close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О гипотезе Абеля.

код для вставкиСкачать
ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т.19, вып.3, 2014
УДК 511
О ГИПОТЕЗЕ АБЕЛЯ
 В.И. Фомин
Ключевые слова: гипотеза Абеля; натуральное число; простое число; бином Ньютона; простой делитель.
Предложено прямое доказательство гипотезы Абеля элементарными методами в некоторых частных случаях.
ВВЕДЕНИЕ
Пусть
n  3 ; 3 =
n N ,
x n  y n  ( x  y) A ,
, ,  , ,  ∈  ,
 n  {( x, y, z)  N | | x  y  z; ( x, y)  1, ( x, z)  1,
3
( y, z)  1; x n  y n  z n } . Известно следующее предположение Абеля [1]: если ( x, y, z)  n , то ни одно из
чисел x, y, z не является степенью простого числа.
В работах [2], [3] методами, использующими арифметическую теорию эллиптических кривых, теорию
модулярных форм и теорию представлений Галуа и их
деформаций, было доказано, что n   , т. е. чисел
x, y, z , о которых идет речь в формулировке гипотезы
Абеля, не существует.
Несмотря на столь выдающийся результат, остается
открытым вопрос о возможности прямого доказательства гипотезы Абеля элементарными методами, т. е.
методами, не выходящими за рамки понятия натурального числа. Такое доказательство найдено в двух случаях [1]:
1) число n не является простым;
2) n  L и n | ( x y z ) , где L – множество нечетных
простых чисел (запись a | b ( a | b ) означает, что натуральное число a делит нацело (не делит нацело) натуральное число b ).
Вопрос о возможности прямого доказательства гипотезы Абеля остается открытым в случае
3) n L и n | ( x y z ) [1].
В данной работе предлагается еще одно элементарное доказательство гипотезы Абеля для случая 2), а
также исследуется случай 3).
(2)
где
A  ( x  y) n 1  n y n 1 
n2
C
k
n (x 
y) n  k 1 (1) k y k .
k 1
В силу равенств (1), (2) получаем
z n  ( x  y) A .
(3)
Из представления (3) видно, что x  y – составное
число, ибо в противном случае получили бы, что
( x  y) | z , а это противоречило бы неравенству
z  x  y , которое следует из равенства (1) и условия
x  y  z : z n  x n  y n  z n1x  z n1 y 
z x y.
Пусть l  z  y , s  z  x ,   x  y  z . Заметим, что
l , s,   N ; l  s , s  2 ,  – четное число. Заметим, что
x l ,
(4)
y s .
(5)
Записывая равенство (1) в виде (  l ) n  y n  ( y  l ) n
и используя бином Ньютона, а также известное тождество
n
a n  b n  ( a  b)
a
n j
b j 1 ,
j 1
ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ
получаем соотношение вида
Пусть n  L , ( x, y, z)  n . Тогда
xn  y n  z n .
Записывая
левую
(1)
часть
равенства
(1)
в
виде
x n  y n  ( x  y)  yn  y n и используя бином Ньютона, а также нечетность показателя n , получаем соотношение вида
n2

1 k k 1

n  n l s  l n2 
Cn l
n

k

1


nk

j 1


y nk  j  j 1  ,


которое можно записать в виде
n1


n  n l s  y n2 
y n1 j 

j 2


j 1
n1

 nC
k 2
1
k k 1
nl
nk
y
j 1
nk  j


j 1 



.
(6)
829
ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т.19, вып.3, 2014
Записывая равенство (1) в виде x n  (  s) n 
 ( x  s) n и проводя аналогичные выкладки, получаем
соотношение вида
n 1


n  n l s  x n2 
x n1 j 

j

2


В силу соотношений (8), (12), (14) из равенства (6)
следует, что
l  an ,
j 1
n 1

 nC
k 2
1
k k 1
n s
nk
x
n k  j

j 1

j 1  .



(7)
Заметим, что в правых частях равенств (6), (7) числа
1 k
Cn , 2  k  n  1 являются целыми, т. к. n | Cnk ,
n
1  k  n  1 при простом n .
Предположим, что l  1 . Пусть li , s j – простые
делители, соответственно, чисел l и s ( 1  i  h ,
1  j  r ; h, r – некоторые натуральные числа). Из
представления (6) получаем
li |  ,
(8)
sj | .
(9)
(16)
где a – некоторое натуральное число, т. к. в противном
случае получили бы, что некоторый li | y , а это противоречило бы, в силу соотношения (10), условию
( x, y)  1 .
В силу соотношений (9), (12), (15) из равенства (7)
следует, что
s  bn ,
(17)
где b – некоторое натуральное число, т. к. в противном
случае получили бы, что некоторый s j | x , а это противоречило бы, в силу соотношения (11), условию
( x, y)  1 .
Из соотношений (6), (7), (16), (17) следует равенство
  n ab ,
(18)
Следовательно, в силу равенств (4), (5)
li | x ,
(10)
sj | y .
(11)
где  – некоторое натуральное число, причем
( , a b)  1 ,
В силу условия ( x, y)  1 из соотношений (10), (11)
видно, что
li  s j ,
(12)
т. е. (l , s)  1 . Из представления (6) следует, что
n| .
т. к. в противном случае получили бы, в силу соотношений (8), (12), (14), что некоторый li | y ; и, в силу
соотношений (9), (12), (15), что некоторый s j | x , а это
противоречило бы, в силу соотношений (10), (11), условию ( x, y)  1 .
Используя равенства (4), (5), (16) – (18) получаем
x  n  a b  a n , y  n  a b  b n или
(13)
Теорема 1. Пусть n L , ( x, y, z)  n и n | ( x y z ) .
Тогда ни одно из чисел x, y, z не является степенью
простого числа.
Доказательство. Рассмотрим представление (3).
Пусть p и q – некоторые простые делители, соответственно, чисел x  y и A . Тогда p | z , q | z . Из условия n | z следует, что p  n . Далее, p | y , т. к. p | z и
( y, z)  1 . Из соотношений p | ( x  y) , p  n , p | y
получаем, что p | A . Следовательно, q  p . Таким
образом, два различных простых числа p и q являются делителями числа z . Следовательно, z не является
степенью простого числа.
Известно [4], что при выполнении условий теоремы 1 справедливо неравенство l  1 .
Так как n | ( x y ) , то в силу соотношений (10), (11)
li  n ,
(14)
sj  n .
(15)
830
(19)
x  a (n  b  a n1 ) ,
(20)
y  b (n  a  b n1 ) .
(21)
Пусть ai – некоторый простой делитель числа a
(т. е., в силу равенства (16), ai – некоторый простой
делитель числа l ), q – некоторый простой делитель
числа n  b  a n1 . Из равенства (20) видно, что ai | x ,
q | x . Заметим, что ai  q , ибо в силу соотношений
(12), (14), (17), (19) ai | (n  b  a n1 ) . Таким образом,
два различных простых числа ai и q являются делителями числа x . Следовательно, x не является степенью простого числа.
Аналогично из равенства (21) вытекает, что число
y не является степенью простого числа. Теорема 1
доказана.
Заметим, что в силу равенства z    l  s и формул (16)–(18) число z можно записать в виде
z  n  a b  a n  bn .
ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т.19, вып.3, 2014
В силу равенства (3) каждый простой делитель vi
числа x  y является делителем числа z , следовательно, vi |  , ибо   x  y  z . Из условия n | z следует,
что vi  n . В силу условий ( x, z)  1 , ( y, z)  1 получаем, что vi | a , vi | b . Тогда из формулы (18) следует,
что каждый простой делитель числа x  y является
делителем числа  .
Рассмотрим случай 3).
Теорема 2. Пусть n L , ( x, y, z)  n и n | x . Тогда ни одно из чисел x, y, z не является степенью простого числа.
Доказательство. Рассмотрим представление (3).
Пусть p и q – некоторые простые делители, соответственно, чисел x  y и A . Тогда p | z , q | z . Из соотношений n | x , p | z , ( x, z)  1 следует, что p  n . Далее, p | y , т. к. p | z и ( y, z)  1 . Из соотношений
p | ( x  y) , p  n , p | y получаем, что p | A . Следовательно, q  p . Таким образом, два различных простых числа p и q являются делителями числа z .
Следовательно, z не является степенью простого числа.
В силу соотношения (13) число  можно записать
в виде
  nm 0 ,
(22)
где m – некоторое натуральное число, n |  0 . Из соотношений n| x , n |  , l  x   следует, что n| l . В силу
соотношений n| x , ( x, y)  1 получаем, что n | y . Из
соотношений n |  , n| l , n | y следует, что n | B , где
B – выражение, записанное в скобках в правой части
равенства (6). Тогда из соотношения (6) видно, что
l  n mn1 l0 ,
(23)
где l0 – некоторое натуральное число, n | l0 .
В силу равенств (4), (22), (23) число x можно записать в виде x  nm 0  nmn1 l0 или
x  nm C ,
(24)
где
C  0  nm (n1)1 l0 .
Пусть q – некоторый простой делитель числа C .
Тогда в силу равенства (24) q | x . Заметим, что q  n ,
ибо n |  0 . Таким образом, два различных простых
числа n и q являются делителями числа x . Следовательно, x не является степенью простого числа.
Из условий n| x , ( x, y)  1 и соотношения (11) следует справедливость неравенства (15). В силу соотношений (9), (12), (15) из равенства (7) следует формула
(17). Из соотношений (7), (9), (12), (13), (15), (17) получаем равенство
  n 0 b ,
(25)
где 0 – некоторое натуральное число, причем
(0 , b)  1 ,
(26)
т. к. в противном случае получили бы, что некоторый
s j | x , а это противоречило бы, в силу соотношения
(11), условию ( x, y)  1 . В силу равенств (5), (17), (25)
число y можно записать в виде
y  n 0 b  b n
или
y  bF ,
(27)
где
F  n 0  b n1 .
Пусть b j – некоторый простой делитель числа b
(т. е., в силу равенства (17), b j – некоторый простой
делитель числа s ), q – некоторый простой делитель
числа F . Из равенства (27) видно, что b j | y , q | y .
Заметим, что b j  q , ибо b j | F в силу соотношений
(15), (26). Таким образом, два различных простых числа b j и q являются делителями числа y . Следовательно, y не является степенью простого числа. Теорема 2 доказана.
Теорема 3. Пусть n L , ( x, y, z)  n и n | y . Тогда ни одно из чисел y, z не является степенью простого числа. При выполнении дополнительного условия
z  y  1 число x также не является степенью простого числа.
Доказательство. Исходя из представления (3) и
проведя такие же рассуждения, что и при доказательстве теоремы 2, приходим к выводу, что z не является
степенью простого числа.
Из соотношений n | y , n |  , s  y   следует, что
n | s . В силу соотношений n | y , ( x, y)  1 получаем,
что n | x . Из соотношений n |  , n | s , n | x следует,
что n | H , где H – выражение, записанное в скобках в
правой части равенства (7). Тогда из формул (7), (22)
видно, что
s  n mn1s0 ,
(28)
где s0 – некоторое натуральное число, n | s0 . В силу
равенств (5), (22), (28) число y можно записать в виде
y  nm 0  nmn1 s0
или
y  nm E ,
(29)
831
ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т.19, вып.3, 2014
где
E  0  nm (n1)1 s0 .
Пусть q – некоторый простой делитель числа E .
Тогда в силу равенства (29) q | y . Заметим, что q  n ,
ибо n |  0 . Таким образом, два различных простых
числа n и q являются делителями числа y . Следовательно, y не является степенью простого числа.
Пусть выполняется дополнительное условие
z  y  1 . Из условий n | y , ( x, y)  1 и соотношения
(10) следует справедливость неравенства (14). В силу
соотношений (8), (12), (14) из равенства (6) следует
формула (16). Из соотношений (6), (8), (12), (13), (14),
(16) получаем равенство
  n 0 a ,
где
0
(30)
В силу соотношений n |  (13), n | z , x  y  z  
получаем, что n | ( x  y) . Следовательно, выражение
1 k
A 0 является натуральным числом, ибо
Cn  N ,
n
1  k  n  2 . Пусть q – некоторый простой делитель
числа A 0 . Тогда в силу равенства (32) q | z . Из соотношений n | z , ( y, z)  1 получаем, что n | y . Тогда
n | A0 , т. к. n | y , n | ( x  y) , n  1 2 . Следовательно,
q  n . Таким образом, два различных простых числа n
и q являются делителями числа z . Следовательно, z
не является степенью простого числа.
Тот факт, что число y не является степенью простого числа и в случае выполнения дополнительного
условия z  y  1 число x не является степенью простого числа, устанавливается точно так же, как при
доказательстве теоремы 1. Теорема 4 доказана.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
– некоторое натуральное число, причем
(0 , a )  1 , т. к. в противном случае получили бы, что
некоторый li | y , а это противоречило бы, в силу соотношения (10), условию ( x, y)  1 . В силу равенств (4),
(16), (30) число x можно записать в виде
x  n 0 a  a n
или
x  a (n 0  a n1 ) .
(31)
Исходя из равенства (31) и проведя такие же рассуждения, что и при доказательстве того факта в теореме 2,
что y не является степенью простого числа, приходим
к заключению, что x не является степенью простого
числа. Теорема 3 доказана.
Теорема 4. Пусть n L , ( x, y, z)  n и n | z . Тогда
ни одно из чисел y, z не является степенью простого
числа. При выполнении дополнительного условия
z  y  1 число x также не является степенью простого числа.
Доказательство. Запишем равенство (3) в виде
z n  n ( x  y ) A0 ,
(32)
где
A0  y n1 
1
( x  y) n1 
n
n2
nC
k 1
1
k
n (x 
y) nk 1 (1) k y k .
В силу теорем 1–4 и наличия доказательства гипотезы Абеля в случае, когда число n не является простым, для положительного ответа на вопрос о возможности прямого доказательства гипотезы Абеля элементарными методами остается доказать одно из следующих утверждений.
1. Если n L , ( x, y, z)  n , n | ( y z ) , z  y  1 , то
x не является степенью простого числа.
2. Если n L , ( x, y, z)  n , n | ( y z ) , то z  y  1
(аналог результата Инкери).
Заметим, что условие n | ( y z ) означает следующее:
либо n | y и n | ( x z ) , т. к. ( x, y)  1 , ( y, z)  1 ; либо
n | z и n | ( x y) , т. к. ( x, z)  1 , ( y, z)  1 .
ЛИТЕРАТУРА
1.
2.
3.
4.
Рибенбойм П. Последняя теорема Ферма для любителей. М., 2003.
С. 212, 217.
Wiles A., Taylor R. Modular elliptic curves and Fermat’s last Theorem // Annals of Mathematics. 1995. V. 142. P. 443-551.
Wiles A., Taylor R. Ring theoretic properties of certain Hecke algebras // Annals of Mathematics. 1995. V. 142. P. 553-572.
Inkeri K. Untersuchungen über die Fermatsche Vermutung // Ann.
Acad. Sci Fenn. Al. 1946. № 33. S. 1-60.
Поступила в редакцию 16 мая 2014 г.
Fomin V.I. ON ABEL’S CONJECTURE
Direct proof of the Abel’s conjecture based on elementary methods in some special cases is offered.
Key words: Abel’s conjecture; natural number; prime number;
binomial formula; prime divisor.
Фомин Василий Ильич, Тамбовский государственный технический университет, г. Тамбов, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры прикладной математики и механики, e-mail:
vasiliyfomin@bk.ru
Fomin Vasiliy Ilyich, Tambov State Technical University, Tambov, Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor, Associate professor of Applied Mathematics and Mechanics Department, e-mail: vasiliyfomin@bk.ru
832
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
582 Кб
Теги
гипотезы, абеляр
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа