close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О наилучших линейных методах приближения некоторых классов аналитических функций в пространстве Харди.

код для вставкиСкачать
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН
2015, том 58, №3
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
Академик АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозов, Ф.Д.Давлатбеков*
О НАИЛУЧШИХ ЛИНЕЙНЫХ МЕТОДАХ ПРИБЛИЖЕНИЯ НЕКОТОРЫХ
КЛАССОВ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В ПРОСТРАНСТВЕ ХАРДИ
Институт математики им.А.Джураева АН Республики Таджикистан,
*
Таджикский национальный университет
Найдены точные значения n-поперечников некоторых классов аналитических в единичном
круге функций в метрике пространства Харди, усредненный модуль непрерывности с весом граничных значений r-ых производных которых мажорируется заданной функцией. Для нахождений точных значений линейных и гельфандовских n-поперечников указывается наилучший линейный метод
приближения.
Ключевые слова: n-поперечники – наилучшие линейные методы приближения – модуль непрерывности – мажоранта – пространство Харди.
1. В работе построены наилучшие линейные методы приближения некоторых классов аналитических в единичном круге функций, принадлежащих пространству H q  1  q   , усреднённые
модули непрерывности граничных значений производных f ( r ) ( z ) r 
которых мажорируются.
Также вычислены точные значения различных n -поперечников исследуемого класса функций.
Пусть
(U  ) - множество аналитических в круге U   {z  C  z  } (0    1 U1  U )
функций f ( z ) . Говорят, что функция f 
(U  ) принадлежит банаховому пространству Харди
H q  1  q   если
f
q
 f
Hq
 1
 lim 
 10 2

1 q
2

0  f (  e )  dt    1  q  
it
q
(1)
Очевидно, что норма (1) реализуется только на тех функциях f  A(U ) , угловые граничные
значения f (eit )  f (t ) которых существуют почти для всех t [0 2 ] . В случае q   будем допольнительно предполагать функцию f ( z ) непрерывной в U . Через f ( r ) ( z ) обозначим обычную
r -ю производную d r f  dz r  r 
Обозначая через
n
и положим H q
(r)

 f  (U )  f ( r )
Hq

1 .
– множество комплексных алгебраических полиномов степени n и ра-
венством
Адрес для корреспонденции: Шабозов Мирганд Шабозович. 734025, Республика Таджикистан, г.Душанбе,
ул.Айни, 299/4, Институт математики АН РТ. E-mail: shabozov@mail.ru
179
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
En1 ( f )q  E ( f 
2015, том 58, №3
)  inf{ f  pn1 q  pn1 
n 1 q
}
n 1
определим наилучшие приближения функции f  H q элементами множества
n1 .
Для f  H q оп-
ределим модуль непрерывности
( f  t )q  sup{ f (  h)  f () q  h  t}
и структурные свойства функции f  H q
(r )
охарактеризуем скоростью убывания к нулю модуля
непрерывности граничных значений r -ых производных f ( r ) (t ) , задавая эту скорость посредством
(r )
мажоранты некоторой усредненной с весом величины  ( f  t )q .
Пусть ( x) x  0 – произвольная возрастающая непрерывная функция такая, что (0)  0 .
Используя ( x) в качестве мажоранты, введем в рассмотрение следующий класс аналитических
функций
h


1
t 

Wq( r ) (  )   f  H q( r )    ( f ( r )  2t )q 1  (  2  1) sin  dt  (h)  
h0
2h 



где h  (0 2 ] r   1  q   и   1 – произвольное фиксированное число.
Введём также обозначение



(sin x )  sin x если 0  x   1 если x   
2
2

2. Пусть X – банахово пространство; S – единичный шар в нем; M – некоторое выпуклое
центрально-симметричное подмножество в X ; Ln  X – n -мерное линейное подпространство;
Ln  X – подпространство коразмерности n   X  Ln – линейный непрерывный оператор. Величины
d n (M X )  inf{sup{inf{ f  
d n (M X )  inf{sup{ f
X
X
   Ln }  f  M}  Ln  X }
 f  M  Ln }  Ln  X }
bn (M X )  sup{sup{  0   S  Ln1  M}  Ln1  X }
 n (M X )  inf{inf{sup{ f  f
X
 f  M}  X  Ln }  Ln  X }
называют соответственно колмогоровским, гельфандовским, бернштейновским и линейным n поперечниками. Перечисленные аппроксимативные характеристики монотонны по n и между ними
имеют место неравенства (см., напр. [2] и [3])
180
Математика
М.Ш.Шабозов, Ф.Д.Давлатбеков
bn (M X ) 
d n (M X )
d n (M X )
  n (M X )
(2)
Отметим, что если существует подпространство Ln1  X , для которого
bn (M X )  sup{  0   S  Ln1  M}
то оно называется экстремальным для бернштейновского n -поперечника.
Подпространства Lˆn  Ln  Ln из пространства X , для которых соответственно достигается
внешний инфимум в определении колмогоровского, гельфандовского и линейного n -поперечников,
называются также эктремальными подпространствами для множества M .
Из результата работы [1] после некоторых простых вычислений можно получить следующее
утверждение.
Теорема 1. Если при заданном   1 и любых n r   n  r h  (0  2] мажоранта (h)
удовлетворяет условию
 ( h)

t

 sin(n  r )ht  1  ( 2  1)sin  dt

(  2 (n  r )) 2 0
2

1
то при любых r 
(3)
справедливы равенства
bn Wq( r ) (  ) H q   dn Wq( r ) (  ) H q  
 En 1 Wq( r ) (  ) 
Hq







4 nr
 2 (n  r ) 
(4)
где bn () – n -поперечник Бернштейна, d n () – n -поперечник Колмогорова,


En1 Wq( r ) (  )   sup En1 ( f ) Hq  f Wq( r ) (  )
Hq
и  nr  n(n  1)(n  r  1) n  r . Множество мажорант {} , удовлетворяющих условию (3), не
пусто. Этому условию удовлетворяет, например, мажоранта  (u)  u (  ) , где
21
  
 
t 
 (  )     tcos
1  (  2  1) sin  dt

2 
2
 2  0
и, в частности,
 (1) 

2
 1 lim  (  )  1
 
причём для всех  [1 ) выполняется неравенство (  2)  1   ( )  1 .
181
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2015, том 58, №3
Всюду далее символом H q (0    1 H q1  H q ) обозначим банахово пространство функций f 
(U  ) , для нормы которых имеет место f ( z )
q
 f (  z ) q   . Используя неравенство
[4, c.49]
En1 ( f ) Hq    n En1 ( f ) Hq  1  q   0    1
(5)
и определение бернштейновского n -поперечника, распространим результат (3) теоремы 1 на пространство H q   .
Теорема 2. Пусть n r   n  r и мажоранта  при любом h  (0  2] удовлетворяет
ограничению (2). Тогда при всех 1  q   0    1 и   1 имеют место равенства
bn Wq( r ) (  ) H q    dn Wq( r ) (  ) H q   
 En 1 Wq( r ) (  ) 
H q 



 n



4 nr
 2 (n  r ) 
(6)
r
Доказательство. Переходя к верхней грани по всем функциями f Wq (  ) в неравенстве
(5) получаем
En 1 Wqr (  ) 
H q 
  n En 1 Wqr (  ) 
Hq



 n



4 nr
 2 (n  r ) 
откуда и следует оценка сверху в (4):
bn Wq( r ) (  ) H q    d n Wq( r ) (  ) H q    


 n



4 nr
 2 (n  r ) 
С целью получения оценки снизу, равной правой части (7) во множестве
n
(7)
 H q , введём в
рассмотрение (n  1) -мерный шар полиномов


Sn 1   pn 


n  pn
Hq



 n





4 n r
 2  (n  r )  

r
и докажем включение Sn1  Wq (  ) . Используя неравенство [3]
pn
q
   n pn
Hq
(1  q   0    1)
а также посредством неравенства С.Н.Бернштейна и определения модуля непрерывности, легко доказать соотношение
( pn( r )  2t )q  2( sin(n  r )t )nr   n pn
182
Hq
(8)
Математика
М.Ш.Шабозов, Ф.Д.Давлатбеков
в предположении, что pn  Sn1 , с учётом ограничения (2) имеем
1
t 

 ( pn( r )  2t )q 1  (  2  1) sin  dt 

h0
2h 

h
 2n r 

n
t 

  ( sin(n  r )ht ) 1  (  2  1) sin  dt 
2

0
1
pn
q
1

 

t 



( sin(n  r )ht ) 1  (  2  1) sin  dt  (h)


2  2 (n  r )  0
2

(r )
откуда и следует включение Sn1  Wq (  ) . Отсюда, согласно определению бернштейновского
n -поперечника, получаем
dn Wq( r ) (  ) H q    bn Wq( r ) (  ) H q   
 bn  Sn 1 H q    


 n



4 nr
 2 (n  r ) 
(9)
Требуемые равенства (4) следуют из сопоставления неравенств (7) и (6), чем и завершаем доказательство теоремы 2.
Имеет место следующее общее утверждение.
Теорема 3. Если при заданном   1 , любых n   0  h   2 , мажоранта (h) удовлетворяет ограничения (2), то и при любых n, r  , 1  q   0    1 справедливы неравенства
 n Wq( r )  ;   ; H q ,  
W  ,   : 
(r)
q

 sup f   n 1,r 1, ( f )

H q ,
n 1,r 1, 
:

n 1 H
q ,

: f  Wq( r )  ,   
:
(10)


 n


.
4  (n  r )
 2  (n  r ) 
Здесь  n () – любой из n -поперечников bn () d n () d n () n () , линейный полиномиальный
оператор  n1r 1  ( f ) определяется равенством
r 1
 n1r 1  ( f  z )   ck ( f ) z k 
k 0
2( n  k )

 k r
 
 1 
 2 nk r
k r 

n 1


k  r 2   



1

(
)   1  ck ( f ) z k 

 k r 
2n  k  r   



183
(11)
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
где n  r и  k r  (n  r ) 
  2  ( n r )

2015, том 58, №3
coskt cos(n  r ) tdt .
0
При этом: а) линейный полиномиальный оператор (11) является наилучшим линейным мето(r )
дом приближения класса Wq (  ) в метрике пространства H q (1  q   0    1) ;
б) Ln1  span{1 z z n } есть оптимальное подпространство для бернштейновского n поперечника bn Wq( r ) (  ) H q   ;
в) Ln  span{1 z z n1} является оптимальным подпространством для колмогоровского n
-поперечника dn Wq( r ) (  ) H q   ;
n
(k )
г) L  { f  f  H q  f (0) k  01 n  1} является оптимальным подпространством
для гельфандовского n -поперечника d n Wq( r ) (  ) H q   ;
д)  n1r 1  , определённый равенством (11), является оптимальным линейным методом (подпространством), реализующим линейный n -поперечник  n Wq( r ) (  ) H q   .
Результат, полученный в теореме 3, можно применить к задаче вычисления точных верхних
(r )
граней модулей коэффициентов Тейлора cn ( f ) на классах функций Wq (  ) , а именно имеет ме-
сто следующая
Теорема 4. Для любых n r   n  r   1 и 1  q   справедливо равенство
Ln Wq( r ) (  )   sup  cn ( f )  f Wq( r ) (  ) 






4 nr
 2 (n  r ) 
Отметим, что аналогичные результаты для классов функций, определяемых модулями непрерывности от производных по аргументу f a( r ) ( z ) , получены в [4].
Поступило 20.02.2015 г.
Л И Т Е РАТ У РА
1. Айнуллоев Н, Тайков Л.В. Наилучшее приближение в смысле Колмогорова классов аналитических в единичном круге функций. – Матем. заметки, 1986, т.40, №3, с. 341-351.
2. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. – М.: Издательство МГУ, 1976.
3. Pinkus A. n-Widths in Approximation Theory. – Berlin: Springer-Verlag, 1985.
4. Шабозов М.Ш., Юсупов Г.А. Наилучшие линейные методы приближения и поперечники некоторых классов функций в пространстве Харди. – ДАН РТ, 2014, т.57, №2, с. 97-102.
184
Математика
М.Ш.Шабозов, Ф.Д.Давлатбеков
М.Ш.Шабозов, Ф.Д.Давлатбеков*
ОИДИ МЕТОДЊОИ ХАТТИИ БЕЊТАРИНИ БАЪЗЕ СИНФЊОИ
ФУНКСИЯЊОИ АНАЛИТИКЇ ДАР ФАЗОИ ХАРДИ
Институти математикаи ба номи А.Љураеви
Академияи илмњои Љумњурии Тољикистон,
*
Донишгоњи миллии Тољикистон
Ќимати аниќи n -ќутрњои баъзе синфњои функсияњои дар давраи воњидї дар фазои Харди, ки ќимати миёнаи модули бефосилагии њосилаи тартиби r -умашон бо функсияи вазнї ва
мажоранта мањдуд аст, ёфта шудааст. Барои ёфтани ќимати аниќи n -ќутрњои хаттї ва
гелфандї, методи хаттии бењтарини наздиккунї сохт шудааст.
Калимањои калидї: n -ќутрњо – усули наздиккунии бењтарини хаттї – модули бефосилагї – мажоранта – фазои Харди.
M.Sh.Shabozov, F.D.Davlatbekov*
ABOUT THE BEST LINEAR APPROXIMATION METHODS OF SOME CLASSES
ANALYTICAL FUNCTIONS IN THE HARDY SPACE
A.Juraev Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan,
*
Tajik National University
The exact values n-diameters in some classes of analytical functions in a single circle are found in a
metrics of Hardy’s space, the average module of a continuity with weight of boundary r-derivatives values
which majorized by the set function. For findings of exact values linear and the helfand of n-diameters is
specified as the best linear methods by polynomials approximation.
Key words: n-widths – best linear approximation methods – the modulus of continuity – majorant –
Hardy space.
185
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
671 Кб
Теги
классов, харді, аналитическая, приближение, пространство, функции, линейный, некоторые, наилучший, метода
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа