close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О вариационной задаче Дирихле для эллиптических операторов вырождающихся на неограниченном многообразии.

код для вставкиСкачать
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН
2012, том 55, №7
МАТЕМАТИКА
УДК 517.918
И.А.Якушев
О ВАРИАЦИОННОЙ ЗАДАЧЕ ДИРИХЛЕ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ
ОПЕРАТОРОВ, ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ НА НЕОГРАНИЧЕННОМ
МНОГООБРАЗИИ
Политехнический институт (филиал) Северо-Восточного федерального университета
им. М.К.Аммосова в г.Мирном, Россия, Республика Саха (Якутия)
(Представлено членом-корреспондентом АН Республики Таджикистан З.Х.Рахмоновым 05.07.2012 г.)
В работе исследуется однозначная разрешимость вариационной задачи Дирихле с неоднородным граничным условием для эллиптических операторов высокого порядка, вырождающихся на
неограниченном многообразии, удовлетворяющем условию конуса. Исследование основано на применении аналога неравенства Гординга для эллиптических операторов с вырождением.
Ключевые слова: вариационная задача Дирихле – эллиптический оператор – степенное вырождение
– неограниченное многообразие.
1. Разрешимость вариационной задачи Дирихле с неоднородными граничными условиями для
вырождающихся эллиптических операторов более подробно исследована в случае, когда оператор
задан в ограниченной области
-мерного евклидова пространства
и имеет степенное вырождение на всей границе
с
-мерной границей
(см., например, [1-3] и имеющуюся там биб-
лиографию). В отличие от этого существуют лишь отдельные работы (см., например, [4-6]), посвящѐнные случаю эллиптических операторов, вырождающихся на многообразиях размерности меньше
Настоящая работа посвящена исследованию разрешимости вариационной задачи Дирихле с
неоднородными граничными условиями для эллиптических операторов, заданных в дополнение неограниченного многообразия размерности
и имеющие степенное вырождение на этом
многообразии. Исследование основано на аналоге неравенства Гординга для вырождающихся эллиптических операторов высокого порядка.
2. Пусть
конечные положительные числа и
натуральное число меньше . Опреде-
лим следующие множества в -мерном евклидовом пространстве
:
Адрес для корреспонденции: Якушев Илья Анатольевич. 678170, Россия, Республика Саха (Якутия), г. Мирный,
ул. Тихонова, 5/1, Политехнический институт (ф.) СВФУ. E-mail: yakushevilya@mail.ru
526
Математика
И.А.Якушев
Символом
конуса
, где
и
, обозначим конус, который получается путѐм поворота
вокруг начала координат так, что при этом точка
Объединение всех конусов
, когда
пробегает
Определение 1. Неограниченное
переходит в точку .
, обозначим через
.
размерности
-многообразие
называется мно-
гообразием, удовлетворяющим условию конуса, если существует линейное преобразование
, осуществляющее поворот вокруг начала координат, такое, что
Далее в этой статье предполагается, что
– неограниченное
, удовлетворяющее условию конуса,
Пусть функция
и
Пусть
для всех t
.
при
;
определим функцию
- целое неотрицательное число. Символом
, определѐнных в
а символом
для всех
. Для двух вещественных чисел
и пусть
класс функций
и
такая, что
для всех t
-многообразие размерности
обозначим
, удовлетворяющих условию
обозначим пространство функций
, определѐнных в
, с конечной нор-
мой
Если
– положительная функция, заданная в области
, то символом
обозначим
весовое лебегово пространство с нормой
Замыкание множества
в пространстве
0
обозначим через W
r
p ; ,  ,
 
и
пространство всех антилинейных непрерывных функционалов, определенных в W rp; ,  ,    , обозна0

0
чим через W
r
p ; ,  ,


.
0
Свойства пространств
,W
r
p ; ,  ,
   ранее изучались в работах [6,7].
Теорема 1. Пусть вещественные числа
удовлетворяют условиям
(1)
Тогда для всех мультииндексов
ций
0
,
W
r
2; ,  ,
 
таких, что
справедливо неравенство
527
, и всех функ-
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
где запись
янной
,
2012, том 55, №7
означает неравенство
с положительной посто-
- любое число больше единицы, и числа
определяются следующими соотноше-
ниями:
1) если
и
2) если
то
и
то
Здесь – достаточно малое положительное число.
Доказательство основано на интегральных неравенствах, полученных в работе [7], и проводится техникой, использованной в работе [8] при доказательстве леммы 2.3.
3. Пусть
– натуральное и
– вещественные числа. Рассмотрим полуторалинейную
форму
где
. Предположим, что
- компекснозначные
функции, удовлетворяющие следующим условиям:
I) при
коэффициенты
ограничены, удовлетворяют условию эллиптично-
сти
для всех
лого
(с – положительное число, не зависящее от
существует число
для любого
) и для любого достаточно ма-
такое, что
и любого
II) при
и
коэффициенты
, где
528
принадлежат пространству
Математика
а числа
И.А.Якушев
определяются соотношениями:
Вариационная задача Дирихле с однородными граничными условиями, связанная с полуторалинейной формой (2), состоит в следующем:
Задача

W r2; ,  ,   
. Для заданного функционала
0


требуется найти решение
уравнения
0
принадлежащее пространству W
r
2; ,  ,
  .
Непосредственное применение теоремы 2 работы [9] к рассматриваемому случаю приводит к
следующему результату:
Теорема 2. Пусть выполнены условия (1), I), II). Тогда существует число
при

для любого заданного функционала
ние
задачи
0
r
2; ,  ,
W


 существует единственное реше-
, и при этом выполняется оценка

W r2; ,  ,   
где число
такое, что
0


не зависит от .
Справедлива также следующая теорема
Теорема 3. Пусть выполнены все условия теоремы 2 и пусть также существует такая положительная постоянная
для всех
, что
.
Тогда справедливо утверждение теоремы 2 при
.
4. Рассмотрим полуторалинейную форму
и связанную с ней вариационную задачу Дирихле с неоднородным граничным условием:
529
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
Задача
2012, том 55, №7

Для заданного функционала
2;,,  требуется найти решение
0
r
2; ,  ,
W



и заданной функции
уравнения
принадлежащее пространству
и удовлетворяющее условию
0
W
 
r
2; ,  ,
Далее вводим следующее обозначение
Теорема 4. Пусть числа
удовлетворяют условию (1). Пусть коэффициенты
луторалинейной формы (4) при
удовлетворяют условию I), а при
принадлежат пространству
пои
, где
Здесь – достаточно малое положительное число и числа
такие же, как в условии II).
Пусть также выполняется условие (3). Тогда для любого заданного функционала

0
W
r
2; ,  ,

задачи


и любой заданной функции
существует единственное решение
и при этом выполняется оценка

W r2; ,  ,   
где число
не зависит от
и
0


.
Доказательство. Пусть
- заданная функция из
и пусть
- функционал, оп-
ределѐнный равенством
С
помощью

0
W
r
2; ,  ,
теоремы

1

 и справедливо неравенство
W
0
где число
доказывается,
не зависит от
r
2; ,  ,



.
530
что
функционал
принадлежит
Математика
И.А.Якушев
Пусть

– заданный функционал
ную задачу: найти решение
принадлежащее
0
W
r
2; ,  ,


  . Рассмотрим следующую вспомогатель-

уравнения
W r2; ,  ,    .
0
В силу теоремы 3 существует единственное решение
вспомогательной задачи, и оно
удовлетворяет оценку
0 r

W 2; ,  ,  


где

- положительная постоянная.
Далее нетрудно проверить, что функция
дачи . Из единственности
будет искомым решением за-
следует единственность
. Неравенство (5) следует из (6).
Поступило 05.07.2012 г.
Л И Т Е РАТ У РА
Никольский С.М, Лирозкин П.И, Мирошин Н.В. – Известия вузов. Математика, 1988, №8, с. 4-30.
Байдельдинов Б.Л. – Труды. Мат.института им. В.А.Стеклова АН СССР, 1984, т.170, с. 3-11.
Исхоков С.А., Куджмуродов А.Ё. – ДАН России, 2005, т.403, №2, с.165-168.
Салманов Ю.Д. – ДАН СССР, 1988, т.301, №1, с.38-41.
Исхоков С.А., Сивцева Г.И. – Математические заметки ЯГУ, 1999, т.6, №2, с.28-41.
Исхоков С.А., Тарасова Г.И. – Вестник Новосибирского госуниверситета. Серия: Математика,
механика, информатика, 2006, т.6, №4, с.43-49.
7. Ганиев М.Г. – ДАН РТ, 20011, т.54, №5, с.353-358.
8. Исхоков С.А. – Математические заметки, 2010, т.87, №2, с.201-216.
9. Исхоков С.А., Гадоев М.Г., Якушев И.А. – ДАН России, 2012, т.443, №3, с.286-289.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
И.А.Якушев
ОИДИ МАСЪАЛАИ ВАРИАТСИОНИИ ДИРИХЛЕ БАРОИ ОПЕРАТОРЊОИ
ЭЛЛИПТИКИИ ДАР БИСЁРШАКЛАИ НОМАЊДУД ТАНАЗЗУЛЁБАНДА
Институти политехникии (филиали) Донишгоњи федералии Шимолу-Шарќии
ба номи М.К.Аммосов дар ш.Мирный, Россия, Љумњурии Саха (Якутия)
Дар маќола њалшавандагии якќимматаи масъалаи вариатсионии Дирихле бо шарти
ѓайриякљинсаи сарњадї барои операторњои эллиптикии дараљаи олї, ки дар бисёршаклаи
номањдуди шарти конусро ќаноаткунанда таназзул меёбанд, тадќиќ карда шудааст. Тадќиќот
дар асоси нобаробарии Гординг барои операторњои эллиптикии таназзулёбанда гузаронида
шудааст.
531
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2012, том 55, №7
Калимањои калидї: масъалаи вариатсионии Дирихле – оператори эллиптикї – таназзулёбии
дараљагї – бисёршаклаи номањдуд.
I.A.Yakushev
ABOUT VARIATIONAL DIRICHLET PROBLEM FOR ELLIPTIC OPERATORS
DEGENERATING ON UNBOUNDED MANIFOLD
Polytechnic Institute (branch) of M.K.Ammosov North-Eastern Federal University in Mirny,
Russia, Republic of Sakha (Yakutiya)
Unique solvability of the variational Dirichlet problem with nonhomogeneous boundary condition
for elliptic operators degenerating on unbounded manifold is investigated in the article. The investigation is
based on Garding’s inequality for degenerate elliptic operators.
Key words: variational Dirichlet problem – elliptic operator – power degeneracy – unbounded manifold.
532
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
882 Кб
Теги
неограниченных, эллиптическая, оператора, вариационных, вырождающихся, многообразие, дирихле, задачи
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа