close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О задаче Дирихле в стохастической постановке.

код для вставкиСкачать
щ
ж h
1ц
Dй
- ч ch kh1 ъ .
кsh kh1 + з
K
r
g
G
2 л
и
ш
ы
С учетом найденных выражений С3, С4
получим
ж ¶j ц
rgx + з r 2 ч
= 0,
и ¶t ш z =h
C4 = -
й
€
j^ 2 z = D к sh kh1 Ч sh kz л
щ
ж h
1ц
-з
- ч ch kh1 Ч ch kz ъ .
K
r
g
G
и
ш
ы
Функция x r, q, t , определяющая форму свободной поверхности жидкости, находится из условия [4]
2
откуда
x r, q, t = -
=
1 ж ¶j2 ц
g
= j2 r, q, h2, t =
з
ч
g и ¶t ш z =h2 g
g ^€
j2 h2 Ч F 2 r, q Ч e -gt .
g
Отметим, что все рассматриваемые физические величины следует понимать как действительные части от соответствующих комплексных функций.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Гершуни Г. З. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости / Г. З. Гершуни, Е. М. Жуховицкий. — М. : Наука, 1972. — 392 с.
2. Кошляков Н. С. Основные дифференциальные уравнения математической физики / Н. С. Кошляков, Э. Б. Глинер, М. М. Смирнов. — М. : ГИФМЛ, 1962. — 768 с.
3. Ландау Л. Д. Гидродинамика / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. — М. : Физматлит, 2006. —
736 с.
4. Сретенский Л. Н. Теория волновых движений жидкости / Л. Н. Сретенский. — М. : Наука,
1977. — 816 с.
5. Столяров И. В. Распространение поверхностных волн в слое жидкости на пористом основании / И. В. Столяров, Н. Г. Тактаров // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. — 1987. —
№ 5. — С. 183—186.
Поступила 02.02.2012.
УДК 531.262
О ЗАДАЧЕ ДИРИХЛЕ
В СТОХАСТИЧЕСКОЙ ПОСТАНОВКЕ
А. В. Романков
В работе дана стохастическая постановка краевой задачи Дирихле для бианалитических функций для областей, близких к круговым. Рассмотрен вопрос о существовании и единственности решения указанной задачи.
В большинстве работ краевая задача
Дирихле рассматривается на классе аналитических или гармонических функций. Достаточно полное исследование задачи было
проведено с использованием интегралов
типа Коши [3]. Следует отметить, что использование интегралов типа Коши накладывает достаточно жесткие требования на
класс исследуемых функций и областей, которые на практике не всегда можно выпол© Романков А. В., 2012
134
ВЕСТНИК Мордовского университета | 2012 | № 2
нить. Это приводит к тому, что разрабатываются альтернативные способы решения задачи Дирихле.
Начиная с 1923 г. (работы Г. Филипса и
Н. Винера) развивается вероятностный подход к решению задачи Дирихле. В 1944 г.
С. Какутани показал, что решение задачи
Дирихле может быть выражено в терминах
броуновского движения.
В ряде работ задача Дирихле используется для определения комплексного потенциала, который представляет собой аналитическую функцию. Особое положение занимают краевые задачи статической теории
упругости для изотропных тел и для тел,
обладающих прямолинейной анизотропией.
В данных задачах комплексный потенциал
является бианалитической функцией [1—2].
Функция F(z) = U(x, y) + iV(x, y) называется бианалитической в области D комплексного переменного z = x + iy, если она
представлена в виде
F(z) = j0 (z) + z j1(z),
(1)
z
x
iy
,
=
где
jk (z) (k = 0,1) — аналитические функции в области D (аналитические
компоненты).
Бианалитическая функция позволяет
моделировать основные задачи плоской теории упругости краевыми задачами, обобщающими классическую задачу Дирихле. Первая краевая задача теории упругости имеет
вид [3]:
jў0 (s) + sj1ў (s) + j1(s) =
= - йjў0 (s) + sj1ў (s) + j1(s)щ + g1(s),
л
ы
jў0 (s) + sj1ў (s) - j1(s) =
(2)
= йjў0 (s) + sj1ў (s) - j1(s)щ + g2 (s), s О G.
л
ы
Здесь
S
g1(s) = - т Yn ds + C1,
0
g2 (s) =
S
= - т Xnds + C2; Г — контур, ограничивающий
0
область D, занятую телом.
Исследование задачи (2) приведено в
работе [2] на основе свойств интеграла типа
Коши и сингулярных интегральных уравнений. При этом полагалось, что данные и искомые функции детерминированы и принадлежат пространству Гёльдера. На практике
встречаются случаи, когда нагрузки и форма
Серия «Физико-математические науки»
тела имеют случайную составляющую. Это
может привести к тому, что для реализации
случайной функции F(z) краевые условия
(2) могут не выполняться. Поэтому желательно получить методы решения задачи (2),
позволяющие работать с более широким
классом функций.
В данной работе задача (2) решается с
использованием теории случайных функций,
в частности, теории диффузионных процессов. Это позволит расширить класс функций, для которых можно ставить задачу Дирихле и позволит применять для численного
решения аппарат теории вероятностей и математической статистики (например, метод
статистических испытаний Монте-Карло).
Основная сложность в решении поставленной задачи состоит в том, что броуновскому движению соответствует характеристический оператор второго порядка вида [3]:
Af (x) =
¶f
е bi (x) ¶x
i
i
+
¶2 f
1
+ е (ssT )ij (x)
,
¶xi¶x j
2 ij
(3)
а комплексный потенциал в случае плоской
деформации изотропного и анизотропных
тел удовлетворяет уравнению четвертого порядка. Поэтому при решении задачи (2) необходимо дополнительно использовать свойства контура Г, на котором заданы граничные условия.
F(z) = U(x, y) + iV(x, y) =
Функция
= j0 (z) + z j1(z) в области D, ограниченной
контуром Г, называется Х-бианалитической,
если для всех z О D и всех открытых множеств W, для которых W О D, аналитические компоненты j0 z и j1(z) представимы в следующем виде
jk (z) = Uk (x, y) + iVk (x, y) =
= M(Uk (Ytw ,Ytw )) + iM(Vk (Xtw ,Ytw )) = (4)
= M z (j(ztw )), k = 0, 1, ... .
Здесь M(f) — математическое ожидание
случайной функции; tw — момент первого
выхода двумерного броуновского процесса
из множества w. Функции Uk и Vk связаны
между собой соотношения Коши — Римана.
Лемма 1. Пусть F — X-бианалитическая функция в области D плоскости комплексного переменного Z, тогда
A2F = 0.
(5)
135
2
Обратно, если F О C2 (D) и A F = 0 в D, то
функция F является Х-бианалитической.
Лемма 2 [3]. Пусть g(s) — ограниченная измеримая функция на границе Г области D. Тогда функция U(x, y) = M йл g(ztw )щы ,
z О Z является гармонической.
Рассмотрим задачу Дирихле в стохастической постановке. Требуется найти X-бианалитическую функцию в области D
F(z) = j0 (z) + Zj1(z)
по краевым условиям вида
Re
¶F
Re
¶y
¶F
¶x
=
z =s tD
z =stD
1
g1(s tD ),
2
1
= g2 (stD ), s О Г.
2
(6)
Здесь gk (s) — ограниченные измеримые
функции на контуре Г, принадлежащие классу C(1)(Г). Краевые условия (7) выполняются почти наверное.
Краевые условия (6) можно преобразовать к следующему виду
¶F
¶y
(
)
(
)
(
)
= йjў0 stD + stD stD - j1 stD щ +
л
ы
+ g2 stD .
В данной работе будем полагать, что
контур Г представляет собой единичную
окружность. Для точек, лежащих на окружности, выполняются условия
1
(8)
.
s
Введем вспомогательные аналитические
функции
1
F1(z) = jў0 (z) + j1ў (z) + j1(z),
z
1
(9)
F 2 (z) = jў0 (z) + j1ў (z) - j1(z).
z
На границе контура выполняются равенства
s=
¶F
¶x
136
z =s
= jў0 (s) +
1
j1ў (s) + j1(s),
s
F1(stD ) = -F1(stВ ) + g1(stD ),
(10)
F 2 (stD ) = F1(stВ ) + g2 (stD ).
(11)
Краевые условия (10), (11) представляют собой две задачи, в которых требуется
определить аналитические функции по краевым значениям их действительных и мнимых частей соответственно. Нетрудно видеть,
что краевые задачи (10), (11) являются задачами Шварца для аналитических функций,
которые в случае односвязной области совпадают с задачами Дирихле.
Зафиксируем точку z0 = 0. Пусть {Dk } —
возрастающая последовательность открытых
множеств, содержащих точку z, причем Dk М D
и
D = 7 Dk.
k
Положим
tk = t Dk ,
t = tD.
Тогда в силу марковского свойства
Re F1(Ztk ) = lim M ztk йлC1(zt )щы =
k ®Ґ
= M z йлC1(Zt ) Ftk щы .
= - йлjў0 (stD ) + stD j1ў (stD ) + j1(stD )щы + g1(stD ),
(7)
1
j1ў (s) - j1(s).
s
Следовательно, граничные условия (7)
можно переписать следующим образом
jў0 (s tD ) + s tD j1ў (s tD ) + j1(s tD ) =
jў0 stD + stD j1ў stD - j1 stD =
z =s
= jў0 (s) +
[3]:
Справедливо
следующее
утверждение
lim Re F1(Ztk ) = lim M z йлC1(Zt ) Ftk щы =
k ®Ґ
k ®Ґ
= C1(zt ).
(11a)
Здесь сходимость полагается почти для всех
реализаций на пространстве L2 (Q z ).
Рассмотрим процесс
Nt = F1(ztk Ъ (t Щ tk +1)) - F1(ztk ).
Данный процесс для любых значений k является мартингалом.
Справедлива оценка
й
щ
Q z = Q z к sup йлF1(zs ) - F1(ztk )щы > e ъ Ј
лк tk Ј s Јtk +1
ыъ
Ј
1
2
M z йк F1(ztk +1 ) - F1(ztk ) щъ .
л
ы
e
2
Получим, что при k ® Ґ Q z ® 0.
Следовательно, функция F(z) является
решением задачи Дирихле (11а), что доказывает существование решения данной задачи.
ВЕСТНИК Мордовского университета | 2012 | № 2
Пусть y(z) — Х-аналитическая функция. Тогда y(z) = M z (y(ztk )) для всех k.
Положим, что lim y(zk ) = C1(tD ). Тогt ®t D
да
Re y(z) = lim M z йлC1(Zt ) Ftk щы = C1(zt ).
k ®Ґ
Таким образом, единственное решение
задачи (10) дается формулой
ж z ¶M(C1(ztD ))
F1(z) = M(C1(ztD )) + i з т ¶x +
з
¶y
и0
ц
¶y ч = G1(z).
ч
¶x
ш
Задача (11) решается аналогично. Иско+
¶M(C1(ztD ))
мые компоненты Х-бианалитической функции можно найти по формулам:
j1(z) =
G1(z) - G2 (z)
,
z
(12)
1
jў0 (z) = G1(z) - j1ў (z) - j1(z).
z
Таким образом, справедлива следующая
теорема.
Теорема 1. Стохастическая задача Дирихле для Х-бианалитических функций на
окружности имеет единственное решение
вида (12).
Отметим, что на основе разработанного
метода можно получить решение краевых
задач для бианалитических функций при
более общих условиях относительно контура
и граничных соотношений.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Гахов Ф. Д. Краевые задачи / Ф. Д. Гахов. — М. : Наука, 1977. — 640 с.
2. Дынкин Е. Б. Основание теории марковских процессов / Е. Б. Дынкин. — М. : Физматлит,
1959. — 226 с.
3. Оксендаль Б. Стохастические дифференциальные уравнения / Б. Оксендаль. — М. : Мир,
2003. — 408 с.
Поступила 03.04.2012.
Серия «Физико-математические науки»
137
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
595 Кб
Теги
стохастических, дирихле, задачи, постановка
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа