close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Немарковская кумулятивная модель имущественного страхования.

код для вставкиСкачать
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2008
Управление, вычислительная техника и информатика
№ 1(2)
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
УДК 519.2
К.А. Горбенко
НЕМАРКОВСКАЯ КУМУЛЯТИВНАЯ МОДЕЛЬ
ИМУЩЕСТВЕННОГО СТРАХОВАНИЯ
В приведенной работе предлагается и исследуется модель имущественного
страхования в виде системы массового обслуживания, у которой входящий
поток является кумулятивным и время обслуживания рекуррентным. Особенность модели состоит в том, что каждый клиент может застраховать некоторое количество однотипных объектов, что в терминах теории массового
обслуживания означает: входящий поток – неординарный.
Ключевые слова: имущественное страхование, немарковская кумулятивная модель, капитал компании.
В имущественном страховании корпоративных клиентов, и даже физических
лиц, возникают ситуации, когда клиент желает застраховать сразу несколько объектов – несколько машин или несколько домов. Фактически получается, что клиент один, а источников риска уже несколько. В этом случае, при математическом
моделировании, необходимо разделять понятия страхователя и застрахованного
объекта. Такое разделение помогает глубже понять структуру взаимоотношений
страховщика и страхователей, позволяет предложить более точные модели. В
данной работе предлагается и изучается модель описанной ситуации.
1. Модель имущественного страхования
Представим модель страхования в виде трех случайных процессов, считая момент создания компании точкой отсчета времени: N(t) – количество страхователей, пришедших в компанию за время t, при этом N(0) = 0; k(t) – количество объектов страхования в момент времени t, k(0) = 0; S(t) – капитал компании в момент
времени t, S(0) = S0.
Опишем свойства указанных процессов, для этого рассмотрим временной интервал [t, t+∆t] достаточно малой длины, на котором могут произойти следующие
события:
1) Пришел страхователь, т.е. ∆N(t) = N(t+∆t) – N(t) = 1, при этом на величину
∆N(t) накладываются следующие ограничения:
P {∆N ( t ) = 1 N ( t ) = N } = ( λ + βN ) ∆t + o ( ∆t ) ,
P {∆N ( t ) = 0 N ( t ) = N } = 1 − ( λ + βN ) ∆t + o ( ∆t ) ,
P {∆N ( t ) > 1 N ( t ) = N } = o ( ∆t ) , λ>0, β>0.
Особенности этого события:
а) Страховая компания фиксирует увеличение количества объектов страхования на величину ν, которая является независимой случайной величиной со сле-
Немарковская кумулятивная модель имущественного страхования
41
дующими известными средними характеристиками: M {ν} = u1 , M{ν 2 } = u2 . Сказанное можно представить как
∆k(t) = k(t+∆t) – k(t) = ν.
б) Капитал компании изменяется следующим образом:
∆S ( t ) = S ( t + ∆t ) − S ( t ) = ν ⋅ ξ,
где ξ – независимая случайная величина, моделирующая величину страхового
взноса, причем M {ξ} = a1 , M{ξ2 } = a2 .
в) Каждый объект имеет период страхования, равный величине τ, которая является независимой случайной величиной с функцией распределения B(x).
2) Наступил страховой случай. Для более точного описания этого события
введем процесс l(t), равный количеству страховых случаев, наступивших за
время t, тогда наступление страхового случая формально можно описать как
∆l(t) = l(t+∆t) – l(t) = 1, причем предполагается, что
{
}
2
P {∆l ( t ) = 1 k ( t ) = k} = µk ∆t + o ( ∆t ) , µ>0, M [ ∆l ( t )] k ( t ) = k = µk ∆t + o ( ∆t ) .
С наступлением страхового случая происходят изменения в капитале компании, а
именно, осуществляется выплата страхового возмещения η:
∆S(t) = S(t+∆t) – S(t) = –η,
{ }
где η – независимая случайная величина с M {η} = b1 , M η2 = b2 .
Предложенная модель является развитием моделей, рассмотренных в [1. С. 1;
2. С. 290].
Исследование модели будет состоять в нахождении средних характеристик
процессов k(t) и S(t). Отметим, что вероятностные и средние характеристики процесса N(t) определены в работе [3. С. 88], поэтому результаты будем приводить с
точностью до N ( t ) , D { N ( t )} , C N {t1 , t2 } .
2. Средние характеристики числа застрахованных объектов
2.1. Метод просеянного потока
В работе [4. С. 134] предложен метод просеянного потока для исследования
системы М|G|∞. Используем идею этого метода для исследования предложенной
модели. Для этого введем временной горизонт T и процесс n(t), суть которого в
следующем: рассматривается исходный неординарный поток страховых объектов,
который просеивается с динамической вероятностью P(T – t) = 1 – B(T – t), где
t изменяется в пределах от 0 до T, количество просеянных заявок на момент времени t равно n(t). Особенность этого процесса в том, что он является марковским
и для него верно соотношение
n(T) = k(T).
Отметим очевидные свойства этого процесса:
n(0) = 0,
P {∆n ( t ) = ν N ( t ) = N , ν} = ( λ + β N ) P (T − t ) ∆t + o ( ∆t ) ,
P {∆n ( t ) = 0 N ( t ) = N , ν} = 1 − ( λ + βN ) P (T − t ) ∆t + o ( ∆t ) ,
P {∆n ( t ) > ν N ( t ) = N , ν} = o ( ∆t ) ,
M {∆n ( t ) ∆N ( t ) N ( t ) = N , ν} = ν ( λ + β N ) P (T − t ) ∆t + o ( ∆t ) .
42
К.А. Горбенко
2.2. Математическое ожидание
Введем горизонт T ≥ t и представим
n(t+∆t) = n(t) + ∆n(t).
Усредним данное соотношение при фиксированных реализациях N(t), n(t) и ν,
получим
M {n ( t + ∆t ) N ( t ) , n ( t ) , ν} − n ( t ) = ν ( λ + βN ( t ) ) P (T − t ) ∆t + o ( ∆t ) .
Осуществим усреднение по фиксированным реализациям
n ( t + ∆t ) − n ( t ) = u1 ( λ + β N ( t ) ) P (T − t ) ∆t + o ( ∆t ) .
Разделим левую и правую части на ∆t, затем устремим ∆t к нулю. Отметим,
что предел справа существует, следовательно, предел слева тоже существует. В
результате получим
dn ( t )
= u1 ( λ + βN ( t ) ) P (T − t ) .
dt
Проинтегрируем полученное дифференциальное уравнение в пределах от 0 до t:
t
n ( t ) = u1 ∫ ( λ + βN ( τ ) ) P (T − τ ) d τ.
0
Воспользуемся соотношением метода просеянного потока, полагая T = t:
t
k ( t ) = n ( t ) = u1 ∫ ( λ + βN ( τ ) ) P ( t − τ ) d τ.
0
Окончательно,
t
k ( t ) = u1 ∫ ( λ + β N ( τ ) ) P ( t − τ ) d τ.
0
2.3. Дисперсия
Предварительно докажем одно вспомогательное утверждение.
Лемма 1. В предположениях модели
dСnN {t T }
= βСnN {t T } + u1 ( λ + βN ( t ) + β D { N ( t )} ) P (T − t ) , СnN {0 T } = 0,
dt
СnN {t T } = M {( n ( t ) − n ( t ) ) ( N ( t ) − N ( t ) )} .
где
Доказательство. Представим
n ( t + ∆t ) N ( t + ∆ t ) − n ( t ) N ( t ) = ∆ n ( t ) N ( t ) + n ( t ) ∆ N ( t ) + ∆ n ( t ) ∆ N ( t ) .
Осуществим усреднение при фиксированных реализациях N(t), n(t) и ν:
M {n ( t + ∆t ) N ( t + ∆t ) N ( t ) , n ( t ) , ν} − n ( t ) N ( t ) =
= ν ( λ + β N ( t ) ) P (T − t ) ∆tN ( t ) + n ( t ) ( λ + βN ( t ) ) ∆t +
+ν ( λ + β N ( t ) ) P (T − t ) ∆t + o ( ∆t ) .
После соответствующего усреднения и осуществления предельного перехода,
получим
d n (t ) N (t )
= u1 λN ( t ) +β N 2 ( t ) P (T −t ) +λn ( t ) +βn ( t ) N ( t ) + u1 ( λ+βN ( t ) ) P (T − t ) .
dt
(
)
Немарковская кумулятивная модель имущественного страхования
43
Далее, используя определение функции СnN {t T } , имеем
dСnN {t T } d n ( t ) N ( t ) dn ( t )
dN ( t )
=
−
N (t ) − n (t )
=
dt
dt
dt
dt
= βСnN {t T } + u1 ( λ + βN ( t ) + β D { N ( t )}) P (T − t ) .
Получили утверждение леммы.
Теорема 1. В предположениях модели
t
t
0
0
D {k ( t )} = 2u1β ∫ СnN {τ t } P ( t − τ ) d τ + u2 ∫ ( λ + βN ( τ ) ) P ( t − τ ) d τ.
Доказательство. Рассмотрим соотношение
n 2 ( t + ∆t ) = n 2 ( t ) + 2 ∆ n ( t ) n ( t ) + ( ∆ n ( t ) ) 2 .
Проведем условное усреднение:
{
}
M n 2 ( t + ∆t ) N ( t ) , n ( t ) , ν − n 2 ( t ) = 2ν ( λ + βN ( t ) ) P (T − t ) ∆tn ( t ) +
+ν 2 ( λ + βN ( t ) ) P (T − t ) ∆t + o ( ∆t ) .
После применения стандартных преобразований получим
d n2 ( t )
= 2u1 ( λn ( t ) + βn ( t ) N ( t ) ) P (T − t ) + u2 ( λ + βN ( t ) ) P (T − t ) .
dt
Воспользуемся свойствами дисперсии:
d D {n ( t )} d n 2 ( t )
dn ( t )
=
− 2n ( t )
= 2u1βСnN {t T } P ( T − t ) + u2 ( λ + βN ( t ) ) P (T − t ) .
dt
dt
dt
Таким образом, получили
d D {n ( t )}
= 2u1βСnN {t T } P (T − t ) + u2 ( λ + βN ( t ) ) P (T − t ) , D {n ( 0 )} = 0.
dt
Проинтегрируем полученное дифференциальное уравнение и затем воспользуемся соотношением метода просеянного потока. В результате получим утверждение теоремы.
2.4. Ковариация
Как и в случае дисперсии, начнем рассуждения с доказательства вспомогательных утверждений.
Лемма 2. В предположениях модели
t
t
t
0
0
0
Сkn {t T} = u1β ∫ CnN {xT}P(t − x)dx + u1β ∫CnN {x t}P(T − x)dx + u2 ∫ (λ + βN ( x)) P(T − x)dx,
где
Сkn {t T } = M {( k ( t ) − k ( t ) ) ( n ( t ) − n ( t ) )} .
Доказательство. Введем в рассмотрение процесс m(τ), который отличается от
процесса n(τ) только временным горизонтом t, т.е. соответствующая этому процессу вероятность просеивания равна P(t – τ) = 1 – B(t –τ), при этом T ≥ t ≥ τ.
Представим
m ( τ + ∆τ ) n ( τ + ∆τ ) − m ( τ ) n ( τ ) = ∆m ( τ ) n ( τ ) + m ( τ ) ∆n ( τ ) + ∆m ( τ ) ∆n ( τ ) .
44
К.А. Горбенко
Как и прежде, проведем условное усреднение:
M {m ( τ + ∆τ ) n ( τ + ∆τ ) N ( τ ) , n ( τ ) , m ( τ ) , ν} − m ( τ ) n ( τ ) =
= ν ( λ + βN ( τ ) ) P ( t − τ ) ∆τn ( τ ) + m ( τ ) ν ( λ + βN ( τ ) ) P (T − τ ) ∆τ +
+ν 2 ( λ + βN ( τ ) ) P (T − τ ) ∆τ + o ( ∆τ ) .
После усреднения и предельного перехода получим
d m ( τ) n ( τ)
= u1 ( λn ( τ ) + βn ( τ ) N ( τ ) ) P ( t − τ ) +
dτ
+u1 ( λm ( τ ) + βm ( τ ) N ( τ ) ) P (T − τ ) + u2 ( λ + βN ( τ ) ) P (T − τ ) .
Введем функцию Сmn {τ t , T } = M {( m ( τ ) − m ( τ ) ) ( n ( τ ) − n ( τ ) )} . Продифференцируем ее, используя ее очевидное свойство:
dСmn {τ t , T } d m ( τ ) n ( τ ) dm ( τ )
dn ( τ )
=
−
n ( τ) − m ( τ)
=
dτ
dτ
dτ
dτ
= u1β CnN {τ T } P ( t − τ ) + u1βCnN {τ t } P (T − τ ) + u2 ( λ + βN ( τ ) ) P (T − τ ) .
В результате
dСmn {τ t , T }
= u1βCnN {τ T } P ( t − τ ) + u1β CnN {τ t} P (T − τ ) +
dτ
+u2 ( λ + βN ( τ ) ) P (T − τ ) , Сmn {0 t , T } = 0.
Проинтегрируем
τ
τ
τ
0
0
0
Сmn {τ t ,T} = u1β ∫ CnN {xT}P(t − x)dx + u1β ∫CnN {x t}P(T − x)dx + u2 ∫ (λ + βN ( x)) P(T − x)dx.
Воспользуемся соотношением метода просеянного потока, полагая τ = t.
В итоге, придем к утверждению леммы.
Лемма 3. В предположениях модели
СkN {t1 , t2 } = CnN {t1 t1 } eβ( t2 −t1 ) ,
где
СkN {t1 , t2 } = M {( k ( t1 ) − k ( t1 ) ) ( N ( t2 ) − N ( t2 ) )} , t1 ≤ t2.
Доказательство. Воспользуемся представлением
k ( t1 ) N ( t2 + ∆t2 ) = k ( t1 ) N ( t2 ) + k ( t1 ) ∆N ( t2 ) .
Усредняя при фиксированных реализациях k(t1) и N(t2), получим
M {k ( t1 ) N ( t2 + ∆t2 ) N ( t2 ) , k ( t1 )} − k ( t1 ) N ( t2 ) = k ( t1 ) ( λ + βN ( t2 ) ) ∆t2 + o ( ∆t2 ) .
После применения стандартного набора операций получим
d k ( t1 ) N ( t2 )
= λk ( t1 ) + βk ( t1 ) N ( t2 ).
dt2
Воспользуемся определением функции СkN {t1 , t2 } и ее очевидным свойством
dСkN {t1 , t2 } d k ( t1 ) N ( t2 )
dN ( t2 )
=
− k ( t1 )
= β СkN {t1 , t2 }.
dt2
dt2
dt2
Немарковская кумулятивная модель имущественного страхования
45
Таким образом,
dСkN {t1 , t2 }
= βСkN {t1 , t2 } , СkN {t1 , t1} = CnN {t1 t1} .
dt2
Решая полученное дифференциальное уравнение, придем к утверждению леммы.
Теорема 2. В предположениях модели
t2
Сk {t1 , t2 } = Сkn {t1 t2 } + u1βCnN {t1 t1} ∫ eβ( τ−t1 ) P ( t2 − τ ) d τ,
t1
Сk {t1 , t2 } = M {( k ( t1 ) − k ( t1 ) ) ( k ( t2 ) − k ( t2 ) )} .
где
Доказательство. Запишем, считая что t1 ≤ t2 ≤ T,
k ( t1 ) n ( t2 + ∆t2 ) = k ( t1 ) n ( t2 ) + k ( t1 ) ∆n ( t2 ) .
Используя ту же логику рассуждений, что и в лемме 3, получим
d k ( t1 ) n ( t2 )
= u1 ( λk ( t1 ) + βk ( t1 ) N ( t2 ) ) P (T − t2 ) .
dt2
Введем функцию Сkn {t1 , t2 T } = M {( k ( t1 ) − k ( t1 ) ) ( n ( t2 ) − n ( t2 ) )} . Далее, выполняя дифференцирование, имеем
dСkn {t1 , t2 T }
= u1βСkN {t1 , t2 } P (T − t2 ) ,
dt2
где Сkn {t1 , t1 T } = Сkn {t1 T } .
Проинтегрируем, отсюда
t2
Сkn {t1 , t2 T } = Сkn {t1 T } + u1β ∫ СkN {t1 , τ} P ( T − τ ) d τ.
t1
Далее, используя соотношение метода просеянного потока и результаты
леммы 3, получим утверждение теоремы.
3. Средние характеристики капитала компании
3.1. Математическое ожидание
Представим
S ( t + ∆t ) = S ( t ) + ∆S ( t ) .
Зафиксируем реализации S(t), k(t), ξ, η и ν для проведения условного усреднения:
M {S ( t + ∆t ) S ( t ) , k ( t ) , ξ, η, ν} − S ( t ) = ξν ( λ + βN ( t ) ) ∆t − ηµk ( t ) ∆t + o ( ∆t ) .
Пользуясь независимостью случайных величин ξ, η и ν, проведем безусловное
усреднение
S ( t + ∆t ) − S ( t ) = a1u1 ( λ + βN ( t ) ) ∆t − b1µk ( t ) ∆t + o ( ∆t ) .
После соответствующего преобразования и предельного перехода получим
dS ( t )
= a1u1 ( λ + βN ( t ) ) − b1µk ( t ) , S ( 0 ) = S0 .
dt
46
К.А. Горбенко
Проинтегрируем
t
t
⎛
⎞
S ( t ) = S0 + a1u1 ⎜ λt + β ∫ N ( τ ) d τ ⎟ − b1µ ∫ k ( τ ) d τ.
⎝
⎠
0
0
3.2. Дисперсия
Докажем два вспомогательных утверждения.
Лемма 4. В предположениях модели
dC NS {t}
= βCNS {t} − b1µCnN {t t} + a1u1 ( λ + βN ( t ) + β D { N ( t )} ) , C NS {0} = 0,
dt
CNS {t} = M {( N ( t ) − N ( t ) ) ( S ( t ) − S ( t ) )} .
где
Доказательство. Представим
N ( t + ∆t ) S ( t + ∆t ) − N ( t ) S ( t ) = ∆N ( t ) S ( t ) + N ( t ) ∆S ( t ) + ∆N ( t ) ∆S ( t ) .
Применяя условное усреднение при фиксированных реализациях S(t), k(t), ξ,
η и ν, получаем
M { N ( t + ∆t ) S ( t + ∆t ) S ( t ) , k ( t ) , ξ, η, ν} − N ( t ) S ( t ) =
= ( λ + βN ( t ) ) ∆tS ( t ) + N ( t ) ( ξν ( λ + βN ( t ) ) − ηµk ( t ) ) ∆t + ξν ( λ + βN ( t ) ) ∆t + o ( ∆t ) .
После соответствующих преобразований
d N (t )S (t )
= λS (t ) + β N (t )S (t ) + a1u1λN (t ) + a1u1β N 2 (t ) − b1µ k (t ) N (t ) + a1u1 (λ + βN (t )).
dt
Используя определение функции CNS {t} , имеем
dC NS {t} d N ( t ) S ( t ) dN ( t )
dS ( t )
=
−
S (t ) − N (t )
=
dt
dt
dt
dt
βC NS {t} + a1u1β D { N ( t )} − b1µCkN {t} + a1u1 ( λ + βN ( t ) ) .
После группировки слагаемых получим утверждение леммы.
Лемма 5. В предположениях модели
t
t
t
0
0
CkS {t} = u1β ∫ C NS {τ} P ( t − τ ) d τ + a1u1β ∫ CnN {τ t} d τ − b1µ ∫ Ckn {τ t} d τ +
0
t
+ a1u2 ∫ ( λ + β N ( τ ) ) P ( t − τ ) d τ,
0
где
CkS {t} = M {( k ( t ) − k ( t ) ) ( S ( t ) − S ( t ) )} .
Доказательство. Как и прежде, воспользуемся представлением
n ( t + ∆t ) S ( t + ∆t ) − n ( t ) S ( t ) = ∆n ( t ) S ( t ) + n ( t ) ∆S ( t ) + ∆n ( t ) ∆S ( t ) .
Далее проведем условное усреднение:
M {n ( t + ∆t ) S ( t + ∆t ) S ( t ) , k ( t ) , ξ, η, ν} − n ( t ) S ( t ) =
= ν ( λ + βN ( t ) ) P (T − t ) ∆tS ( t ) + n ( t ) ( ξν ( λ + βN ( t ) ) − ηµk ( t ) ) ∆t +
+ξν 2 ( λ + βN ( t ) ) P (T − t ) ∆t + o ( ∆t ) .
Немарковская кумулятивная модель имущественного страхования
47
Легко получить следующее уравнение:
d n (t ) S (t )
= u1 ( λS ( t ) + β N ( t ) S ( t ) ) P (T − t ) + a1u1λn ( t ) +
dt
+ a1u1βn ( t ) N ( t ) − b1µ k ( t ) n ( t ) + a1u2 ( λ + βN ( t ) ) P (T − t ) .
Введем в рассмотрение функцию CnS {t T } = M {( n ( t ) − n ( t ) ) ( S ( t ) − S ( t ) )} ,
для которой несложно получить следующее дифференциальное уравнение:
dCnS {t T }
= u1βC NS {t} P (T − t ) + a1u1βCnN {t T } − b1µCkn {t T } +
dt
+ a1u2 ( λ + βN ( t ) ) P (T − t ) , CnS {0 T } = 0.
Проинтегрируем и воспользуемся соотношением метода просеянного потока:
t
t
t
0
0
CkS {t} = u1β ∫ C NS {τ} P ( t − τ ) d τ + a1u1β ∫ CnN {τ t} d τ − b1µ ∫ Ckn {τ t} d τ +
0
t
+ a1u2 ∫ ( λ + βN ( τ ) ) P ( t − τ ) d τ.
0
Получили утверждение леммы.
Теорема 3. В предположениях модели
t
t
t
t
⎛
⎞
D {S ( t )} = 2a1u1β ∫ C NS {τ} d τ − 2b1µ ∫ CkS {τ} d τ + a2u2 ⎜ λt + β ∫ N ( τ ) d τ ⎟ + b2µ ∫ k ( τ ) d τ.
⎝
⎠
0
0
0
0
Доказательство. Представим
S 2 ( t + ∆t ) = S 2 ( t ) + 2 S ( t ) ∆S ( t ) + ( ∆S ( t ) )2 .
Осуществим условное усреднение:
{
}
M S 2 ( t + ∆t ) S ( t ) , k ( t ) , ξ, η, ν − S 2 ( t ) = 2S ( t ) ( ξν ( λ + β N ( t ) ) − ηµk ( t ) ) ∆t +
(
)
+ ξ 2 ν 2 ( λ + β N ( t ) ) + η2µk ( t ) ∆t + o ( ∆t ) .
После соответствующих преобразований имеем
d S 2 (t )
= 2a1u1 ( λS ( t ) + β N ( t ) S ( t ) ) − 2b1µ k ( t ) S ( t ) + a2u2 ( λ + βN ( t ) ) + b2µk ( t ) .
dt
Пользуясь свойствами дисперсии, можно получить следующее дифференциальное уравнение для D{S(t)}:
d D {S ( t )}
= 2a1u1βC NS {t} − 2b1µCkS {t} + a2u2 ( λ + βN ( t ) ) + b2µk ( t ) , D {S ( 0 )} = 0.
dt
После интегрирования получим утверждение теоремы.
3.3. Ковариация
Во всех дальнейших рассуждениях будем считать, что t1 ≤ t2.
Лемма 6. В предположениях модели
CSN {t1 , t2 } = C NS {t1} eβ( t2 −t1 ) ,
где
CSN {t1 , t2 } = M {( S ( t1 ) − S ( t1 ) ) ( N ( t2 ) − N ( t2 ) )} .
48
К.А. Горбенко
Доказательство. Воспользуемся представлением
S ( t1 ) N ( t2 + ∆t2 ) = S ( t1 ) N ( t2 ) + S ( t1 ) ∆N ( t2 ) .
Далее применяя стандартный набор действий, получим
d S ( t1 ) N ( t2 )
= λS ( t1 ) + βS ( t1 ) N ( t2 ) ,
dt2
Воспользовавшись определением CSN {t1 , t2 } , имеем
dCSN {t1 , t2 }
= βCSN {t1 , t2 } , CSN {t1 , t1} = C NS {t1} .
dt2
Решая данное дифференциальное уравнение, получим утверждение леммы.
Лемма 7. В предположениях модели
t2
CSk {t1 , t2 } = CnS {t1 t2 } + u1β C NS {t1} ∫ eβ( τ−t1 ) P ( t2 − τ ) d τ,
t1
где
CSk {t1 , t2 } = M {( S ( t1 ) − S ( t1 ) ) ( k ( t2 ) − k ( t2 ) )} .
Доказательство. Представим, считая t1 ≤ t2 ≤ T,
S ( t1 ) n ( t2 + ∆t2 ) = S ( t1 ) n ( t2 ) + S ( t1 ) ∆n ( t2 ) .
Опуская очевидные промежуточные действия, перейдем к дифференциальному уравнению
d S ( t1 ) n ( t2 )
= u1 ( λS ( t1 ) + βS ( t1 ) N ( t2 ) ) P (T − t2 ) .
dt2
Введем в рассмотрение функцию CSn {t1 ,t2 T} = M{(S (t1 ) − S (t1 ))(n(t2 ) − n (t2 ))} ,
для которой легко получить следующее дифференциальное уравнение:
dCSn {t1 , t2 T }
= u1βCSN {t1 , t2 } P (T − t2 ) ,
dt2
CSn {t1 , t1 T } = CnS {t1 T } .
где
Проинтегрируем
t2
CSn {t1 , t2 T } = CnS {t1 T } + u1β ∫ CSN {t1 , τ} P ( T − τ ) d τ.
t1
Воспользуемся соотношением метода просеянного потока и утверждением
леммы 6:
t2
CSk {t1 , t2 } = CSn {t1 , t2 t2 } = CnS {t1 t2 } + u1βC NS {t1} ∫ eβ( τ−t1 ) P ( t2 − τ ) d τ.
t1
Получили утверждение леммы.
Теорема 4. В предположениях модели
t2
t2
t1
t1
CS {t1 , t2 } = D {S ( t1 )} + a1u1β ∫ CSN {t1 , τ} d τ − µb1 ∫ CSk {t1 , τ} d τ,
где
CS {t1 , t2 } = M {( S ( t1 ) − S ( t1 ) ) ( S ( t2 ) − S ( t2 ) )} .
Немарковская кумулятивная модель имущественного страхования
49
Доказательство. Воспользуемся представлением
S ( t1 ) S ( t2 + ∆t2 ) = S ( t1 ) S ( t2 ) + S ( t1 ) ∆S ( t2 ) .
Легко получить следующее дифференциальное уравнение:
d S ( t1 ) S ( t2 )
= a1u1 ( λS ( t1 ) + βS ( t1 ) N ( t2 ) ) − µb1 S ( t1 ) k ( t2 ).
dt2
Воспользуемся определением функции CS {t1 , t2 } и имеем в результате
dCS {t1 , t2 }
= a1u1β CSN {t1 , t2 } − µb1CSk {t1 , t2 } ,
dt2
где
CS {t1 , t1} = D {S ( t1 )} .
После интегрирования получим утверждение теоремы.
Заключение
Как видно из приведенных рассуждений, найдены основные средние характеристики процесса изменения количества застрахованных объектов и процесса изменения капитала компании. Для математических ожиданий найдены явные выражения, для остальных – неявные.
ЛИТЕРАТУРА
1. Змеев О.А. Исследование математических моделей процессов страхования при нестационарных потоках страховых рисков: Автореф. дис. … докт. физ.-мат. наук. Томск,
2005.
2. Горбенко К.А. Стохастическая модель функционирования страховой компании с кумулятивной интенсивностью входящего потока и независимым временем обслуживания
клиента с произвольной функцией распределения // Вестник ТГУ. Приложение. 2006.
№ 18. С. 290 – 291.
3. Горбенко К.А. Кумулятивный поток // Вестник ТГУ. № 293. С. 88 – 95.
4. Куликова О.А., Моисеева С.П., Назаров А.А. Метод просеянного потока для нахождения одномерного распределения вероятностей значений процесса изменения числа
заявок в системе М|G|∞ // Обработка данных и управление в сложных системах. Томск:
Изд-во Том. ун-та, 2005. Вып. 7. С. 134 – 137.
Статья представлена кафедрой теории вероятностей и математической статистики факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию 12 сентября 2007 г.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
7
Размер файла
965 Кб
Теги
имущественного, кумулятивное, страхование, немарковская, модель
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа