close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О гладкости обобщенного решения вариационной задачи Дирихле для вырождающегося эллиптического уравнения в дивергентной форме.

код для вставкиСкачать
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН
2008, том 51, №12
МАТЕМАТИКА
УДК 517.918
С.А.Исхоков, А.Ё.Куджмуродов
О ГЛАДКОСТИ ОБОБЩЕННОГО РЕШЕНИЯ ВАРИАЦИОННОЙ ЗАДАЧИ
ДИРИХЛЕ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ В
ДИВЕРГЕНТНОЙ ФОРМЕ
(Представлено членом-корреспондентом АН Республики Таджикистан З.Х.Рахмоновым 20.10.2008 г.)
Пусть
– ограниченная область в n -мерном евклидовом пространстве R n с n 1 -
мерной границей
. Обозначим через
. Символом Lq;
измеримых в
, где q,
x регуляризованное расстояние точки x
до
– вещественные числа и q 1 , обозначим пространство
функций с конечной нормой
1/ q
q
u; Lq;
Пусть
r – натуральное,
k
x
.
dx
, p – вещественные числа, p 1 . Символом Vpr;
пространство функций u x
ные u
x u x
q
обозначим
, имеющих обобщенные в смысле Соболева производ-
x
r с конечной нормой
k
1/ p
u;V pr;
p
x u
k
p
x
p
dx
r
x u x
p
dx
.
k r
Здесь и далее k
k1 , k2, ,..., kn – мультииндекс, k
k1 k2 ... kn - длина мультииндекса k
и
k
u
k
x
k1
1
x
u
.
x ... xnkn
k2
2
Пространство антилинейных непрерывных функционалов F над пространством Vpr;
обозначим через V pr;
. Норма в этом пространстве определяется равенством
F ; V pr;
sup
u 0
где символ
F, u
F,u
u;V pr;
означает действие функционала F
802
V pr;
,
на функцию u Vpr;
.
Математика
С.А.Исхоков, А.Ё.Куджмуродов
Рассмотрим следующий дифференциальный оператор в дивергентной форме
Au
1
l

k
akl x u x
l
(1)
k ,l r
и связанную с ним полуторалинейную форму

akl x u k x v l x dx .
B[u, v]
k ,l r

Предполагается, что коэффициенты akl x имеют вид

akl x
bkl x akl x
k ,l
,
r, x
(2)
где
bkl x
2
k
l 2r
x .
Настоящая работа посвящена исследованию гладкости решения следующей вариационной задачи Дирихле.
Задача D0 . Для заданного функционала F
требуется найти решения
V2;r
u x уравнения
B[u, v]
принадлежащие пространству V2;r
F, v
v C0
,
.
Заметим, что вариационная задача Дирихле с однородными граничными условиями,
рассмотренная в работе авторов [1], является частным случаем задачи D0 .
Предположим, что коэффициенты akl x
I) существует число M
дексов k , l таких, что k
l
k ,l
0 такое, что akl x
r; x
удовлетворяют условиям:
M для всех x
и любых мультиин-
r;
II) для всех мультииндексов k , l , удовлетворяющих условиям k , l
коэффициенты akl x принадлежат пространству Lqkl ; kl
определяются равенствами
803
, где
kl
r, k
l
2r 1 ,
n / qkl , а числа q kl
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
n
2r k
qkl
l
,
2n
n 2 r k
0
Здесь и далее
0
0
если 2 r
k
n, 2 r
l
n
если 2 r
k
n, 2 r
l
n
,
(3)
2n
n 2 r l
1
2008, том 51, №12
если 2 r
k
n, 2 r
если 2 r
k
n, 2 r
,
0
,
l
l
n
n.
– достаточно малое положительное число.
Сформулируем результат об однозначной разрешимости задачи D0 .
Теорема 1. Пусть
1
2
1
2
1, 2,..., r ,
r,
(4)
выполнены условия I)- II) и пусть существует число c 0 такое, что
2
Re B[u, v] c v;V2;r
v C0
,
Тогда для любого заданного функционала F
.
(5)
задача D0 имеет единствен-
V2;r
ное решение u x и выполняется оценка
u;V2;r
где число M
M F ; V2;r
,
(6)
0 не зависит от F .
Далее, при некоторых дополнительных ограничениях на коэффициенты akl x
k ,l
r
и на функционал F доказывается, что решение u x
пространству V2,2 r
r
. Сформулируем эти условия:
III) существует положительное число
Re
0
akl x
0
k
k r
и любого набора комплексных чисел
IV) для всех мультииндексов k , l ,
водные akl
0 такое, что
2
k l
k ,l r
для любого x
задачи D0 принадлежит
таких, что k
x существуют и выполняется неравенство
804
k
l
k r
r,
;
r обобщенные произ-
Математика
С.А.Исхоков, А.Ё.Куджмуродов
akl
где число M 1
x
M1
,
x
x
0 не зависит от x ;
V) для всех мультииндексов k , l ,
обобщенные производные akl
таких, что k , l
x существуют и akl
pkl
max 2r
kl
Здесь
0
max 2
k
0
0
x
r, k
Lpkl ;
l
2r 1,
max k , l ,
, где
kl
; qkl ,
; 2r
(7)
l
0
;
n
.
qkl
– достаточно малое положительное число и числа q kl определяются равенст-
вами (3).
Теорема 2. Пусть выполнены условия (2), (4), III)- V). Пусть
r/2 и
s0
C s0
где s0 – целое число, удовлетворяющее условию r
Тогда для любого заданного элемента F
1
,
1/ 2
L2;
(8)
s0
r
задача D0 имеет единственное
r
решение u x , это решение принадлежит пространству V2;2 r
u;V2;2 r
где число M 2
M 2 F ; L2;
r
1/ 2 .
r
и удовлетворяет оценке
,
r
(9)
0 не зависит от F .
Доказательство. Как и в работе [2], в качестве главной части оператора A (см.(1))
рассмотрим оператор
A0
1
k
r

k
akl x u x
l
.
l r
Пусть B0 [u, v] полуторалинейная форма, ассоциированная с оператором A0 . Коэффициенты формы B0 [u, v] удовлетворяют всем условиям теоремы 2.2 работы [3] при m r .
0
Так как в условиях нашей теоремы W
норм) и V2;m
r
L2;
m
r
2r
2;
V2;2 r
r
r
(с точностью до эквивалентности
при m r , то из теоремы 2.2 [3] при m
r,
1
0 следует
Лемма 1. Пусть выполнены условия (2), (4), (8), III), IV). Тогда для любого заданного
элемента F
L2;
r
задача
805
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
B0 [u, v]
2008, том 51, №12
u V2;2r
F, v
v C0
r
имеет единственное решение u x , и это решение удовлетворяет оценке
u;V2;2 r
c F ; L2;
r
,
r
где число c не зависит от F .
Более того, оператор A0 осуществляет изоморфизм (алгебраический и топологический) пространства V2;2 r
на L2;
r
.
r
В силу этой леммы существует число
1
u;V2;2 r
0 такое, что
1
1
A0u; L2;
r
r
u;V2;2 r
(10)
r
1
для всех u V2;2r
.
r
Лемма 2. Пусть выполнены все условия теоремы 2. Тогда существуют числа
1,
0 такие, что
0
u;V2;2 r
при
0
V2;2r
; H ,
2
. Здесь и далее b0 x
Доказательство.
H
Au
r
,H
r
L2;
Для
r
A0
(11)
r
x .
записи
вводим
следующие
обозначения
. Нормы этих пространств соответственно обозначим через
обозначим скалярное произведение в пространстве H .
b0u; H
2
2 Re A0u, b0u
A0u, A1u
u V2;2 r
r
A1 . Тогда
Au
Так как
r
удобства
; H . Символом , 
Обозначим A
b0u; L2;
A0u; H
A0u; H
2
A1u; H
2
2 Re A1u, b0u
A1u; H
2
и Re A0u, A1u
2 Re A0u , A1u
b0u; H
2
(12)
.
A0u , A1u
, то в силу неравенст-
ва (10) имеем
2 Re A0u, A1u
2
1
u; H
– произвольное положительное число.
Вводим обозначение
806
2
4
A1u; H
2
,
(13)
Математика
С.А.Исхоков, А.Ё.Куджмуродов
n
2r k

qkl
max 2
если n
,
l
0
,
n
2r k
2 2r
k
, если n 2 2r
l

Непосредственной проверкой можно убедиться в том, что qkl
k .
pkl для k , l
r , где числа
pkl определены равенством (7). Поэтому в силу ограниченности области
из условия V)
следует, что akl
k
x
Lqkl ;
k ,l
k
r, k
l
l , где
2r 1,
k
2r
0
. Следо-
вательно, коэффициенты оператора A1 удовлетворяют условиям работы [2], и в силу леммы
этой работы для любого достаточно малого числа
0 существует число M
0 такое,
что
Au
1 ;H
для всех u
2
2
u; H
M
u; L2;
2
r
H . Отсюда и из (13) следует, что
4
2 Re A0u, A1u
u; H
2
1
4
2
M
Действуя аналогично, оцениваем 2Re A0u, b0u
2
u; L2;
r
.
и 2Re Au
. Применяя полу1 , b0u
ченные оценки, из (12) находим
Au
Наименьшее число
2
b0u; H
c0
u; H
0 , при котором c0
0,
2
0
2
b0u; H
0
0 , обозначим через
(14)
0
. Из нера-
венства (14) следует (11). Лемма 2 доказана.
Рассмотрим оператор
Au
1
k

akl x v l x
k
,
k ,l r
который является формально сопряженным к оператору A . Так как коэффициенты оператора A удовлетворяют всем условиям теоремы 2, то аналогично лемме 2 доказывается существование положительных чисел
u;V2;2 r
при
0
r
,
0
таких, что
Au
b0u; L2;
.
807
r
u V2;2 r
r
(15)
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
Обозначим
max
1
0
,
0
. Тогда при
ства (11) и (15). Следовательно, при
L2;
2008, том 51, №12
1
одновременно выполняются неравен-
1
оператор A
b0 , действующий из V2;2 r
в
r
, непрерывно обратим.
r
Теперь переходим к изучению гладкости решения задачи D0 . Заметим, что условие I)
следует из условия IV) при
0 , а условие II) является следствием условия V). Согласно
результатам работы [4] , при имеющихся ограничениях на число
области
и на гладкости границы
(см. (4),(8)) полунорма
1/ 2
r
2;
2
v; w
x v
2
k
x
dx
k r
o
и норма v;W2;r
на функциях v W
o
эквивалентны, а равенство W
r
2;
r
2;
V2;r
имеет место с точностью до эквивалентности норм. Поэтому из условия эллиптичности III)
следует условие (5) теоремы 1.
Пусть F
L2;
r
пространству V2;r
. Тогда в силу вложения L2;
r
B[u, v]
имеет единственное решение u0 V2;r
Подбираем число
1
Au
следует, что b0 x u0 x
L2;
r
F, v
.
(16)
v C0
.
и рассмотрим уравнение
b0u, v
Очевидно, функция u x
F
b0u0 , v
v C0
u0 x является решением этого уравнения. Из u0 V2;r
. Поэтому
Выше мы доказали, что оператор A
F
b0 : V2;2 r
b0u0
L2;
L2;
r
тим. Поэтому уравнение (16) имеет единственное решение u
r
, F принадлежит
и, согласно теореме 1, уравнение
Au, v
Так как V2;2r
V2;r
V2;r
, то u1 x
.
r
непрерывно обра-
r
u1
A
u0 x и, следовательно, u0 x
1
b0
V2;2r
r
V2;2 r
r
.
. Применяя
априорную оценку (4) работы [2], имеем
u0 ;V2;2r
r
M1 F ; L2;
r
С другой стороны, в силу оценки (6) теоремы 1
808
u0 ;V2;r
.
(17)
Математика
С.А.Исхоков, А.Ё.Куджмуродов
u0 ;V2;r
Так как L2;
u1 x
r
вложено в
M 0 F ; V2;r
.
(18)
, то из (17), (18) следует, что функция
V2;r
u0 x удовлетворяет оценке (9). Теорема 2 доказана.
Институт математики
Поступило 20.10.2008 г.
АН Республики Таджикистан
Л И Т Е РАТ У РА
1.
2.
3.
4.
Исхоков С.А., Кужмуратов А.Я. – Доклады РАН. 2005, т. 403, №2, с. 165-168.
Куджмуродов А. Ё. – ДАН РТ, 2007, т. 50, № 7, с. 573-579.
Мирошин Н.В. – Дифференц. уравнения, 1988, т. 24, №3, с. 455-464.
Лизоркин П.И., Никольский С.М., Мирошин Н.В. – Известия вузов. Математика, 1988, №8, с. 430.
С.А.Исњоќов, А.Ё.Куљмуродов
ОИДИ СУФТАГИИ ЊАЛЛИ УМУМИКАРДАШУДАИ МАСЪАЛАИ
ВАРИАТСИОНИИ ДИРИХЛЕ БАРОИ МУОДИЛАИ ТАНАЗУЛЁБАНДАИ
ЭЛЛИПТИКЇ ДАР ШАКЛИ ДИВЕРГЕНТЇ
Дар маќола нишон дода шудааст, ки дар њолати иљро шудани як ќатор шартњо
оиди суфтагии коэффитсиентњои оператори дифференсиалї ва суфтагии тарафи рости
муодила, суфтагии њалли умумикардашудаи масъалаи вариатсионии Дирихле низ
таѓйир меёбад. Операторњои эллиптикии тадќиќшаванда шакли дивергентї дошта дар
соњаи мањдуди фазои евклидї дода шудаанд ва дар сарњади соња таназзул меёбанд.
S.A.Iskhokov, A.Yo.Kudzhmurodov
ON SMOOTHNESS OF A GENERALIZED SOLUTION OF THE VARIATIONAL
DIRICHLET PROBLEM FOR DEGENERATE ELLIPTIC EQUATION IN
DIVIRGENCE FORM
It is shown that under certain conditions on smoothness of coefficients of a differential
oрerator and on smoothness of the right-hand side of the equation, the smoothness of a generalized
solution of the variational Dirichlet problem changes too. Elliptic operators under consideration
have the divergence form and are given in a bounded domain, and degenerate on the boundary of
the domain.
809
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа