close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О возможности восстановления поверхности по заданной линейной комбинации полной и средней кривизн.

код для вставкиСкачать
Bестник ТfУ, т,2, въттl.2,|997
УДK 5|4,772
o Bo3Mo}кHoсTи BoCсTAнoBЛЕtIия ПoBЕPxнoсTи
Пo 3AДAHIIOЙЛиHвЙнoЙ кOМБиHAЦИIL
ПoЛHoЙ и сPЕДtIЕЙ кpивизн
@ Io.г. Фoмичевa
Fоmichеva Y.G. on The Reсоnstruсtion of Тhe SurГaсе With Thе Givеn Lineaт Соmbjлation of Thе
Gaussian And Меan Curvatures. Fот a тegulaг surГасе in E3, tlne spheтеiса1imagе оf whiсh is an opеn
hеmispheте, the prоb1еm оf its leсonstruсtiоn is solvеd whеn thе lineат сombinatiоn оf thе Gaussian аnd
mеan сuryatures is givеn.
o Boз1. B paбoте paссМaтpиBaoтся.BoПpoc
B EJ пo зa.цaннoй
Мo)KнoоTи BoccTaнoBлeцИЯ
KoMбиЕIaции гayccoвoй и opеIII{еЙ
Лин9йнoй
I1oBepxнoсTи' ИМrlo1цеи
KpиBизI{ prryЛяpнoЙ
oTKpЬIT)'To
оBoиM сфеpиче,сКиМ изoбpaxеIlиrМ
ПoЛycфеpy.
Пyсть 52 - е.циничнaя сфеpa в ДJ с цеrrгpoм в
сИстeМЬI
I{aчaЛr o пpямo1тoльнoй
декapтoвoй
кoop.циI{aT; Л- пoвepxнocTЬ B Е.r, сфеpи-lеским
кoтopoй сЛy)I(иT BrpxlUIя oTKpЬI.
изoбpaxением
Taя ПoJlyофеpa сфеpьt 52. Пyсть M(х, у, z) F;
I]oBrpxнoсTи
ToчКa
ПpoИзBoЛЬI{aя
=
е.циничньrй
r =oЙ = (х,у,z) ; Й (щ,n2,nj)
BoKТop внеrшней
ЕIopМaЛи K I]oBrpxl{ocттц F в
тo.lке,41..{oпуотивn3+0
n1
v = .-1 ,. 116Л.!пIиМ.
t|з
и oбoзнaчив u=Ц,
чTo
чтo
I{a I]JIocKoоTи
пеpеМrI{I{ЬIx
и'
J(u, u) : а(u, v)K(u, v) + 2b(u, v)H(u, v),
flu, v) е С1,
(3)
rдe K(u, v) - гayооoвa, H(u, v) - cpeДн'яЯKpиBизHЬI ПoBepxнoоTи;
(
t
l) _|rt+,|I+u"
'm-/
и:
,
,,)
+v, ),|h. .аf
,-b,
.
(4)
о o n s t) 0 ,
2) а(u, v) ) 0,
(5)
3) @rаd|n(-аfl| oГpaничeI{.
(6)
Пoдстaвив в (3) фopплyльI(1) и (2), пoсле не-
сЛoxIIЬIx BЬIKJIaДoK tIoЛ}пIиM сЛеД}'Iоlцеe }paBI{е I{иr:
Й =(1 +u2 *u21 1/21u, v, 1) .
из
Пpи пoмoщи цrI{TpаJIьI{oГo ПporKTиpoBaния
цoнTpa офеpьI rе Brpxtrlя пoлycфеpa биекгивнo
oтoбpa;кaется I{a IIЛoоKocTЬ ПеpеMеI{lзЬIx. l,l> у,
Kaсalошry.Ioся офеpьI B ПoJlтooе.
oПopтцTo
Bвr.цем B paссМoтpение
.p1нкuиto
'л"
u
,
у
)
=
9
!
,
Л
:
h
(
Й
)
=
h
(
h(i) ПoBrpхнocTи
(K,n)
i - eЦтlнутчньrй вeкгop oc'т oz. Известнo [1],
чTo гayсcoBa |4 cpeЦНЯЯ KpиBизнЬI ПoBrpхI{ocти B
тoчKr с внеrпней HopMaЛЬIo i(u,v) выpaxaloтcя
h(u,v) cлeцуtolцими
чеpез oпopl{у,Io ф1тrкциIо
фopптyлaми:
i
K ( u , v ) : 1 1 + u 2 * u 21 ' 2 1 l , u u h u , _ t ц k )
2%(u,v) = -( I +u2 *u2 1
,{oпycтим,
y зa.цaI{ЬIф1тrкции а(u, v), b(u, v), J(u, v), удoBjIrTBopЯЮщиеycЛoBияМ:
3/2
t h u u h u -uf i u 1
((1 +u2 )huu + 2uvhuu+ (1 +v2 )huu)
(t)
3/ 2
цu,u, *
f(u,v)(huuhuu_ пkl * (1 + u2 + v21
l,
)
\rt+u2
)
Q)
(7)
_ ( 1 + u 2 + v 2 ) 2 а ( u ' v 1= 0 .
ЗaДaчa сBo.циTcя К /loКaзaPaссмaтpивaеМaя
тeлЬсTBy сyЩrсTBoвaI{vIЯ peIIfeHI4Я 1paвнения (7)
I{a I]ЛoсКoсTи ПеprMrI{нЬIx u, v тIpI4 BЬIIIoЛI{еI{ии
yслoвий (4)-(6).
Bведeм cЛe.цу.Iorциr oбoзнaчения :
ф @ , v ) = _ а . ( u , v ) ( 1 * u 2* , 2 1
А 2 ( u , v ) = ( t + u 2) ( l + o 2 * , 2 1
1*
\
)h,ru+2uvhuu+t1+vzthrr)-
2;
з/ 2ь(u'u)
;
Аj(u,v) = 2uу(1 + u2 + у2)'3 /2 b1u,т);
2 ь1u,v1
Аa(u,v) = 1t + v)2 ( I t u2 t u2;3/
А5(u,v)=f(u,у).
(s)
t21
Beстник TГУ. т.2' вьlтl.2' 7997
Toгдa уpaвнение
(7) пpиМе,т BиД:
A oпpеделяeтоя фopпlyлoй (10), т.е.
А1(u,v) + А2(u,v)huu + Аj(u,v)huu +
(e)
+А4( u,v)huu+ А5 (u,v )( h,uhуу_ hk ) = 0.
(9) eоть }paBI{rF{ие Moтlкa-Avпоpa
Уpaвнение
Tипa' TaК KaK из yолoвия (4)
гиПepбoЛичеcKoгo
cЛеДyеT' чTo
a / . , . , -__L>,
Ь2 \
Р = o4 + 1( А1А5 _ АzАq l __- -J!.!J
(I+u'+v')'
^= 2(1*u2 tu2 1 tl(of * u')\t/t.
\"t
Bьrpaзив из (|2) Po' Рp, Qn, QtsИ зaтепl пpoдиффepеI{циpoBaB ПrpBor и TpeTЬr ypaBI{еI{ия пo p, a
BTopor и чrTBepTor - Пo с{,и) ),п{иTЬIBaя(13)' a
: Цpo,
TaIoKr paBrнCTB& 1op : Ppal Qв|з: QPo, I1o,|з
усP
Уpo, ПoЛ}Д{иМ сисTrN{y, эKBиBaЛенTII},Io
системe (12):
. (l0)
uaB = а1(u,v)uaup+ а2(u,у)uBvo+
+аЗ( u,у)uavp,
vu,p= а4(u,у)уavp+ o5(u,у)upуu+
Й pезy.lЬТaT.
Пoлще н сЛUIу.IошrИ
T е o p e М a. ПycTь I{a I]r'IocKooTи IТrpеMеI{IjiЬIх ц, v зa.цat{ЬIф1тrкции а(u, v), b(u, v), J(ц, у),
yДoBЛrTBopяIоIцие yOJIoBиям (3).(6). Toг.цa в .Е.'
с}.IцrстByrT prryляplraя ПoвrpxнocTЬ' oПpr.цrЛяr Maя oПopt{oй фlтtкцией и иМrloщaя сBoиM нopIUIoсKocTЬ Е2, ПpичеМ
МaЛьнЬIМ изoбpоtсениеМ
гayccoBa И cprДInlя KpиBизI{ЬI ПoBepхI{oсTи связaI{ЬIyсЛoBием (3).
2. Пpех<де чrМ IIpисTyТIиTЬ K .цoKaзaTе,ЛЬсTBy
TroprMьI' I]poBr.цeМ нeKoTopьIe BсПoМoГaTeЛЬI{ЬIе
paссyЯ(цrния и ДoKa)кrм Tpи Ле,MMьl.
Ha п'loокoоTи Пе'prМеI{:нЪIx |,t, у paссМoTpИM
Пoлocy
П1 : {0 < u < ua -.o < v < *.,
З a.цa.цим нaчaЛЬI{ьIr У c ЛoB|4Я
иp:
+а3(u'у)ua,уp,
P a p =а 7 ( u , v ) u a у у + а у ( u , у ) u o t l p +
+а9 ( u,у )uBуa+ rl16( u,v ) vovp,
qaB = o11(u'у)uoup+ а12(u,v)uovp+
+а11( u,у )upуa+ а]4 ( uJ | )vaуp,
а1(u,v), i: 1',2, ..., 14, этoЙ
где кoэффициеI{TЬI
ЮTсяфopMyЛаMи:
сИстеМЬl oПpеДеЛя
Av
fu ^u
lv
a 1 ( u , у )= . _ ^ : а 4 ( u ' t ' l = r _
JJJA
А)1
А5J
)"l
I a r , ц. , \
а 1 1 ( u , v )= - l - |
| + а '--А
- -s- L + a 's : | ,
[аи\,a5)
1
1
.l ,, э .
а 2 ( u , у )= ( I + u . + у . )
b
Т,
, p ( v )е C 3 , , у ( у ) с С 2
ч,,,(у)+ _
h(o,v)
а . 7 ( u ' v ) = ( I + u 2* , 2 l
f (o,у)(1tu2)3/2
и prIIIим B IloЛoсе П1 зa[aЧ} KoIши .IIдя ypaBне.
ния (9) c нaчaЛьнЬIMи дaнньIми (11).
Извеcтнo [2]' vтo зa.цaчy Kotпи .цJIя ypaBl{ения (9) Мo)KtIo cBесTи К зaДaчe Korши дrя сиoTeМЬI ПяТи кBaзlLчинейньrх 1рaвнeний IIrpBoгo
ПopЯ.цKa oTI{oсиTrЛЬнo ПеpoМrI{I{ЪIX ll, у' Р = hu,
Q= hу, Й с хapaкгеpиcTичeсKиN,{И KoopДинaTa\,{l{
сt' B в кaчеоTBr I{eзaBиоиMЬIx ПrprМеннЬIx:
| х p " + А 2 | o + А 5 Q _o=0
+ А2vp+ Аsap 0
ь
| 2up
=0
]А4uo + )'2tlo + А5 po
I d a " p * | )-" 1 v-p+А5pp=0
+ qvp hp 0,
ltup
ГДep = hu, q = hu; А1 oПprДrЛяeTся фopмyлaм и ( 8 ) ,i : | , 2 , з , 4 , 5 ,
=_\ro, _ ol,
=_Ira, +Ь);"х2
^",
r22
(
(bv
_
fy)
t
[,,lт т)_|t
(1 3 )
з/2
+u .| | т ll(hu
L
!,
A
/и\)
I
т)) 7ац,
2
а 5 ( u , v )= 1 1 + u 2 * u z , _ з/ | , ,
-,)|+"',
_ц)t(,-"1(Ч
('(+
o b ( u , v )= ( l + u 2 * ? ,
(12)
(15)
hog- PUB+Qvp,
сonst > 0}.
h|u-о = w(v), hu|u-, = Р|u-0 = 'у(у);
(14)
з/2
| ^
A
-+)).
('{+
+",,
+)t,."')(*
а7(u,v)=
|*(*)t",*7,
n,'l
Га (х, \
=_L'l
а6(u,v)
т)- "oт1'
Bестник ТТУ, т.2, вьtп.2 1991
Мr)кДy ЛI4lн:lIЯN{'ll .. u + Р : 0 и /в : сx,* l] : Б'
супдeсTByеT pешIeI{ие u(u, F), v(сt, Р) с С}*зaдauи
Korши (l7)-(l9). Пpи этoм пepвЬIr ПpoизBo.цFIЬIе
prшIeI{ия иMеIoT Bи.ц:
Аz
n,1
Гa(t,\
а 9 ( u ' v=) _ L ы t т ) * o 2 * o ' , n ,
o,
]'
| а (l,, \
а 1 6 ( u ,=
v )_ | ы | т ) t " .
e (хl
).l.l
ЁJ'
t)))
uq=Е+","1, uB:",.2,
itll
I
)
а 1 1 ( u , у )= - | . . . . _ | - : | + а 1 ' ,_l |s: J
(l 6 )
|au\А5,
а 1 2 ( u , у )=
).,
| а (,ц,\
Аl1
vF:'+
Аl1
где фyнкции тi(сt' D), i : |, 2, 3, 4 oгpaниvrl{ЬI и
paBI{oмеpI{o I{еПpеpЬIBHЬI.
ylaвнений
а1
_=|+а4-=|.
. .a ( u , v ) = _ | o^у \| А
/|\ |
1- J
I
")
(l7) oт ToчКи
M("'p)
с/
Дo TotIKи
N(а,p):
L
Пеpвьrе ДBa ypaBl{eния сиcTrМЬI (l5) оoдеp;кaт
ToЛЬКo I{еизBесTI{ЬIеtpyнкции u(a, F), v(ш' p) и
иx Moxнo paсcMoTprTЬ oT.це,ЛЬI{o:
(uoB= а 1uoup+ а 2uBvd+ аJuevp
= а4у(\уB+ a5upу(1+ o]uavp
|уup
{
Е (.iьP)
(17)
Haй.ценньrе ф1тrкции u(a, I]), y(сt' D) ПoДоTaBиM
B тpе,тЬе и четBе'pTor ypaBllel{ия сиотемьI (15):
Pap = |]/uouB+ а8ua'уp+ o9upуu + а10уaуp
qdB = a Lluaup + а 12uaуp+ а lЗupуa + а 14уdуp
с(",F)
L (.а,
}")
(1s)
PеIпив cисTeмy (l8), нaйдем ф1тткции p(u, F),
q(.r' [J). Пo,цстaвив их B ПoсЛr.цI{oе' ypaBI{еHие,
сИсTrМЬI (15) и pе,IIIиB эTo ypaBнeние, нaЙдeпt
фyнкциIо h(o, F).
3. Пyсть IloЛoсa П7 IТ.ЦoоKocTи Пеpемol{llьIх
u, v изoбpa>кarTся нa IТ,TocKoсTи Пrpr}vlrI{I{ьIx с{'
p пoлoоoй
fr7 , 3aIiЦIo.Iеннoй Mеx{цy II]I4]g'\LЯNШI
:
p
0
и
ll: с + p : d, гдe d: сorтt ) 0.
l.. u +
Л е м м a 1. Пycть Ha ЛИ:нT4И/ : сr + p : 0
гIJТocKocти пrpеп,{rннЬIх сt' p зaдaньr сjlе'ДyloЦиr
I{aчaЛЬI{ЬIе .цaI{I{ьIr:
u | ,- о ; т | ' - у ( d ) ; u o | ,- r .n ' 2 t 1 { o ) ; u o ] -' ,. 2 t z t
x,r'a, (2|)
.{oкaзaтельствo.,[пя ДoKaзaTrЛЬcтвa леммьr 1
TeхниKy'
исПoЛЬзyrМ
}.KaзaнFryIo в paбoтax
Е.B. IПикинa [3 - 5]. ПpeдвapительЕ{o зaI]иIIIеM
cисTе,My (17) в paBнoсиЛЬнoЙ eiL ишгeгpa'тьнoй
фopме. !ля этoгo I]poиI{TolpиpyeМ Кal{<Дoe иЗ
_|ы\т)*аз
Ц * o uц 1 '
|d(l',.\
|ц:Еzкз,
");
lr
uo(o,F
) =uo(",t]) * l rrа,бlф ;
р
р
voa
{ , pl = v o ( " , pl * | м t а ' p l а p ,
p
гдe ф}тtкции аь i : 7, .,., 6 oпpr.цеЛяЮTсяфopмyлaми (16),
L@'a ) = а7udup+ а2uBva+ азuavP
(22)
M(
( le)
7
|
t
у o | t - Е . t . l ( a / . . y р 1 1- Е + l, , 2 r 4 { o ) ,
t1(a), i : |, 2, з, 4, paBl{oМе'pl{o
гДе фyнкции
I{rПprpьIBЕIьI и oГpat{иченьI' с - тIИслoвoЙ пapaN,{етp'а ) 0; нavaльнЬIr ДaI{I{ЬIr (19) оoглaсoвaньI
вдoль /, т.е.
=uo|,,l.',
. (20)
+,u|,в!;('il),,: ,ollo! * up|,0!
14,)",
",F
) = а4vuvp+ asupуa* а$uovp.
Зaтем ПpoиI{TеГpиpyrM Kax.цor \1З Пoл}rrrrI{ЬIхуpaBl{eний oт тoчки Д(сto' P) с / Дo ToчКи
Р(ш'p):
o
s[]
+ lu*1а,$уa+ l l t1а,$1фаa,
u(a,p)=u(uo,p)
с1'9
0
v(a,F ) = у( с-o,p) + l v.( a,$ 1da +
ao
a'o Po
сtР
l ll,т1а,p1фаа
uo Fo
Toг.цa мo;кнo yKaзaTь тaкoе 6 ) 0, vтo пpи
цoстaToчI{o MaЛoM g B ПoJloсr, зaЮTIovеннoй
|2з
Beстник TГУ. т.2. вьlл.2' 199,7
Kaх<Дoе иЗ .цB}DiпooлeДI{их 1paвнений пpoдиффеpенциpyем пo p, ПoЛу{иM:
oll
n+I "
Чn
у =v + lvodrх+
l lм1a,pfiм;
u'oPo
Ag
(2s)
u
u p ( с х , |=
3 )u p ( a o , P )+ l ц a , p у a '
n+I " l" у ^ = у ' - +J | M d' 'B :
цo
р
u
n+]
у o ( a , P )= v p ( a o , P
) + l м 1 а , p1 а - " .
.
п+1
Чn
.
Чп
u p = u p +l t d a ; v р = ? р +J M d a ,
цo
ao
ao
гДe
Taким oбpaзoм' cисToмa (17) в paвнoсrт,rьнoй
ей иrrrегpaльнoй фopмr иMrrT вид (23), гдe
ToчKи E("o,D, M(",p), L(a,Fo)еl ' a L(a' p) и
nnnпnпn
М = а4 va vp+а5 up vg-| а6 Цg"Vv.
M(o, P) oПpеДrЛяIoTояфopшгyлaми(22),
oP
s
+ l u'@,$1аа* l l иa,$lаа,
u(a,P): u(с-o,p)
ao
цо Po
s
oP
=у(с^o,P)
+ tv'@,p)d:a* l l мrа,pмpаа,
у(a,[])
aоPo
do
p
uoa
| . p) : u o r i . pl * l u а . pм p :
|з
пnnпnnn
L = а ! ua up+а 2 up va+ o.]ua vp:
paBнoмopI+тo oгpaFIичеI{Е{ocTЬ Пo!oкa;кем
сЛe.цoBaTrЛЬнoстей пpoизBoДI{ЬIx Пo ИЕ{I$rKции.
,{ля этoгo i+DкI{o зI{aTЬ Bи.ц Kax(Дoгo пpибЛи}(r.
пеpвoгo пpибЛюкrния
I{ия IIpoиЗBo,цньIx. lля
имеrМ:
q" I
u - = u"^ +J|' L d B = u - +
р
(2з)
р
q
1l
+l {аt uo up+ a 2 up va+ аз uu vp )dp = е + xz . т 1'
p
ГДе
v a (a . p) = v o { t r , Е*l l м t a , pм 1 з :
p
l
0 | o 1 . , . . t 2 ( 1 + r t 1 ) + а 2 . t : 2 . t 2 . t*j ]
it=,r-ll
q
+ l l'6а,pуa;
up(a,P): up(с^o,P)
G
=
+ | м6а,pуa.
ч(a,f]) vp(с-o,P)
dO
,{oкaзaтельоTвo ЛrMМьI l пpoведем МrTo.цoМ
Зa I{yЛеBor
ПoсЛrДoBaTе,ЛЬI{ЬIx пpиблиxений.
ПpиMеМ I{aчaЛЬHЬIr дaнньIе (19),
пpиблиxение
AнaЛoгичнo
Мo)IG{o ПoкaзaTЬ' чTo
1)11111
up=,".т)i
|a=€..1.1 ;
"р
= ' + r - )' .14 ,
2
' | o , u , 1 t + t ' ,t 1) + а2 ' Е .
ll
" о | + а j ( 1+ е . t 1) ( 1 + x . t 4 )
u=0; у=v(a);
(24)
o э " )
|u=е..t3, уp=Е+r..t4.
иЗBесTI{ьIм, (и + 1)-е
Cчитaя /,-е Пpиблюкениr
пpиблrт;кение зaДaДиM фopмyлaми:
u = I t o +J u n d с х +
J JL(ц'p)dPdа:
dg
,u
n+1
a
..п
uo Pо
-
ury=ua+JLdp;
р
724
.]
гДr
I
12 = t2 +
--Idи',P-
|lrr
E | + а . llt+ t : ' t 1 ) (l + Г . , | 4)
ao
I
aЗ = tз +
t2.tj *]_
l'
oloa " tj(I+x.t4)+
TI
6[*,5
"2't2.tj
ll -
YP;
+ а 6 ( 1+ t ' .t 1 ) ( 1 + е . t a ) l
t + x . t 4) + о 5 . x 2 . t 2 . t j * ]
1
Ч|аa"tj(
gа
тa=la+ ||
^o: t| * o n ( l
I
*
+ x . t 1 ) ( l + е . 1 4)
]
Toчнo TaK ]t(е IIoKaзЬIBaoTся' чTo .ш/.IяЛIобoгo
Пpo ИЗBoДI{ЬIr /?- гo ПpибЛи]Kr ния иMе.IoT Bи,ц:
Beстник TГУ. т.2. въlл.2' |997
ntnn)n
up=е.,к2;
Ua=Е*'.."1;
(26)
nrnn)n
|u=я".т.,,
1 l р= е * Е . . т 4
* 1) + 6 C m*
| а 2 ( u , v ) |\ =
r,
},*,,
| аj ( u , v ) | =| r , * 1 ) + 6 С mt ) с ^ , '
ГДr
nI
,-1
|
, с 2 ( 1 + a .1 1 ) + о 2 . е ". .n1L,n2l.l 1 , З + |
p"|а].Ё.
grr'
т" I = I l + | |
nt
nI
itl
I
| + а j ( 1+ Е . т 1 ) ( 1 + x . r a )
, ,
]
п 1,
, п 1n 1l
.' *
Е ' 1 1) + а 2 ' Е - ,
"'
|^,'
f
т > = I >+ |
J
n-tl
)(I+x.т4
)
n]
n1
Г
1n-1n1)
)+а5.x'. т2. т3+|
U " | а 4 . x .т j ( l + x . т 4
и
"rl
F
n-t
n !
) (l + x . т 4 )
| + а 6 {l + x . t 7
I
]
paBl{oМеpl{oЙ
oгpaнИ.
ДoкaзaтеЛЬcTBa
Ддя
ПpoизBoДI{ьIх
I]ooЛе.цoBaTеЛЬI{oсTеЙ
чrI{HooTи
пnпп
uu, LlB' vo, Iр ДoCToToчI{o IroKaЗaTЬ, чTo l]ocЛецoBaTeЛЬЕloсти
Ndrpl{o
ф}тткций
oГpaI{ичrFIЬI.
!''rя
:,,
этoгo
:,,
:,,
:o
нaй,цем
paBl{o-
1+1,,,
l+l=,'
l+1,,'
l#1=,'
|у1.=,,С =mnst>()'
l,l
Пoскoлькy
|ou
|
o=.^{,,
t, .,
слrД}Toш{ие
oцеI{Kи| o'1 , i:
ПoЛlп{иN,l
)с.2}'
l,...' 6:
: | , 2 , . . . ,6 .
| а 1 @v, ) |< 8 А 2 ,i
oценим
I ti| < B:
I
т7' ПoЛo)I(иB 0 ( e (
(27)
l,
(28)
с o n s t) 0 , е B { 1 / 2
(2e)
И 40,Ф6< 1,
-с1 < 6.
_
р . 6, o
1пtиTЬIBaЯ, чTo[]
g(4"ilV2||t+r;I7|+|а,|'?1tА1т'1+)
|'
. il
=|l,l
li,l
| |
Б [ + | o 3 |+
| l, . r| | t + ' t a |
l'P=
]
p.
< в *\|+/"в( 1 + xB)+BА2"282 +sА2(1 +"в12fr .
Lt
I
р<B+
38
181 э
'
n)А.6< 2
Aнaлoгичнo
иМerT М9сTo I{оpaBeнсTBo (4), тo
|а1(u,v)|_\+
+'4+|
| а 6 @ ' v ) ||, r , * 1 )+ 6 С mt ) с * '
oцrнKИ
: |, 2, ...' 6, oпpедrляeмЬIx фopпryлaми
I oi |, i
(16). Из (6) следyет, vтo
|Ч|,,'
lDl
| о 5 ( u , v ) |)=r , t 1 ) + 6 C m* ) , . , ,
oбoзнaчив
]
n1.
n1.I
,nIn-I1
q | а 4 ' Ё . т з ( I + Ё . 1 ' 4) + а 5 . Е - . 1 , 2 .\ ' з + |,
т3 = l.l+ J|
VP'
nI
п1
Б|
I
]
| + а 6 ( 1 + Ё 1. , 1) ( 1 + t ' т 4 )
ia=ta+
ll
|аa@,v)|<С+1+*,,,,
l1t
Мo)Iс{o пoKaзaTЬ' чTo
?
lr,l. rB,i=2,3,1.
tl
[ля втopьIx пpиблиxений бyдем иМrTЬ:
I+u2 +у2
| )t
.i
|,'|.тв,i:|,2.з.4.
tl
ьu 2b2 |
*-т.-|
-|з-_-!'!-!= с* l -},,,
tb'i
| 2(l+-)
|аJ|
Aна,тoгичньrMи
|
Пoкaxем Т9ПеpЬ' чTo из I.IopaBrI{сTBa
|i,\.1u,
ll
7 , 2 , 3 , 4 , в ь I т е к a r тI { е p a B е . I { с , |u,oi , ' | . ) u ,
tl
i : \' 2' 3, 4. Touнo TaK )I(eKaK эTo ДrЛaлocЬ .ш?.Iя
i:
paсc}Dк.цrI1'1ЯN[ИПoщ^IaеM' чTo
125
Beстник
,ГГУ.
т.2' вьттl.2' |997
1
ai )
HaхoДиМ
In |
1
ln+1l
|
:
| ' , | . Э B' l
ll'
i :
oцrl{Ky
"'|'
чTo
гIиTЬIBaя'
|п+1| 3
l ' 2 ' з , 4 . П o л 1 ^ r и|м" , | . z u ,
| |
1, 2, з, 4. Тем сaмьrшt .цoKaзal{a paBЕIoМep-
Е{aЯ oГpaнИчеI{нoс.гЬ ПocЛrДoBaTeЛьI{ocT9й :,,
i:
|, 2, 3, 4. oтсtoдa BЬITе,KaеT'IITo .ЩтIялIобoГo
p,I-,!*r
"r,p,)lrli.(",,p,I- i,1"r,p,1l*
li,r,,,
(31)
P?n-t - -]
lP!,,
+lI L(a1.p)dp-| L(t2.1)dll.
йо
|p.tо
|
п:
oценим Мo.цyЛь кaжДoй paзI{ocTи в пpaвoй
Tи I{rpaBенствa (3l).
3
I
lrl |
,nl
'J
= + ' : .т 1 1 .u * t ; , B < t *
l,"| |'
1
7". т
lttt
t"l
|u'("t,Pl )
tl
I
lrl 1,nl
i ,
тz|<
B<
|'p|=P"
1':.
u
tttl
_ u " ( o z , P z ) | : е | t 1 ( с ' 1_)t 1 ( o 2) | .
нrIIpеpЬIBнa
Taк кaк ф1тrкция l7(сt) paвнoмrpнo
Пo ycЛoBиIо ЛеMMЬI' To сyЩrсTByет ф1'тlкция
v7(y) тaкaя, vтo
iй|=|",'*'|.+
sup|t1(a1)-tt@э)|<уt(у)иvt 0).+ 0 пpи Y -+ 0.
Пoэтoшгy
nl Lnl
t
=
l u o l l ' ; 't 4 l < . ) R .
ltll
i"l
IIoсЛcДoBaoГpallичel{нoсТи
Из paвнoмеpнoй
тeльнocтей ПpoизBo.цньIх и фopпtyл (25) cледyет
paBнoМrpI{aя oГpaнИчrlfioсTЬ и paBl{ocTrПrт{т{aя
Haй.цeмTеПepЬoцrнKy
) _ u " ( " z ' P)z| <ul ( у) .
1,"("',p'
пп
НoПpеpЬIBнoсTЬ ПoслеДoBaTrJIьt{ocTе,|4 Ll, у .
paBr{ocTrПеI{I{)'.Ю неПpеpЬIBнoсTЬ
loкaxем
Пyсть
ПpoизBoДI{ЬIх.
ПoсJIе.цoBaTельнoстrй
Mt(ot,Fl), Мz("э,Fz) тaКиe ToчКи пoлoсьt Гц,
чTo
\"t- "zl+lf,t-0zl<t .
(30)
paBнocTeПeннoЙ
нeПprpЬItsдoкaзaтелЬcTBa
fпя
ПpoизBo.цtlЬIx
I]oOЛе.цoBaTельнoстей
HoсTи
nnnn
aITo NIЯ
пoKaзaTЬ'
llo, Цg, |ц, '!g l{ooтaToalнo
зttoбoгo
функшиЙ
n
I{еПpepЬIBI{oсТи
сУNfula мoдyлей
с Т p е 1 \ l И T с я K H y Л Ю п 1 r и " y - - +0 .
эTих
Мoдyлeм нrПpеpьIBнoсти ф}тrкции flх) нaзьr.
BaеTcЯ ф1нкция
. o 1 ( l ) =' s u p | f ( х t l _ f ( * z ) | .
|х] х2|<.|
n
oбoзнaчим ЧepeЗ |V(у) сyММy МoДyлrЙ не.ПpеpЬIBI{oсTИ
nnnn
ud, uP'
ф1тtкuий
ug,
Iр '
T.o.
=Ф п (^r)
+о.ln (у)+' n (\) +o.,
fur^,l
n (^|).
ud
uP
уd
vI]
n
ln
I
H а Й д е vo ш е l l K у
t ' P1 t - u ' t a 2 , p2 t ] ' .
|u"("
126
vaс-
p?пI
_ -]
1a!nt
L
r
a
1
.
P
)
d
P
- L tu2.P)dl'l<
II
-!
l2o
I
l?to
1 12 . ,
h r
l
*||''t'1"1,p1_,'t-1"2,$1аp|.
lJ
(32)
|
|ptо
oЦeним Ka)<Дoe сJlaГaoмoе. oTДrЛЬЕ{o' }^{иTЬIBaя
paBнo MepH!.Ю o ГpaничeHl{o сTЬ ГIoсЛr.цoBaT9Льнo -
,!", tru l", ip 'oГpaнитIеI{стей пpoизвo.цЕIЬIx
н o о т ь| а i | ,i : | , 2 , , , , , 6 .П o л y r и м :
lF?n-t - -l
ll L (qt,A)dPl--
I
ld,
п ]n_I _ _l
n ]n-l
lpz n ]п_]
= | J r " t . u u .u a+ а 2 .u P .у d +а з , u u . у a( с х 1 , p ) d p | s
I
tpr
. _х i , 1. 9} . 4 p l _ p I s 6 1 i у '
h l z о,--L,
-l
( d 2 . P ) | .o. 4 А ' у. t . к .
A н a л o г и . t н o| 1 .
It'io
I
_ F l о | < у.
|Fzо
oцrним теПcpЬ lToсJIrДнrеслaгarмoo в (32):
Beстник TГУ' т.2. въттl.2' 1997
1 ,^
,
|Р! п l
|.l
lP10 L
-
ц-l
-
.l
-|
rдe ^х(у
)=
L ( a t , 0 )- L ( a z , B ) d P
l<
rl
i-1
x(y) + 0 пpи 1-+ 0. Taк кaк
p ? | п|
l,ol'
4
+ 5t2А2у ' ПpичеM' oчеBИДI{o,
"2 zуi(у )
_
п I
( a 1 . P-I L t u 2 ' P| _) I P '
n
n I
I
( l' 2
I
w ( у ) . . у ' 0 ) *- . W ( у ) - 7 ' ( )у+
l
5.ll "|т,,r,/+
_
_
_
п 1п I
|п ]n l
п In 1
ut'(в1'pl, u| |'o.(dl,a)'uo, r',roi.Bi
рl|uo
]
I
n-!
t I
sАz | |
|.lp
oiо|,lnt
_
п_1п_1 _|
п1п-1 I u" up(uz'P) up уФ(a2,p) u" vp(uz,0)|
t;]
..,.rtl
? n
|,)
'wrll
.zт n
st
х(уt т I
. |
\ J
]
, [ 1 j , [ '" ( у )+ ' " ( у )+ ' " ( у )+ ' " r , l | .
l
"(
...т
'",
< 2 8 А . a n l ( " | ) + a n 1 ( 7 ) + r л n - 1 Q ) + a ,1 Q ) J Q + Б ) -
Цa
l
!q
Ч
'.p
\llquBуayB)
.'r,l}|t (+),](1)",Ь,",,,,.,r,l
}|t t.,),]-
- zв,s2T|/1
rуIу +в) < 56н2ьnw|(у).
Из пoл1лlенI{ЬIх
I{еpaBrнотви (3l) бyдeм имeть:
1n
_3],.,l_\хrlls
ttn
_
_
n
'\JJ
t ,B) - u"("2,P)l <
luo(o
I
|
|
(33)
(у).
12BА2у* sв,c2в\I/1
Aнaлoгичtlo:
_
-
п
|
1,$l - i'gro 2 ,?')|<"2u2tуt *
|i,gr
"
tl
lt1
,,n1
з |-i
l
]zrтl.
I
n
Y + 0. Teм сaмьiм ДoKaзaнa
paBнoсTrПеFIнaя I{eПpеpЬIBI{oсTЬ ПocЛе.,ЦoBaTеjlЬнoстеЙ гIpoизBo'цI{ЬIх. BoсПoЛЬзoBaBIIIиcь зaTeМ
TropеМoй ApЦелa, ПoЛyчarM yгBеp)к.цel{ие ЛeМMЬI 1.
ЕДинственнoсTЬ
IIoлу{rI{I{oгo prшIelн:llЯ cЛeДy9Т и3 },TBrpxдeнИя 1116;5,.цoKa3al{I{oгo B [6].
тo
"2ut(у)+
t
г
тI/(у)-+0гlpи
й7 - I]oЛoсa' зaKJIIoчrI{Haя Ме.щДyJIинияМи l1.. a * [] : 0 и 12: u + p :
: d, d : сonst. Пyсть вдoлЬ ЛI4]Pl||И 11 Зaгra]F^ЬI
ti(o),
ItaчaЛЬЕIЬIе,yсЛoBия (19)' гДе фyнкции
i : 7,2, 3, 4 paвнoмrpнo oГpaI{ичеHЬIи неПpsp Ь I B I I Ь Iv' ( с t ) с c , а ) 0 ,
е -чисЛoBoйI]apaМс.гp.
Л e м м a 2. Пyсть
.fl
+ 1 2 8 А ."у + 5 6 А " 6
-
ln
I
|Y (у ),
-
n
|
| i * ( . ' , pl _ i * ( . z , pl | < ' 2 uj ( у) +
tl
+ 1 2 B А ""у
_
|п
Toгдa пpи ДoсTaToчнo Мa'цoN{ а B ПoЛocе
i17 с}rr{есTB}еT peшI9ниr u(a, Г3), y(сt, р), KJ1aсca
]
+ 5 6 А ""
6 ПI I / ( у ) '
n
-
|
2uц(у)+128А2у+
l v p ( ta, A) v p (u 2 , 9) l <'
ll
(34)
h-l
"
+56А.6
w (у ),
гае v(y) -+ 0 пpи Y + 0, i : |, 2, 3, 4. Toгдa из
(33)и (3a)
n
| I / ( у ) = Ф n ( ^ r ) + aп ( у ) + a n ( у ) + с o n ( у ) S
ур
up
у0
t|d
.
fl I
< ' ," 4Z у i ( у ) + 5 1 2 А"" у+ 2 2 1 А . 6w ( у) =
i- I
С* сиотемьr (17), yдoвлеTBopяIoЩее нaчaлЬI{ЬIМ
.цaI{нЬIM (l9). Пpи эToM IIеpBЬIе ПpoиЗBo.цнЬtr
peшIel{ия иМе]оT вrrд (2|), где ф}тткции т;(с, B),
i : 1, 2, 3, 4 oгpaниveI{ЬI и paBl{oМrpl{o I{еПреpЬIBнЬI.
Пo ЛrММr
1 c1тцествyет
loкaзaтельотвo.
eДиI{стBeнI{oе pешrниe u(d, p), v(сt, Р) KJIaссa с
зaДaчи (17)-(l9) B ПoЛoсе П1 , ЗaКJIIoчeI{нoй
l.. u * р : 0 14 m1 : a + P : d,
Mr)к.цy ЛI4II'LЯNLIт
.
г,цr 6 ДocTaToчI{o Ма-цo. Пpи ЭТoМ ПrpBьI" ,,1,:иЗBoДньIr pешtrЕrиЯ иMеIOT BИД И* = Е+,,2.Сi1 ,
11
up=x",О2,
l1l
. n_]
= х(у) + 221АZ6I|/(у) < х(у) +
з n-l
1тl/
(у),
11
уd=Ё.'С)з ),p
11
="+Ё. .Q4,
гДr
I
l о i | . - B . B : с o п s rB. > l . l : | . 2 . з ' 4 .
' 'n^'',
m.: a +p : 6 пpимеM зa т{aч&rIЬI{),Tо,
a
3HaчеHИЯ
футlкшии
u ( с l . , P\ ^ ' .
v { с t , [ \) | , , '
^r^.1^.r^.1
u a ( \ J . ' |) з| n I I ' u p ( o " ' | 1 ) l ^ , .v o ( . / ' | l) | , , , ' l . g (t l - , F ) | ^ ,- ' u
r27
BестrrикТГУ, т.2, ььtтt.2,|997
I{oBЬIе I{aчaЛЬI{ЬIе ДaннЬIr. Пoлoxив
З;"в
<t ,
z
IITo B
tsI{oвь ПpиMrI{иМ ЛrMптy 1. Пoлyrим,
Л\7I1I4ЯNIИ
ПoЛocе
П2,
ЗaКJ-IIoченHoй меxДy
mц.. a + p : 6 и m2 : с( + [] : 26 с1тдествyeт
prшIrl{ие u(a, F), y(сr, Р) с C зaдa'lи (17)-(19),
ПpичrM
BиД:
I]еpBЬIr I]poизBo.цЕIЬIе peшIе.I{ия иМrIoT
)"2
12
.6t , up =.2 .d2 , уo = '2 .Q.J ,
Uu = x *
"2
) 2
lzl
y р= e + с , . Q 4 , Г Д r
| a ' | <2 B , i :
'tl
|,2,3' 4. Пoлa-
raя 2Bа { l, paсcу;кдеI{ия IIoBTopИNL NIЯ IТoлoсьI
П3 , ЗaKJIIoЧеннoй Mе)(Дy ЛИ]f,ИЯNIИm2: a + p :
2Б и mj: сx + р : 3Б и т.д.
N-2 paзa' гДe
Пoвтopив
ЭTи paccyjкДeния
d
|а1
Га1
N=|тl*1'
i;|- uелaя чacTЬ числa u l ГIo.iIУLo l
Lnl
чиМ' tlТo B fr7 с}rЦеcTByеT prlшeЕIиe к'racca С*
зa.цaчи (17)-(19)' ПpичrМ
prIIIе'I{ия иMrЮT Bи.ц:
Ц u = r : * , . '.2Q 1 , u a =
"2,С)2,
(3s)
Леммa 2.цoкaзaнa.
меx.
Пo лeмме 2 в пoлoое fr7 ' Зaк:ЛIoЧеннoй
-|
:
:
d, гце
0 и 11 : u * B
l :a
ДУ ЛИlзИЯ'*[|4:
D
d - некoтopaя пoлo)киTeЛЪI:.aЯПoсToяI{нaя' сyщrсTByrT peшIeI{ИrсисTеMЬI (l7) rотaооa C о
BaI{I{ЬIМи
якoбиaн
.цaI{нЬINIи (19), сoглaсo/' IIpиaIrМ I]9pBЬIr Пpoи3BoДньIe
LIaчaЛЬнЬIМи
вдoль
ИМе,Ioт Bи.ц (35).
peшIel{Ия
peIJJeHI4Я оистемьI
I = uuуB _ uвva =
"2
Из (35)
(17)
сле.цyoT, чTo
+ , ' o ( , . 21 + 0 .
Kpoме тoгo,
du
uodu-ugdg
,=-\zl.,lт'U
аv
vqаG+vBаr
(,
N)^
\
z )
(36)
Hеpaвеrrствo (36) ПoKaзьIBarT' чTo Пpи paссMoTpиBaеMoм oтoбpa;кеI{ии KoTaнгrнсЬI }'.ГлoB
нaKJToI{a oбpaзoв лlтниii с[ + p : const к ocи Оu
I{a ГUIocKoсTи ПrpеMеHI{ЬIx u' y paBHoМеpllo
I]o.
oтoбpaхrнИr
oГpaниче.т{ьI. Следoвaтельtlo,
JloсЬt тц гr'rocкoсти o, p B пoЛoсy П7 ILЦoс.
KIQT:,гI|' y, ocЛцoстBляrMor фyнкциями u(a, F),
v(сt, D), oД}IoJIиcTI{o.Пpи этoм из (19) слr.цyrT'
чтo лиI{ия l : a * р : 0 ПepeхoДИT B лI4т{иIo
u : О. Пoлo;кительн!,Iо
ПocToянrr!то r/ BсегДa
128
ПoЛocЬI ii/
ul,t,_uo, т.е. oбpaз
нa Iт''IoсКoотЬ Iте.pе.мrннЬIх u' у ||epe-
KpЬIBaЛ ПoЛoс} П7.
4. PaссмoтpиМ теПеpЬ сИсTeN4y (18). Фyнкции
u(a, 9), v(ш, D) yл<е нar1деньI B ПoЛoс9
fi'1 , Зaюrюченнoй
Mr)q{y ЛI4IнIт'ЯNIIIl .. u -| l] : 0 и
11 : u -| Iз : d (d > 0 - нaIropoД зa.цaнI{oe vислo).
Cледoвaтельнo,
B пpaBЬIx чaсTях ypaвнений
сиcTе,МЬI (18) стoят изBrсTI{ЬIr фyнкции пеpеМrЕIнЬIx
сx) p. Пoэтoшly ф1тткции p(u, l])'
сl@, F) Mo)IG{o нaЙти из (18) I{еПocprДоTBеI{I{ЬIM
иЕ{TоГpиpoBaниgM ypaBЕIgЕ{ий эToй cиcTеМьI с
у{9ToМ I{aчfu.IЬI{ьIxДaI{I{ЬIх(11). Пpи этoм
,
/
,\
/
\
y(v|u'0)|,,|;
Р|uо = p\()'v(a,p)|l)=
.
,t
^,1,).
Q | u0 = n u ] u - о =a t , ( , ' Р ' , l
ПеpBЬIе rrpoизвo.цI{ЬIе
Vu= е2 .с2з, vB= x +':2,С)4'
зaДat{I{ьIМи
Мo)кнo вьIбpaть тaк, vтoбьr
Taк кaк u(u, F), y(сt, P) с G, тo ЛеГKo ПoKaзaTЬ'
rтo и ф1тткции p(u, F), q(o, [J) е G.
Пoдстaвив нaй.ценньre фyнкции u(a, F), v(сr, P),
p(сr, I]), q(u, F) B r.IoсЛeДI{еrуpaBI{eI{ие' сИоTе,MЬI
(l5)'
нeПoсpе.цcTBеI{I{ЬIMиrlтrгpиpoBal{иrМ нaхoДиM ф1тrкциto h(a, F) е С2. B сI4rTyToгo' .r.r.o
oтoброкeние ф1тrкuиями u(a, []), v(сt, [j) . G'
fil IT]-IocKoсTи сt, p на гIoлoc! lI7
ПoЛoоЬI
oToбIТ'ToсKoсTи ц' у oДIIoЛ'lcTI{o' tr{ яKoбиaI{
paxеHия
I + О, тo
с}.IцесTB},IoT фнкции
a:
a(u, v)' F : F(u, у), oбpaтньtе к ф1тrкциям
u : u(a' P), y : v(сr, l]). Toглa Й(сt, p)
: h(a(u, у), p : (u, v)) е С2.
Taким oбpaзoм, оПpaBе.Д?TиBa
Леммa
3.ПyстьBпoЛoсе
п ,' t=
t | 0 < u < u n . _ Ф <y < + Ф ' L ч n = с o n s t , 0 \
laцoс-
кocти E2 с .цrKapToBьIMи Кoop.циI{{raшИ ц' v
зa.цaHЬI ф1тrкции а(u, v), b(u, v), J(u, у), y.цoBJIeТBopяIoш{ие yсЛoBияМ (3)-(6).
ToгДa в .Е'J сyrЦеcтвyeT pеryляpЕ{aя ПoBе.рxизoбpaIIoсTЬ' иМе'Ioш{aя сBoиN{ сфepиveоким
oпopнoй
ПoЛoоy П1 , зal]aвarМaя
хеI{ИеМ
ф1тrкцией h(u, v;) с С2, уцoвлетвopяroтr1еЙ нallaЦЬHЬl\,lдaнньrм ( l l ).
5. loкaxем
TeПеpЬ oфopшгyлиpoBal{Еt}Tо I{a
aтp, 122 TropеN[y. Пo .ltемме З в Ез су-IцеcTByeT
pеryЛяpЕIaя ПoBеpхI{ocTЬ Л7 с кpаем' зaДaBaeN{aя
oпopнoй ф}тrкцией h1(u, v) с С2, имеroшaя сBoПoлoсy
П1,
иМ сфеpиvеским
изoбpa;кениeм
ПpичеМ h1 r|p\I u : О yДoBлeTBopяrТ yсЛoBияМ
(1l)' a гayссoBa I1 apeДIlяЯ КpиBиЗнЬI Пoвеpx.
нocTи сBязaI{ЬI yслoBиrМ (3), где J(u, у), а(u, v),
b(u, v) - зaДaннЬIr ф}ъtкции, yДoBЛoTBopяIоII{ие
yоЛoBияМ (4), (5)' (6).
Пoвтopив Пpе.цЬIДyЩиo paооу)I(дeI{ия' мo)IG{o
пo/IoKaЗaтЬ сyщeоTBoвaI{тre в EJ pеryляpнoй
веpxнoсти ф
c KpaсM' зaдaвaемoй oпopнoй
С2, имеIошдей сBoиМ
v) €
<b}тrкцией hАu,
изoбpa;кениeм
Пoлoсy
сфеpиvеским
Beстник TГУ' т.2' въlл.2, 1997
пl=|_uо<us'(), _ф<y< +ф, u0=сonsr'0\'
)
llpИ-
yдoвлетвopяеT yсЛoBияМ (11)'
ЧeМ h2 ГIp\\ u:0
a гaycсoBa И cpeДHЯЯ KpиBизI{ЬI ПoBеpxI{oсТи Jт2
овязaI{ЬI yоЛoBиеМ (3)' ГДe а(u, у), b(u, у),
yДoBJIrTBopяIoш{иe
fl'u, v) - зa.цal{нЬIr ф1тlкции,
ycлoBияM (4)-(6).
Paсомoтpим фyнкцито
u<u<u0,
-с<У(*оl
i(u,v1= | h 1 @ , у ) , - u р
|h2(u,у),
<u<0,
_ф<y<+Ф' u0=сo||st>U
(37)
Г L v с . Г Ь| | , I n ( 0 , , n ) . { ( ut ,uyu.|, _ * . , . * } :
V - неI
l
KoTopaя oKpесTl{oоTь ToчKvl,I|Io : V =I71UII2. Из
МIIo)<есTBa И[lП7
cЛrДoBaтелЬI{oсTЬ
(38)
i u 1 о , , , l = h 1 u ( 0 , v )_ h z ( 0 , у ) = ' у ( у)
KaX.цoй ToчKе BЬIбpaннoй ПoсЛgДoBaTrЛьнoсTи
су-IцrcTв}ToT
BTopЬIе ПpoизBoДI{ьIе ф}тtкции
h/u, v), ПpичrМ иMerT МeсTo l{epaBенотвo (42).
Пoэтotшy из (4l) бyдем имeть:
_ АзЦuu_ Аl
А5h?uu_ А4h1uu
А2 + А5h1уu
ul$*htu'
= v, (|),
iuu1о,,1 = hIuу(о,у) = h2цу(0,v)
) h 2 ( 0 , v )= ' у , ( v ) ,
i u 1 о , u 1 =h 1 , ( o , v =
У )Уg
А5(0,vo)'у12 (v,,) _ А4(0,vo),.p,,(vo) - А1(0,v,,)
( vu)
А2( 0,vo) + А5 ( 0,t,o)<p,'
AнаЛoгичнo
uЩ
h2uu =
t )lo
(39)
o,ll) = hzуу(0,у) = v,,( у),
iuu1о,, 1 = h1"u(
( у o ) - А ц ( ( ) , у u ) q , , ( v o- )А l ( 0 , у o )
_ Аs((),vo)чl12
А2 ( 0,vo ) + А5 ( 0,ус,)q'' ( vo)
oтсtoдa слeДyеT су-IцrотвoBaI{иe iuu B ToЧКo М4 .
Taк
ПpИчrМ
кaк
пpямoй
(40)
сp,,(у)f(0,v)(1
+ v21з/2 + -b(0,v) .
Bo вщтpенниx oблaстяx Пoлoс П7 и П2 фyнкции h1(u, v), hfu, v) пpинaдте>кaтклaccу С2 и
.цaI{I{ЬIми (l1)'
(9)
с
ЕIaчaЛьI{ЬIMи
А1 + А2h2цц + А1h2uu + А4h2uu +
(41)
+А5 ( h2uuh2uу- h22uu
) = ()
Пo нrпpеpьrBl{ooTи
МrcTo и в некoтopoй
и :
М9
0, тo
ПpoизBoЛЬI{o
BЬIбpaнa
iuu
нa
в кaх(Дoй
суlцесTByсT
ToчKgЛиI{иии:0.
Итaк, оyщеcTвoBaЕIиr
ф}цrкции
BTopьIx ПpoизBoДFIьIх
вloltЬ ЛиI{ии ц : 0 ДoKaзal{o'
i(u'v)
т.e. i1u,v1 сС2
Ф),тlкция
+А5(h1u,h1uu_n|uu)=о
А2+А5<p,'(v)+0,
тoчкa
вctoДу B Пoлoсe
.: (
| l = \ _ u ( ) < u < u 0 ' _ ф <.|< + q . I l n = с o n s t > 0 \ .
А1 + А2h1uu + Аjh1uu + А4h1uu +
BДoЛЬ лиlIии u :
Пocкoлькy
не.paBеI{cTBo (40)' тo пpи u : l J
д s п | , , , . _А 4 h l , . , . _А . z h 1 u -, .А 1
'
А2 + А5h1uu
u-0*
=ltm'"'tt=
у)уo
oЧеBиднo, .Iтo i(u,v) еС2 , leЙcтвиTеЛьнo'
пpи 0 < u < u6И -u6 < l| < 0 h/u, v) е С2,
h1@, v) с С2. ПoкaxеМ' чTo суlц9оTB}тoTBTopьIе'
i1u,v1 BДojIь ЛиI{ии
I]poиЗBo.цI{ЬIеф1тrкции
u: О.
Из (38) иМе'еМ:
уpaBI{еIlитo
т.е.
Mn.
To B
ToгДa
i ( о,,) = h1(0,v) = h2( (),v) = p( у);
y.цoBлrTBopяIoT
TotIеK2 схo.цяшЦ'.Юoя K
Пoскoлькy h1@, v) с С2в II1 и VОтI1сП7,
hluu =
гДе
вЬIбеprМ пpoизBoлЬH}To Пo-
BЬIПoЛI{яeтся
(42)
неpaве.I{сTBo (42) и}v{eeT
oKpеотI{ocTи литllли u : О.
ПoвеpхI{ocтЬ
oПprДrЛяеT
F = r1Ur2, |tre F1 - ПoBrpxl{oсTЬ' oПpеДеЛЯeNlaЯ
oПopl{oй фyнкцией h1(u, v), ф . пoвepxнocTЬ,
v),
oпopнoй
oПpeДrляеМaя
ф}тlкцией h!u,
ПpИчеМ BДoЛЬ ЛиI{ии и : 0 пoвеpxшoc"ГИ F1 И F2
сoBПaДaIoT.
Пoлoсa
fr гт'тoокoсти ПoprМrЕII{ЬIx и, y Гo.
меoмopфнo
0
i(u,v)
веpxней
oтoбpaxaетоя
пoлyсфеpьI
нa
дв1ryтoльгrик
сфеpьt 52. Пpи
-i
u0 ) +ф
сфеpьI 52.
я Яг,ЛЯeTcЯ oTКpЬIToй пoлyсфepoй
.цoПyоTиM' чTo М - тovкa вepх!ействительнo:
близкaя К эKBaTopy сфеpьI.
ней пoлyофepьI,
oбoзнaчим .rеpез Бo paостoяние oт тoчки ,1,1Дo
эКBaTopa. Bьrбеpем ДByyIoЛЬIJиK
Л
тaк, vтoбьI
129
Beстник TГУ. т.2. въттl.2' 1997
paссToяI{иe oT eгo ГpaниIIЬI .цo ЭKBaTopa сфеpЬI
бьшo dо/' B силy еДиHсTBеHHосTИpеtIIеHИя
,2
F ,
I]oBеpxI{ocTи -F и
Зa.цaalи Koшrи (9)-(l1)
oбpaзaMи ДByиМelощиr сBoИМи cфrpИчrсKиMи
сooTBе.TcTBrIlHo'сoBПaл и n
}ТoЛЬниKи
нa oбщeй чaсTИ эTиx ouyу.o,o''"ou,
Дaloт
I]pиПoэтotщ,, еcЛи ToчKa M нeorpaнlтчelшo
блиxaетоя К эKBaTopy' тo Б,-+ 0, a дв11тoльник
сoBIIa.цaeт c oткpьrтoй пoлyофеpoй.
Пpиведем ПpиMеpьI пoвеpxнoстей,
Д,tя KoT o р Ь I хB Ь I I ] o Л I U I I o TУ сc ЯЛ o l k т Я T r o p е , M Ь I : , f ( u , v )
2. Пapaбoлoи,ц Bpaщrl{ия
(
l
l
; )
r ( u , v ) = l u , v ,j ( u ' + v " ) l
)
Пpи зa.цaЕII{ьIхф}T{KЦияx
а(u,v)=1t+u2 11t*u2 *,2 1;
b(u,v) =_(1+u2 +v2 )1/2.
R
1. Гипеpбoли.Iеский пapaбo.шoид
(
I
.
2
,)
i1u,v1 =|u,v, n{uz _ v. )I
,)
1 ,)
2' 1
= _ ( l + v ).
.) ' ( I + u . + у .) ' .
ЛИTЕPATУPA
А.B. Bнerптrяя
IеoмeTриЯвьlп}.юrIьIх
пoвrpxflo|. Пoеopе,,toв
стeй'М'. 1969.
с ЗaДaIII{ьIми
ф1тrкuиям'
з:fii:::;:;iriжъ3ёЪ:fl#1':,'it]"i{1fl'Ё";#;-i3lJ
=6t+u211t
*u2*,21,
а(u'v)
' fiж;"Ё!;,3ъT,ffi#Ш"*1;^ffi,i.i"f.,j
i#J;*i;
...кaнд.
Ь l 1 11 , ) _ , t - , , 2 - , , 2 J / 2
,
4. IIIuкuн E.B. Тeзиcьl дoI.п4цов fV
кривизтъr:
[ис.
H#:i':1ъ1н-ельнoй
6.Eаrtпаn
P', wiпtnеr Л
ь:ъl,i:ffi/?
f(u,v)=_(1+u2*u21-112u2+v2+3),
130
Bсесоroзной мe;rоyзoв.
физ.-мaт.
o п h y p e т b o l i сp a r t i a l d i l l е т e n t i a l
Ameтiсan
J. of Мathematiсs.1952.v. 74.Na 4'
Пoст.vпшraвpeДaКцию4leкaбpя1996г.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
13
Размер файла
653 Кб
Теги
средней, кривизна, линейной, возможности, восстановлен, полное, заданной, поверхности, комбинации
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа