close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О множествах Жюлиа некоторых рациональных функций.

код для вставкиСкачать
О множествах Жюлиа некоторых рациональных функций
УДК 513
Секованов Валерий Сергеевич
Костромской государственный университет им. Н. А. Некрасова
О МНОЖЕСТВАХ ЖЮЛИА НЕКОТОРЫХ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
В данной статье исследуются множества Жюлиа и бассейны притяжения некоторых рациональных функций,
устанавливается хаотичность рациональных функций на своих множествах Жюлиа.
Ключевые слова: хаотичность, множество Жюлиа, периодические отталкивающие и притягивающее точки.
М
ножества Жюлиа появились в начале
прошлого века в результате итерирования функций комплексной переменной. Исследования показали, что в большинстве
случаев множества Жюлиа являются фракталами.
В настоящее время интенсивно исследуются фрактальные множества на комплексной плоскости. Это
связано с их использованием при создании математических моделей в физике, экономике и других
науках. Полезны комплексные фракталы и для реализации дидактических целей, поскольку математические исследования органически переплетаются с разработкой алгоритмов, реализуемых с помощью современных информационных и коммуникационных технологий, включая параллельное программирование, что дает прекрасную возможность
формирования креативности студентов.
Следует отметить, что множества Жюлиа и множество Мандельброта рассматриваются в учебных
пособиях и монографиях (см., например: [1–5])
в основном для квадратичных отображений.
В настоящей работе мы покажем, что множество Жюлиа для рациональной функции
f z   z 
z 2  e i z 2  e i z ei

 
, z  С ,   0, 2 
2z
2z
2 2z


если z0  1 . При z0  1 данная последовательность
будет стремиться к 0. В рассмотренном случае множеством Жюлиа будет окружность единичного радиуса с центром в начале координат.
Мы будем считать множеством Жюлиа рациональной функции как замыкание периодических
отталкивающих точек.
Справедлива теорема: пусть f – полином n-й
степени n  2 . Тогда следующие определения множества Жюлиа эквивалентны:
а) множество Жюлиа есть граница области притяжения всех притягивающих неподвижных точек
функции f, включая ;
б) каждая отталкивающая периодическая точка
принадлежит J(f) и J(f) является замыканием отталкивающих периодических точек для функции f
(см.: [2]).
Найдем для функции f ( z )  z 2 множество Жюлиа, воспользовавшись пунктом б) выше приведенной теоремы.
n
Как уже отмечалось, f ( n ) ( z)  z 2 . Пусть периодические точки порядка p  1, 2, 3, ... удовлетворяютт
p
уравнению z 2  z . Если z  0 , то, сократив на z,
p
  
i  
2 2
является прямой линией  z   re
, r  R, z  r ,
проходящей через начало координат, и установим,
что функция f(z) хаотична на своем множестве
Жюлиа.
Множество Жюлиа для полинома комплексного переменного f(z), обозначаемое J(f), определяется как J ( f )  {z : f ( n) ( z )  , n  } , где  – граница области притяжения бесконечности, а
f ( n ) ( z )  f ( f ( n 1) ( z )), n  1, 2, ... .
Покажем, что множество Жюлиа для функции
f ( z )  z 2 есть окружность z  1 . На самом деле,
f (1) ( z )  z 2 ,
4
2
 
f ( 2) ( z )  z
2
z  z  z  1 , то
2 2
 z4  z 2  z 2 .
Так
как
ак
f ( 2 ) ( z )  1. Следовательно,
f ( 2) ( z ) находится на единичной окружности ради-
уса единичной длины с центром в начале координат. Аналогично можно проверить, что точки
f (3) ( z ), f ( 4) ( z )... f ( n) ( z )... также находятся на единичной окружности.
Нетрудно проверить, что последовательность
2n
f ( n ) ( z0 )  f ( f ( n 1) ( z 0 ))  z 0 , n  1, 2, ... стремится к ,
© Секованов В.С., 2012
получим, что z 2 1  1 . Следовательно, имеется 2 p  1
периодических точек, образующих множество
2iq
 p

B  e 2 1 : 0  q  2 p  2  


2q
2q


 cos p
 i sin p , 0  q  2 p  2 .
2 1
2 1


Все эти точки лежат на единичной окружности
с центром в начале координат и распределены на ней

равномерно. Поскольку  f ( z ) ( p )   2 p  1 , то каждая
ненулевая периодическая точка является отталкивающей. Совокупность всех периодических точек функции f(z), очевидно, образует всюду плотное подмножество единичной окружности. Таким образом, согласно характеристическому свойству б), множеством
Жюлиа является единичная окружность.
Рассмотрим функцию
f z   z 
z 2  e i z 2  e i z e i

 
.
2z
2z
2 2z
i

i

Заметим, что z1  e 2 , z2  e 2 – нули функции
  z   z 2  ei являются неподвижными сверхпритяВестник КГУ им. Н.А. Некрасова  № 2, 2012 1
23
ЕСТЕСТВОЗНАНИЕ
гивающими точками функции f z   z 
скольку
f z1   z1 ,
f  z   1 
4 z 2  2 z 2  2e i z 2  e i

.
4z 2
2z 2
Рассмотрим две точки
f z 2   z 2
и



A cos , sin 
2
2

и

2



B  cos ,  sin  , лежащие на прямой  z   re ,
2
2

где r  R , z = r. Покажем, что для функции
z e i

множество Жюлиа J(f) есть перпен2 2z
  
i  
2
  
i  
2
мую  z   re  2
, где r  R , z = r. Обозначим пря-
  
i  
2
i
переводит
re
  
i  
2
re  2

2
e

2
2re
2re
  
i  
2 2
и
Z
 r 1  i  
   e  2 2   L.
 2 2r 
  
i  
2 2
i
  
W:
w   (z) 
ze
i

2
i

2
и
(то есть w2    f  1 w ). Пусть w  w0 . Тогда
да
w0  1
. Далее получим
w0  1
z1  f ( z0 )  f ( 1 ( w0 )) 
i
24





w  1 , то e 2

  

w 1
  . И, наконец, если
w 1
w 1
 0 . Таким образом, при отобраw 1
i

жении  1 ( w)  e 2
w 1
трем точкам, лежащим на
w 1
окружности w  1 , соответствуют три точки на пря  
i  
2
мой  z   re  2
. Ясно, что дробно-линейное преi

образование  1 ( w)  e 2
w 1
переводит единичную
w 1
z02  e i

2  z0
2
 w0  1 

  ei

2
i w 1
 w0  1 
0
2

e
.

i w 1
w02  1
2e 2 0
w0  1
Вестник КГУ им. Н.А. Некрасова  № 2, 2012
. Будем
считать, что внутренность единичного круга w  1
функция  1 ( w) переводит – в полуплоскость P1,
а внешность единичного круга она переводит в полуплоскость P1, на которые комплексная плоскость
разбивается
прямой
линией,
  
i  
2
 z   re  2

2
, r  R , z  r  ,

i
0 1
e
 e 2 и
0 1
i

e



окружность в прямую линию  z   re  2
Пусть l w  w2 . Покажем тогда, что l    f   1

i
2

  
i  
2
 w 1 
z   1 ( w)  e 
.
 w 1 
2

Если же w  1 , то e 2
 r 1  i  
и   e  2 2 
 2 2r 
z e

2
w 1
. Действительно, пусть w  i . Тогw 1


i
2
i
, r  R , z = r. Для того чтобы убедить-
i  
i
i
i
 i  1 i 2 ( 1  i )(1  i ) i 2
e 
e  ie 2  e 2  e 2  e  2 2  .
 i 1
2
да
лежат на одной прямой L. Следовательно, если
z  L , то и f ( z )  L .
Рассмотрим теперь два отображения, каждое из
которых является гомеоморфизмом комплексных
z 0   1 ( w0 )  e


Таким образом, точки re
плоскостей
прямую
  
ei 
 e i
в
w 1
w 1
w 1
ся в справедливости данного суждения, найдем
образы трех точек при отображении
 L , то
о
i
  
i  
2 2
окружность
  
i  
2 2
i
f (z) 

Покажем, что отображение z   1 ( w)  e 2
 1 ( w)  e 2
  
i  
2 2

Жюлиа для функции h( z)  z 2 есть окружность единичного радиуса с центром в начале координат комплексной плоскости С. Таким образом, изучение
траекторий точки при отображении f сводится к изучению траектории точки при отображении l w  w2 .
 z   re
через L.
Заметим, что если z  re  2
i
Таким образом,  ( f ( 1 ( w )))  w2 для каждого
о
дикуляр, проходящий через середину отрезка AB.
Уравнение этого перпендикуляра, очевидно, имеет
вид:  z   re  2

2
w02  1 i 2
e
w02  1
1
 ( f ( ( w0 )))   2
 w02

.
i w 1
i
0
2
2
e
e
2
w0  1
e
о
w C . Раньше мы установили, что множество
i
f z  
После преобразований имеем
z 2  e i
, по2z
поскольку


точки
5 1 i 2 3 i 2
e  e лежат по разные
5 1
2
стороны от данной прямой.
О множествах Жюлиа некоторых рациональных функций
Предложение 1. Пусть дана функция
P1
луплоскости
i
f z  
z e

. Тогда точки z и f(z) лежат в одной и
2 2z
той же полуплоскости относительно прямой L.
Доказательство. Докажем сначала, что функция
z 1

переводит каждую точку, лежащую в
2 2z
 z  
правой (левой) полуплоскости относительно мнимой
оси в точку, лежащую в правой (левой) полуплоскости. Возьмем z  a  bi , где a > 0 (a < 0). Тогда
 ( z) 

a  ib
1
1
a  ib 

  a  ib  2

2
2(a  ib ) 2 
a  b2 
a

1
2
w 1
что тогда точка 2
лежит в левой полуплоскосw 1
ти относительно мнимой оси. Так как w находится
0 1
 1 , то  1 w
0 1
будет находиться в левой полуплоскости. А тогда и
  1 w также будет находиться в левой полуплосw2  1
w2  1
кости. Поскольку   1 w  2 , то и точка 2
w 1
w 1

будет находиться в левой полуплоскости. Если же
w находится вне круга S, то аналогично можно показать, что   1 w 
w2  1
будет находиться в праw2  1
вой полуплоскости относительно мнимой оси.
Как и выше, будем считать, что прямая L, заданная уравнением  z   re
  
i  
2 2
w 1
, то f ( z)  f ( 1 ( w)) будет
w2  1
находиться в плоскости P1 (P2).
Будем считать орбиту функции f(z) предпериодической, если для некоторого натурального числа n
f n k   z   f n   zˆ   zˆ , где k  1 натуральное число.
Предложение 2. Пусть z  L  Z . Тогда возможны следующие случаи:
а) орбита f n   z n1 имеет предел;


z 1
w 1
. Тогда  1 w 
. Покажем,
z 1
w 1

как
г) орбита f  n  z n 1 не имеет предела.
a
внутри S, то поскольку  1 0  
Та к
в) орбита f n   z n 1 предпериодична;
Так как 2  a  a 2  b 2   0  2  a  a 2  b 2   0  , то
о v(z)



 

принадлежит правой (левой) полуплоскости.
Возьмем точку w, находящуюся внутри окружности S радиуса единица с центром в начале координат. Пусть  z  
(P 2 ).
2
б) орбита f n   z n1 периодична;
1
a  1 
b 
a  2
  i b  2
.
2
a  b2  2 
a  b2 
1
f ( z )  f ( 1 ( w))  e

i
2
  
i  
2
Доказательство. Если точка z  re  2
z  re
  
i  
2 2
  
i  
2
L,
r 1 
   e
 2 2r 
  
i  
2 2
то
re  2
f z  
2
 e i
 L , то
о
e i
2re
  
i  
2 2

 L . Таким образом, итерации
  
i  
2
функции f(z) вдоль прямой re  2
формуле (*):
вычисляются по
1
1
rn1   rn  
2
rn 
(*)
Положим r  ctg  . Тогда rn 1  ctg  n1  ,
rn  ctg  n  .
Далее в
силу (*) получим

1
1
  ctg2 n  . Из
 ctgn 1     ctg  n  
2
ctgn  
последнего
равенства
ctg  n 1   ctg 2 n  .
 n1  2 n  m , m  Z .
В
находим,
что
Следовательно,
таком
случае:
 n1  2 n  m, где m – целое число. Запись
, r  R , z  r  , раз-
 n1  2 n  m, m – целое число, означает, что
о
бивает комплексную плоскость C на две полуплоскости P1 и P2. Покажем, что каждую точку z, при-
 n 1  2 n mod 1 , где " mod1" сохраняет дробную
z
2
надлежащую P1 (P2), f  z   
i
e
переводит в точ2z
ку, также принадлежащую P 1 (P 2 ). Пусть

2
w 1
ze
 P1 P2  . Тогда существует такая точка w,
w 1
i
лежащая
z   1 w  e
внутри

i
2
(вне)
S,
круга
что
2
w 1
w 1
. Поскольку точка 2
лежит
w 1
w 1
в левой (правой) полуплоскости относительно мниi

мой оси, то точка e 2
w2  1
будет находиться в поw2  1
часть, расположенную в полуинтервале [0, 1) (например, 2,45 mod 1  0,45 ). Пусть  n записано в двооичной системе счисления. Тогда знаки  n 1 будут
теми же, что и в  n , только сдвинутыми на единицу влево, а единица, оказавшаяся левее двоичной
запятой, отбрасывается. Поскольку функция
r  ctg  отображает полуинтервал [0, 1) на всю
числовую прямую, то будем считать, что   0, 1 .
а) Очевидно, что каждая двоичная стационарная дробь имеет предел, равный нулю. Действительно, если  0  0, 1 2 ... n в двоичной системе
Вестник КГУ им. Н.А. Некрасова  № 2, 2012 1
25
ЕСТЕСТВОЗНАНИЕ
счисления, то n-ая итерация числа  0  0, 1 2 ... n
(одна итерация состоит из сдвига запятой на один
знак вправо и обнуления целой части) будет равна
нулю, а f n   ctg 0    . Например, если
 0  0,0012   0,12510  ,
то
 2  0,12   0,510  ,
1  0,012   0,2510  ,
и
 3  02   010 


r0  ctg 0,125    1  2 ;

 
1
 1  1  0,
2
..................................
тим, что в двоичном представлении  0 мы никогда
не обнаружим трех единиц, стоящих рядом.
Лемма 1. Пусть  гомеоморфизм метрических


f 2  r0  
01101001
0110100110010110
Таким образом,  0  0,0110100110010110... . Заме-

1
1

f 1 r0     1  2 
2
 1  2 
1
1  1  1 2 2  2 1 
  1,
  1 2 
 

2
1  2  2 
1 2


0
01
0110
пространств Z и W  : Z  W  , а  1 – обратное отоо-
f 3  r0    . Следовательно,
бражение для   1 :W  Z . f – отображение метрического пространства Z на себя и пусть
  f n    1  h n  , то есть
h    f   1 . Тогда
последовательность f  z n1 имеет предел, рав-
  f n   1 w  h n  w .
ный   C .
б) Пусть  0  0, 1 2 ... n 1 2 ... n 1 2 ... является
периодической двоичной дробью. В данном случае
 0  0, 1 2 ... n  порождает периодическую орбиту,,
Доказательство поведем по индукции. При n=1
равенство справедливо, так как   f   1  h и
период которой равен n. Таким образом f n  r   r ,
n=k. То есть   f k    1  h k  или что равносильно –   f k   1 w  hk  w . Подействовав на левую
и правую части последнего равенства отображени-
n 

где r  ctg   . Рассмотрим пример. Пусть
 0  0, 10 2   0, 6  10  .
Тогда
имеем
1
r 0 ctg  0  
. Первая итерация 1 числа  0
3
1
будет иметь вид 1  0,0(10) , f r0   
1
. Далее
3
имеем  2  0, 10 , f 2  r0   r0 .
в) Возьмем r0  3 . Тогда после преобразований получим: r1  f r0  
r3  f 3 r0  
1
.
3
Далее
1
,
3
1
,
3
r2  f 2  r0   
зам етим,
чтоо
f 2 1 r0   f 2  r1   r1 . Таким обра зом, орбитаа
f   z 
n

n 1
точки z является предпериодической.
г) Если  0  0, 1 2 ... n ... является бесконечной
непериодической дробью, то последовательность
итераций  n n1 не будет иметь передела. А тогда
не будет иметь предела и орбита точки f n   z n 1 ,
 

1 1
f  f 1 . То есть  f  w  hw, w  C . Предпо-
ложим, что наше утверждение справедливо при
ем  1 , получим f k   1 w   1 h k  w . Далее имеем
следующее
равенство
f k 1  1 w  f  f k   1 w  f  1 h k  w . За метим, что   f  1 hk  w  hh k  w  hk 1 w . Поскольку   f k 1  1 w    f  1 h k  w , то лемма 1
доказана.
Рассмотрим hw  w , w   ( z ) 
2
ze
z e
z   1 ( w)  e
f z   z 
i

2
i

2
i

2
,
w 1
,
w 1
z 2  e i z 2  e i z e i

 
.
2z
2z
2 2z
Тогда согласно лемме 1 будем иметь
  f n   1 w  w2 , поскольку hn  w  w2 .
n
n
Предложение 3. Если точка z  P1  Z . Тогда
i

f n  z   e 2 при n   .
где z  ctg  0  . В качестве иррационального чис-
Доказательство. Существует такая точка w,
ла  0 можно, например, взять последовательность
Морса-Туэ, строящуюся по правилу: каждая строка получается из предыдущей путем приписывания
справа дополнения, к системе чисел, расположенных в выше стоящей строке.
лежащая внутри единичного круга S, что z   1 w .
26
Вестник КГУ им. Н.А. Некрасова  № 2, 2012
Поскольку   f n   1 w  w2 , тоо
n


 
n
f n   1 w   1 w2  e
i

2
n
w2  1
n
w2  1
.
О множествах Жюлиа некоторых рациональных функций
Из последнего равенства вытекает, что
e

i
2
n
w2  1
2n
w 1
 e

i
2
при n   .
Предложение 4. Если точка z  P2  Z . Тогда
i
n 

2
f  z   e при n   .
Доказательство аналогично доказательству
предложения 3.
Лемма 2. Пусть h    f   1 , где h, j и f те жее
отображения, что и в лемме 1. Тогда f n  имеет неподвижную точку тогда и только тогда, когда h n 
имеет неподвижную точку.
Доказательство. Пусть hn  w  w . Тогда согласно лемме 1   f  w  h w  w . Из последнего равенства получаем f n   1 w   1 w . Поn 
n
же имеет 22 1 неподвижных точки.
Как
и
выше,
обозначим
 z   re
  
i  
2 2
прямую
, r  R , z  r  через L, а окружность ра-
диуса 1 с центром в начале координат обозначим
через S. Предположим, что точка z  L имеет
период n, где n>1 для функции f (в случае n=1, на
прямой L находится лишь одна неподвижная точка
z   ).
Существует такая точка w S , что z   1 w .
Покажем, что данная точка отталкивающая. Согласно лемме 1 получим   f n   1 w  w2 . Тогда
n
f
n 
 w   w 
1
1
2n
i

. То есть f n   1 w  e 2
n 
1
n
w2  1
n
w2  1
Далее имеем:
ложив z   1 w , получим f n  ( z )  z . Обратно,
 f   z    f    w 
пусть f n  ( z)  z . Существует такое w, что z   1 w .

n
n
n
n

n 2 n 1
 i w2  1 
i
w2  1  2 n w2 1 w2  1
 e 2 2 w
  e 2 2n

2
n

w  1 
w2  1

Из
  f n   1 w  hn  w
равенства


f n   z    1 hn  w .



Так
f n  ( z )  z ,
как

имеем:

тоо

f n   1 w   1 h n  w и z   1 h n  w . Применив
к левой и правой части последнего равенства отображение  , получим hn  w  w , посколькуу
 z   w и лемма 2 доказана.
z e i
f z   
.
2 2z
Доказательство. Рассмотрим вновь hw  w2 ,
w   (z) 
z e
f z   z 
i

2
i

2

i w 1
1
2
, z   ( w)  e w  1 ,
z 2  e i z 2  e i z e i

 
.
2z
2z
2 2z
Как уже отмечалось, w   ( z ) 
ze
z e
i

2
z e
Нетрудно заметить, что функция f  z  
2z
будем
i
ото-
иметь
2
n 
  f n   1 w  w2 . Поскольку h w имеет 2
n



e
i

2
n
2 n 1
w
2n
2 w
 2  e
 1
i

2
2
После
2
n 1
w
2n
w

2 n 1

1
2
.
преобразований
'
1
2


получим:
n 1
n
w2  1
2
, поскольку точки w2
n
1
иe
i

2
n
n
принадлежат S. Так как w2  S , то 0  w2  1  4 .
Следовательно,
 f   z    f    w 
'
n
n
1
2 n1
'
n
w2  1
2
1
.
Таким образом, точка z – отталкивающая.
Покажем теперь, что множество периодических
точек функции f z  всюду плотно на L. Пусть
r  L и U – некоторая окрестность точки r. Тогда
существует такая точка   S , что r   1   . Поскольку множество периодических отталкивающих
точек всюду плотно на S для функции hw  w2 , тоо
k


n 1
 S (pk – пе-
риод точки  np  S , k=1, 2,…), сходящаяся к   S .
Согласно лемме 2 и только что приведенным рассуждениям каждая точка последовательности
k
является

i
2
2
1
1
существует последовательность  np
гомеоморфизмом комплексных плоскостей Z и W .
бражает Z на себя.
Согласно
лемме
n

n
точкой является точка  1 w ( f n   1 w   1 w ).
Теорема 1. Прямая L является замыканием периодических отталкивающих точек функции
ze
n
 f    w
Замечание. Мы показали, что если w является
неподвижной точкой для n-ой итерации h n 
( hn  w  w ), то для n-ой итерации f n  неподвижной
.
n
1
неподвижных точки, то согласно лемме 2 f n  так-
r 
pk 
n
n 1
 L будет периодическая и отталкивающая
для функции f  z  
z 2  ei 
. Поскольку  1 гомео2z
морфизм S и L, то последовательность периодических отталкивающих точек rnp
pk
n
r  L , где r

1
k


n 1
сходится к точкее
 . Существует такой номер n ,
pk
n
Вестник КГУ им. Н.А. Некрасова  № 2, 2012 1
0
27
ЕСТЕСТВОЗНАНИЕ
что rnp U . Таким образом, множество периодических точек функции f(z) всюду плотно на L.
Покажем, что функция f(z) хаотична на прямой
k
0
  
i  
2
 z   re  2
. Несколько изменив приведенное в [2]
рассуждение, установим сначала хаотичность функции h z   z 2 на S. Заметим, что если x  e i , тоо
h n   x   e 2
n
 i
. Возьмем   0,  
2
. Пусть x  S .
3
 

i  n 
32  
Найдем такие n  N и y n  e 

 S , чтобы вы-
полнялись условие расстояние  x, yn    . Тогда
hn  x   e 2
n
 h
 n 
 n 
 x , h
и h  n   yn   e
 i

2 n
 

   n i

32  

y 
n
e

 n
 2   i
3

и
2
 1    . Следовательно, h z 
3
обладает существенной зависимостью от начальных условий на S. Проверим транзитивность отображения h(z) на S. Пусть U и V – открытые множества в S. Нетрудно заметить, что существует такое n, что hn  U   S . Следовательно, h n  U   V
непусто и транзитивность h(z) доказана. Всюду
плотность периодических точек h(z) на S отмечалась в начале статьи.
1
6
Пусть теперь   0,   , r1 и некоторое открытое множество U на прямой L, содержащее точку
r1. Тогда  r1  принадлежат S и  U  – открытое
ое
множество в S. Обозначим  r1   x  e i и найдем
 

i x  n 
32  
такие n  N и y n  e 

 

i  x n 
32  
ловие: y n  e 

, чтобы выполнялось ус-


  U  . Тогда  x, y n   и
 h n   x , h n  y n   1   
2
. Обозначим h n  x   w1 ,
3
да
h n   у   w2 . Ясно, что точки w1 , w2  S . Тогда


i

f n   1 w1   e 2

i w 1
w1  1
, а f n   1 w2   e 2 2 .
w1  1
w2  1


Далее найдем расстояние между точками
f  1 w1  и f n   1 w2  :
n 

i  w 1
w 1
f n   1 w2   f  n   1 w2   e 2  2
 1  
w

1
w1  1 
 2


28



2 w2  w1
.
w2  1  w1  1
Вестник КГУ им. Н.А. Некрасова  № 2, 2012
Поскольку
2 w2  w1 
w1 , w2  S ,
w2  1 w1  1  4
и
2
, тоо
3




f n   1 w2   f n   1 w2  
2 w2  w1
w2  1  w1  1

1
6
и существенная зависимость от начальных условий функции f(z) на L установлена. Покажем, что
f(z) транзитивна на L. Пусть U и V – два открытых
множества на прямой L. Тогда существуют такие
два открытых множества W1 и W2 на S, что выполняются соотношения: U   1 W1  и V   1 W2  . Поскольку hw  w2 , то существует такое натуральноее
число n, что h n  W1   S . Далее, посколькуу




 W  V


f n   1 W 1    1 h  n  W1  , то f n   1 W 1   L . Слеn 
1
довательно, f
непусто и транзитив1
ность f(z) установлена. Выше мы показали, что множество периодических точек функции f всюду плотно в L.
Таким образом, отображение f обладает существенной зависимостью от начальных условий,
транзитивно и множество периодических точек f
всюду плотно в L. Согласно определению хаоса, по
Девани, отображение f хаотично на L.
Библиографический список
1. Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. –
М.; Ижевск, 2002.
2. Кроновер Ричард М. Фракталы и хаос в динамических системах / пер. с англ. под ред.
Т.Э. Крэнкеля. – М.: Постмаркет, 2000.
3. Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы
и мультифракталы. – М.; Ижевск, 2001.
4. Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы: (миниатюры из бесконечного рая). – М.: Научно-издательский центр «Регулярная и хаотичная
динамика», 2001.
5. Гринченко В.Т., Мацыпура В.Т., Снарский А.А. Введение в нелинейную динамику: Хаос
и фракталы. Изд. 2-е. – М.: ЛКИ, 2007.
6. Секованов В.С. Элементы теории фрактальных множеств: учебное пособие. 4-е изд. – Кострома: КГУ им. Н.А. Некрасова, 2012.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
17
Размер файла
667 Кб
Теги
жюлиа, рационально, множества, функции, некоторые
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа