close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О наилучшем полиномиальном приближении в пространстве Харди.

код для вставкиСкачать
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН
2006, том 49, №9
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
Член-корреспондент АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозов,
О.А.Джурахонов
О НАИЛУЧШЕМ ПОЛИНОМИАЛЬНОМ ПРИБЛИЖЕНИИ
В ПРОСТРАНСТВЕ ХАРДИ
1. Обозначим через
H q ,1 q
- пространство Харди аналитических в единичном
круге функций
ck z k , z = с eit , 0 < с 1
f ( z) =
(1)
k =0
с конечной нормой [1]
|| f ||q := || f ||H = lim {M q ( f , ) :
1 0} < ,
q
1
Mq ( f , ) =
2
1/q
2
it
q
| f ( e ) | dt
,1 q
.
0
Известно [2], что норма функций f ( z) = H q реализуется на угловых граничных значениях. Через f
(r )
( z ) (| z |< 1, r
f (z)
литической функции
r
N
понимаем
f ( r ) ( z ) H q ,1 q
класс
N ) обозначим обычную производную r -го порядка ана-
по переменной
z, f ( r ) ( z ) = d r f/dz r . Под H qr , 1 q
аналитических
в
круге
| z |< 1
. Структурные свойства функции f ( z )
функций,
у
f (r ) ; t
q
:=
m
f (r ) ; t
Hq
= sup
m
f (r ) , , u
q
:| u | t ,
где
m
m
f
(r )
( 1)k
; x, h =
k =0
m (r ) i( x
f
e
k
ku )
– разность m -го порядка производной f ( r ) ( z ) по аргументу z с шагом h.
В частности, используя специфику гильбертова пространства H 2 , имеем:
787
которых
H qr характеризуем скоростью
стремления к нулю модуля непрерывности m -го порядка, определяемой равенством
m
,
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2006, том 49, №9
щm2 ( f ( r ) , t ) 2 := щm2 ( f ( r ) , t ) H =
2
бkr2 | ck |2 (1 cos(k r )u) m : | u | t ,
= 2m sup
(2)
k =r 1
где бkr := k!{(k
r )!} 1 , k
r.
Пусть
n
n = pn ( z ) : pn ( z ) =
ck z k
k =0
- подпространство комплексных полиномов степени не более n. Наилучшее приближение
функции f ( z) H q множеством n
En f
q
1
:= E f , n
обозначим
1 H
q
= inf
f
pn
1 H
q
: pn
n
1
1
.
В частности, из разложения (1) и равенства Парсеваля следует, что
1/2
En f
2
2
=
| ck |
(3)
En ( f )2 ,1 q 2.
(4)
k =n
и в силу неравенства Гельдера имеем
En ( f )q
В данном сообщении экстремальная характеристика, введенная в [3], изучается для
множеств аналитических функций H qr
что для произвольной
H q ,1 q 2. Всюду в дальнейшем предполагаем,
f ( z) H qr ,1 q 2 модуль непрерывности щm ( f ( r ) , t )2 = 0, т.е.
f ( r ) ( z ) = const.
Для 0 < h р/(n r ), r < n введем экстремальную характеристику
2m
df
M n ,r ,m, p , (h) = sup
f H qr
nr
En ( f )q
1/p
h
p
m
(f
(r )
.
(5)
, t ) 2 sin (n r )tdt
0
Теорема 1. Пусть r , n, m N , r < n и 1 q, p 2. Тогда для любых чисел h, удовлетворяющих условию 0 < h р/(n r ), r < n, имеет место равенство
788
Математика
М.Ш.Шабозов, О.А.Джурахонов
h
M n , r , m , p , ( h) =
0
1/p
mp
(n r )t
sin
2
sin (n r )tdt
.
(6)
Существует функция f 0 ( z ) H qr ,1 q 2 , для которой достигается верхняя грань в
(5), реализующая равенство (6).
Доказательство. Для доказательства воспользуемся упрощенным вариантом неравенства Минковского ([4], стр.32)
| f k (t ) |2
0
1/p
p/2
h
2/p 1/2
h
| f k (t ) | p dt
dt
k n
k n
,0 < p 2.
(7)
0
Используя равенство (2) с учетом неравенства (7) имеем:
1/p
h
щ (f
p
m
(r )
н
; t ) 2 sin (n r )tdt
0
h
б kr2 | ck |2 sin
22m
k =n
0
h
б kr2 | ck |2 sin
= 2m
k =n
0
б krp | ck | p
2m
k =n
sin
0
k r
t
2
k r
t
2
h
| ck |2 б krp sin
k =n
0
1/p
p/2
н
sin (n r )tdt
=
1/p
p/2
2m
(sin (n r )t ) 2н/p
dt
2/p 1/2
mp
k r
t
2
h
= 2m
2m
н
sin (n r )tdt
k r
t
2
=
2/p 1/2
mp
н
sin (n r )tdt
.
(8)
Теперь рассмотрим функцию натурального аргумента
h
y (k ) = б
p
kr
0
в области Q = k : r < n k <
н
sin (n r )t
k r
sin
t
2
mp
н
sin (n r )tdt
. Очевидно, что при
> 0,0 < t
0 . С другой стороны, из очевидного неравенства
789
h
/(n r ) функция
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
h
0
k r
sin
t
2
h
n r
k r
при p 1, k
mp
0
2006, том 49, №9
n r
dt =
k r
k r
h
n r
0
mp
n r
sin
t
2
ph
n r
k r
dt
mp
n r
sin
t
2
dt
n r
sin
t
2
0
mp
dt
n > r имеем
h
(k r )
p
0
k r
sin
t
2
mp
h
dt (n r )
p
0
n r
sin
t
2
mp
dt.
Откуда сразу следует, что
k r
б sin
t
2
mp
б
p
kr
mp
n r
sin
t
2
p
nr
.
Умножая полученное неравенство на sin н (n r )t , n > r
h,0 < t
h < р/(n r ) для p 1, k
h
б
p
kr
0
k r
sin
t
2
и интегрируя от 0 до
n > r и н > 0 , имеем
mp
h
н
sin (n r )tdt
б
p
nr
0
n r
sin
t
2
mp
н
sin (n r )tdt.
Из последнего неравенства вытекает, что
h
min y (k ) : k
Q = y (n) =
p
nr
0
n r
sin
t
2
mp
sin (n r )tdt.
Теперь с учетом неравенства (8) и равенств (9) и (3) получаем
1/p
h
щ (f
p
m
(r )
; t ) 2 sin н (n r )tdt
0
h
2m
б krp
sin
0
h
2m
б nrp
sin
0
n r
t
2
n r
t
2
1/2
2/p
mp
н
sin (n r )tdt
| ck |2
k =n
1/2
2/p
mp
н
sin (n r )tdt
| ck |2
k =n
790
=
(9)
Математика
М.Ш.Шабозов, О.А.Джурахонов
h
n r
sin
t
2
= 2 бnr
m
0
1/p
mp
н
sin (n r )tdt
En ( f ) 2
Откуда в связи с неравенством (4) имеем
1/p
h
p
m
(f
(r )
; t ) 2 sin (n r )tdt
0
En ( f ) q
h
2
n r
sin
t
2
m
nr
0
1/p
mp
,1 q
2,
(10)
sin (n r )tdt
из которого с учетом (5) следует оценка сверху
h
(n r )t
sin
2
M n,r ,m, p ,н (h)
0
1/p
mp
н
sin (n r )tdt
.
Для установления равенства (6) достаточно рассмотреть экстремальную функцию
f 0 ( z) = z n
H qr ,1 q 2, воспользоваться определением (5) и легко проверяемыми соот-
ношениями
En ( f 0 ) = 1, (см.[5] лемма 3)
щm ( f
(r )
0
, t ) 2 = 2 бnr
m
n r
sin
t
2
m
,0 < (n r )t
р.
Этим теорема 1 полностью доказана.
Следствие 1. При выполнении всех условий теоремы 1 справедливо равенство
р
M n , r , m , p ,н
где
n r
2н
n r
=
mp н 1
н 1
2
2
mp
н 1
2
1/p
,
(м) – гамма-функция Эйлера.
Доказательство. Полагая в равенстве (6) h = р/(n r ) , получаем
M n,r ,m, p ,н
р
n r
р/(n r )
=
0
n r
sin
t
2
791
1/p
mp
н
sin (n r )tdt
=
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2н 1
=
n r
2006, том 49, №9
1/p
р/2
(sin t ) mp н cosн tdt
=
0
1/p
mp н 1
н 1
2
2
mp
н 1
2
2н
n r
.
Напомним необходимые понятия и определения для формулировки дальнейших результатов.
Пусть S = g
H2 : g
1 – единичный шар в H 2 ; M – выпуклое центрально-
H2
симметричное подмножество из H 2 ; Ln
H 2 – n-мерное подпространство; Ln
пространство коразмерности n;
Ln – непрерывный линейный оператор, переводя-
: H2
щий элементы пространства H 2 в Ln ;
H 2 – под-
Ln – непрерывный оператор линейного про-
: H2
ектирования H 2 на подпространство Ln . Величины
bn (M; H 2 ) = sup{sup{ > 0; S
d n (M; H 2 ) = inf{sup{inf{|| f
n
(M; H 2 ) = inf{inf{sup{|| f
Ln
g ||: g
(M; H2 ) = inf{inf{sup{|| f
M}:
H 2 },
H 2 },
Ln }: Ln
Ln}: Ln
M
f ||: f
1
M}: Ln
Ln }: f
M}: H 2
f ||: f
d n (M; H2 ) = inf{sup{|| f ||: f
n
M}: Ln
1
H2
H 2 },
H2},
Ln }: Ln
H 2}
– называют соответственно бернштейновским, колмогоровским, линейным, гельфандовским,
проекционным n -поперечниками.
В пространстве H 2 между перечисленными n-поперечниками выполняются соотношения [6]
bn (M; H2 ) d n (M; H2 ) dn (M; H2 ) =
3. Для произвольных m, n, r
N ,1
n
(M; H2 ) =
n
(M; H2 )
p 2, н 0 и 0 (n r )h р, r < n определим
класс функций
h
 :=  (n, r , m, p, , h) = f ( z ) H :
r
2
p
m
( f ( r ) ; t ) 2 sin (n r )tdt 1 .
0
Теорема 2. Справедливы равенства
2n
( ; H 2 ) =
2n 1
(11)
( ; H 2 ) = En ( ) = 2
792
m
1
nr
M n,r ,m, p, (h),
Математика
М.Ш.Шабозов, О.А.Джурахонов
где
En ( ) = sup{En ( f ) : f ( z )  },
гn ( ) - любой из перечисленных выше n-поперечников, величина M n,r ,m, p,н (h) определена в (6).
Доказательство. Для любой f ( z)  из неравенства (10) имеем
En ( ) = sup{En ( f ) : f ( z)  } 2
m
1
nr
M n,r ,m, p, (h).
(12)
Из (11) и (12) следует оценка сверху
2n
( ; H 2 )
2n 1
( ; H 2 )
En ( ) 2
m
1
nr
2n 1
( ; H 2 )
M n,r ,m, p, (h).
(13)
Для получения оценок снизу в подпространстве n рассмотрим (n 1) -мерную сферу
комплексных полиномов
n 1
:= { pn ( z ) n :|| pn ||H
2
2
m
1
nr
M n ,r ,m, p , (h)}
и покажем его принадлежность классу . Для произвольного полинома pn ( z )
щm ( p , t ) 2
(r )
n
2 бnr
m
(n r )t
sin
2
у n 1 имеем
m
|| pn ||, (n r )t
р.
(14)
Возведя в степень p неравенство (14), затем умножая на sin н (n r )t и интегрируя в
пределах от 0 до h , получим
1/p
h
щ ( p , t ) 2 sin н (n r )tdt
p
m
(r )
n
0
h
2m бnr
0
получаем, что
n 1
(n r )t
sin
2
1/p
mp
н
sin (n r )tdt
|| pn || 1,
 . Из полученного соотношения (11) и определения бернштейновского
поперечника следует оценка снизу
2n
( ; H 2 ) b2n ( ; H 2 ) b2n (
n 1
, H2 ) 2
m
1
nr
M n,r ,m, p , (h).
(15)
Из сопоставления неравенств (13) и (15) следует утверждение теоремы 2.
2. Следствие 2. При выполнении условий теоремы 2 и h = р/(n r ) справедливы равенства
793
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2n 1
( m н/p )
=2
где
гn ( )
( ; H 2 ) =
2n
2006, том 49, №9
( ; H 2 ) = En ( ) =
1/p
mp н 1
н 1
2
2
mp
н 1
2
б nr1 (n r )1/p
– любой из bn ( ), dn ( ), дn ( ), d ( ),
n
n
( ) поперечников,
,
( ) – гамма-функция Эй-
лера.
При утверждении теоремы 2 на число h > 0 мы наложили ограничение вида
(n r )h р. Рассмотрим теперь случай, когда h [0,2р ] произвольное, и определим класс
функций
 ( ) :=  (m, n, r, p, , h; ) =
1/p
h
щ (f
r
2
p
m
= { f ( x) H :
(r )
; t ) 2 sin н (n r )tdt
(h)},
0
где
(h) – непрерывная монотонно возрастающая функция,
Положим ((n r )h р )* = {0, если (n r )h
(0) 0 .
р;1, если (n r )h > р}.
В этих обозначениях справедлива следующая
n r
(h) C[0,2 р ], y(t ) = sin
t
2
Теорема 3. Пусть
mp
н
sin (n r )tdt и для некоторой
h* [0, р/(n r )] достигается нижняя грань
( h)
inf
0 h 2р
min ( h ,
1/p
р
)
n r
= Q.
(16)
h
н
sin (n r )tdt
y (t ) ((n r )h р )*
р/(n r )
0
Тогда при выполнении условия теоремы 2 справедливы равенства
2n
( ( ); H2 ) =
2n 1
( ( ); H2 ) = 2
n
где гn ( ) – любой из поперечников bn ( ), dn ( ), дn ( ), d ( ) и
n
m
794
Q,
( ).
Доказательство. В самом деле из неравенства (10) при q
ет, что для h [0, /(n r )] имеет место неравенство
1
nr
2 непосредственно следу-
Математика
М.Ш.Шабозов, О.А.Джурахонов
2n 1
( h)
( ( ); H 2 )
h
2m
sin
nr
0
n r
t
2
1/p
mp
,
sin (n r )tdt
из которого в силу (16) получаем оценку сверху
2n 1
( ( ); H2 ) 2
m
1
nr
Q
(17)
для всех вышеперечисленных поперечников.
Для получения оценки снизу положим
Sn 1 = { pn ( z) n :|| pn || 2
и покажем, что Sn
m
1
nr
Q}
(18)
 ( ). Если h р/(n r ), то, учитывая неравенство (14) и определе-
1
ние числа Q в соотношении (16), имеем
1/p
h
щmp ( pn( r ) ; t ) 2 sin н (n r )tdt
0
h
2m бnr
0
h
0
Если же
n r
sin
t
2
n r
sin
t
2
1/p
mp
н
sin (n r )tdt
|| pn ||
1/p
mp
н
sin (n r )tdt
Q
(h).
h > р/(n r ), то, учитывая тот факт, что для произвольного pn ( z ) n
справедливо равенство
n r
2 б nr || pn || sin
t
(r )
щm ( pn ; t ) 2 =
2
2 m б nr || pn ||,
m
m
,
(n r )t
р
(19)
(n r )t > р ,
из (16) и (18) с учетом (19) получим
1/p
h
н
щ ( p ; t ) 2 sin (n r )tdt
p
m
(r )
n
=
0
р/(n r )
щmp ( pn( r ) ; t ) 2 sin н (n r )tdt
=
0
1/p
h
щmp ( pn( r ) ; t ) 2 sin н (n r )tdt
р/(n r )
795
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
р/(n r )
2m бnr || pn ||
0
р/(n r )
n r
sin
t
2
mp
1/p
h
н
sin (n r )tdt
н
sin (n r )tdt
р/(n r )
mp
n r
sin
t
2
0
2006, том 49, №9
1/p
h
н
sin (n r )tdt
н
sin (n r )tdt
Q
(h).
р/(n r )
Таким образом, при произвольном h [0,2р ] для всех
pn ( z ) n условие
1/p
h
н
щ ( p ; t ) 2 sin (n r )tdt
p
m
(r )
n
( h)
0
выполняется и Sn
( )
1
доказано. Отсюда, учитывая соотношения (11) и определения
бернштейновского поперечника, получаем оценки снизу
2n
( ( ); L2 ) b2 n ( ( ); H 2 )
b2n (Sn 1; H 2 ) = 2 m бnr1Q.
(20)
Из сопоставления неравенств (17) и (20) следует утверждение теоремы 3.
Анализируя условия теоремы 3 для функции вида
ние
( h) = h в , в
0, выясним значе-
в , для которых эти условия выполняются. Для этого необходимо, чтобы для всех
h [р/(n r ),2р ] было
d
hв
dh
р/(n r )
0
n r
sin
t
2
mp
1/p
h
н
sin (n r )tdt
н
sin (n r )tdt
0.
р/(n r )
Выполнив дифференцирование и проведя простые рассуждения, приходим к неравенству
р/(n r )
вp
0
n r
sin
t
2
mp
н
sin (n r )tdt
h
pв h
р
n r
.
Правая часть этого неравенства максимальное значение получает при h = р/(n r ) и
мы имеем
1 n r
в>
p р
р/(n r )
0
n r
sin
t
2
1
mp
796
н
sin (n r )tdt
=
Математика
М.Ш.Шабозов, О.А.Джурахонов
=
1 2н
p р
mp н 1
н 1
2
2
mp
н 1
2
1
.
Отметим, что теорема 3 является обобщением утверждения теоремы 4 работы [7].
Институт математики АН Республики Таджикистан
Поступило 02.10.2006 г.
Л И Т Е РАТ У РА
1. Привалов И.И. Граничные свойства аналитических функций. М.: Гостехиздат, 1950, 350 с.
2. Кусис П. Теория пространств Hp. М.: Мир, 1984, 368 с.
3. Шабозов М.Ш., Шабозов О.Ш.- ДАН РТ, 2006, т.49, N2, с.111 - 117.
4. Hardy G.G., Littlewood G., Polya G. Inequality. 2nd ed. Cambridge University Press. 1952, 346 p.
5. Двейрин М.З., Чебаненко И.В. Теория отображений и приближения функций. Киев: Наукова Думка, 1983, с.62-73.
6. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. - М.:Изд.МГУ, 1976, 304 c.
7. Шабозов М.Ш., Умеди Гулходжа.- Докл. РAH, 2005, т.403, 5, с.610-613.
М.Ш.Шабозов, О.А.Љўрахонов
ДАР БОРАИ НАЗДИККУНИИ БЕЊТАРИН БА ВОСИТАИ ПОЛИНОМЊО
ДАР ФАЗОИ ХАРДЇ
Дар маќола нобаробарињои њаниќ оиди наздиккунии функсияњои аналитикї ба
воситаи полиномњои комплексї дар фазои Хардї ёфта шуда, дар асоси ин
нобаробарињо ќимати аниќи якчанд кутрњо барои синфи функсияњое, ки ба воситаи
модулњои бефосилагии тартиби олї дода шудаанд, ёфта шудааст.
M.Sh.Shabozov, O.A.Jurakhonov
ON THE BEST APPROXIMATION OF POLYNOMIAL IN THE HARDY SPACE
In this article are found exact inequalities in the best approximation by polynomials of analytical functions in Hardy space, in view of these inequalities are found a value of some dimeters for
a class of functions, which characterized to the module continuites of the higher order.
797
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
647 Кб
Теги
харді, приближение, пространство, полиномиальной, наилучшее
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа