close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О наилучшем приближении в среднем алгебраическими полиномами с весом и значение поперечников некоторых функциональных классов.

код для вставкиСкачать
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН
2016, том 59, №3-4
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
О.К.Фарайдунов
О НАИЛУЧШЕМ ПРИБЛИЖЕНИИ В СРЕДНЕМ АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ
ПОЛИНОМАМИ С ВЕСОМ И ЗНАЧЕНИЕ ПОПЕРЕЧНИКОВ НЕКОТОРЫХ
ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ КЛАССОВ
Таджикский национальный университет
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 14.09.2015 г.)
В работе получены точные неравенства типа Джексона-Стечкина на классах функций
Lr2, (a, b), в которых величины наилучших полиномиальных приближений оцениваются обобщенным
модулем непрерывности m-го порядка, порожденным дифференциальным оператором второго
порядка. Для некоторых классов функций вычислены точные значения различных n-поперечников.
Ключевые слова: неравенства типа Джексона-Стечкина, наилучшее приближение, обобщённый
модуль непрерывности, дифференциальный оператор, n-поперечники.
1. Пусть L2, (a, b) – множество функций
f : (a, b)  , для которых произведение
 ( x) f 2 ( x) на отрезке (a, b) суммируемо, где  ( x)  0 - произвольная суммируемая на (a, b)
весовая функция.
Множество L2, (a, b) линейно и с введением скалярного произведения
b
( f , g ) :=   ( x ) f ( x )g ( x)dx,
a
для f , g  L2, (a, b) и нормы
f
2,
:= ( f , f ) превращается в полное гильбертово пространство.
В этой статье мы приводим некоторые результаты, вытекающие из основной теоремы,
приведённой в [1], а потому будем пользоваться обозначениями и определениями статьи [1]. Пусть
 ( x ) на (a, b) удовлетворяет дифференциальному уравнению
( ( x)  ( x))' =  ( x)  ( x),
(1)
где  ( x ) и  ( x ) – многочлены не выше второй и первой степени соответственно, причём для
любого k 

k
k
lim  ( x)  ( x) x = lim  ( x)  ( x) x = 0.
x a 0
x b0
Адрес для корреспонденции: Фарайдунов Осим Косумшоевич. 734025, Республика Таджикистан,
г.Душанбе, пр. Рудаки, 17, Таджикский национальный университет. E-mail: osim.88.tj@mail.ru
106
Математика
О.К.Фарайдунов
Известно [2], что только лишь в трёх случаях решением  данной задачи являются весовые функции
для определения классических ортогональных на (a, b) полиномов Якоби, Лагерра и Эрмита.
Следуя [1,3], через
обозначим дифференциальный оператор вида


:=  ( x )
d2
d
  ( x)
2
dx
dx
(2)
и пусть
 (  ) := n (  ) = n ' ( x) 
Вышеперечисленные
ортогональные
n(n  1) '
 ( x).
2
многочлены
(3)
удовлетворяют
дифференциальному
уравнению второго порядка


y =  (  ) y.
(4)
Явные выражения для этих полиномов можно получить из формулы Родрига следующего
вида
yn ( x ) =
где
Bn

 ( x)
Bn
n
( x) ( x)  ,
(n)
(5)
– нормировочная постоянная, а  ( x ) удовлетворяет дифференциальному уравнению (1).
В силу (4) числа n (  ), n 
соответствующие
им
являются собственными значениями оператора ( 

собственные
функции
–
ортогональными
на
(a, b)

), а
многочленами,
соответствующими весовой функции  ( x ) . В [3] отмечается, что в зависимости от вида весовой
функции  :=  ( x) можно получить следующие системы ортогональных на (a, b) полиномов:
если  ( x) := (1  x) (1  x)  , где  ,  > 1,  ( x) := 1  x 2 ,  ( x) := (    2) x     ,
(a, b) – интервал ( 1,1) , то согласно формуле (5) соответствующие полиномы yn ( x ) при
Bn := (1)n / 2n n! являются полиномами Якоби вида
Pn , ( x ) :=
n
( 1)n

 d
(1

x
)
(1

x
)
((1  x)n  (1  x)n   );
2n n!
dx n
при этом n (  ) = n(n      1);
если  ( x ) := x e x , где  > 1,  ( x) := x,  ( x) :=  x    1, (a, b) := (0, ), то в силу (5)
соответствующие полиномы yn ( x ) при
Bn := 1 / n! будут полиномами Лагерра
Ln :=
1  x d n n   x
x e
( x e ).
n!
dx n
107
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2016, том 59, №3-4
В данном случае n (  ) = n.
В
случае,
когда
2
 ( x) := e x ,  ( x) := 1,  ( x) := 2 x, (a, b) := ( , )
формуле (5), полиномы yn ( x ) при
Bn := (1)n
соответствуют
являются полиномами Эрмита
H n ( x ) := ( 1)n e x
2
d n  x2
(e ).
dx n
При этом n ( p) = 2n.
Очевидно, что во всех трёх случаях последовательность {n (  )}n=1 собственных чисел
ортогональных многочленов является монотонно возрастающей.
Пусть { pk ( x)}k =0 – одна из указанных выше ортогональных на (a, b) систем полиномов
Якоби, Лагерра или Эрмита, принадлежащая пространству L2, (a, b) с соответствующей весовой
функцей  ( x ), а { pˆ k ( x)}k =0 – их ортонормированная система полиномов. Разложим функцию
f  L2, (a, b) в ряд Фурье по системе полиномов { pˆ k ( x)}k=0 :

f ( x ) = ck ( f ) pˆ k ( x ),
(6)
k =0
где
b
ck ( f ) :=   ( x ) f ( x ) pk ( x )dx, k 
(7)

a
– коэффициенты Фурье функции
пространстве L2, (a, b). Пусть
n
f , а равенство в (6) понимается в смысле сходимости в
- подпространство алгебраических полиномов степени n , а
En ( f )2, := inf{ f  qn
2, 
: qn  n }
– величина наилучшего приближения функции f  L2, (a, b) элементами подпространства
Символом Sn1 ( f ), n 
обозначим частную сумму ряда Фурье (6):
n 1
Sn 1 ( f , x ) := ck ( f ) pˆ k ( x).
k =0
Для произвольной функции f  L2, (a, b) верно равенство:
1/2
En 1 ( f )2,


= f  Sn 1 ( f ) 2, = ck2 ( f )  .
 k =n

Рассмотрим функцию
108
n
.
Математика
О.К.Фарайдунов

T ( x, y; h) := pˆ k ( x ) pˆ k ( y )h k ,
(8)
k =0
где h  (0,1), x, y  (a, b), причём равенство (8) понимается в смысле сходимости в среднем в
пространстве
L2: , ((a, b)  (a, b)), которое состоит из суммируемых в квадрате функций
с весом  ( x)  ( y ) и нормой
f : (a, b)  (a, b) 
1/2
b b

f 2: , :=     ( x )  ( y ) f 2 ( x, y )dxdy 
a a

< .
Следуя [1,3] и используя формулу (8), для произвольной функции f  L2, (a, b) запишем
оператор усреднения
b
Fh , ( f , x ) :=   (t ) f (t )T ( x, t,1  h)dt, 0 < h < 1
(9)
a
и перечислим его свойства:
1. для f , g  L2, (a, b) и  , 
выполняются равенства
Fh, (  f  g ) =  Fh, ( f )   Fh, (g );
2.
Fh, ( f )
2,
 f
2,
3. для pˆ n ( x), n 
4.
Fh, ( f )  f
2,

;
, Fh, ( pˆ n , x) = (1  h) n pˆ n ( x);
 0, при h  0  0.
Используя оператор усреднения (9), записываем для функции
f  L2, (a, b) конечные
разности первого и высших порядков:
1h, ( f , x) := Fh', ( f , x)  f ( x) = ( Fh1,  E ) f ( x),
mh, ( f , x) : 1h,  hk ,1 ( f , ), x  =  Fh1,  E  f ( x) =
m
m
m
= ( 1)mk   Fhk, ( f , x), k = 2,3,...,
k =0
k 

(10)

где Fh , ( f ) := f , Fh , ( f ) := Fh , ( f ), Fhk, ( f ) := Fh', Fhk,1 ( f ) ; а E  – единичный оператор в
0
1
пространстве L2, (a, b). С помощью указанных величин для произвольной функции f  L2, (a, b)
определяем обобщённый модуль непрерывности m -го порядка [1,3]
m, ( f , t ) := sup  mh, ( f )
где 0 < t < 1, m  .
109
2,
: 0 < h  t,
(11)
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2. Пусть

2016, том 59, №3-4
r
определено равенством (2), L2 (

) – множество функций f  L2, (a, b),
имеющих абсолютно непрерывные производные первого порядка f  и таких, что функции  ( x )
и  ( x)
d2 f
принадлежат пространству L2, (a, b), то есть
dx 2

f  L2, (a, b). В случае, когда (a, b) –
один из интервалов ( , ) или (0, ), полагаем, что производная
абсолютно непрерывной. Полагаем
Lr2 (

0

1
f := f ,

f :=
), r = 2,3,..., обозначим множество функций
r
f и

df
dx

f :=
1

(
f ' является локально
r 1

f ), r  . Символом
f  L2, (a, b), которые имеют абсолютно
непрерывные производные (2r  1) -го порядка и для которых
r

f  L2, (a, b). В случае, когда
(a, b) является одним из интервалов ( , ) или (0, ), полагаем, что производные (2r  1) -го
порядка локально абсолютно непрерывны.
Отметим, что для произвольной функции f  L2, (a, b), имеющей на (a, b) разложение в ряд
Фурье по системе ортонормированных полиномов
 pˆ k k =0

с весом  , оператор усреднения (9)
представим в виде

Fh , ( f , x ) = (1  h)k ck ( f ) pˆ k ( x ),
(12)
k =0
где равенство (12) понимается в смысле сходимости в метрике пространства L2, (a, b). Используя
формулы (6) и (12), для функции f  L2, (a, b), получаем равенства

1h , ( f , x ) =  (1  h)k  1 ck ( f ) pˆ k ( x )
(13)
k =1
и на основании метода математической индукции запишем

 mh , ( f , x ) =  (1  h)k  1 ck ( f ) pˆ k ( x ).
m
(14)
k =1
Учитывая равенство [2]
r
ck (

f ) = (1)r kr (  )ck ( f ),
из (14) для произвольной функции f  L2, (
2m, (

) находим

k
k2 r (  )ck2 ( f ),0 < t < 1.
 f , t ) :=  1  (1  t ) 
2m
r
(15)
k =1
С использованием характеристики (15) в [1] доказана следующая
Теорема A. Пусть n, m  , r 

, 0 < p  2, 0 < h < 1,   0 – измеримая суммируемая
на интервале (0, h) неэквивалентная нулю функция. Тогда справедливо равенство
110
Математика
О.К.Фарайдунов
nr (  ) En 1 ( f )2,
sup
h
f Lr2,  (  ) 
p
f  r   m , (
0
1/ p

r
 ( f ), t ) ( t ) dt 

=
1
1/ p


n mp
  1  (1  t )   (t )dt 
0

h
.
(16)
Из равенства (16), в частности при r = 0, p = 1/ m, h = 1/ (n  1),  (t )  1, вытекает
соотношение [3]
1 

= 1 
sup

m
1/( n 1)
 n 1

f Lr2,  ( a ,b) 
1/ m
f  const  (n  1)  k , ( f , t )dt 
0


En 1 ( f )2,
 ( n 1) m
.
(17)
Из (17) вытекает предельное равенство
En 1 ( f )2,
sup
1/( n 1)
n  f Lr ( a ,b)
2, 
(n  1) 
1/mm, ( f , t )dt
0
f  const

lim

m
= em .
В данной работе из теоремы A выведем более общее следствие при любых 0 < p  2 и
m  , воспользуясь которой затем вычислим точные значения n -поперечников, естественно
возникающих при этом классе функций
Теорема 1. Пусть n, m  , r 

, 0 < p  2, 0 < h < 1. Тогда справедливо равенство
1/ p
nr (  ) En 1 ( f )2,
sup
( )  h p
f  const n  m , (
 0
f Lr2, 
1/ p

r
n 1
dt 
 ( f ), t )(1  t )



mp  1


=
 .
mp

1
n
1

(1

h
)
 


(18)
В частности, полагая в (18) h = 1 / n и переходя к верхней грани по n  , с обеих сторон
(18) получаем равенство
sup
n
nr (  ) En 1 ( f )2,
sup
1/ n
f Lr2,  (  ) 
p
n
  m , (
 0
1/ p
=
m
=

r
n 1
dt 
 ( f ), t )(1  t )

(mp  1)1/ p
1
1 m  p
1  e 
,
откуда, в свою очередь, имеем:
sup
n
nr (  ) En 1 ( f )2,
sup
1/ n
f Lr2,  (  ) 
1/ m
n
  m , (
 0
r

( f ), t )(1  t )
n 1

dt 

2m
.
(1  e 1 )2 m
3. Пусть S – единичный шар в пространстве L2, (a, b) ,  n  L2, (a, b) – n -мерное
подпространство,   L2, (a, b) – подпространство коразмерности n , I : L2, (a, b)  Ln –
n
r
r
111
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
непрерывный линейный оператор,

I
2016, том 59, №3-4
: Lr2, (a, b)  Ln – непрерывный оператор линейного
r
проектирования, N - выпуклое центрально-симметричное подмножество из L2, (a, b). Величины
bn (N; L2, ) = supsup{ > 0 :  S   n1  M}:  n1  L2, ,
d n (N; L2, ) = inf sup{inf{ f  g
d n (N; L2, ) = inf inf{ f
2, 
 (N; L2, ) = inf inf{sup{ f  I f
(N; L2, ) = inf inf{sup{ f  I
называют
соответственно

2,
: f  M   n }:  n  L2, ,
2,
f
: f  M}: I L2,   n }:  n  L2, ,
2, 
бернштейновским,
: g   n }: f  M}:  n  L2, ,
: f  M}:   L2,  Ln }:  n  L2, 
колмогоровским,
гельфандовским,
линейным,
проекционным поперечниками подмножества N в пространстве L2, (a, b). Между перечисленными
экстремальными характеристиками подмножества N в гильбертовым пространстве L2, (a, b)
выполняются соотношения [4]:
bn (N; L2, )  d n (N; L2, )  d n (N; L2, ) =  (N; L2, ) = ( N; L2, ).
Пусть n, m  , r 
f  L2, (


(19)
, 0 < p  2, 0 < h < 1. Через W2,r p (m, ; h) обозначим класс функций
r
), у которых производная

( f ) удовлетворяет условию
h

p
m ,
(

( f ), t )(1  t )n 1 dt  1.
0
Теорема 2. При любом 0 < p  2 справедливы равенства
1
 n W2,r p (m, ; h); L2,  = En 1 W2,r p (m, ; h) 2,
В частности, при p = 1 / m, m  , r 

1
= r

n (  )
(mp  1) p
1
n m p
1  (1  h) 
.
, 0 < p  2, 0 < h < 1
r
r
 n W2,1/
m (m , ; h ); L2,  = En 1 W2,1/ m (m ,  ; h ) 2,  =
1
2m
= r

,
n (  ) 1  (1  h)n 2 m
где  n () – любой из вышеперечисленных n -поперечников.
Поступило 15.09.2015 г.
112
Математика
О.К.Фарайдунов
Л И Т Е РАТ У РА
1. Вакарчук С.Б, Швачко А.В. О наилучшей аппроксимации в среднем алгебраическими
полиномами с весом и точных значениях поперечников классов функций. – Украинский
математический журнал, 2013, т.65, №12, с. 1604-1621.
2. Абилов В.А, Абилова Ф.В, Каримов М.К. Точные скорости сходимости рядов Фурье по
ортогональным многочленам в пространстве L2((a,b),p(x)). – Журнал вычислительной математики
и математической физики, 2009, т.49, №6, с. 966-980.
3. Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены. – М.: Наука, 1979, 416 c.
4. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. – М.: МГУ, 1976, 304 с.
О.Ќ.Фарайдунов
ОИДИ НАЗДИККУНИИ БЕЊТАРИНИ МИЁНА БО БИСЁРАЪЗОГИЊОИ
АЛГЕБРАВИИ ВАЗНДОР ВА ЌИМАТИ ЌУТРЊОИ БАЪЗЕ СИНФЊОИ
ФУНКСИОНАЛЇ
Донишгоњи миллии Тољикистон
Дар маќола нобаробарињои аниќи намуди Љексон-Стечкин барои синфи функсия
Lr2, (a, b) ёфта шудаанд, ки дар онњо бузургии наздиккунии бењтарин бо модули бефосилагии
умумикардашудаи тартиби m -ўме, ки ба воситаи оператори дифференсиалии тартиби дуюм
дода шудааст, бањогузорї карда мешавад.
Калимањои калидї: формулаи квадратурї, модули бефосилагї, хатогї, оператори дифференсиалї.
O.Q.Faraydunov
ON THE BEST APPROXIMATION IN THE MEAN BY ALGEBRAIC
POLYNOMIALS WITH WEIGHTS OR VALUES OF THE DIAMETERS OF
CERTAIN FUNCTIONAL CLASSES
Tajik National University
r
In the paper precise inequalities of Jackson-Stechkin on classes of functions L2, (a, b), where the
value of the best polynomial approximations estimated generalized modulus of continuity of m th order
generated by differential operator of the second order is presents. For some classes of functions the exact
values of various n -widths were calculated.
Key words: inequalities of Jackson-Stechkin, the best approximation, generalized modulus of continuity,
differential operator, n-widths.
113
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа