное, некоторые, представление, задачи
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа