close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Необходимые условия оптимальности для терминальной задачи оптимизации системы Гурса-Дарбу в классе функций с суммируемой смешанной производной.

код для вставкиСкачать
Математическое моделирование. Оптимальное управление
Вестник
Нижегородского
университета
им. Н.И. Лобачевского,
2011, № 3системы
(2), с. 115–120
Необходимые
условия
оптимальности
для терминальной
задачи оптимизации
Гурса–Дарбу
115
УДК 517.95
НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ
ДЛЯ ТЕРМИНАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ СИСТЕМЫ ГУРСА–ДАРБУ
В КЛАССЕ ФУНКЦИЙ С СУММИРУЕМОЙ СМЕШАННОЙ ПРОИЗВОДНОЙ
© 2011 г.
И.В. Лисаченко
Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева
i_lisach@mail.ru
Поступила в редакцию 16.05.2011
Доказывается принцип максимума для терминальной задачи оптимизации нелинейной управляемой
системы Гурса–Дарбу с полной каратеодориевской правой частью уравнения при общих условиях,
позволяющих искать решения системы в классе функций с суммируемой в некоторой степени смешанной производной.
Ключевые слова: нелинейная управляемая система Гурса–Дарбу, решения с суммируемой смешанной производной, терминальная задача оптимизации, принцип максимума.
Управляемая система Гурса–Дарбу – одна из
тех управляемых систем, с обстоятельного изучения оптимизационных задач для которых
начиналось в свое время создание математической теории оптимального управления распределенными системами. Для задачи оптимизации
системы Гурса–Дарбу А.И. Егоровым (см.,
например, [1]) была получена одна из первых в
классе распределенных систем достаточно общих формулировок необходимых условий оптимальности типа принципа максимума (см. [2,
с. 333–345, с. 449–450], [3, с. 442–450]). Впоследствии вопросы вывода и анализа принципа
максимума для задач оптимального управления
системой Гурса–Дарбу, являющейся своего рода пробным камнем теории оптимизации распределенных систем, рассматривали многие
авторы (см., например, краткие обзоры [4, с. 5],
[5, с. 5–6], [6], а также работу [7]).
В последнее время наблюдается устойчивый
интерес (см., например, [8–11]) к задачам оптимизации систем типа Гурса–Дарбу, рассматриваемых в классах абсолютно непрерывных
функций с суммируемой в некоторой степени
p смешанной производной (такие классы будем обозначать AC p ). Этот случай в отличие от
преимущественно изучавшегося до недавнего
времени случая решений с ограниченными производными, многовариантен – он допускает
различные естественные варианты условий на
нелинейную управляемую систему, отличающиеся друг от друга используемой в них априорной информацией о предполагаемом решении. В [12, 13] рассматривались грубые вариан-
ты таких условий – в них учитывается лишь
вытекающая непосредственно из определения
класса AC p принадлежность смешанной и первых производных решения этого класса пространству L p . Однако первые производные такого решения принадлежат существенно более
узким чем L p «лебеговым пространствам со
смешанной нормой» [14]. Принцип максимума
для задачи оптимизации систем Гурса–Дарбу с
решениями из класса AC p исследован еще мало, по сравнению с преимущественно изучавшимся до недавнего времени случаем решений
с ограниченной смешанной производной (см.,
например, [4, 15–19] и др.). В работе [20] доказан поточечный принцип максимума для терминальной задачи оптимизации нелинейной
управляемой системы Гурса–Дарбу с решениями из класса AC p , p > 1 при достаточно грубых условиях на правую часть уравнения.
В данной статье сформулирован поточечный
принцип максимума для терминальной задачи
оптимизации нелинейной управляемой системы
Гурса–Дарбу с полной каратеодориевской правой частью уравнения при достаточно общих
условиях, позволяющих искать решения системы в классе AC p , p > 1 (видимо, при столь
общих условиях принцип максимума для задачи
оптимизации системы Гурса–Дарбу, рассматриваемой в классе функций с суммируемой в некоторой степени смешанной производной, ранее доказан не был). Приведенные ниже необходимые условия оптимальности оптимизаци-
116
И.В. Лисаченко
онной задачи найдены с учетом полной априорной информации о предполагаемом решении
системы и обобщают ранее опубликованный
результат из работы [20], так как применимы к
более широкому классу управляемых систем
типа Гурса–Дарбу. Например, к управляемой
системе с правой частью вида
g (t , x(t ), xt′1 (t ), xt′2 (t ), u(t )) = xt′1 (t ) xt′2 (t )u(t ), u ∈L∞
формулируемый ниже принцип максимума
применим, а результат из [20] не применим.
Для вывода принципа максимума применялось традиционное игольчатое варьирование.
При вычислении вариаций функционалов существенно использовалась эквивалентная запись
управляемой системы Гурса–Дарбу в виде вольтеррова функционального уравнения второго
рода в лебеговом пространстве [21–23]. Нетривиальное отличие этой процедуры от подобной,
относящейся к случаю решений с ограниченной
смешанной производной (см., например, [17,
24]) связано с тем, что здесь семейство линейных операторов правых частей линеаризованных функциональных уравнений при разных
параметрах варьирования не обладает, вообще
говоря, общей квазинильпотентной мажорантой. Поэтому при вычислении вариаций функционалов использовалось введенное в [22] понятие равностепенно квазинильпотентного семейства операторов.
Примем следующие соглашения: векторы,
если не оговорено противное, считаются столбцами; R n – пространство n-векторов-столбцов
a ≡ {a1 ,K, a n }; если a1 ,K ak ∈ R n , то
{a1 ,K, ak } ≡ {ai }ik=1 ≡
≡ {a11 ,K, a1n ,K, a1k ,K, akn } ∈ R kn ;
модуль вектора равен сумме модулей его компонент; если X , Y – нормированные пространства, то L( X , Y ) – класс линейных ограниченных операторов из X в Y , а норма в
прямом произведении X × Y определяется
формулой {x, y} X ×Y = x X + y Y ; если X –
функциональное пространство, то X n – пространство n-вектор-функций, а X n×n – (n × n)
– матриц-функций, составленных из функций
пространства X ; I – тождественный оператор;
производная скалярной функции по векторному
аргументу есть вектор-строка; * – знак транспонирования (для векторов и матриц) и сопряжения (для пространств и операторов); p ∈ (1, ∞) –
заданное число, q ≡ p /( p − 1).
Простейшая терминальная задача.
Теорема о вариации
Рассмотрим управляемую задачу Гурса–
Дарбу
xt′′1t2 (t ) = g (t , x(t ), xt′1 (t ), xt′2 (t ), u (t )),
(1)
x(t1 ,0) = ϕ1 (t1 ), t1 ∈[0,1],
x(0, t2 ) = ϕ2 (t2 ), t2 ∈ [0,1],
(2)
t = {t1 , t2 }∈ Π ≡ [0,1]2 ,
где
g (t , l0 , l1 , l2 , v) ≡ g (t , l , v) : Π × R 3n × R m → R n
(l = {l0 , l1 , l 2 })
и
ϕ1 (t1 ),
ϕ 2 (t 2 ) : [0,1] → R n
заданы, u (t ) : Π → R m – управление. Считаем:
g (t , l , v) дифференцируема по l при каждом v
для почти всех t и вместе с g l′ (t , l , v) измерима
по t для всех {l , v} и непрерывна по {l , v} для
почти
всех
t;
ϕ′i ∈ Lnp ([0,1]),
ϕi (0) = 0,
i ∈{1,2}; допустимы управления u (⋅), принимающие значения из ограниченного множества
V ⊂ R m (класс допустимых управлений обозначим D ).
Чтобы сформулировать необходимые нам
дополнительные требования к функции g , положим
f (t , l0 , l1 , l2 , v) ≡ f (t , l , v) ≡ g (t , l0 + ϕ1 (t1 ) +
+ ϕ 2 (t 2 ), l1 + ϕ1′ (t1 ), l2 + ϕ′2 (t 2 ), v),
t ∈ Π, l = {l0 , l1 , l2 } ∈ R 3n .
Обозначим через Lq ( j ) лебегово пространство Lq ([0,1]) функций переменной t j , j = 1,2,
1 ≤ q ≤ ∞, а через Lq ( j ),∞ (i ) (Π) – банахово пространство функций z (t ), t ∈ Π со смешанной
нормой (см., например, [25, c. 401])
z
q ( j ), r ( i ),Π
≡ z (t1 , t 2 )
Lq ( j )
Lr ( i )
(i, j ∈{1,2},
i ≠ j; q, r ∈ [1, ∞]).
В частности, L∞( j ), p (i ) (Π) – пространство с
нормой
1 p
z
∞ ( j ), p ( i ), Π
p
⎛1⎛
⎞
⎞
⎜
≡ ∫ ⎜⎜ vrai sup | z (t1 , t 2 ) | ⎟⎟ dti ⎟ ,
⎜ 0 ⎝ t j ∈[ 0,1]
⎟
⎠
⎝
⎠
а L p ( j ),∞(i ) (Π) – с нормой
Необходимые условия оптимальности для терминальной задачи оптимизации системы Гурса–Дарбу
изводными. При сформулированных выше
условиях естественно рассматривать решения
задачи (1)–(2) из класса W ≡ W (Π ) функций
1 p
z
p ( j ),∞ ( i ), Π
⎛1
⎞
≡ vrai sup⎜⎜ ∫ | z (t1 , t 2 ) | p dt j ⎟⎟ .
t i ∈[ 0,1] ⎝ 0
⎠
Легко проверяется, что1:
(I) L∞ (i ), p ( j ) ограниченно
вложено
в
L p ( j ),∞ (i ) ;
(II) если
zy ∈ L p и zy
z ∈ L∞ (i ), p ( j ) ,
Lp
≤ z
∞ ( i ), p ( j )
y ∈ L p (i ),∞ ( j ) , то
y
2
p ( i ), ∞ ( j )
;
(III) Lr (i ),r ( j ) = Lr , r ∈ [1, ∞). Для сокращения записи положим
n
n
M 0 ≡ Ln∞ , M 1 ≡ L∞ ( 2), p (1) , M 2 ≡ L∞ (1), p ( 2) ,
M ≡ M 0 × M1 × M 2 ,
N 0 ≡ Lnp× n , N1 ≡ Lnp×(n2), ∞ (1) , M 2 ≡ Lnp×(1n), ∞ ( 2) ,
N ≡ N 0 × N1 × N 2
(элементы M – 3n -вектор-функции, элементы
N – (n × 3n) -матрицы-функции. Пусть функция g такова, что выполняются следующие
условия a), b) и c).
a) Формула F[ y, u ](t ) ≡ f (t , y (t ), u (t )) определяет ограниченный оператор
F[⋅,⋅] : M × D → Lnp .
b) Формула Φ[ y, u ](t ) ≡ f l′(t , y (t ), u (t )) определяет ограниченный оператор
Φ[⋅,⋅] : M × D → N .
c)
Для
любого
u∈D
Φ[⋅, u ] : M → N непрерывен.
оператор
Условия a), b) означают существование
функции n(⋅) : R+ → R+ такой, что для любого
m>0
F[ y, u ]
при y
M
Lnp
, Φ[ y, u ]
N
≤ n(m)
но непрерывных на Π функций с суммируемыми в степени p смешанной и первыми про1
Значок Π в обозначениях, как правило, опускаем;
в скалярном случае опускаем значок, обозначающий
размерность. Например, вместо AC pn (Π), Lnp (Π ),
Lp , ⋅
2
p (1),∞ ( 2 ),Π
p (1), ∞ ( 2 )
пишем соответственно AC pn , Lnp ,
.
Если z ∈ Lp ( i ),∞ ( j ) ,
x(⋅) ∈ AC pn , удовлетворяющих условиям (2).
Функцию x ∈W назовем отвечающим управлению u ∈ D глобальным решением задачи (1)
– (2), если пара x, u обращает (1) в тождество
почти всюду на Π . Как показано в [14], управлению u ∈ D не может отвечать более одного
такого решения. Множество тех u ∈ D, каждому из которых отвечает глобальное решение
x ∈W задачи (1) – (2), обозначим Ω.
Рассмотрим следующую задачу оптимизации: найти управление, дающее на Ω максимум функционалу
J [v] ≡ G ( xv (1,1)),
где G (⋅) : R n → R – непрерывно дифференцируемая функция, xu (⋅) – решение задачи (1)–
(2), отвечающее управлению u ∈ Ω. Выведем
для этой задачи необходимые условия оптимальности в виде принципа максимума. С этой
целью применим игольчатое варьирование
управления. Пусть {u h : ε > 0} – игольчатая варианта некоторого управления u0 ∈ Ω, зависящая от параметров (τ, v) ∈ Π × V и определяемая формулой
u h (t ) ≡ {v, t ∈ Π ε (τ); u0 (t ), t ∈ Π \ Π ε (τ)},
t ∈ Π, где h ≡ {τ, v, ε},
Π ε (τ) ≡ Π I {τi − ε ≤ ti ≤ τi , i = 1,2}.
Формулой
E[ x](t ) ≡ {x(t ), xt′1 (t ), xt′2 (t )}, x ∈ AC np ,
t ∈Π
определим на AC pn оператор E. Очевидно,
E[ AC pn ] ⊂ M . Справедливо следующее свой-
≤ m, u ∈ D.
Функцию n(⋅) без ограничения общности
будем считать неубывающей.
Обозначим через AC p множество абсолют-
L1p (Π), ⋅
117
ство замкнутости Ω относительно игольчатых
возмущений управления, вытекающее непосредственно из [14].
Теорема 1. Пусть u 0 – некоторый элемент
Ω, а x0 – отвечающее ему решение (1)–(2).
Существует такое C > 0 и для каждой пары
(τ, v) ∈ Π × V найдется такое ε 0 = ε 0 (τ, v ) > 0,
что любое управление u h , задаваемое набором
параметров h ≡ {τ, v, ε}, ε ∈ [0, ε 0 ], также при-
надлежит Ω и справедлива оценка
E[ xh − x0 ] M ≤ Cν(h),
y ∈ L p ( j ), ∞ (i ) , то, вообще
говоря, не обязательно zy ∈ L p .
где xh ∈ W – отвечающее u h глобальное решение (1)–(2),
118
И.В. Лисаченко
ν ( h) ≡ Δ v g
Lnp ( Π ε ( τ ))
где Ψ0 ∈ Ln∞ – решение сопряженного уравнения
,
Δ v g = Δ v g (t ) ≡ g (t , x0 (t ), x0′ t1 (t ), x0′ t 2 (t ), v) −
− g (t , x0 (t ), x0′ t1 (t ), x0′ t2 (t ), u0 (t )).
Первую вариацию δJ функционала J на
варианте {u h : ε > 0}, задаваемой набором параметров (τ, v) ∈ Π × V , как мы убедимся, естественно определить равенством
δJ = δJ (τ, v) = lim ε
−2
ε→0
(J [uh ] − J [u0 ]).
(3)
Чтобы сформулировать теорему о вариации
δJ , введем обозначения для интегральных операторов:
[{ (
Ψ (t ) − A* g l′ t , x0 , x0′ t1 , x0′ t 2 , u0
)}* Ψ ](t ) = Χ 0 ,
t ∈ Π, в котором Χ 0 = G′( x0 (1,1))*.
Из формулы (4) получаем следующие необходимые условия оптимальности в виде принципа максимума.
Теорема 3. Если u 0 – оптимальное управление, а x0 ∈W – соответствующее ему решение
(1) – (2), то для почти всех τ ∈ Π
(Ψ0 (τ), g (τ, x0 (τ), x0′ t (τ), x0′ t (τ), u0 (τ))) =
= max(Ψ0 (τ), g (τ, x0 (τ), x0′ t (τ), x0′ t (τ), v )),
v∈V
1
2
1
t1 t 2
0 0
t2
A1[ z ](t ) ≡ ∫ z (t1 , ξ)dξ,
0
t1
A2 [ z ](t ) ≡ ∫ z (ξ, t 2 )dξ,
w∈U
любых τ ∈ π, v ∈U справедливо (4). Из оптимальности управления u 0 следует, что
0
A[ z ](t ) ≡ { A0 [ z ](t ), A1[ z ](t ), A2 [ z ](t )},
t ∈ Π. Очевидно, A ∈ L( Lnp , M ), а сопряженный
L1n × L1n( 2),q (1) × L1n(1),q ( 2)
A*
на подпространстве
пространства M * опре-
деляется формулой
A*[ z ](t ) ≡ A0*[ z 0 ](t ) + A1*[ z1 ](t ) + A2*[ z 2 ](t ),
t ∈ Π, z ≡ {z 0 , z1 , z 2 } ∈ L1n × L1n( 2),q (1) × L1n(1),q ( 2) ,
где
(
v из формулы (4) получаем:
переменной
(Ψ0 (τ), Δ v g (τ) ) ≤ 0
при τ ∈ π, v ∈V . Последнее
эквивалентно условию максимума теоремы 3.
Терминальная задача общего вида
ренцируемые
1
≡ ∫ z (t1 , ξ)dξ,
функции,
J k [u ] ≡ Gk ( xu (1,1) )
(k = 0, r ) – набор функционалов, определенных
на множестве Ω. Рассмотрим для системы Гур-
t2
1
A2*[ z 2 ](t ) ≡ ∫ z 2 (ξ, t 2 )dξ.
t1
Для каждого v ∈V обозначим через Π v
множество точек τ ∈ Π, являющихся точками
Лебега функций (Ψ0 (⋅), Δ v g (⋅) ) и Δ v g (⋅) .
Теорема 2. Предел (3) для каждого v ∈ V
при всех τ ∈ Π v имеет вид
δJ (τ, v) = (Ψ0 (τ), Δ v g (τ) ),
)
Gk : R n → R (k = 0, r ) – непрерывно диффе-
t1 t 2
1
δJ (τ, v) ≤ 0 при τ ∈ π, v ∈ U . В силу непрерывности функции g t , x0 (t ), x0′ t1 (t ), x0′ t 2 (t ), v по
Пусть r ≥ 1 и s ∈{0,K, r} – целые числа,
1 1
A0*[ z 0 ](t ) ≡ ∫ ∫ z 0 (ξ1 , ξ 2 )dξ1dξ 2 ,
A1*[ z1 ](t )
2
где Ψ0 ∈ Ln∞ – решение сопряженного уравнения (5).
Чтобы вывести из теоремы 2 теорему 3,
выделим в множестве V некоторое счетное
всюду плотное подмножество U . Множество
π ≡ I Π w имеет полную меру в Π и для
A0 [ z ](t ) ≡ ∫ ∫ z (ξ1 , ξ 2 )dξ1dξ 2 ,
к нему оператор
(5)
(4)
са–Дарбу (1)–(2) терминальную задачу оптимизации общего вида: в множестве управлений
u ∈ D, удовлетворяющих условиям
u ∈ D, J k [u ] ≥ 0 (k = 0, s ),
J k [u ] = 0 (k = s + 1, r ),
найти управление, дающее максимум функционалу J 0 [u ]. Для этой задачи оптимизации справедливы следующие необходимые условия
оптимальности в виде принципа максимума.
Необходимые условия оптимальности для терминальной задачи оптимизации системы Гурса–Дарбу
Теорема 4. Если u 0 – оптимальное управление, а x0 ∈W – соответствующее ему решение
(1)–(2), то существует нетривиальный набор
чисел λ 0 , λ1 , K, λ r , среди которых числа
λ 0 , λ1 ,K , λ s неотрицательны, такой, что для
почти всех τ ∈ Π
(Ψ0 (τ), g (τ, x0 (τ), x0′ t (τ), x0′ t (τ), u0 (τ))) =
= max(Ψ0 (τ), g (τ, x0 (τ), x0′ t (τ), x0′ t (τ), v )),
v∈V
1
2
1
2
где Ψ0 ∈ Ln∞ – решение сопряженного уравнения
[{ (
Ψ (t ) − A* g l′ t , x0 , x0′ t1 , x0′ t 2 , u0
t ∈ Π, в котором
)}* Ψ ](t ) = Χ,
r
Χ = ∑ λ k X k , X k ≡ Gk′ (x0 (1,1))* (k = 0, r ).
k =0
При этом λ k J k [u 0 ] = 0 (k = 1, s).
Для доказательства теоремы 4 применялась
схема вывода необходимых условий оптимальности в оптимизационных задачах с ограничениями, предложенной В.И. Плотниковым [26,
27] (в [15] схема [26, 27] была применена при
получении принципа максимума для терминальной задачи оптимизации системы Гурса–
Дарбу, дифференциальное уравнение которой
имеет каратеодориевскую правую часть, с ограничениями типа неравенства; вывод принципа
максимума по схеме В.И. Плотникова для задачи оптимизации системы Гурса–Дарбу, дифференциальное уравнение которой имеет непрерывную правую часть, с интегро-терминальными функциональными ограничениями типа
неравенства подробно описан в [28, §2 раздела 3].
Как в [15], так и в [28] система Гурса–Дарбу
рассматривалась в классе функций с ограниченной смешанной производной). В данном случае
она опирается на многоточечное игольчатое
варьирование управлений, соответствующая
формула вариации терминального функционала
– простой аналог формулы из теоремы 2.
Работа выполнена при финансовой поддержке ФЦП
«Научные и научно-педагогические кадры инновационной
России» (2009–2013 годы) (проект НК-13П-13) и АЦВП
«Развитие потенциала высшей школы (2009–2011 годы)»
Минобрнауки РФ (проект 2.1.1/3927).
Список литературы
1. Егоров А.И. Оптимальные процессы в системах с распределенными параметрами и некоторые
задачи теории инвариантности // Изв. АН СССР. Сер.
Матем. 1965. Т. 29. № 6. С. 1205–1260.
119
2. Лурье К.А. Оптимальное управление в задачах
математической физики. М.: Наука, 1975. 478 c.
3. Егоров А.И. Основы теории управления. М.:
Физматлит, 2004. 504 c.
4. Срочко В.А. Вариационный принцип максимума и методы линеаризации в задачах оптимального управления. Иркутск: Изд-во Иркутского ун-та,
1989. 160 c.
5. Васильев О.В., Срочко В.А., Терлецкий В.А.
Методы оптимизации и их приложения. Часть 2. Оптимальное управление. Новосибирск: Наука, 1990.
151 c.
6. Tuan H.D. On solution sets of nonconvex Darboux
problems and applications to optimal control with endpoint constraints // J. Austral. Math. Soc. Ser. B. 1996.
V. 37. P. 354–391.
7. Сумин В.И. Об особых управлениях поточечного принципа максимума в распределенных задачах
оптимизации // Вестник Удмуртского университета.
Математика. Механика. Компьютерные науки. 2010.
Вып. 3. С. 70–80.
8. Толстоногов А.А. Теорема существования оптимального управления в задаче Гурса–Дарбу без
предположения выпуклости // Изв. РАН. Сер. Матем.
2000. Т. 64. № 4. С. 163–182.
9. Idczak D., Majewski M., Walczak S. Stability
analysis of solutions to an optimal control problem associated with a Goursat Darboux problem // Int. J. Appl.
Math. Comput. Sci. 2003. V. 13. № 1. P. 29–44.
10. Idczak D. The bang-bang principle for the Goursat Darboux problem // Int. J. Contr. 2003. V. 76. № 11.
P. 1089–1904.
11. Погодаев Н.И. О решениях системы Гурса–
Дарбу с граничными и распределенными управлениями // Дифференц. уравнения. 2007. Т. 43. № 8.
С. 1116–1126.
12. Лисаченко И.В., Сумин В.И. Об условиях
устойчивости существования глобальных решений
управляемой задачи Гурса–Дарбу // Вестник Нижегородского университета. Математическое моделирование и оптимальное управление. Н. Новгород:
Изд-во ННГУ, 2006. Вып. 2 (31). С. 64–81.
13. Лисаченко И.В., Сумин В.И. Условия сохранения глобальной разрешимости задачи Гурса–Дарбу
при возмущении управления / Деп. в ВИНИТИ
06.02.2008. № 85 – В2008.
14. Лисаченко И.В., Сумин В.И. Нелинейная
управляемая задача Гурса–Дарбу: условия сохранения глобальной разрешимости // Дифференц. уравнения. 2011. Т. 47. № 6. С. 858–870.
15. Плотников В.И., Сумин В.И. Оптимизация
объектов с распределенными параметрами, описываемых системами Гурса–Дарбу // Ж. вычисл. матем. и
матем. физ. 1972. Т. 12. № 1. С. 61–77.
16. Suryanarayana M.B. Necessary conditions for
optimization problems with hyperbolic partial differential equations // SIAM J. Control. 1973. V. 11. № 1.
P. 130–147.
17. Плотников В.И., Сумин В.И. Оптимизация
распределенных систем в лебеговом пространстве //
Сиб. матем. журнал. 1981. Т. 22. № 6. С. 142–161.
120
И.В. Лисаченко
18. Матвеев А.С., Якубович В. А. Оптимальное
управление некоторыми системами с распределенными параметрами // Сиб. матем. журнал. 1978.
Т. 19. № 5. С. 1109–1140.
19. Гаврилов В.С., Сумин М.И. Параметрическая
оптимизация нелинейных систем Гурса–Дарбу с фазовыми ограничениями // Ж. вычисл. матем. и матем.
физ. 2004. Т. 44. № 6. С. 1002–1022.
20. Лисаченко И.В., Сумин В.И. Принцип максимума для терминальной задачи оптимизации системы Гурса–Дарбу в классе функций с суммируемой
смешанной производной // Вестник Удмуртского
университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. Ижевск: Изд-во УдГУ, 2011. Вып. 2.
21. Сумин В.И. Функциональные вольтерровы
уравнения в теории оптимального управления распределенными системами. Н. Новгород: Изд-во
ННГУ, 1992. 110 с.
22. Сумин В.И. Управляемые функциональные
вольтерровы уравнения в лебеговых пространствах //
Вестник Нижегородского университета. Математическое моделирование и оптимальное управление.
Н. Новгород: Изд-во ННГУ. 1998. Вып. 2(19).
С. 138–151.
23. Сумин В.И. Об управляемых функциональных вольтерровых уравнениях в лебеговых пространствах. Н. Новгород: ННГУ, 1998. 96 с. Деп. в
ВИНИТИ 03.09.98. № 2742-В98.
24. Сумин В.И. Вольтерровы функциональные
уравнения и принцип максимума для распределенных оптимизационных задач // Вестник Нижегородского университета. Математика. Н. Новгород: Издво ННГУ, 2004. Вып. 1(2). С. 178–191.
25. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977.
26. Плотников В.И. Необходимые условия оптимальности для управляемых систем общего вида //
Докл. АН СССР. 1971. Т. 199. № 2. С. 275–278.
27. Плотников В.И. Необходимые и достаточные
условия оптимальности и условия единственности
оптимизирующих функций для управляемых систем
общего вида // Изв. АН СССР. Сер. Матем. 1972.
Т. 36. № 3. С. 652–679.
28. Новоженов М.М., Сумин В.И., Сумин М.И.
Методы оптимального управления системами математической физики. Учебное пособие / Горький:
Изд-во ГГУ, 1986. 87 c.
NECESSARY OPTIMALITY CONDITIONS FOR THE TERMINAL OPTIMIZATION PROBLEM
OF A GOURSAT–DARBOUX SYSTEM IN THE CLASS OF FUNCTIONS WITH SUMMABLE
MIXED DERIVATIVES
I.V. Lisachenko
The maximum principle for the terminal optimization problem of a Goursat–Darboux nonlinear controlled system
is proved. The right-hand side of the differential equation is a Carathéodory function. The system solutions are sought
in the class of functions with summable mixed derivative.
Keywords: Goursat–Darboux nonlinear controlled system, function with summable mixed derivative, terminal
optimization problem, maximum principle.
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа