close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О ДВОЙНЫХ ЛИНИЯХ ПАРЫ - t ( 1t ) 5 1 f m ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 5.

код для вставкиСкачать
НАУЧНОЕ ПЕРИОДИЧЕСКОЕ ИЗДАНИЕ «IN SITU» №8/2016 ISSN 2411-7161
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
УДК 514.75
Чолпон Абдуллаева
канд.ф.-м.н., доцент (К-УУ, г.Ош, Кыргызстан)
e-mail: achh_osh@mail.ru


О ДВОЙНЫХ ЛИНИЯХ ПАРЫ f 15 ,  ( 1t ) ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ  5
Аннотация
   5 задано семейство гладких линий так, что через каждую точку X  проходит

i , j , k  1,5 в
одна линия заданного семейства. Подвижной ортонормированный репер   X ,ei ,
В области
области
линии

i
выбран так, чтобы он был репером Френе для линии
ei
векторных полей
образуют сеть Френе
инвариантным образом определяется точка
F15


описывает свою область

5.
1

заданного семейства. Интегральные
На касательной к линии

F15   X , e1  . Когда точка X
1
смещается в области
сети

5
 , точка
 15 в  5 . Получается частичное отображение f15 :   15 такое, что
f15 ( X )  F15 .
Найдены необходимое и достаточное условия для того, чтобы линия  , принадлежащая двумерному
распределению
 ( 1t )
t  2,3,4 ,5 , являлась двойной линией пары  f15 ,  ( 1t ) .
Ключевые слова:
частичное отображение, репер Френе, циклическая сеть Френе, псевдофокус, двойная линия частичного
отображения, распределение.
В области

евклидова пространства
 5 , задано семейство гладких линий так, что через каждую
X  проходит одна линия заданного семейства. Подвижной ортонормированный репер

  X , ei ,  i, j, k  1,2,3,4,5 в области  выбран так, чтобы он был репером Френе [1], [2] для
точку
линии
 1 заданного семейства. Деривационные формулы репера 
имеют вид:
d X   i ei , d ei   ik ek .
Формы
 i , ik
(1)
удовлетворяют структурным уравнениям евклидова пространства:
D i   k  ki , D ki  ij   kj , ij   ij  0 .
Интегральные линии векторных полей
семейства. Поскольку репер

ei
образуют сеть Френе
построен на касательных к линиям сети
5
для линии
5 ,
формы
(2)
1
ik
заданного
становятся
главными, т.е.
ik  ijk  j .
(3)
В силу последнего равенства формулы (2) имеем:
ijk  ikj .
5
(4)
НАУЧНОЕ ПЕРИОДИЧЕСКОЕ ИЗДАНИЕ «IN SITU» №8/2016 ISSN 2411-7161
Дифференцируя внешним образом равенство (3) получим:
Dik  d ijk   j  ijk D j .
Применяя формул (2) отсюда имеем:
i j   kj  d ijk   j  ijk     j .
В силу равенства (3) последнее равенство имеет вид:
i j  jk   d ijk   j  ijk  j  
или
jk i j    d ijk   j  ijk   j  
.
Отсюда найдем:
d ijk   j  ik  j   j  jk i j    0
или
d
k
ij
 ik  j   kji    j  0 .
Применяя лемму Картана [3] отсюда имеем:
k
d ijk  ik j   kji  ijm
m
или


k
d ijk   ijm
  ilk  ljm  ljk  lim  m .
Система величин
(5)
 ,  образуют геометрический объект второго порядка.
k
ij
k
ijm
Формулы Френе для линии
1
заданного семейства имеют вид:
2
d 1 e1  11
e2 ,
1
3
d1 e2  21
e1  21
e3 ,
2
4
d1 e3  31
e2  31
e4 ,
3
5
d1 e4   41
e3  41
e5 ,
4
d1 e5   51
e4 ,
 113   113  0 ,  114   411  0 , 115   511  0
и
(6)
 215   512  0 ,  214   412  0 ,  315   513  0 .
Здесь
(7)
k11  112 , k21  213 , k31  314 , k41   415   451 - первая, вторая, третья и четвертая
кривизны линии
1
соответственно (где
Псевдофокус [4] Fi
j
d 1 -символ дифференцирования вдоль линии
i  j  касательной к линии  i
сети
5
 1 ).
определяется следующим радиус-
вектором:
Fi j  X 
1

j
ij
ei  X 
6
1
 jji
ei .
(8)
НАУЧНОЕ ПЕРИОДИЧЕСКОЕ ИЗДАНИЕ «IN SITU» №8/2016 ISSN 2411-7161
 X ,ei 
На каждой касательной
существуют по четыре псевдофокуса. На прямой

2
3
4
5
существуют псевдофокусы F1 , F1 , F1 , F1 , на прямой  X , e2  –
F21 , F23 , F24 , F25 ,

 X , e1 

на прямой  X ,e3  –

F31 , F32 , F34 , F35 , на прямой  X ,e4  – F41 , F42 , F43 , F54 , на прямой  X ,e5  – F51 , F52 , F53 , F54 .
Сеть
 5 в   5
называется циклической сетью Френе [5], если реперы
    
    
    
1   X , e1 ,e2 ,e3 ,e4 , e5  , 2   X ,e2 ,e3 ,e4 ,e5 ,e1  , 3   X , e3 ,e4 ,e5 ,e1 ,e2  ,
    
    
4   X ,e4 ,e5 ,e1 ,e2 ,e3 , 5   X ,e5 ,e1 ,e2 ,e3 ,e4  являются соответственно реперами Френе для линий
 1 ,  2 ,  3 ,  4 ,  сети  5 одновременно.
5
Пусть сеть
~
 5 является циклической сетью Френе. Ее обозначим через  5 . Псевдофокус

F15   X ,ei  определяется радиус-вектором:
F15  X 
Когда точка
X
смещается в области
1

5
15
e1  X 
1
5
 15
e1 .
(9)
5
   5 , псевдофокус F1 описывает свою область 15  E5
. Определяется частичное отображение f15 :   15 такое, что f1 ( X )  F1 .
5
К области

5

5
 15 присоединим подвижной репер   F1 ,bi , где векторы bi имеют вид [7]:
5
2


B 151
 11
b1  1 
e

e2 ;
 1
5
5 2

 15 
15

 
5
 12
b2 
e e 
e;
 155 2 1 2  155 5
5
B 152
b3 
5
B 153
e 
2 1
 
5
15
(10)
2
5
 13
 13
e

e

e5 ;
2
3
5
5
 15
 15
2
5
 14
 14
b4 
e 
e e 
e ;
 155 2 1  155 2 4  155 5
5
B 154
b5 
5
B 155
e 
2 1
 
5
15
2
 15
e2 .
5
 15
В общем случае эти векторы линейно независимы.
Линии
 i , g  i    i называют двойными линиями отображения g , если касательные к ним,
g  X  пересекаются, либо параллельны [6].
 называется двойной линией пары g , p  , если она является двойной линией
взятые в соответствующих точках
Линия
отображения

и
g и принадлежит распределению p
Рассмотрим линию

X

[6].
, принадлежащую распределению

   1e1   2 e2 .
7
 12 . Ее касательный вектор имеет вид:
НАУЧНОЕ ПЕРИОДИЧЕСКОЕ ИЗДАНИЕ «IN SITU» №8/2016 ISSN 2411-7161
Найдем касательный вектор

линии
  f 15   . Он имеет вид:
   1 b1   2 b2 .
В силу формул (10) отсюда получим:
   1b11   2b21  e1   1b12   2  e1   2b25 e5
Из условия компланарности векторов
 2 0
Отсюда следует а)
b25  0
 , , XF15
b25  0 . Случай  2  0
или б)
  0.
(11)
5
 12
- четвертая кривизна линии 
(где
Следовательно, линия
f
исключается, из равенства
получим:
5
12
пары
 2 b25  0 .
имеем:
5
1
, ( 12 )

2
циклической сети Френе).
, принадлежащая распределению
 12 , является двойной линией
 тогда и только тогда, когда выполняется условие (11).
Аналогичным образом получим, что линия
двойной линией пары
f
5
1
, ( 13 )
 , принадлежащая
распределению
 тогда и только тогда, когда имеют места равенства:
 13 , является
5
 13
 0.
5
 13
- третья кривизна линии 
(где
3
сети
~
 5)
3
112
 2 ,
1
13
и
где
(12)
1
3
2
2
 11
- первая кривизна линии  ,  13 - четвертая кривизна линии 
(13)
сети
~
 5.
Таким образом доказана
f
Теорема. Линия
5
1
, ( 12 )

, принадлежащая распределению
 12 , является двойной линией пары
 тогда и только тогда, когда имеет место равенство (11);
линия
 , принадлежащая распределению
 13 , является двойной линией пары  f15 , ( 13 ) 
тогда и только тогда, когда выполняются условия (12), (13); линия
 , принадлежащая распределению
 14 , является двойной линией пары  f15 , ( 14 )  тогда и только тогда, когда имеют места равенства;
5
 14
 0.
(где
и
5
 14
- вторая кривизна линии 
4
сети
~
 5)
4
112


,
1
142
8
НАУЧНОЕ ПЕРИОДИЧЕСКОЕ ИЗДАНИЕ «IN SITU» №8/2016 ISSN 2411-7161
где
f
4
2
 14
- третья кривизна линии 
любая линия
5
1
, ( 15 )
.
сети
~
5;
m , принадлежащая распределению
 15 , является двойной линией пары
Список использованной литературы:
1. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ [Текст]/ П.К.Рашевский// Москва. Наука.1967.С.481-482.
2. Схоутен
И.А.
Введение
в
новые
методы
дифференциальной
геометрии
[Текст]/
И.А.Схоутен,Д.Дж.Стройк. // Москва. ИЛ.1948.Т.II-348.
3. Фиников С.П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии [Текст]/ С.П. Фиников // МЛ.: Госттехиздат,.1948.- 432.
4. Базылев В.Т. О многомерных сетях в евклидовом пространстве [Текст]/ В.Т Базылев // Литовский
математический сборник,1966.VI.№4.-С.475-491.
5. Матиева Г. Геометрия частичных отображений, сетей и распределений евклидова пространства [Текст]/
Г.Матиева // Монография. Ош,2003.-С.212-219.
6. Базылев В.Т. Многомерные сети двойных линий [Текст]/ В.Т Базылев // В кн: Дифференциальная
геометрия многообразий фигур,1975.вып.6.-С.19-25.
7. Матиева Г. Абдуллаева Ч.Х. Необходимое и достаточное условия вырожденности одного частичного
отображения пространства
5
[Текст]/ Ч.Х. Абдуллаева // Научное периодическое издание «IN SITU». ISSN
2411-7161, № 6/2016.-С.5-9.
© Абдуллаева Ч.Х. 2016
9
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
6
Размер файла
541 Кб
Теги
пространство, евклидовой, пары, линия, двойные
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа