close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Новый конвективно-диффузионный метод глобальной минимизации для многопараметрической идентификации математических моделей.

код для вставкиСкачать
математика
Федоров В.В.
МЕТОД КОНВЕКТИВНО-ДИФФУЗИОННОЙ ГЛОБАЛЬНОЙ МИНИМИЗАЦИИ...
УДК 519.6
МЕТОД КОНВЕКТИВНО-ДИФФУЗИОННОЙ ГЛОБАЛЬНОЙ
МИНИМИЗАЦИИ ДЛЯ МНОГОПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ
МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
© 2012
В.В. Федоров, старший преподаватель кафедры
«Машины и аппараты химических производств»
Тольяттинский государственный университет, Тольятти (Россия)
______________________________________________________________________________
Ключевые слова: глобальная минимизация; обратная задача; идентификация параметров.
Аннотация: Разработан детерминированный метод глобальной минимизации функции многих переменных, основанный на численном решении краевой задачи конвективной диффузии.
ВВЕДЕНИЕ
Численное решение обратных задач для определения неизвестных параметров математических моделей сводится к задачам минимизации некоторых
функционалов [1,2]. Несмотря на большое разнообразие существующих методов минимизации [3], поиск
глобального минимума функционалов многих переменных все еще остается сложной задачей. Основные
причины – это наличие локальных минимумов и многомерность пространства минимизации.
Для функций с локальными минимумами был разработан метод DEM[4], в котором целевая функция
f(x) сглаживается в функцию F(x) в результате решения уравнения диффузии с начальными условиями:
∂F ( x, t ) n ∂ 2 F ( x, t )
=∑
2
∂t
∂xi
i =1
F(x,0)=f(x).
Поиск глобального минимума ведется на сглаженной функции F(x,t) без локальных минимумов. Но
применение данного метода для решения обратных
задач усложняется из-за вычисления вторых производных функционалов.
В методах, основанных на решениях обыкновенных дифференциальных уравнений, заложена концепция – сведение к минимизации в одномерном пространстве. Так, например, в методе [5] минимизация
осуществляется по квази-оптимальным траекториям,
получаемым из уравнения:
2
d x
= -∇F ( x(t ))
dt 2
с разными начальными условиями.
Недостаток таких методов заключается в том, что
минимизация должна проводиться по нескольким
траекториям.
В данной статье описан метод конвективно-диффузионной глобальной минимизации и продемонстрирован на примерах.
ОПИСАНИЕ МЕТОДА
В предлагаемом методе одновременно заложены
две концепции – диффузионное сглаживание и сведение минимизации в многомерном пространстве к минимизации только на одном отрезке.
46
Метод основан на решении уравнения конвективной диффузии
(1)
∂ci
∂ 2 ci
∂c
(1)
= Di
- vi i ,
i = 1,2 ,...n 2
∂t
∂xi
∂xi
с начальными условиями:
ci=ci0+Dci при –1<x ≤ 0 и t=0;
ci=ci0 –Dci при 0<x<0 и t=0
(2)
и граничными условиями:
ci=ci0+Dci при x=–1; ci=ci0 –Dci при x=1.
(3)
В уравнении (1) переменные ci –искомые параметры; Dci –величины для определения области поиска
минимума; Di – коэффициенты диффузии, имеющие
значения 0,07÷0,1; vi–скорости конвективного движения, пропорциональные координатам градиента целевой функции:
∂F ∂ci
vi = - n
2
∑ (∂F ∂ci ) ,
i =1
F – целевая функция.
Вычисления производятся методом конечных разностей до наступления стационарного режима. Искомые параметры, соответствующие глобальному
минимуму, находятся в точке отрезка с минимальным
значением F.
Для реализации предлагаемого метода была разработана программа, и приведены примеры, демонстрирующие результаты его применения.
ПРИМЕРЫ
Пример 1. Сферическая функция
f(c1,c2,c3,c4,c5) =( c1–1)2+( c2+2)2+( c3–3)2+( c4+4)2+c52 –5
с минимумом в точке (1; -2; 3; -4; 0). Данный пример
выбран для наглядного представления результатов
расчета.
После численного решения краевой задачи
(1 – 3) с начальным распределением ci по длине отрезка в виде, указанном на рисунке 1,минимизация
сводится к поиску минимума на одном отрезке. На рисунке 2 видно, что функция f(x) имеет минимальное
значение в точке 5.
Полученные значения переменных в этой точке:
(1,0013; -1,9935; 2,9995; -3,9971; 0,0030)
при необходимости без особого труда можно
уточнить после повторного расчета в более узком
интервале.
Вектор науки ТГУ. № 3 (21), 2012
математика
Федоров В.В.
МЕТОД КОНВЕКТИВНО-ДИФФУЗИОННОЙ ГЛОБАЛЬНОЙ МИНИМИЗАЦИИ...
Минимизация проводилась для -5≤ci≤5, i=1,…,24+1
конвективно-диффузионным методом при 20 отрезках
по x. Достигнутый минимум равен f = 0,0664. Значения всех переменных получены близкими к 1:
Рис. 1. Начальное распределение переменных
для примера 1.
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
ci
1.00093
0.99981
0.99852
0.99754
0.99690
0.99649
0.99624
0.99609
0.99600
0.99595
0.99591
0.99590
0.99588
i
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
ci
0.99587
0.99586
0.99587
0.99586
0.99589
0.99595
0.99610
0.99647
0.99732
0.99925
1.00346
1.01162
Пример 4. Решение обратной задачи идентификации коэффициентов диффузии при известном распределении концентраций при насыщении никеля
хромом[6].
Математическая модель:
Рис. 2. Результаты решения краевой задачи для примера 1.
Пример 2. Функция с локальными минимумами
f(c1,c2) =r +10[(c1+1-rcosr)2+( c2 -2-rsinr)2],
r = (c1 + 1)2 + (c2 − 2)2 с глобальным минимумом
в точке (-1; 2).
(4)
Начальные условия:
при t=0: cCr=0,15 для x=0; cCr=0 для x>0; cNi=0,07
для x ≥0.
(5)
Граничные условия:
Наименьшее значение f(x) найдено в точке 18, в которой с1= -1,0214; с2=1,9924 (см. рис.4).
∂c
∂c
при x=0 cCr=0,15, DNiCr Cr + DNiNi Ni =
0;
∂x
∂x
(6)
при x= ∞ cCr=0, cNi=0,07.
Авторами в [6] были получены точные решения
расчета распределения концентраций при известных
коэффициентах диффузии:
DCrCr=4,7.10-2мкм2/c, DCrNi=0,1.10-2мкм2/c,
DNiCr=-1,5.10-2мкм2/c, DNiNi=2,3.10-2мкм2/c.
На рисунке 4 представлены рассчитанные по этим
формулам значения концентраций.
Рис. 4. Результаты решения краевой задачи для примера 2.
Рис. 5. Перераспределение концентраций никеля в железе
при насыщении хромом.
Рис. 3. Функция f(c1,c2) =r +10[(x+1-rcosr)2+(y-2-rsinr)2].
Пример 3. Овражная N-мерная функция Розенброка
N
(
(
f (c1 ,..., c N +1 ) = ∑ 100 ⋅ ci +1 - ci
i =1
) + (1 - c ) )
2 2
с глобальным минимумом в точке c ci=1.
Производные вычислялись по формулам:
i
2
400ci 3 + 2ci (1 - 200ci +1 ) - 2, i = 1
∂f (c1 ,..., cN +1 ) 
2
3
= - 200ci -1 + 400ci + 2ci (101 - 200ci +1 ) - 2, 1 < i ≤ N
∂ci

2
200ci - 200ci -1 , i = N + 1
Вектор науки ТГУ. № 3 (21), 2012
В нашем же случае стоит обратная задача – определение коэффициентов диффузии по заданному распределению концентраций. В качестве целевой функции принят функционал вида:
F ( DCrCr , DCrNi , DNiCr , DNiNi ) =
∫ ( c
∞
=
0
p
Cr
2
2
)
T
p
T
( x) - cCr
( x)  + cNi
( x) - cNi
( x)  dx ,
47
математика
Федоров В.В.
МЕТОД КОНВЕКТИВНО-ДИФФУЗИОННОЙ ГЛОБАЛЬНОЙ МИНИМИЗАЦИИ...
где cтCr, cтNi – точные значения, cpCr, cpNi – рассчитанные значения в процессе минимизации функционала.
Частные производные функционала:
∞
 p
∂F
∂c p ( x)
∂c p ( x)  ,
T
p
T
( x) - cCr
( x)  Cr
( x) - cNi
( x)  Ni
= 2 ∫  cCr
+ cNi
 dx
∂ai
∂ai
∂ai 
0
где ai – i-й компонент искомого вектора
T
a = ( DCrCr , DCrNi , DNiCr , DNiNi ) .
∂c p
∂c p
Производные Z Cr ,i = Cr , Z Ni ,i = Ni вычислялись
∂ai
∂ai
с помощью уравнений чувствительности:
(7)
Рис. 6. Результаты решения обратной задачи.
с начальными условиями:
при t=0 ZCr,i=0, ZNi,i=0
и граничными условиями:
(8)
,
(9)
δk,i – символы Кронекера.
Уравнения (7-9) получаются при дифференцировании уравнений (5-6) по ai.
По результатам расчета, приведенным на рисунке
6, наименьшее значение функционала F(x) находится
в точке 8, в которой:
DCrCr=4,854.10-2мкм2/c, DCrNi=0,149.10-2мкм2/c,
DNiCr=-1,529.10-2мкм2/c, DNiNi=2,304.10-2мкм2/c.
ВЫВОДЫ
Приведенные примеры наглядно подтверждают
применимость предлагаемого метода для поиска глобального минимума дифференцируемых функций
многих переменных и для решения обратных многопараметрических задач.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В работе предложен новый детерминированный
метод для многопараметрической идентификации математических моделей, основанный на численном решении нестационарной краевой задачи конвективной
диффузии.
Метод обладает следующими достоинствами:
1. способность обходить локальные минимумы в
силу диффузионных свойств уравнения;
2. способность приводить многомерную минимизацию к минимизации на одном отрезке.
Для решения обратных задач многопараметрических диффузионных моделей с применением предлагаемого метода разработана специальная проблемно-ориентированная программа, которая может быть
применена для исследования реальных систем.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Самарский А.А., Вабищевич П.Н., Численные методы решения обратных задач математической физики. М.: Издательство ЛКИ, 2009.
2. Тихонов А.Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979.
3. Weise, T. Global Optimization Algorithms – Theory
and Application, 2009. URL:
4. http://www.it-weise.de/book.pdf.
5. Lucjan Piela, Jaroslaw Kostrowicki, and Harold A.
Scheraga. The multiple-minima problem in the conformational analysis of molecules. Deformation of the
potential energy hypersurface by the diffusion equation method. Journal of Physical Chemistry, 93:3339–
3346, 1989.
6. SNYMAN, J. A., A New and Dynamic Method for
Unconstrained Optimization, Applied Mathematical
Modelling, Vol. 6, pp. 449-462, 1982.
7. Криштал М.А., Волков А.И., Многокомпонентная
диффузия в металлах., М.: Металлургия, 1985.
A NEW CONVECTION-DIFFUZION GLOBAL METHOD OF MINIMIZATION
FOR MULTIVARIABLE IDENTIFICATION OF THE MATHEMATICAL
MODELS
© 2012
V.V. Fedorov, senior lecturer of the chair «Machines and devices of the chemical production»
Togliatti State University, Togliatti (Russia)
______________________________________________________________________________
Keywords: global minimization; inverse problem; parameters identification.
Annotation: A new determinate global method of minimization of the function with many variables, based
on the numerical solution of convection-diffusion boundary problem was developed.
48
Вектор науки ТГУ. № 3 (21), 2012
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа