close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О бифуркациях динамических систем коразмерности два с негрубой гомоклинической структурой седло узел.

код для вставкиСкачать
Математическое моделирование и оптимальное управление
Вестник Нижегородского
университета
им. Н.И. Лобачевского,
№ 2, с. 175–180
О бифуркациях
динамических систем
коразмерности
два с негрубой2007,
гомоклинической
структурой
175
УДК 517.92
О БИФУРКАЦИЯХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ КОРАЗМЕРНОСТИ ДВА
С НЕГРУБОЙ ГОМОКЛИНИЧЕСКОЙ СТРУКТУРОЙ СЕДЛО – УЗЕЛ
 2007 г.
О.В. Гордеева, В.И. Лукьянов
Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского
olga.gordeeva@inbox.ru
Поступила в редакцию 19.02.2007
Исследуются динамические системы коразмерности 2 с негрубой гомоклинической структурой:
двукратное периодическое движение типа седло-узел, полуустойчивое многообразие которого касается
устойчивого по гомоклинической кривой. Строится бифуркационная диаграмма двухпараметрического
семейства, обсуждается вопрос об Ω -достижимости и Ω -недостижимости бифуркационного множества в пространстве динамических систем.
На трёхмерном гладком Римановом многообразии M 3 рассматривается семейство динамических систем X µ класса C , где k ≥ 3 ,
k
µ
– конечномерный вектор параметров. Предполагается, что при µ = 0 семейство X µ имеет
вырождение коразмерности 2 , а именно, негрубое двукратное периодическое движение
типа седло-узел, неустойчивое полумногообразие
m0−
которого касается устойчивого много-
образия m0+ по некоторой гомоклинической
кривой Г 0 , касание первого порядка.
таем R (0,0) = 1 , O (0,0 ) – неподвижная точка,
соответствующая L0 .
(
)
тойчивым и устойчивым многообразием соответственно, считаем, что x + > 0, y − > 0 .
Рассмотрим окрестности Π 0 и Π1 гомокли+
{ ( x, y ) : x − x ≤ ε , y ≤ ε } и Π
{ (x, y ) : x ≤ ε , y − y ≤ ε }, причем ε
+
0
ской кривой Г 0 и периодического движения L0 .
Π 1 ∩ T −1 Π 1 = 0 .
жений. Пусть S – секущая к периодическому
движению L0 . Тогда отображение Пуанкаре
T : S → S по траекториям, близким к L0 , в некоторых локальных координатах может быть
записано в виде [5]:
−
нических точек Μ и Μ , размеры которых
Π0
:
задаются следующим образом:
ε1
мощью локального T и глобального T1 отобра-
)
сечения гомоклинической кривой Г 0 с неус-
В работах [1, 2, 4] описано множество Ω u (µ )
траекторий системы, целиком лежащих в расширенной окрестности U (L0 ∪ Г 0 ) гомоклиничеИзучение множества Ω u (µ ) проводилось с по-
(
Пусть Μ − 0, y − и Μ + x + ,0 – точки пере-
0
:
1
−
1
таковы,
1
что
Π0 ∩T Π0 = 0
0
и
и
Определено
локальное
отображение
T0 : Π 0 → Π 1 по траекториям T в окрестности начала координат, причем областью определения T0 является область B0 , представляющая собой объединение непересекающихся
k
между собой «полосок» B0k : U B0k = B 0 , где
k = k1
C
_
k1 – фиксированное число, а k порядка
в
(
)
(
)
µ
µ
x
a
x
f
x
y
x
=
+
,
,
;

µ
(1)
_
случае, когда µ > 0 , и равно ∞ , когда µ ≤ 0 .
 y = µ + y + R ( y , µ )y 2 ,

k
где a (0) = a – мультипликатор периодического При этом на каждой полоске B0 отображение
= T k . Также Π 1
движения L0 a < 1 , µ – скалярный параметр,
T0 совпадает с T k , т.е. T0
выражающийся через µ , f , R – гладкие функ-
такова,
что
определено
отображение
T1 : Π1 → Π 0 по траекториям, близким к гло-
ции, f (0,0,0) = 0 , не изменяя общности, счи-
B0k
176
О.В. Гордеева, В.И. Лукьянов
бальному куску Г 0 , которое в локальных координатах имеет вид:
множество динамических систем, соответст-
 х − х + = F x, y − y − , µ ;

−
(2)
 y = G x, y − y , µ = E (µ ) +

2
+ C ( x, µ )x + D (x, y , µ ) y − y − − ϕ ( x, µ ) ,
где E (µ ) = G (0,ϕ (0, µ ), µ ) , E (0 ) = 0 , C (0,0) = c
При µ ≤ 0 , в соответствии с [1, 2], введем в
рассмотрение подсистему топологической схемы
Бернулли
из
трех
символов
B3 (a, c, d , E , µ ) , выделенную следующим образом:
1. B3 содержит L = {...000...} ;
(
(
(
)
)
(
)
)
и D 0, y − = d .
Из (1), (2) следует, что семейство общего
положения двухпараметрическое (µ , E ( µ ) ) .
Параметр µ отвечает за бифуркации периодического движения, E – за бифуркации, связанные с гомоклинической кривой. Очевидно, что
при этом область параметров (µ , E ) разбивается на три области, в каждой из которых система
X µ имеет заведомо отличную структуру (см.
рисунок). При µ = 0 расширенная окрестность
U (L0 ∪ Г 0 ) содержит основное периодическое
движение L0 типа седло-узел, с уравнением
устойчивого многообразия y = 0 ; при µ > 0
основное периодическое движение исчезает; L0
распадается на два периодических движения
Z1µ и Z 2 µ при µ < 0 , причем Z1µ – типа седло с уравнением устойчивого многообразия
вующих области 2, H 3 – области 3.
2. B3 не содержит траекторий, у которых
есть отрезки длины больше единицы, составленных из отличных от нуля символов;
3. Длина отрезка из нулей, следующего за
символом, отличным от нуля, не меньше k ;
4. Для траектории из B3 выполняется следующее условие:
δ − c ⋅ν 2a ji + − µ − E ( µ )
d
>0,
где
ν1 ji−+11,
при µ = 0

(3)
− µ + δ =  − µ + ν1γ − ji +1 , при µ < 0,

γ = 1+ 2 − µ ,

а ν 1 ,ν 2 – некоторые положительные константы;
5. При E
(µ ) =
− µ две асимптотические
траектории склеены в одну Г µ , E .
y = − µ и Z 2 µ – типа узел. Если E = − µ ,
то существует только одна однообходная го-
−µ −E
< 0 , то
D
однообходных гомоклинических кривых нет;
моклиническая кривая, если
−µ −E
> 0 , существуют две однообD
ходные гомоклинические кривые. При этом в
пространстве динамических систем при µ = 0
если
− µ образуются пленки коразмерности один, а их пересечение при µ = E = 0 со-
или E =
ответствует в пространстве систем пленке коразмерности два. Обозначим ее H 00 , а пленки,
соответствующие µ = 0 , E > 0 – H 0+ и µ = 0 ,
E<0
−
– H0 ,
пленку,
соответствующую
Теорема 1. Для любой достаточно малой
фиксированной окрестности U (L0 ∪ Г 0 ) периодического движения L0 существуют константы ν 1 и ν 2 и малое µ * такие, что для
всех − µ * ≤ µ ≤ 0 в Ω u можно указать подсистему Ω , траектории которой эквивалентны надстройке над B3 (a, c, d , E , µ ) .
При этом следует отметить, что случай
d < 0 и E ( µ ) ≤ − µ соответствует тривиальному описанию Ω( µ ) : в U (L0 ∪ Г 0 ) содержится периодическое движение L0 ( µ = 0 ) или
периодические движения, на которые оно распадается (µ < 0 ) , а также одна однообходная
гомоклиническая траектория ( E ( µ ) = = − µ ).
E = − µ – H µE . H 1 – множество динамиче- В остальных случаях множество Ω( µ ) имеет
ских систем, соответствующих области 1, H 2 – сложную структуру: континуум траекторий, ус-
177
О бифуркациях динамических систем коразмерности два с негрубой гомоклинической структурой
тойчивых по Пуассону, и счетное множество периодических движений седлового типа.
*
Для µ > 0 в интервале 0 < µ < µ содержится счетное множество непересекающихся
интервалов, для каждого из которых вводится в
рассмотрение подсистема B2 (k − k * ) (a, c, d , E , µ )
(
)
схемы Бернулли из 2 k − k * символов, обладающая свойствами:
1. B2 (k − k * ) не содержит траектории без сим-
тижимым в достаточно малой расширенной
окрестности U ( Г 0 ∪ L0 ) со стороны H 2 ,
при этом Ω = Ω* = Z1µ U Z 2 µ , если E (µ ) <
< − µ , µ < 0 ; и Ω = Ω* = Z1µ U Z 2 µ U Г µ , если
E (µ ) = − µ ; Ω = Ω* = L0 U Г 0 , если µ = E = 0 .
c<0,
Теорема 4. При
d >0
a >0и
E (µ ) < − µ множество H 00 U H Eµ U H 0− яв-
волов, отличных от нуля;
2. B2 (k − k * ) не содержит траекторий, у кото-
ляется Ω -достижимым из области Η 2 , при-
рых есть отрезки длины, больше единицы, составленных из отличных от нуля символов;
3. Длина отрезка из нулей, следующего за
символом, отличным от нуля, не меньше неко-
H 0− . Траектории системы Ω u (µ ) топологиче-
*
торого k и не больше, чем k ;
4. Для траектории из B2 (k − k * ) выполняется
следующее условие:
ν3

µ
δ
µ ⋅ tg arctg
− k ⋅ arctg
1+ γ
µ

d
c ⋅ν 4a i i
− E(µ)
a
> 0,
(4)
d
где ν 3 ,ν 4 , δ , γ – некоторые положительные
константы.
Теорема 2. Для любой достаточно малой
фиксированной окрестности U (L0 ∪ Г 0 ) периодического движения L0 существуют константы ν 3 и ν 4 и малое µ * такие, что отре-
(
)
зок 0, µ разбивается на счетное множество непересекающихся интервалов таких, что
для каждого µ ∈ (µ k +1 , µ k ) можно указать
*
подсистему Ω ⊂ Ω u , траектории которой
*
эквивалентны
B2 (k − k * )(a, c, d , E , µ ) .
надстройке
ски эквивалентны надстройке над схемой Бернулли из трех символов 0, 1, 2.
Данное утверждение следует из условия (2):
δ − c ⋅ν 2 a j + − µ − E ( µ )
i
d
>0,
где



−
f y' ( 0, 0, µ )
−
чем H 00 Ω -достижима по пленкам H µE и
над
Аналогично работам [3, 4] несложно доказать следующие теоремы.
Теорема 3. Бифуркационное множество
H 00 U H Eµ U H 0− , соответствующее случаю
d < 0, E (µ ) < − µ , µ ≤ 0 является Ω -дос-
ν1 ji−+11,
при µ = 0

− µ + δ =  − µ + ν1γ − ji+1 , при µ < 0,

γ = 1+ 2 − µ .

Последнее оценим следующим образом,
учитывая то, что d > 0 :
a
j
+ − µ − E (µ ) δ + сν 2 λ i
>
> 0.
d
d
Это верно для любых пар ji , ji +1 , причем
δ − c ⋅ν 2 a
ji
при условии E (µ ) = − µ однообходные гомоклинические кривые Г 1µ и Г 2 µ склеятся в
одну, и им в схеме Бернулли будут соответствовать символические траектории (..., 0, ..., 0, 1,
0, ..., 0, ...) и (..., 0, ..., 0, 2, 0, ..., 0, ...) , которые
также объединятся в одну.
Используя несложные выкладки, можно показать, что множество H 00 U H Eµ U H 0+ является
Ω -недостижимым со стороны H 1 , а множество H 00 U H Eµ U H 0− Ω -недостижимо со стороны
H 2 , исключая случай теоремы 3 (результат
существования негрубых периодических траекторий).
Рассмотрим вопрос об Ω -достижимости
H 00 по пленкам H 0+ и H 0− . Для этого рассмотрим отображение Tij ( e) = T1T0jT1T0i : Bi0 → B 0j →
178
О.В. Гордеева, В.И. Лукьянов
→ Bi0 . Уравнение неподвижных точек этого
отображения можно записать так:
 x
−
j +
j
1 + iγx − ca x − ca b x − y − e =

= d y − y − 2
(5)

 y − ca i x + − ca i b x − y − − e =
1 + jγy

− 2
,
= d y − y
(
(
)
y − − ε1
− ca j ( x + + bε1 ) > 0 .
−
1 + iγ ( y − ε1 )
)
(
(
Рассмотрим такие i > j , которые удовлетворяют условию
)
)
где y − y − ≤ ε 1 , x − y − ≤ ε 1 . Выберем те пары
(6)
Возьмём значение a = a0 − δ . Ясно, что при
этих i, j , a , e система (5) имеет, по крайней
мере, два разных корня. Пусть a = a0 , выберем
теперь те пары, которые удовлетворяют условию
y − + ε1
− ca j ( x + − bε1 ) < 0 .
−
1 + iγ ( y + ε1 )
i и j , которые удовлетворяют условию
(7)
y − + ε1
− ca j ( x + − bε 1 ) < 0 .
1 + iγ ( y − + ε 1 )
Тогда система при таких выбранных i, j не
При c > 0 или c < 0, a < 0 таких пар счет- имеет решений. Теперь выберем значения i и
ное множество. Тогда, если e = 0 , система (4) j , которые одновременно удовлетворяют услоj
+
не имеет решений, если e = e1 = −ca ( x + ε 1 ) , виям (6) и (7), т.е.
система имеет по крайней мере два отличных
решения. Так как система зависит от e непрерывно, следовательно, существует такое
e1 < eij < 0 , что система при e = eij имеет двой-
a− j
(a + δ ) − j
1
−
<
i
<
−
c ( x + + bε 1 )
c ( x + − bε 1 ) γ ( y − + ε 1 )
−
ной корень, тогда отображение Tij (e) с таким
eij будет иметь негрубую неподвижную точку.
Из вышесказанного вытекает следующее:
Теорема 5.
При ( d > 0 , c > 0 ) или
( d > 0 , с < 0, a < 0 ) бифуркационная поверх+
−
ность H 00 недостижима со стороны H 0 и H 0 .
Бифуркационное множество систем H 00 в
некоторых случаях устроено достаточно сложно. Справедлива следующая
Теорема 6. В множестве систем, принадлежащих H 00 , в случаях, когда ( d > 0 , c > 0 ) или
( d > 0 , с < 0, a < 0 ), всюду плотны системы,
имеющие негрубые периодические движения.
Рассмотрим случай a > 0 , другие случаи
рассматриваются аналогично. Пусть в (5) параметр e = 0 . Докажем сначала следующее утверждение:
Лемма. Каковы бы ни были a0 и δ > 0 , существуют такие достаточно
большие
1
.
γ ( y − ε1 )
−
Заметим, что при δ → 0 индексы i, j стремятся к бесконечности. При любом фиксированном δ таких пар счётное множество. Выбе*
*
рем из них какую-нибудь пару i , j , тогда система при a = a0 − δ имеет два решения, а при
a = a0 ни одного, так как система зависит от a
непрерывно, а все решения лежат в окрестности
−
*
*
*
точки y , то существует такое a (i , j ) , что
система имеет кратный корень. Утверждение
доказано.
Покажем, что бифуркационное можество
H 00 U H 0− U H 0+ недостижимо со стороны H 3 .
Действительно, согласно теореме 2, отрезок
0, µ * разбивается на счетное множество непересекающихся интервалов. Для каждого
µ ∈ (µ k +1 , µ k ) ⊂ 0, µ * можно указать под-
(
)
(
)
систему Ω ⊂ Ω u , траектории которой эквива*
лентны надстройке над B2 (k − k * ) (a, c, d , E , µ ) , а
так как схемы Бернулли с различным числом
i, j (i → ∞, j → ∞ при δ → 0) и a * (i * , j * ) , символов топологически неэквивалентны, слеa0 − δ < a * < a0 ,что при a = a * , i = i * , j = j * довательно, при µ → 0 система претерпевает
система имеет двойной корень.
счетное множество бифуркаций. Более того,
О бифуркациях динамических систем коразмерности два с негрубой гомоклинической структурой
179
множество систем, принадлежащих H 3 , устроено весьма сложно. Рассмотрим случай фиксированного µ > 0 , таким образом, система
(X
E
)
, M 3 такова, что отображение T0 : S → S
по траекториям вблизи периодического движения можно представить в следующем перекрестном виде:


µ
y
 y0 = µ ⋅ tg arctg 1 − k ⋅ arctg
1+ γ
µ



 x1 = a k x0 ,


,

где γ ≈ 0 (для простоты) и
{
={x−x
}
≤ ε }.
Π1 = x1 ≤ ε1 , y1 − y − ≤ ε1 ,
Π0
+
≤ ε 0 , y0
Рис.
Если d > 0 и E > E1 или d < 0 и E < E1 , то
0
При этом используем упрощенный вид отображения
(
(
)
2
+ e.
Решая эти системы, получим уравнение неподвижных точек



µ ⋅ tg  arctg
k +
(
y1
µ
− k ⋅ arctg
= ca x + d y1 − y
)
− 2
µ
1+ γ
k

=


(
+ e + ca b y1 − y
−
).
(8)
Правая часть представляет собой параболу,
вершина
которой
находится
в
точке
y1 = y − −
ca k b
, а левая часть выражения пред2d
ставляет собой монотонно возрастающую
функцию. Найдем точку касания этих функций.
Она будет удовлетворять уравнению:
µ
1 + tg 2 karctg
1+ γ

µ
1 + y1 tgkarctg

1+γ
µ





2
(
или d > 0 и E < E1 , то неподвижных точек две,
т.е. при дальнейшем изменении параметра E
седло-узел претерпевает следующие бифуркации:
)
_
+
−
 x 0 = x + b y1 − y ,
T1 : Π 1 → Π 0 :  _
 y = ca k x + d y − y −
0
1
 0
неподвижных точек нет. Если d < 0 и E > E1
)
= ca k b + 2d y1 − y − ,
решение которого лежит в области y1 − y − ≤ ε 1 .
Подставляя это решение в (8), получим бифуркационное значение параметра E1 . Исследования
показывают, что E1 соответствует негрубой неподвижной точке типа седло-узел (рис.).
– если cba k > 0 , седло-узел распадается на
две – неподвижную точку седло-минус и устойчивую неподвижную точку типа узел неориентируемого характера, далее седло не претерпевает качественных изменений, а узловая неподвижная точка в дальнейшем претерпевает бифуркацию удвоения периода,
– если cba k < 0 , то седло-узел распадается на
седло-плюс и устойчивую неподвижную точку
типа узел, при дальнейшем изменении параметра
E седло, как и в первом случае, не претерпевает
бифуркаций, а узловая точка вырождается сначала в дикретический узел, потом в седло-фокус,
затем в неориентируемый узел и, наконец, претерпевает бифуркацию удвоения периода.
Список литературы
1. Гордеева О.В., Лукьянов В.И. Описание траекторий динамических систем в окрестности гомоклинической структуры с двойным вырождением //
Нелинейные колебания механических систем: Труды
VII Всероссийской научной конференции. – Нижний
Новгород, 2005. – С. 68–70.
2. Гордеева О.В., Лукьянов В.И. О системах,
близких к системам с негрубой гомоклинической
кривой коразмерности два // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. Сер. Математическое моделирование и оптимальное управление. Вып. 2(29). – Нижний Новгород: Изд-во ННГУ,
2005. – С. 59–66.
180
О.В. Гордеева, В.И. Лукьянов
3. Гаврилов Н.К., Шильников Л.П. О трехмерных динамических системах, близких к системе с
негрубой гомоклинической кривой // I Матем. сб.
1972. Т. 88(130). № 4. C. 475–492; II Матем. сб. 1973.
Т. 90(132). № 1. С. 139–156.
4. Гордеева О.В., Лукьянов В.И. Некоторые бифуркации предельных множеств в окрестности негрубой гомоклинической структуры с вырожденным
периодическим движением // Нелинейный мир. 2007.
Т. 5. № 1–2. С. 65–100.
5. Лукьянов В.И. О существовании гладких инвариантных слоений в окрестности некоторых негрубых неподвижных точек диффеоморфизма // Межвуз. сб. / Дифференциальные и интегральные уравнения. – Горький, 1979. Вып. 3. –
С. 60–66.
BIFURCATIONS OF CODIMENSION-TWO DYNAMICAL SYSTEMS WITH
NONCOARSE HOMOCLINIC STRUCTURE OF «SADDLE – NODE»
O.V. Gordeeva, V.I. Luk'yanov
In this paper, we study codimension-two dynamical systems with noncoarse homoclinic structure, namely, the
double periodic orbit of «saddle – node» type whose half-stability manifold is tangent to the stability manifold along
a homoclinic curve. The bifurcation diagram of the two-parameter set is constructed. The problem of Ω accessibility and Ω -inaccessibility of the bifurcation set in the space of dynamical systems is considered.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
7
Размер файла
1 092 Кб
Теги
коразмерности, структура, бифуркация, седлов, система, гомоклинической, узел, динамическое, негрубой, два
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа