close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О горизонтально-векторных поднятиях тензорных полей с базы в ее касательное расслоение.

код для вставкиСкачать
80
УДК 514.76
Г. А. Султанова
О ГОРИЗОНТАЛЬНО-ВЕКТОРНЫХ ПОДНЯТИЯХ
ТЕНЗОРНЫХ ПОЛЕЙ С БАЗЫ
В ЕЕ КАСАТЕЛЬНОЕ РАССЛОЕНИЕ
Векторное поле типа G H  , полученное из тензорного поля G  11 ( M ) ,
заданного на гладком многообразии М в касательное расслоение T ( M ) ,
возникает при инфинитезимальных аффинных преобразованиях со
связностью полного лифта. H-лифт был введен С. Танно в 1974 г. при
изучении инфинитезимальных изометрий на касательном расслоении с
метрикой полного лифта. Определение H’-лифта (r 2) дано в настоящей работе. Установлены свойства введенного лифта, а также
найден коммутатор [ P H  , G H  ] , где P , G  11 ( M ) .
The vector field of the type G H  , obtained from the tensor field G  11 ( M )
on a smooth manifold M to the tangent bundle T ( M ) , arises in the study of
infinitesimal affine transformations with a complete lift. The H-lift was
introduced S. Tanno in 1974 in infinitesimal isometries on the tangent bundle
with the complete lift. The definition of H’-lift given by the author in this
paper. There are established the properties of the entered lift and founded the
commutator [ P H , G H ] , where P , G  11 ( M ) .
Ключевые слова: гладкое многообразие, касательное расслоение, лифты
тензорных полей, тензорное поле, коммутатор векторных полей.
Key words: smooth manifold, the tangent bundle, lifts of tensor fields, tensor
field, commutator of vector fields.
1. Необходимые сведения
Пусть M— связное дифференцируемое многообразие класса C 
размерности n, TP ( M ) — касательное пространство к нему в точке
P  M , то есть множество всех касательных векторов многообразия М
в точке P. Тогда множество
T ( M )   TP ( M )
PM
называется касательным расслоением над многообразием М.
© Г. А. Султанова, 2015
Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. 2015. Вып. 10. С. 80—89.
80
О горизонтально-векторных поднятиях тензорных полей
Отображение
 : T( M )  M ,
определенное
(t x )  x ,
условием
t x  T ( M ) , называется канонической проекцией. Для функции f  C  ( M )
функция f( 0)  f   называется вертикальным лифтом функции f с базы М
в его касательное расслоение T ( M ) . На T ( M ) возникает естественная
структура гладкого многообразия над полем действительных чисел, атлас которого состоит из координатных окрестностей (  1 (U ), x0i , x1i ) . Закон преобразования координат при переходе от локальной карты
(  1 (U ), x0i , x1i ) к локальной карте (  1 (V ), x0i , x1i ) имеет вид [6, с. 2]:
81
 x0i  x0i ( x01 ,..., x0n ),

i
(1.1)
 i  x 
k
x


 x1 .
1
k


x

(0)

Формулы второй группы системы (1.1) допускают обобщение, имеющее приложения.
Лемма 1. Пусть K — тензорное поле типа ( 1, r ), заданное на M. Закон пре-
образования объекта, заданного на T(M) компонентами (Kij1 j2 ... jr )(0) x1j1 x2j2 ...xrjr :

( K ij1 j2 ... jr )(0) x1j1 x2j2 ...xrjr  Kkq1k2 ...kr
 x i 
 x1k1  ...  xrkr  q  .
( 0)
 x (0)

(1.2)
Доказательство. Предположим, что (  1 (V ), x0i , x1i ) — другая локальная
карта, такая, что  1 (U )   1 (V )   . Используя формулы (1.1) и закон
преобразования компонент тензора произвольного ранга, получим
 x jr 

x i x s1 x sr   x j1 
( K ij1 j2 ... jr )(0) x1j1 x2j2 ...x1jr   Ksq1s2 ...sr q j1 ... jr    k1  x1k1  ...   kr  x1kr 
x x
x (0)  x (0)

 x (0)

x i x s1
x sr x j1
x jr 
  Ksq1s2 ...sr q  j1  ...  j1  k1  ...  kr   x1k1  ...  x1kr 
x (0)
x x
x x




x i
x i 
  Ksq1s2 ...sr q  ks11  ...  ksrr   x1k1  ...  x1kr   Kkq1k2 ...kr q   x1k1  ...  x1kr .
x
x (0)

(0)

Пусть (U , x i ), (V , x j ) — карты гладкого атласа многообразия M,


 i  i ,  j  j — поля натурального репера на U и V соответственно.
x
x
 x k 
В локальной карте (U V, xi ) имеем i  i k . На (1(U) 1(V), x0i , x1i )
x x x
(1)
k
    x    
для индуцированных координат на T ( M )  i    i   k  . Тогда
 x   x (0)  x 
1
для тензорного поля K  r ( M )
(K

) x ...x   K
i
j1 ... jr (0)
j1
1
jr
1
1
i
q
k1 ... kr
 x i x s    
 x  ...  x  q i   s 
(0)
 x x (0)  x 

k1
1
kr
1
 ( K kq1 ...kr )(0) x1k1  ...  x1kr  s1 .
(1)

81
Г. А. Султанова
Таким образом, выражение ( K ij1 ... jr )(0) x1j1 ...x1jr  1i   r K не зависит от выбора локальной системы координат и является векторным полем.
Определение 1.1. Векторное поле  r K называется  r -лифтом тензорного поля K  1r ( M ).
Приведем определение полного лифта функции, лифтов векторных полей с базы в касательное расслоение, а также полного лифта линейной связности  с базы М в касательное расслоение T ( M ).
Пусть f — функция класса С  , заданная на М. Функция f( 1)  ( df )
82
называется полным лифтом функции f с базы М в его касательное расслоение T ( M ) .
Для произвольного векторного поля X  10 ( M ) на T ( M ) определим
вертикальный X(1) и полный X(0) лифты, задаваемые условиями
X (1) f(1)  ( Xf )(0) , X (1) f(0)  0, X (0) f(  )  ( Xf )(  ) , (   0, 1),
для любой функции f из алгебры C  ( M ) . В локальных координатах
векторные поля X(1) , X(0) имеют вид
X ( 1)  X 0i  1i X ( 0)  X 0i  0i  X 1i  1i
,
,
где X0i  ( X i )(0) , X1i  x1j ( j X i )(0) соответственно.
Предположим, что на M задана линейная связность  . На касательном расслоении T ( M ) существует единственная линейная связность
(0) , удовлетворяющая условиям
(0)X(0)Y(0)  (XY)(0) , (0)X(0)Y(1)  (XY)(1) , (0)X(1) Y(0)  (XY)(1) , (0)X(1) Y(1)  0, (1.3)
где X , Y  10 ( M ). Такая связность называется полным лифтом линейной
связности  [2, с. 78; 6, с. 40].
В дальнейшем мы будем рассматривать линейные связности , тензорное поле кручения которых, определяемое условием T( X , Y ) 
 XY  Y X  [ X , Y ] , равно нулю.
Определение 1.2. Векторное поле G H  , заданное в локальных координатах соотношением
G H = Gij x1i  Hj ,
где G  11 ( M ), а
(1.4)
 Hj   0j   pjs x1s  1p , называется горизонтально-векторным
поднятием аффинора G [5, с. 139].
2. H -лифт тензорного поля типа (1, 2)
В дальнейшем нам потребуются операции свертки для тензорных
полей различных типов.
82
О горизонтально-векторных поднятиях тензорных полей
Для тензорных полей   1r ( M ) (r 1), X  10 ( M ) определим операi
цию свертки   X по правилу

i
  X( X 1 ,..., X i  1 , , X i  1 ,..., X r )  ( X 1 ,..., X i  1 , X , X i  1 ,..., X r )

для произвольных X , X 1 , X 2 ,..., X r  10 ( M ), а знак
ный аргумент.
В локальных координатах
(2.1)
означает пропущен-
i
(   X )hj1 ... ji1 ji1 ... jr  h   hj1 ... ji1 i ji1 ... jr X i  h .
(2.2)
Для тензорных полей   1r ( M ) (r 1), F  1s ( M ) операции свертки
83
i
  F зададим по правилу
i
 F(X1 ,, Xr , ..., Xr s1 )  (X1 ,, Xi1 , F(Xr ,..., Xr s1 ), Xi1 ,, Xr 1 )
(2.3)
для произвольных X 1 , X 2 ,..., X r  s  1   ( M ).
В естественных координатах (2.3) равносильны соотношениям
1
0
i
(   F )hj1 ... jrs1  h   hj1 ... ji1 i ji1 ... jr 1 Fjir ... jr s1  h .
(2.4)
i
Докажем, что операция свертки  является ассоциативной. Справедлива
Теорема 2.1. Для любых тензорных полей 1r ( M), F 1s ( M), P 1q ( M)
i
l
i
l
(   F )  P   ( F  P ) .
(2.5)
Доказательство проведем прямыми вычислениями в локальных координатах. На основании соотношений (2.4) получим
i
h
(   F )hj1 ... jr 1m1 ...ms  h   hj1 ...i... jr1 Fmi 1 ...ms  h  
j1 ... ji1 ji1 ... jr 1m1 ...ms  h

где 
h
j1 ... ji1 ji1 ... jr 1m1 ...ms
h  
h
i
j1 ... i ... jr 1 m1 ...ms
F
,
h .
i
l
l
  P по формулам (2.4)
Компоненты тензорного поля (   F )  P  
будут следующими:
l
l
h
i
l
 P  
h

j1 ... ji1 ji1 ... jr 1m1 .ml1lml1 ..ms1 Pn1 ...nq  h   j1 ... i ... jr 1 Fm1 .... ml1lml1 ..ms1 Pn1 ... nq  h .
l
Рассмотрим компоненты тензорного поля F  P :
l
( F  P )mh 1 ...msn1 ...nq  h  Fmh1 ...ml1lml1 ..ms1 Pnl1 ...nq  h  Fmh1 ...ml1ml1 ..ms1  h
,
где Fmh1 ...ml1ml1 ..ms1  h  Fmh1 ...ml1lml1 ..ms1 Pnl1 ...nq  h .
i
l
i
Компоненты тензорного поля  ( F  P )    F будут иметь следующий вид:
i
  F   hj1 ... ji1iji1 ... jr 1 Fmi 1 .ml1ml1 ..ms1n1 ...nq  h   hj1 ...i... jr 1 Fmi 1 ....ml1lml1 ..ms1 Pnl1 ...nq  h .
83
Г. А. Султанова
Из равенства правой и левой частей тождества следует, что операция
i
свертки  является ассоциативной.
Для того чтобы ввести определение H -лифта, вычислим коммутатор векторных полей [ P H  , G H  ], где P , G  11 ( M ) . Вычисления проведем,
используя равенство (1.4) и естественные локальные координаты на T ( M ) .
[ P H  , G H  ]  [ Pi j x1i  0j  Pi j x1i  pjs x1s  1p , Gmk x1m  0k  Gmk x1m  qkz x1z  1q ]  ( Pi j  j Gmk 
p
 Pi j  mj
Gpk  Gmj  j Pik  Gmj  pji Pqk )x1m x1i  0k  ( Pi j  j Gmk  Pi j  pjmGpk  Gmj  j Pik 
 Gmj  pji Pqk ) qks x1m x1i x1s  1q  Pi j Gmk (  j  qks   k  qjs   pjs  qkp   ksp  qjp )x1m x1i x1s  1q 
84
q
 ( Pi j  j Gmk  Gmj  j Pik )x1m x1i (  0k   qks x1s  1q )  Pi j Gmk Rskj
x1m x1i x1s  1q 
(2.6)
 ( Pi  j G  G  j Pi )x x   Pi G R x x x   ( P mG 
j
k
m
j
m
k
j
m i H
1 1 k
k
m
q
skj
m i s 1
1 1 1 q
2
m
j
i
k
3
 Gkm m Pji )x1j x1k  iH   3 (( R(, )  G )  P ).
В данном равенстве набор функций PjmmGki  GkmmPji определяет
тензорное поле типа (1, 2)
Bijk  PjmmGki  GkmmPji . Разность
М,
на
2
которое
обозначим
через
3
[P H  , G H  ]   3 ((R(, )  G )  P )  Bijk x1j x1k  iH
есть векторное поле на касательном расслоении T ( M ) . Докажем, что
вид компонент этого векторного поля не зависит от выбора локальной
системы координат.
На (1(V), x0i , x1i ) для индуцированных координат на T (M ) получим
H
 x k    
  i   k  .
 x ( 0)  x 
H
i
(2.7)
Подставляя соотношения (1.1) и (2.7) в BH , будем иметь
H
Bijk x1j x1k  iH  ( Bijk )(0)
x0j a x0k b  x q    
x1 b x1  i   q  
x0a
x0  x (0)  x 
 x j x k x q 
 ( Bijk )(0)  a b i  x1a x1b  qH  Babq x1a x1b  qH .
 x x x (0)
На основании доказанного свойства можно ввести
Определение 2.1. Векторное поле ВH  Вijk x1j x1k  iH называется H  -лиф-
том тензорного поля В  12 ( M ).
Из соотношений (2.4) и определения H  -лифта получаем, что
имеет место
Теорема 2.2. Для любых P , G  11 ( M )
2
2
2
3
[ P H  , G H  ]  ( G  Р  P  G )Н    3 (( R(, )  G )  P ).
(2.7)
84
О горизонтально-векторных поднятиях тензорных полей
3. Дальнейшие свойства H  -лифтов тензорных полей типа (1, 2)
В этом пункте мы будем рассматривать новые свойства H  -лифтов
тензорных полей типа (1, 2).
Справедлива
Теорема 3.1. Для любых X  ( M ), F  ( M) :
1
1
0
1
2
2
1
(1) LX( 1) F H   ( F  X  F  X )H   (X  F );
85
2
85
(2) LX( 0 ) F H   ( LX F )H    3 ( LX   F ).
Доказательство. Так как X ( 0) , X ( 1) , F H  — векторные поля, то производная Ли LX F H   [ X , F H  ] вдоль векторного поля X от векторного
поля F H есть скобка Ли [ X , F H  ] . В частности, LX( 0 ) F H  [X (0) , F H ] и
LX( 1) F H  [X(1) , F H ] . Из определения коммутатора векторных полей
имеем
(1) LX( 1) F H  [X0q  1q , Fjki x1j x1k  0i  Fjki isp x1j x1k x1s  1p ] 
 X0q (Fqki x1k  0i  Fqki x1k  isp x1s  1p  Fkqi x1k  0i  Fkqi x1k  isp x1s  1p )  Fjki x1j x1k  0i X0q  1q 
X0q Fjki  iqp x1j x1k  1p  X0q (Fqki x1k  0i  Fqki x1k isp x1s  1p  Fkqi x1k  0i  Fkqi x1k  isp x1s 1p ) 
1
1
2
Fjki x1j x1k i X0q  1q  (F  X  F  X )H  (X  F ).
(2) L X ( 0 ) F H  [ X 0q  0q  X 1q  1q , F jki x1j x1k  i0  F jki isp x1j x1k x1s  1p ] 
 X0q  0q Fjki x1k x1j (  0i   isp x1s  1p )  X0q Fjki x1k x1j  0q  isp x1s  1p  X1q x1k (Fqki  Fkqi ) 0i 
X1q x1j x1k ( Fqki  ijp  Fkqi  ijp  Fjki iqp ) 1p  Fjki x1j x1k  0i X0q  0q  Fjki x1j x1k  0i X1q  1q 
Fjki x1j x1k  isp x1s  1p X1q  1q  ( X0q  0q Fjki   0j X0q Fqki   0k X0q Fjqi   0q X0i Fjkq )x1j x1k  iH 
Fjki (  0i X0q  qsp  X0q  0q  isp   0s X0q iqp   0i  0s X0p   qis 0q X0p )x1j x1k x1s  1p 
2
 LX Fjki x1j x1k  iH  Fjki LX  sip x1j x1k x1s  1p  (LX F )H   3 (LX  F ).
Для ковариантных производных векторного поля F H верна
Теорема 3.2. Для произвольного векторного поля X  10 ( M ) и тензорного поля F  12 ( M ) :
1
2
F H  (F  X  F  X )H ;
(1) (0)
X( 1)
1
2
1
F H   (  X F  F X  F  X )H    3 ( Rˆ (, X )  F ).
(2) (0)
X( 0 )
Доказательство этих тождеств проведем, используя естественные
локальные координаты на Т(М).
Применяя определение вертикального и полного лифтов векторных полей, а также полного лифта линейной связности , будем иметь
Г. А. Султанова
(1) (0)
F H   (0)
( Fjki x1j x1k  0i  Fjki  isp x1j x1k x1s  1p ) 
X( 1 )
X q 1
0 q
1
2
 X ( Fqki x1k  0i  Fqki x1k  isp x1s  1p  Fkqi x1k  0i  Fkqi x1k  isp x1s  1p )  ( F  X  F  X )H  .
q
0
(2)
Используя
p
 q Fjki  q Fjki  Fjkp ipq  Fpki  pjq  Fjpi qk
равенства
и
 s X  s X  X  , получаем:
q
q
p
q
ps
(X0)( 0 ) F H   (0)
( Fjki x1j x1k  0i  Fjki  isp x1j x1k x1s  1p )  X 0q (  0q Fjkp 
X q0  X q1
0 q
1 q
p
 F  )x x   X0q ( Fjki  0s  qip   0q Fjki  isp  Fjki  0q  isp  Fjki  mis  qm
)x1j x1k x1s  1p 
p
qi
i
jk
86
j k
1 1
0
p
 0s X 0q x1s ( Fqki  Fkqi )x1k  0i   0s X 0q x1s ( Fjki  qip  Fqki  ijp  Fkqi  ijp  Fjki  iqp )x1k x1j  1p 
86
 X  F x x  X F  x x   X x F x   X x F x  
q
0
0 i
q jk
j k
1 1
q
0
H
i
p
qi
i
jk
j k
1 1
0
p
q
0
0
s
s i
1 qk
k
1
H
i
0
s
q
0
s i
1 kq
k
1
H
i
p
 X0q Fjki (  0s  qip   0q  isp   mis  qm
)x1j x1k x1s  1p  X 0q 0q Fjki x1j x1k  iH 
q s i k H
q i
p
j k s 1
(s0)X 0q x1s Fqki x1k  iH  (0)
s X 0 x1Fkq x1  i  X 0 Fjk Risq x1 x1 x1 p 
1

2
1
 (  X F  F  X  F  X )H    3 ( Rˆ ( , X )  F ).
Теорема 3.3. Для любых X  10 ( M ), F  12 ( M ) :
1
X (1)  ( X  F );
(1) (0)
F H
1
1
X (0)  ( X  F )H    3 (2 X  F ).
(2) (0)
F H
Доказательство. Линейная связность  не имеет кручения, ее полный лифт (0) также не имеет кручения, то есть ее тензорное поле T
кручения равно 0. Поэтому T ( F H  , X ( 1) )  0, и (0)
X(1)  (0)
FH  [FH , X(1) ].
FH
X(1)
На основании равенств (1) теорем 3.1 и 3.2 получим
1
2
1
2
1
1
(0)
X (1)  ( F  X  F  X )H  ( F  X  F  X )H   (X  F )  ( X  F ).
F H
Аналогично доказывается второе равенство. Так как T ( F H  , X ( 0) )  0,
X(0)  (0)
F H  [F H , X(0) ]. Из равенств (2) теорем 3.1 и 3.2 и из тото (0)
F H
X( 0 )
2

1
1
го, что LX   F  2 X  F  Rˆ ( , X )  F , будем иметь
1
2
2
(0)
X (0)  ( X F  F X  F  X )H    3 ( Rˆ ( F , X ))  ( LX F )H    3 ( LX   F ) 
F H
1

1
1

1
1
1
 ( X  F )H    3 ( Rˆ ( , X )  F  2 X  F  Rˆ ( , X )  F )  ( X  F )H    3 ( 2 X  F ).
4. Лифты H r тензорных полей типа (1, r) (r 1) и их свойства
Определение лифтов H, H  H2 распространим на общий случай.
Рассмотрим равенство вида
r
K H   ( K ij1 ... jr )(0) x1j1 ...x1jr  iH
.
(4.1)
О горизонтально-векторных поднятиях тензорных полей
Убедимся, что выражение, стоящее в правой части равенства (4.1),
не зависит от выбора локальной системы координат на T ( M ) .
Пусть (  1 (V ), x0i , x1i ) — другая локальная карта такая, что
(  1 (U )   1 (V )   . Используя формулы (1.2) и (2.7) и подставляя их в
r
K H  , получим

( K ij1 ... jr )(0) x1j1 ...x1jr  iH  K kq1 ...kr
H
 x i x s    
 x1k1  ...  x1kr  q i   s  
(0)
 x x (0)  x 

 ( Kks1 ...kr )(0) x1k1  ...  x1kr  sH .
r
87
Таким образом, K H  не зависит от выбора локальных координат на
T (M ) и является векторным полем.
Определение 4.1. Отображение H  r : 1r ( M )  10 (T ( M )) , задаваемое
условием (4.1), называется H r -лифтом тензорного поля K  10 ( M ).
Рассмотрим свойства H r -лифтов.
Теорема 4.1. Для любых X  10 ( M ), K  1r ( M ) :
r
1
r
(1) LX( 1) K H   ( K  X  ...  F  X )H 
r
r
r 1
1
  r ( X  K );
2
(2) LX( 0 ) K H   ( LX K )H    r  1 (LX   K ).
Доказательство. Учитывая, что производная Ли LX K H   [X , K H  ]
r
вдоль векторного поля X от векторного поля K H  есть скобка Ли
r
[X , K H ] векторных полей, используя естественные локальные коордиr
r
наты на T ( M ) , получим:
(1) LX( 1) F H   [X0q  1q , K ij1 ... jr x1j1 ...x1jr  0i  K ij1 ... jr x1j1 ...x1jr  isp x1s  1p ] 
 X0q (( Kqji 1 ... jr 1  K ij1q... jr 1 )x1j1 ...x1jr1  0i  ( Kqji 1 ... jr1  K ij1q... jr1 ) isp x1j1 ...x1jr1 x1s  1p 
1
r
r 1
1
 K ij1 ... jr x1j1 ...x1jr  0i X0q  1q  X0q K ij1 ... jr x1j1 ...x1jr iqp  1p  ( K  X  ...  K  X )H    r (X  K ).
(2) LX( 0 ) F H   [X0q  0q  X1q  1q , K ij1 ... jr x1j1 ...x1jr  0i  K ij1 ... jr x1j1 ...x1jr  isp x1s 1p ] 
 X 0q  q K ij1 ... jr x1j1 ...x1jr  0i  X 0q  q K ij1 ... jr x1j1 ...x1jr  isp x1s  1p 
X 0p  p K qj1q... jr x1j1 ...x1jr  iqs x1s  1i   q X i K qj1 ... jr x1j1 ...x1jr  0q  X 1i Kijq2 ... jr1 x1j1 ...x1jr1  0q 
...  X1i K qj1 ... jr 1i x1j1 ...x1jr  1 0q  X1i Kijq2 ... jr1 x1j1 ...x1jr1  qsp x1s  1p  ... 
 X1i K qj1 ... jr 1i x1j1 ...x1jr 1  qsp x1s  1p  X 1p  qip K ij1 ... jr x1j1 ...x1jr  1q  K ij1 ... jr x1j1 ...x1jr  0i X0q  1q 
 0p X0q K ij1 ... jr x1j1 ...x1jr x1s  isp  1q  ( X0q  q K ij1 ... jr x1j1 ...x1jr  iH  X1i Kijq2 ... jr1 x1j1 ...x1jr1  qH 
...  X1i K qj1 ... jr 1i x1j1 ...x1jr 1 qH   q X i K qj1 ... jr x1j1 ...x1jr  0q )  ( X1p  qip K ij1 ... jr x1j1 ...x1jr  1q 
 K ij1 ... jr x1j1 ...x1jr  0i X0q  1q   0p X0q K ij1 ... jr x1j1 ...x1jr x1s  isp  1q  X0p  p K qj1q... jr x1j1 ...x1jr 
r
 iqs x1s  1i )  ( LX K )H   K ij1 ... jr x1j1 ...x1jr x1s (  p X i  isp  X p  p  isq 
r
2
 s X p  ipq   i  s X q   p X q  isp ) 1q  ( LX K )H    r  1 ( LX   F ).
87
Г. А. Султанова
Теорема 4.2. Имеют место следующие тождества:
1
r
r
r 1
K H   ( K  X  ...  K  X )H  ;
(1) (0)
X( 1 )
1

r
1
r
r
K H   (  X K  K  X  ...  K  X )H    r  1 ( Rˆ ( , X )  K ) для любых
(2) (0)
X( 0 )
X  10 ( M ), K  1r ( M ).
Докажем данные равенства, используя локальные координаты на T ( M ) .
r
(1) (0)
K H   (0)
K ij1 ... jr x1j1 ...x1jr  iH  X0q (( Kqji 1 ... jr1  ...  K ij1 ... jr1 q )x1j1 ...x1jr 1  0i 
X( 1)
X q1
0 q
1
r
r 1
( Kqji 1 ... jr1  ...  K ij1 ... jr 1 q ) ijpr x1j1 ...x1jr1 x1jr  1p  ( K  X  ...  K  X )H  ;
88
88
r
(2) (X0)( 0 ) K H   (0)
( K ij1 ... jr x1j1 ...x1jr  iH  0i  K ij1 ... jr x1j1 ...x1jr  iH  isp x1s  1p ) 
X q 0  X q 1
0 q
 X ( K
q
0
0
q
 K
p
j1 ... jr
1 q
i
j1 ... jr
 qip )x1j1 ...x1jr  0p  X0q ( K ij1 ... jr  0s  qip   0q K ij1 ... jr  isp 
p
 K ij1 ... jr  0q  isp  K ij1 ... jr mis  qm
)x1j1 ...x1jr  1p   0s X0q x1s ( Kqji 1 ... jr1  ...  K ij1 ... jr1q ) 
x1j1 ...x1jr1  0i   0s X0q x1s ( K ij1 ... jr  qip  Kqji 1 ... jr1  ijp  ...  K ij1 ... jr 1q  ijp  K ij1 ... jr  iqp ) 
x1j1 ...x1jr  1p  X0q  0q K ij1 ... jr x1j1 ...x1jr  iH  X0q K ij1 ... jr x1j1 ...x1jr  qip  0p 
 0s X0q x1s ( Kqji 1 ... jr1  ...  K ij1 ... jr1q )x1j1 ...x1jr1  iH  X0q K ij1 ... jr (  0s  qip 
p
q s
i
 0q  isp   mis  qm
)x1j1 ...x1jr x1s  1p  X0q (q0) K ij1 ... jr x1j1 ...x1jr  iH  (0)
s X 0 x1 ( K qj1 ... jr 1  ... 
1
p
 K ij1 ... jr 1q )x1j1 ...x1jr 1  iH  X0q K ij1 ... jr x1j1 ...x1jr Risq
x1s  1p  ( X F  F  X  ... 

r
1
 F  X )H    r  1 ( Rˆ ( , X )  K ).
Теорема 4.3. Для любых X  10 ( M ), K  1r ( M ) :
1
(1) (0)Hr X (1)   r ( X  K );
K
(2) 
( 0)
K
H r
1
1
r
X (0)  ( X  K )H   r 1 (  2 X  K ).
Доказательство. (1) Так как тензорное поле T кручения полного
r
лифта (0) связности  равно нулю, то есть T ( K H , X(1) )  0, то
r
r
(0)Hr X (1)  (X0)( 1) K H   [ K H  , X ( 1) ].
K
На основании равенств (1) и теорем 4.1 и 4.2 будем иметь
1
r
1
r 1
r
1
r 1
1
(0)Hr X(1)  ( K  X  ...  K  X)H  ( K  X  ...  F  X)H   r (X  K)   r (X  K).
K
r
r
r
K H   [ K H  , X (0) ].
(2) Так как T ( K H , X(0) )  0, то (0)Hr X (0)  (0)
X( 1 )
K
Используя равенства (2) теорем 4.1 и 4.2, получим:
1
r
r
r
(0)Hr X (0)  (  X K  K  X  ...  K  X )H    r  1 ( Rˆ ( K , X ))  ( LX K )H  
K
2

1
1
1

1
r
 r  1 ( LX   K )  ( X  K )H   r  1 ( Rˆ ( , X )  K  2 X  K  Rˆ ( , X )  K ) 
1
r
1
 ( X  K )H    r  1 (  2 X  K ).
О горизонтально-векторных поднятиях тензорных полей
Список литературы
89
1. Каган Ф. И. Каноническое разложение проективно-киллинговых и аффинно-киллинговых векторов на касательном расслоении // Матем. заметки.
1976. № 19:2. С. 247—258.
2. Султанов А. Я. Инфинитезимальные аффинные преобразования расслоения линейных реперов со связностью полного лифта // Труды геометрического семинара. 1994. Вып. 22. С. 78—88.
3. Шадыев X. Аффинная коллинеация синектической связности в касательном расслоении // Тр. геом. сем. 1984. Вып. 16. C. 117—127.
4. Sato K. Infinitesimal affine transformations of the tangent bundles with Sasaki
metric // Tôhoku Math. Jourr. 1974. № 26. P. 353–361.
5. Tanno S. Infinitesimal isometries on the tangent bundles with complete lift
metric // Tensor, N. S. 1974. Vol. 28. P. 139–144.
6. Yano K., Ishihara S. Tangent and cotangent bundles // Marcel Dekker, Inc.
N. Y., 1973. P. 12–25.
Об авторе
Галия Алиевна Султанова — асп., Пензенский государственный университет,
Пенза.
Е-mail: sultgaliya@yandex.ru
About the author
Galiya Sultanova — PhD student, Penza State University, Penza.
Е-mail: sultgaliya@yandex.ru
УДК 514.75
89
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
7
Размер файла
656 Кб
Теги
поле, поднятия, векторных, базы, касательных, горизонтальных, расслоения, тензорных
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа