close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О взаимодействии спинорного и скалярного полей устраняющем вклад скалярного поля в геометрию пространства-времени.

код для вставкиСкачать
Физика
УДК 539.9
О взаимодействии спинорного и скалярного полей,
устраняющем вклад скалярного поля в геометрию
пространства–времени
М. Б. Вилка Чайча* , Л. П. Ющенко† , Г. Н. Шикин
*
*
Кафедра теоретической физики
†
Кафедра общей физики
Российский университет дружбы народов
Россия, 117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6
В двух метриках — статической цилиндрически-симметричной и космологической типа Бианки I — рассмотрены взаимодействующие скалярное и спинорное поля с лагранжианом взаимодействия ℒ =  () 2 , где  () — произвольная функция скалярного
поля ,  =  — инвариант спинорного поля . Получены точные решения уравнений
Эйнштейна, скалярного и спинорного полей. Показано, что функция  (), определяющая решение уравнения скалярного поля, не входит в компоненты тензора энергииимпульса взаимодействующих полей и не влияет на компоненты метрического тензора.
Это означает, что рассматриваемый тип взаимодействия устраняет вклад скалярного поля в геометрические свойства пространства–времени, то есть на геометрическом уровне
компенсирует вклад скалярного поля как источника гравитационного поля.
Ключевые слова: спинорное поле, скалярное поле, взаимодействие полей.
Лагранжиан системы взаимодействующих скалярного и спинорного полей выбирается в виде [1]:
ℒ=



  ∇  − ∇    −
+ ℒ + ℒ + ℒ =
+
2κ
2κ
2
1
−  −  () + ,  ,  −  ()Φ(),
2
)︁
(︁
(1)
где  () — произвольная функция  = ,  () — произвольная функция .
Из лагранжиана (1) получаем уравнение Эйнштейна, уравнение скалярного
поля
(︁
)︁ d
1
 √

√
−

+
Φ() = 0
(2)
,

− 
d
и уравнения спинорного поля:
⎧
⎪
⎨   ∇  −  − d  −  () dΦ  = 0,
d
d
⎪
⎩ ∇   +  + d  +  () dΦ  = 0.
d
(3)
d
Выпишем компоненты тензора энергии–импульса взаимодействующих полей:
(︁

  =   +   +   =    ∇  +  ∇ −
4
)︁
− ∇   − ∇   + , , −  ℒ , (4)
ℒ = ℒ + ℒ + ℒ =
d
dΦ
1
 −  () +  ()  + , , −  ()Φ().
d
d
2
Статья поступила в редакцию 9 декабря 2011 г.
(5)
98
Вестник РУДН. Серия Математика. Информатика. Физика. № 2. 2012. С. 97–103
1.
Статические цилиндрически-симметричные решения
В этом случае метрика записывается в виде (2):
d 2 = 2 d2 − 2 d2 − 2 d2 − 2 d 2
(6)
с координатным условием, соответствующим гармонической координате :
(7)
() = () + () + ().
Запишем уравнения Эйнштейна для метрики (6):
 ′′ + ′′ − ′  ′ − ′  ′ −  ′  ′ = −κ00 2 ,
(8)
′  ′ + ′  ′ +  ′  ′ = −κ11 2 ,
(9)
′′ +  ′′ − ′  ′ − ′  ′ −  ′  ′ = −κ22 2 ,
(10)
′′
′′
′ ′
′ ′
′ ′
 + − − −  =
−κ33 2 .
(11)
Выпишем в явном виде компоненты ТЭИ (тензора энергии–импульса) системы
полей:
00 = 22 = 33 = −ℒ = −
dΦ
d
+  () −  () +
d
d
1
+ (′ )2 −2 +  ()Φ(),
2
1
2
11 =  +  () +  ()Φ() − (′ )2 −2 .
Запишем в явном виде первое уравнение системы (3):
(︁
)︁
dΦ
1
d
−  1  + ′  −  −
 −  ()  = 0.
2
d
d
(12)
(13)
(14)

Поскольку () = (1 (), 2 (), 3 (), 4 ()) , для функций  () из (14) получаем
следующую систему уравнений:
(︁
)︁
⎧
1 ′
′

′
′
⎪

+


+


+

+

Φ
1 = 0,
⎪
4
4
⎪
2
⎪
(︁
)︁
⎪
1
⎪
⎨ 3′ + ′ 3 +   +  ′ +  Φ′ 2 = 0,
2
(︁
)︁
(15)
1
′
⎪
⎪
2 + ′ 2 −   +  ′ +  Φ′ 3 = 0,
⎪
2
⎪
(︁
)︁
⎪
⎪
⎩  ′ + 1 ′  −   +  ′ +  Φ′  = 0.
1
2
1
4
Систему уравнений (15) перепишем в таком виде:
4′ + 1 = 0,
(16)
3′ + 2 = 0,
(17)
2′
1′
− 3 = 0,
(18)
− 4 = 0,
(19)
где  = /2  ,  = 1, 2, 3, 4;  = ( +  ′ +  Φ′ ) .
Вилка Чайча М. Б., Ющенко Л. П., Шикин Г. Н. О взаимодействии спи‌ . . .
99
Отношение уравнений (16) и (19) приводит к уравнению:
4′
1
=− ,
1′
4
имеющему решение
4′ 4 + 1′ 1 = 0,
12 + 42 = 12 ,
Подставляем
(20)
(21)
1 = const.
√︁
4 = 12 − 12
(22)
в (19) и получаем уравнение для определения 1 :
√︁
′
1 −  12 − 12 = 0.
(23)
Из (23) получаем 1 :
1 = 1  sh 1 ,
1 =
∫︁
d + ,
 = const.
(24)
Подставляем 1 из (24) в (22) и получаем 4 :
(25)
4 = 1 ch 1 .
Действуя аналогичным образом, из (17) и (18) получаем:
2 = 2  sh 2 ,
3 = 2 ch 2 ,
2 =
∫︁
d + ,
 = const.
(26)
Окончательно решение системы (15) записывается следующим образом:
1 () = 1  −/2 sh 1 ,
3 () = 2 −/2 ch 2 ,
2 () = 2  −/2 sh 2 ,
(27)
4 () = 1 −/2 ch 1 .
(28)
Из (15) получаем уравнение для  =  = 1* 1 + 2* 2 − 3* 3 − 4* 4 и его
решение:
d
d
+
 = 0,
d
d
 = 0 −() ,
(29)
0 = const.
Тот же результат получается из (27) и (28). Запишем в явном виде уравнение
скалярного поля (2) в метрике (6):
′′ () −
d
Φ()2 = 0.
d
(30)
Выберем функции спинорного поля таким образом:
 () = 1  2 ,
Φ() = 2  2 ,
1 = const,
2 = const,
 = const.
(31)
В этом случае из (30) получаем упрощённое уравнение скалярного поля:
′′ − 2 02
d
= 0.
d
(32)
Решение уравнения (32) при произвольной функции  () записывается в виде
квадратуры:
100
Вестник РУДН. Серия Математика. Информатика. Физика. № 2. 2012. С. 97–103
0
1 ′ 2
( ) − 2 02  () =
,
2
2
∫︁
d
√︀
= ±( + 0 ).
0 + 22 02  ()
0 = const,
(33)
0 = const.
Выпишем компоненты тензора энергии–импульса (12) и (13) с учётом (33):
00 = 22 = 33 = (1 − 2)1  2 +
11 =  + 1  2 −
0 −2

,
2
0 −2

.
2
(34)
(35)
Рассмотрим решения уравнений Эйнштейна. Разность уравнений (8) и (10)
приводит к уравнению
 ′′ =  ′′ .
(36)
Разность уравнений (8) и (11) приводит к уравнению
′′ =  ′′ .
(37)
Разность уравнений (10) и (11) приводит к уравнению
′′ =  ′′ .
(38)
Из (36), (37) и (38) с учётом (7) следует:
1
3
 ′′ = ′′ =  ′′ = ′′ .
(39)
Из (39) получаем:
1
3
1
3
 = ( + ),
 = ( + ),
=
]︀
1 [︀
 − ( + ) .
3
(40)
Сумма уравнений (8) и (9) приводит к уравнению:
[︁
]︁
2 ′′
 = −κ 0  + 21 (1 − )2(1−) 02 .
(41)
Уравнение (9) имеет вид:
[︁
]︁
1
0
,
(′ )2 −  2 = −3κ 0  + 1 02 2(1−) −
(42)
3
3
2
 2 = 2 +  +  2 .
Уравнение (42) есть первый интеграл уравнения (41). Для произвольных , решение уравнения (42) имеет вид:
∫︁
d
√︂(︁
1
2
3
+
3κ0
2
)︁
= ±( + 0 ).
(43)
− 3κ0  − 3κ1 02 2(1−)
Интеграл (43) подробно исследован в [2].
От скалярного поля осталась постоянная 0 , которая может иметь любой знак
или равняться нулю: 0 = 0. При этом никакого вклада в метрику скалярное поле
не вносит. Функция  () входит только в решение системы уравнений спинорного
поля (15), но при этом не входит в инвариант  = .
Представляет интерес сравнить полученное решение со случаем отсутствия
взаимодействия скалярного поля со спинорным, когда ℒ = 0, и уравнение (32)
Вилка Чайча М. Б., Ющенко Л. П., Шикин Г. Н. О взаимодействии спи‌ . . .
101
сводится к уравнению  = 0 с решением  = ˜0 = const. При этом в компонентах
′′
′

˜2
0
00 и 11 в (34) и (35) вместо
−2 появится член 0 −2 [3].
2
2
Таким образом установлено, что рассмотренное взаимодействие не влияет на
геометрические свойства пространства–времени.
2.
Космологические решения
Метрику выбираем в форме Бианки I
d 2 = 2 d2 − 21 d2 − 22 d 2 − 23 d 2
(44)
с координатным условием, соответствующим гармонической координате :
(45)
 = 1 + 2 + 3 .
Уравнения Эйнштейна для метрики (44) с учётом (45) имеют вид:
(︁
)︁
1
 = −κ  −   ,
2
(︁
)︁
1
00 = −2 (¨
 − ˙ 2 + ˙12 + ˙22 + ˙32 ) = −κ 00 −  ,
2
)︁
(︁
1
11 = −2 ¨1 = −κ 11 −  ,
2
(︁
)︁
1
22 = −2 ¨2 = −κ 22 −  ,
2
(︁
)︁
1
33 = −2 ¨3 = −κ 33 −  .
2
(46)
(47)
(48)
(49)
Выпишем в явном виде компоненты тензора энергии–импульса системы полей:
1
2
00 = ˙ 2 −2 +  +  () +  ()Φ(),
(︁
)︁ (︁
)︁
1
11 = 22 = 33 = − ˙ 2 −2 −  () Φ′ () − Φ() −  ′ () −  () ,
2
(50)
(51)
1
2

3
3
−  () +  ′ () +  ()Φ() +  ()Φ′ (), (52)
2
2
2
1

1
1
 −  = −
−  () −  ()Φ() +  ′ () +  ()Φ′ (),  = 1, 2, 3. (53)
2
2
2
2
00 −  = ˙ 2 −2 +
Запишем в явном виде первое уравнение спинорного поля из системы (3):
(︁
)︁
1
d
dΦ
−  0  + ˙  −  −
 −  ()  = 0.
(54)
2
d
d

Поскольку () = (1 (), 2 (), 3 (), 4 ()) , то для  (), где  = 1, 2, 3, 4, из (54)
получаем следующую систему уравнений:
(︁
)︁
⎧
1

′
′
⎪

˙
+

˙
+


+

()
+

()Φ
()
1 = 0,
⎪
⎪ 1 2 1
⎪
(︁
)︁
⎪
⎪
⎨ ˙2 + 1 
˙ +   +  ′ () +  ()Φ′ () 2 = 0,
2 2
(︁
)︁
(55)
1

′
′
⎪
⎪

˙
+

˙
−


+

()
+

()Φ
()
3 = 0,
3
3
⎪
2
⎪
(︁
)︁
⎪
⎪
⎩ ˙ + 1 
˙ −   +  ′ () +  ()Φ′ ()  = 0.
4
2
4
4
102
Вестник РУДН. Серия Математика. Информатика. Физика. № 2. 2012. С. 97–103
Решение системы уравнений (55) имеет вид:
∫︁
)︁
(︁ 
 () =  exp − −   ()d ,
(56)
 = 1, 2;
2
∫︁
(︁ 
)︁
 () =  exp − +   ()d ,  = 3, 4;
2
(︁
)︁
 ,  = const,  () =   +  ′ () +  ()Φ′ () .
(57)
Из (56) и (57) следует, что:
 =  = 0 −() ,
0 = 12 + 22 − 32 − 42 .
(58)
Запишем в явном виде уравнение скалярного поля (2) в метрике (44) с координатным условием (45):
¨ +
d
Φ()2 = 0.
d
(59)
Выберем функции спинорного поля так же, как и в предыдущем случае:
 () = 1  2 ,
Φ() = 2  2 ,
1 = const,
2 = const,
 = const.
(60)
При выборе Φ() в виде (60) уравнение (59) переходит в уравнение:
¨ + 2 02
d
= 0.
d
(61)
Решение этого уравнения при произвольной функции  () имеет вид:
1
0
()
˙ 2 + 2 02  () =
,
2
2
∫︁
d
√︀
0 = const,
0 − 22 02  ()
= ±( + 0 ),
(62)
0 = const.
Выпишем компоненты тензора энергии–импульса взаимодействующих скалярного и спинорного полей (50) и (51) с учётом (60) и (62):
1
2
00 −  =
1
2
 −  =

+ 1 (3 − 1) 2 + 0 −2 ,
2

+ 1 ( − 1) 2 ,
2
(63)
 = 1, 2, 3.
(64)
Отметим, что в (63) и (64) функция  () не входит.
Рассмотрим решения уравнений Эйнштейна. Из (47)–(49) следует, что:
1
¨1 = ¨2 = ¨3 = 
¨.
(65)
3
Из (65) имеем:
1
3
1 = ( + ),
1
3
2 = ( + Γ),
1
3
3 = ( − ( + Γ)),
, Γ = const,
(66)
так как  = 1 +2 +3 . Сумма уравнений (47)+(48)+(49) приводит к уравнению:
)︁
(︁ 
+ 1 ( − 1) 2 .

¨ = −3κ2 −
(67)
2
Вилка Чайча М. Б., Ющенко Л. П., Шикин Г. Н. О взаимодействии спи‌ . . .
При подстановке (67) в (46) получаем уравнение первого порядка:
)︁
(︁
1
1
˙ 2 −  2 =  0  + 1 2(1−) + 0 ,  2 = (2 + Γ + Γ2 ).
2
3
103
(68)
Уравнение (68) имеет решение:
∫︁
d
√︁
= ±( + 0 ).
 2 + κ(0  + 1 2(1−) + 12 0 )
Это решение подробно исследовано в [4].
Kак и в предыдущем случае, скалярная функция  () входит только в решение уравнений спинорного поля и никакого вклада в метрику не вносит.
При отсутствии взаимодействия скалярного поля со спинорным, когда ℒint =
0, уравнение скалярного поля (59) сводится к уравнению ¨ = 0 с решением ˙ =
˜0 = const. При этом в 00 вместо 0 −2 появится член ˜20 −2 .
Литература
1. Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. Введение в теорию квантованных полей. —
Наука, 1976. — 479 с. [Bogolyubov N. N., Shirkov D. V. Vvedenie v teoriyu
kvantovannihkh poleyj. — Nauka, 1976. — 479 s. ]
2. Саха Б., Шикин Г. Н. Спинорные поля в плоско-симметричном пространстве–
времени // Вестник РУДН. — 2007. — № 1–2. — С. 66–69. [Sakha B.,
Shikin G. N. Spinornihe polya v plosko-simmetrichnom prostranstve–vremeni //
Vestnik RUDN. — 2007. — No 1–2. — S. 66–69. ]
3. Saha B., Shikin G. N. Static Plane-Symmetric Nonlinear Spinor and Scalar Fields in
GR // International Journal of the Theoretical Physics. — 2005. — Vol. 44, No 9. —
Pp. 1489–1494.
4. Saha B. Spinor Fields in Bianchi Type I Universe // Физика элементарных частиц
и атомного ядра. — 2006. — Т. 37, № 7. — С. 27–90. [Saha B. Spinor Fields in
Bianchi Type I Universe // Fizika ehlementarnihkh chastic i atomnogo yadra. —
2006. — T. 37, No 7. — S. 27–90. ]
UDC 539.9
About Interaction of the Spinor and Scalar Fields, Removing
Contribution of the Scalar Field in the Geometry of the
Space–Time
M. B. Vilca Chaicha* , L. P. Yuschenko† , G. N. Shikin*
*
Department of Theoretical Physics
Department of General Physics
Peoples’ Friendship University of Russia
6, Miklukho-Maklaya str., Moscow, 117198, Russia
†
In the static cylindrically symmetric metric and cosmological metric Bianchi I we consider
the interacting scalar and spinor fields with the Lagrangian of the interaction Lint =  () 2 ,
where  () is arbitrary function of scalar field ,  =  is an invariant of the spinor field .
We obtain exact solutions of the Einstein, spinor and scalar equations and one exhibited that
function  () is absent in the components of the energy-momentum tensor for the interacting
fields. It means that the considered type of the interaction removes the contribution of the
scalar field in the geometry of the space–time.
Key words and phrases: spinor field, scalar field, interaction fields.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
659 Кб
Теги
времени, вклада, спинорной, устраняющего, поле, пространство, геометрия, взаимодействия, скалярное, поля
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа