close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О движениях маятника под действием периодического момента.

код для вставкиСкачать
Математическое моделирование. Оптимальное управление
Вестник Нижегородского
университета
им. Н.И. Лобачевского,
2011,
№ 3 (2), с. 83–86
О движениях маятника
под действием
периодического
момента
83
УДК 517.92
О ДВИЖЕНИЯХ МАЯТНИКА
ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПЕРИОДИЧЕСКОГО МОМЕНТА
© 2011 г.
Н.В. Киселева, А.А. Шишкин
Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского
kis-tudm@yandex.ru
Поступила в редакцию 15.04.2010
Качественно-численными методами исследуются периодические движения маятника под действием периодического момента, описываемые трехпараметрическим нелинейным неавтономным дифференциальным уравнением. В ограниченной области пространства параметров, представляющей
наибольший интерес, построены диаграммы устойчивости периодических вращений и выяснены бифуркации, приводящие к их возникновению и смене характера устойчивости. Выделены области существования установившихся 2π- и 4π-периодических режимов.
Ключевые слова: периодические движения, устойчивость, бифуркации, метод точечных отображений, неподвижная точка.
Введение
В работе исследуется математическая модель маятника, находящегося под действием
периодического момента:
&x& + hx& + a sin x = ν sin t ,
(1)
где x – угол отклонения маятника от вертикали,
h > 0 – коэффициент диссипации, a > 0 – параметр, характеризующий момент силы тяжести,
ν > 0 – амплитуда внешнего гармонического
воздействия.
Периодическим движениям маятника отвечают решения Γp,q: x = x(t) уравнения (1), удовлетворяющие условию x(t + 2πp) = x(t) + 2πq
(p = 1,2,…, q = 0, ±1, ±2,…). При q = 0 решение
Γp,q отвечает 2πp-периодическому колебанию
маятника, при q ≠ 0 – периодическому вращению: за период 2πp происходит |q| оборотов маятника в положительном (q > 0) или отрицательном (q < 0) направлении.
Периодические колебания маятника изучены
в работе [1]. Выделены области D1,0(н), D1,0(в) и
D1,0(φ) существования устойчивых 2π-периодических колебаний маятника около нижнего положения равновесия, верхнего положения равновесия и около прямой, образующей с вертикалью некоторый угол ϕ. Для значений параметров h = 0.125, 0 ≤ a ≤ 1.5, 0 ≤ ν ≤ 3.5 они
представлены на рис. 1. Установлены бифуркации, происходящие на ограничивающих эти области кривых. В области G устойчивых 2π-
периодических колебаний маятника не обнаружено.
В настоящей работе исследованы периодические вращательные движения, в процессе которых маятник совершает один или два оборота
вокруг оси. Для отыскания соответствующих
им периодических решений Γ1,1 и Γ2,2 уравнения
(1) использован метод точечных отображений
[2]. Каждому 2π-периодическому решению Γ1,1
соответствует неподвижная точка порождаемого фазовыми траекториями уравнения (1) отображения T поверхности H{x(mod2π), x&} кругового цилиндра в себя. Каждому 4π-периодическому решению Γ2,2 отвечает двучленный цикл
двукратных неподвижных точек. Построение и
исследование отображения T проведено численными методами [3].
Сравнение бифуркационных диаграмм колебательных и вращательных движений позволило выделить области существования 2π- и 4πпериодических режимов движения маятника,
представляющих наибольший интерес для приложений.
Бифуркационная диаграмма периодических
вращений маятника
Бифуркационная диаграмма 2π- и 4πпериодических вращений маятника представлена на рис. 2 при h = 0.125. Область существования 2π-периодических вращательных движений лежит правее кривой g0, которая соответ-
84
Н.В. Киселева, А.А. Шишкин
Рис. 1
ствует возникновению сложной неподвижной
точки отображения T типа седло-узел. При переходе через кривую g0 слева направо она распадается на две неподвижные точки: устойчивую A+ и седловую B+. На кривой g0 один из
корней ρ1, ρ2 характеристического уравнения
этих точек обращается в +1. Точка A+ соответствует устойчивому 2π- периодическому решению Γ1,1 уравнения (1), точка B+ – седловому.
Определение координат точки B+ и её типа в
зависимости от параметров a, ν показало, что
она является седловой во всей области существования. Неподвижная точка A+ претерпевает
бифуркации. Установлено, что точка A+ устойчива в области D1,1, ограниченной кривыми g0 и
g1. На кривой g1 один из корней характеристического уравнения точки A+ принимает значение –1. Неподвижная точка A+ становится седловой, при этом одновременно возникает устойчивый двучленный цикл { A1+ , A2+ } двукратных
неподвижных точек отображения T, который
соответствует устойчивому 4π-периодическому
вращению маятника Γ2,2, повторяющемуся после двух оборотов.
Это движение удвоенного периода устойчиво в области, ограниченной кривыми g1,
g31 , g32 , g33 . На кривых g 31 , g 32 , g 33 устойчивый
двукратный цикл становится седловым. Смена
Рис. 2
характера устойчивости сопровождается возникновением устойчивого четырехкратного
цикла, соответствующего 8π-периодическим
вращениям маятника. Бифуркации удвоения периода вращений продолжаются, однако области
их устойчивости резко уменьшаются.
Область D1,1, ограниченная кривой g6, представляет собой область устойчивости неподвижной точки A+. Для значений параметров из
этой области устанавливаются 2π-периодические вращения маятника.
Проиллюстрируем переход через кривые g1
и g 31 с ростом параметра ν при фиксированном
параметре a = 0.5 следующим примером. В области D1,1 ниже кривой g1 при ν = 0.78, существует неподвижная точка A+ (5.2233,0.5690)
типа устойчивый узел (ρ1 = −0.468, ρ2 = −0.973) .
В области D2,2, расположенной выше кривой
g1, при ν = 0.79 точка A+ (5.2269,0.5620) является седловой (ρ1 = −0.421,, ρ 2 = −1.083) , но при
этом существует устойчивый двукратный цикл
{ A1+ , A2+ } = {(5.3840,0 .5930), (5.0629,0. 5206)}, для
которого ρ1 = 0.532, ρ2 = 0.381 . В области
D2,2 выше кривой g 31 при ν = 0.86 имеем сед-
ловую неподвижную точку A+ (5.3525,0.5039)
(ρ1 = −0.291, ρ 2 = −1.565) и седловой цикл
О движениях маятника под действием периодического момента
{ A1+ , A2+ } = {(5.7205,0 .5602), (4.7526,0. 3645)}
(ρ1 = 0.151, ρ2 = −1.376).
На кривой g5 возникает сложный двукратный цикл типа седло-узел, который при переходе через кривую g5 в сторону возрастания параметра a распадается на устойчивый цикл
{A1, A2} и седловой цикл {B1, B2} двукратных
неподвижных точек. На кривой g5 один из корней характеристического уравнения этих циклов обращается в +1. Цикл {B1, B2} не меняет
устойчивость. Цикл {A1, A2} устойчив в области, ограниченной кривыми g5, g6, g7, g8, и соответствует устойчивым 4π-периодическим вращениям маятника, повторяющимся после двух
его оборотов около оси вращения.
Кривая g6 отвечает слиянию устойчивого
цикла {A1, A2} с седловой неподвижной точкой
A+ и последующему его исчезновению. При
этом точка A+ становится устойчивой. На кривых g7 и g8, соответствующих обращению корня
характеристического уравнения цикла {A1, A2} в
–1, он меняет характер устойчивости и становится седловым.
В качестве примера проследим за описанными бифуркациями с ростом параметра ν при
фиксированном значении a = 0.9. В области
D2,2, лежащей выше кривой g5, при ν = 1.69
существуют седловая неподвижная точка
A+ (5.9055, − 0.5499) (ρ1 = −0.455, ρ2 = −1.002 ) и
устойчивый двукратный цикл { A1 , A2 } = {(5.9021,
− 0.5907), (5.9008, − 0.5104)} (ρ1 = 0.994, ρ 2 =
85
новесия или вокруг прямой, образующей с вертикалью некоторый угол φ, соответственно. Области D1,1 и D2,2 отвечают 2π- и 4π-периодическим вращениям Γ1,1 и Γ2,2 маятника. В областях
1,1
1,1
одновременно существуют
D1,1
1,0 (н ) , D1,0(в ) , D1,0 (ϕ )
2π-периодические вращения маятника Γ1,1 и 2πпериодические колебания Γ1,0 одного из трех
2,2
2,2
2,2
видов. Области D1,0
(н ) , D1,0(в ) , D1,0(ϕ ) отвечают одновременному существованию 4π-периодических вращений Γ2,2 и 2π-периодических колебаний Γ1,0. В областях D не обнаружено устойчивых неподвижных точек отображения T, соответствующих движениям Γ1,0, Γ1,1, Γ2,2 маятника.
= 0.209 . После перехода через кривую g6 в область D1,1 при ν = 1.70 имеем устойчивую неподвижную точку A+ (5.8382,−0.7860) (ρ1 = −0.460,
ρ2 = −0.989).
Заключение
Сравнение бифуркационных диаграмм, представленных на рисунках 1 и 2, показывает, что
области устойчивости периодических колебаний
и вращений маятника пересекаются. Это означает, что одновременно могут существовать несколько различных устойчивых периодических
режимов движения маятника колебательного или
вращательного типа. Каждый режим имеет свою
область притяжения. Установление одного из
них зависит от начальных условий.
На рис. 3 выделены области установившихся
2π- и 4π-периодических движений маятника.
При значении параметров из областей D1,0(н),
D1,0(в) и D1,0(φ) устанавливаются 2π-периодические колебания Γ1,1 маятника около нижнего положения равновесия, верхнего положения рав-
Рис. 3
Список литературы
1. Баталова З.С., Киселева Н.В. О колебаниях маятника под действием периодического момента //
Вестник ННГУ. Математическое моделирование и
оптимальное управление. 2001. Вып. 1(23). С. 45–49.
2. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений
в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1976.
471 с.
3. Неймарк Ю.И., Баталова З.С., Белякова Г.В. и
др. Алгоритмы и программы численного исследования динамических систем. Горький: ГГУ, 1983. 80 с.
86
Н.В. Киселева, А.А. Шишкин
ON PENDULUM MOTION UNDER THE INFLUENCE OF A PERIODIC MOMENT
N.V. Kiseleva, A.A. Shishkin
By means of qualitative numerical analysis methods, we study periodic pendulum motion described by a nonlinear nonautonomous three-parametric differential equation under the influence of a periodic moment. In the restricted
range of the parameter space that represents the greatest interest, the stability diagrams for periodic rotations are
built. Bifurcations leading to their excitation and changing the nature of stability are found. Existence domains of
2π- and 4π-periodic steady-state regimes are obtained.
Keywords: periodic motions, stability, bifurcations, point mapping method, fixed point.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
814 Кб
Теги
периодического, маятник, действие, под, движения, момент
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа