close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О некоторых условиях сходимости рядов экспонент в пространстве аналитических функций.

код для вставкиСкачать
ÈÇÂÅÑÒÈß ÏÃÏÓ
Ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèå è òåõíè÷åñêèå íàóêè
¹ 8 (12) 2008 ã.
Возьмем m таким, чтобы ε было больше 1/�
m. И для данной функции k (t1 , t 2 )∈ K выберем R таким, чтобы
­§ 1 ·
½
k t1 , t 2 ! exp®¨1 ¸ t1 t 2 ¾, если t1 + t 2 ≥ R. Обозначим через σ(ν, S�
��) полную вариацию меры ν на S. Тогда
¯© m ¹
¿
³³
S0
f z1t1 , z 2t 2 f z1t1 , z 2t 2 dQ d V Q , S ˜ sup
d
k t1 , t 2 k t1 , t 2 t1 t 2 t R
exp^1 H t1 t 2 `
­§ 1
½
·
d V Q , S ˜ sup exp®¨ H ¸ t1 t 2 ¾
½
­§ 1 ·
t1 t 2 t R
t1 t 2 t R
¹
¯© m
¿
exp®¨1 ¸ t1 t 2 ¾
m
¹
¯©
¿
d V Q , S ˜ sup
­§ 1
· ½
H ¸ ˜ R ¾ o 0 ɩɪɢ
¹ ¿
¯© m
V Q , S ˜ exp®¨
R o f, ɬɚɤ ɤɚɤ
1
H 0.
m
Таким образом, доказали следующую теорему.
ТЕОРЕМА 2. Каждая функция F (z1 , z 2 )∈ H (G ) представляется в виде F ( z1 , z 2 ) =
∞
∑ dk k
k1 ,k2 =1
1 2
⋅ f (λk1 z1 , µ k2 z 2 ) ,
где f (t1 , t 2 ) – целая функция экспоненциального типа, удовлетворяющая условию (1), S = {(λk , µ n )} – дискретное
достаточное множество для пространства Р.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.Калинин С. И. О достаточных множествах для целых функций экспоненциального типа // Матем. заметки. 1978.
Т. 24. Вып. 6. С. 839–846.
2.Красичков И. Ф. Полнота в пространствах комплекснозначных функций, описываемых поведением модуля // Матем.
сб. 1965. Т.68 (110). Вып. 1. С. 26–57.
3.Напалков В. В. О дискретных достаточных множествах в некоторых пространствах целых функций // Доклады
АН СССР. 1980. Т. 250. № 4. С. 809–812.
4.Окунь С. Д. Общий вид линейного функционала в пространстве функций двух переменных, аналитических в двоякокруговой области // Труды Новочеркасского политехнического института. 1959. Т. 99. С. 3–27.
УДК 517.55
О НЕКОТОРЫХ УСЛОВИЯХ СХОДИМОСТИ РЯДОВ ЭКСПОНЕНТ
В ПРОСТРАНСТВЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
О. Г. Никитина
Пензенский государственный педагогический университет им. В. Г. Белинского
кафедра математического анализа
В статье рассмотрены необходимые и достаточные условия сходимости рядов экспонент в пространстве функций, аналитических в единичном круге и имеющих определенные ограничения в росте при подходе к границе круга.
Будем говорить, что функция α (x) принадлежит классу Λ [1], если α (x) определена на промежутке [a,f) ,
неотрицательна на этом промежутке, дифференцируема внутри него, строго возрастает при x стремящемся к бесконечности стремится к бесконечности и
lim
xof
D cx 1
D x для любого с > 0 (т. е. функция α (x) является медленно возрастающей). Через F (x, c ) обозначим функцию
F x, c D 1 (c ˜ D x ) .
Пусть теперь α (x) ∈ Λ и для любого σ , 0 < σ < 1 выполняются следующие условия:
§ x ·
а) D ¨¨
¸¸
© F x, V ¹
40
D x ˜ 1 o1 ɩɪɢ x o f;
ÀËÃÅÁÐÀ È ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÀÍÀËÈÇ
d ln F x, V 1;
xof
d ln x б) lim
D ln x xof D x с) lim
0.
Введем обозначения:
UD
где M f , r lim
D ln M f , r § 1 ·
D¨
¸
©1 r ¹
r o1
,q
lim
nof
D n § n
D¨ ¨ ln a
n
©
·
¸
¸
¹
,
(1)
max f z , f z – функция, аналитическая в единичном круге с центром в начале координат, a n – тейz dr
лоровские коэффициенты функции f (z ): f (z ) =
∞
∑ an z n . Тогда, как показано в работе [1], если UD t 1, ɬɨ UD
q.
n =0
Таким образом, ρα , α – порядок роста функции f (z ) при подходе к границе единичного круга, выражается через
ее тейлоровские коэффициенты следующим образом:
UD
lim
nof
D n § n
D¨ ¨ ln a
n
©
·
¸
¸
¹
, если ρα ≥ 1.
(2)
Отметим, что условия (а)–(с) выполняются, в частности, для функций D x начена k -ая итерация логарифма: ln k x
ln k x, k t 2 , (через ln k x обоз-
ln ln k 1 x , k t 1).
Через H ρ обозначим линейное топологическое пространство функций, аналитических в круге z < 1 ,
α – порядок роста которых при подходе к границе круга не выше ρ , т. е. ρα ≤ ρ . Топологию в нем зададим системой норм:
f
ε


 1
 
= sup M ( f , r )⋅ exp − F 
, ρ + ε  , ∀ε > 0 .
1
−
r

 
0< r <1

Пространство H ρ с так введенной топологией является полным счетно-нормированным пространством.
Пусть последовательность комплексных чисел (λn ) удовлетворяет условию:
§
1·
ln n ˜ F ¨¨ On , ¸¸
U
¹
©
lim
On
n of
0.
(3)
Отметим, что условие (3) выполняется, в частности, для такой последовательности (λn ), что lim
n of
ln n
On
0.
ТЕОРЕМА 1. Для того чтобы ряд
∞
∑ d neλ z
(4)
n
n =1
сходился абсолютно в топологии пространства H ρ (ρ > 1), необходимо и достаточно, чтобы либо
lim
n o f
D On §
·
On
¸
D ¨¨
¸
© ln d n On ¹
d U , ɟɫɥɢ d n t e
On
,
(5)
либо
dn < e
− λn
(5’)
для всех n , начиная с некоторого.
41
ÈÇÂÅÑÒÈß ÏÃÏÓ
Ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèå è òåõíè÷åñêèå íàóêè
Доказательство. Необходимость. Пусть ряд
∞
∑ d neλ z
n
n =1
¹ 8 (12) 2008 ã.
сходится абсолютно в топологии пространства H ρ .
Тогда для любого ε > 0
  1

d n e λn z < exp F 
, ρ + ε , ∀z , z ≤ r , ∀r , r0 (ε ) < r < 1, ∀n ∈ N .

 1− r
Но для всякого n найдется точка z , z = r , такая, что e λn z = e
r λn
(6)
, поэтому из неравенства (6) имеем:
  1


d n < exp F 
, ρ + ε  − r ⋅ λn ,
1
−
r

 

(7)




λn
1
1
= F
, 
где r произвольное число из интервала (r0 (ε ),1). В силу произвольности r положим в (7)
 
1 ω
1− r
 F  λn ,  
ω 
 
(через ω обозначили ρ + ε ), n > n0 (ε ), где n0 (ε ) выбрано так, чтобы выполнялось условие r > r0 (ε ).
 
 
 
 
λ
λn
1
 

n
Тогда F  F
и неравенство (7) перепишется в виде:
, , ω  =
 

1 ω
1

  F  λn ,    F  λn , 
ω  
ω

  


λn

d n < exp
−
 F  λ , 1  F  λ
 n
  n ω 

В силу условия (а)
§
F ¨ On
©
1
1

F  λn , 
ω

<
1

F  λn

1 1

F  λn ,  , 
ω

 ω


1

 ⋅ λn .
1  1 

F  λn ,  , 
ω  ω  

, причем
§1 §
1· 1·
1 ···
§1
·
§
§
F ¨ On , ¸ , ¸ D 1 ¨¨ ˜ D ¨ On F ¨ On , ¸ ¸ ¸¸ D 1 ¨ ˜ 1 o1 ˜ D On ¸
Z
Z
©
¹ Z¹
©
¹¹¹
©Z
¹
©Z ©
1 ɨ1 ·
§ 1 o1
·
§
D 1 ¨
˜ D On ¸ F ¨ On ,
¸.
Z ¹
© Z
¹
©
Поэтому
­°
d n exp® O n
°̄
§
·°½
2
˜ ¨¨
1¸¸¾, n ! n0 H ,
© F O n ,1 o1 Z ¹°¿
и
ln d n O n
On
2
, n ! n0 H .
F O n ,1 o1 Z (8)
Очевидно, что это неравенство справедливо при достаточно больших n , если d n < e
с некоторого.
Если же левая часть неравенства (8) положительна, то имеем
11oo11˜D˜ D O On n 22OOn n
§ 11oo11
··
,,
˜ D˜ D O On n¸¸
ZZ, ,ɝɞɟ
ɝɞɟZZ UUHH. .
где
© © ZZ
¹ ¹ lnlnddn nOOn n DD22OOn n lnlnddn nOOn n DD1¨1 §¨
42
− λn
для всех n , начиная
2 On
1 ɨ1 ·
§
F ¨ On ,
¸
Z ¹ ln d n O n
©
или
ÀËÃÅÁÐÀ È ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÀÍÀËÈÇ
Переходя в этом неравенстве к пределу при n → ∞ и учитывая, что α (x) ∈ Λ , получим
lim
nof
D On §
On
D ¨¨
© ln d n On
откуда в силу произвольности ε
lim
nof
·
¸
¸
¹
d U H,
D On ·
§
On
¸
D ¨¨
¸
ln
d
O
n
n
¹
©
d U.
Таким образом, необходимость условий (5) и (5’) доказана.
Достаточность.
H !0
Пусть
выполняется
­
½
°°
°°
On
On ¾, Z
d n AH exp®
° F §¨ On , 1 ·¸
°
°¯ ©
°¿
Z¹
условие
(5)
или
(5’).
Тогда
для
любого
H !0
U H , n  N . Оценим общий член ряда (4) в круге z ≤ r :
d ne
On z
­
½
°° O ˜ 1 H °°
1
n
AH exp®
On r On ¾
° F §¨ On , 1 ·¸
°
°¯ ©
°¿
Z¹
­
½
­
½
°° O ˜ 1 H °°
°°
H 1 ˜ On °°
1
n
AH exp®
On ˜ 1 r ¾ ˜ exp®
¾,
° F §¨ On , 1 ·¸
°
° F §¨ On , 1 ·¸ °
°¯ ©
°¿
°¯
Z¹
Z ¹ °¿
©
где 0 < ε1< 1, причем ε1 не зависит от r . Тогда
d n e On z
­
½
­
½
°°
°° x ˜ 1 H °°
H 1 ˜ On °°
1
AH ˜ exp®
x ˜ 1 r ¾,
¾ ˜ max exp®
° F §¨ O , 1 ·¸ ° xt x0
° F §¨ x, 1 ·¸
°
n
°¯
°
°¯ © Z ¹
°¿
Z
©
¹¿
(9)
1

n > n0 , n0 = n0 (x0 ), x0 выбрано так, чтобы было F  x0 ,  ≥ 2 . Оценим максимум выражения, стоящего в фигурω


ной скобке:




x ⋅ (1 + ε 1 )
1 + ε1
1 + ε1
 1 + ε1 

− x ⋅ (1 − r ) = x ⋅
− (1 − r ) , причем 0 ≤
− (1 − r ) ≤ 1 , если x0 ≤ x ≤ F 
, ω  . Следова  1

1
 1


 1− r

F  x, 
F  x, 
 F  x, 

 ω
 ω
  ω





1 + ε1
 1 + ε1 
 1 + ε1 
, ω  > x0 при достаточно больших r , то есть
тельно, x ⋅ 
− (1 − r ) ≤ F 
, ω  , отметим, что F 
  1

1− r
1
−
r




 F  x, 

  ω

r > r0 , где 0 < r0 < 1 .
Учитывая последнее неравенство, из (9) получим:
d n e λn z



ε 1 ⋅ λn 
  1 + ε 1 
< A(ε )exp F 
, ω  ⋅ exp−
, n ≥ n0 , r > r0 .

  1− r
 F  λ , 1  
n

ω  

43
­
°°
d n AH exp®
°
¯°
ÈÇÂÅÑÒÈß ÏÃÏÓ
Ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèå è òåõíè÷åñêèå íàóêè
¹ 8 (12) 2008 ã.




ε
⋅
λ
  1 + ε 1 

1
n
, ω  ⋅ ∑ exp−
Тогда ∑ d n e λn z < A(ε )⋅ exp F 
(10)
.
 n=n0
  1− r
n = n0
 F  λ , 1  
n

ω  

Покажем, что ряд, стоящий в правой части неравенства (10), сходится. В силу условия (а),
∞
On
1·
§
F ¨ On , ¸
Z¹
©
∞
F On ,1 o1 , где
o(1) < 0
при достаточно больших
n . Поэтому
 
1 
λn ≥  F  λn ,  
ω 
 
2
или
­
½
°°
H 1 ˜ On °°
exp®
λn
¾ d exp H 1 ˜ On . Отсюда, принимая во внима° F §¨ On , 1 ·¸ °
°¯
Z ¹ °¿
©
ние условие (3), можно сделать вывод, что ряд, стоящий в правой части неравенства (10), сходится. Пусть
^
1

≥ F  λn , , n > n1 . Следовательно,
ω


его сумма равна B(ε ). Тогда
∞
∑
n = n0
`
  1 + ε 1 
d n e λn z < A(ε )⋅ B(ε )⋅ exp F 
, ω , r > r0 , но n0 не зависит от r , поэтому

  1− r
∞

  1 + ε 1 
 1 + ε1 
 1 + ε1  
, ω  = α −1  ω ⋅ α 
< C (ε )⋅ exp F 
, ω , r > r0 , где F 
 , ω = ρ + ε . Функция α (x) ∈ Λ , сле 1− r

 1− r 


  1− r
n =1
довательно
 1 + ε1 
 1 
α
 = (1 + o(1))⋅ α 
 при r → 1 ,
1
−
r
1− r 


∑ d neλ z
n
(ρ + ε )⋅ α  1 + ε 1  = (ρ + ε + o(1)⋅ (ρ + ε ))⋅ α 
1 
 1 
 ≤ (ρ + 2ε )⋅ α 
 , r > r1 (ε ).
1
−
r


1− r 
 1− r 
С учетом последней оценки имеем для любого ε > 0
∞
∑ d neλ z
n
n =1
  1

< C (ε )⋅ exp F 
, ρ + 2ε , ∀z , z ≤ r , r > r (ε ), r (ε ) = max(r0 , r1 (ε )).
1
−
r

 
Поэтому ряд (4) сходится абсолютно в топологии пространства H ρ .
ТЕОРЕМА 2. Если в соотношении (5) имеет место равенство
lim
nof
то ряд
∞
∑ d neλ z
n
n =1
D On ·
§
On
¸
D ¨¨
¸
© ln d n On ¹
U,
(11)
не сходится ни в каком пространстве H β , β < ρ .
Справедливо и обратное утверждение: если ряд
∞
∑ d neλ z
n
n =1
сходится в топологии пространства H ρ и не схо-
дится ни в каком пространстве H β , β < ρ , то справедливо равенство (11).
Доказательство. Пусть имеет место равенство (11). Тогда, согласно теореме 1, ряд
∞
∑ d neλ z
n
сходится
n =1
(причем абсолютно) в топологии пространства H ρ . Предположим, что ряд сходится и в топологии пространства
H β , β < ρ . В этом случае, согласно теореме 1, должно выполняться неравенство
lim
nof
D On ·
§
On
¸
D ¨¨
¸
© ln d n On ¹
d E U,
что противоречит условию (11). Следовательно, ни в каком пространстве H β , β < ρ , ряд
нии условия (11) не сходится.
44
∞
∑ d neλ z
n
n =1
при выполне-
ÀËÃÅÁÐÀ È ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÀÍÀËÈÇ
Покажем справедливость обратного утверждения. Пусть ряд
∞
∑ d neλ z
n
n =1
сходится в пространстве H ρ и не
сходится ни в каком пространстве H β , β < ρ . Предположим, что в соотношении (11) имеет место знак меньше:
lim
D On nof
·
§
On
¸
D ¨¨
¸
© ln d n On ¹
d E U,
Тогда, согласно теореме 1, ряд сходится (причем абсолютно) в пространстве H β , β < ρ . Но это противоречит условию. Следовательно, lim
D On nof
U . Теорема 2 доказана.
·
§
On
¸
D ¨¨
¸
© ln d n On ¹
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Шеремета М. Н. О связи между ростом функции, аналитической в круге, и модулями коэффициентов ее ряда Тейлора //
Вестник Львовского университета. Сер. механико-математическая. Львов: ЛГУ, 1965. Вып. 2.С. 101–110.
УДК 517.44
НЕОДНОРОДНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
ДЛЯ ФУНКЦИЙ ГАРМОНИЧЕСКИХ В КУСОЧНО-ОДНОРОДНОМ ШАРЕ
Ю. А. Парфёнова
Пензенский государственный педагогический университет им. В. Г. Белинского
кафедра математического анализа
Метод отражений Кельвина для решения краевых задач математической физики с границами симметрического
вида послужил идейной основой для развития операторного метода в математической физике, в комплексном анализе, в гармоническом анализе. В работе операторный метод развивается для задач математической физики неоднородных структур. Операторный метод открывает возможность решения задачи для кусочно-однородной среды
сведением к соответствующей задаче для однородной среды, кроме того решение получается в форме, удобной для
изучения асимптотических свойств, упрощается алгоритм численных методов.
1. Постановка задачи.
Пусть Bn - единичный, кусочно-однородный шар из R N :
Bn
^x R
n 1
V Vi ;Vi
i 1
N
2
`
: ri x ri 1 ; i 1,..., n 1.
Шар Bn допускает параметризацию:
Bn
S0 u I n ; I n
n 1
­
®r : r  U r j , r j 1 ;0 r0 d 1, rn 1
j 1
¯
½
0, r j 1 r j , j 1,..., n ¾ .
¿
При этом оператор Лапласа ∆ запишется в виде:
∆u ≡
1
r
N −1
∂  N −1 ∂u  1
r
 + ∆η u
∂r 
∂r  r 2
здесь ∆η - оператор Лапласа на сфере S0 .
Рассмотрим задачу о конструкции ограниченного на множестве Bn , решения сепаратной системы уравнений Лапласа с постоянными коэффициентами
∆uk = 0, x ∈Vk ; k = 1,..., n ;
(1)
по краевым условиям
*0 >u1 @
f 0 K ,K  S 0
(2)
45
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
7
Размер файла
646 Кб
Теги
сходимость, условия, аналитическая, пространство, функции, рядом, некоторые, экспонента
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа