close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О поперечниках некоторых классов аналитических в круге функций.

код для вставкиСкачать
Известия Тульского государственного университета
Естественные науки. 2012. Вып. 3. С. 48–59
Математика
УДК 517.5
О поперечниках некоторых классов
аналитических в круге функций
М. Ш. Шабозов, Ш. А. Холмамадова
Аннотация. Найдены точные значения различных nпоперечников для классов аналитических в единичном круге
функций в пространстве Харди H2 , удовлетворяющих ограничению

Zh

1/q
q
ωm
(f (r) ; t)dt
6 Φ(h),
0
где 0 < h < ∞, 1/r < q 6 2, r ∈ N, а ωm (f (r) ; t) — модуль
непрерывности m-го порядка производной f (r) ∈ H2 ; Φ(t) —
непрерывная возрастающая функция, такая, что Φ(0) = 0.
Ключевые слова: наилучшее приближение, модуль непрерывности,
n-поперечники.
Введение
Вопросы, связанные с наилучшей полиномиальной аппроксимацией
и вычислением колмогоровских n-поперечников классов аналитических
в единичном круге функций, задаваемых модулями непрерывности и
гладкости в пространстве Харди Hp , 1 6 p 6 ∞, были изучены Л.В.Тайковым
[1, 2] и Н.Айнуллоевым и Л.В.Тайковым [3]. Полученные в [1–3] результаты
распространены С.Б.Вакарчуком [4–6] для других n-поперечников. При
этом в [4–6] построены наилучшие линейные методы приближения в
Hp , 1 6 p 6 ∞, реализующие точные значения линейных n–поперечников.
В работах [7–10] некоторые результаты [1–3] распространены на другие
банаховые пространства аналитических функций.
В данной работе аналогичные задачи изучаются для классов
аналитических в единичном круге функций, задаваемых модулями
непрерывности высших порядков граничных значений производных
в пространстве Харди H2 , и вычислены точные значения различных
n–поперечников.
Далее обозначим N — множество натуральных чисел, Z+ = N ∪ {0}, R+
— множество положительных чисел.
О поперечниках некоторых классов аналитических в круге функций
49
Пусть f (z) — произвольная аналитическая в единичном круге функция
f (z) =
∞
X
ck z k , z = ρeit , 0 < ρ 6 1
k=0
с конечной нормой пространства Харди Hp , 1 6 p 6 ∞,


1/p

Z2π


¯
¯
1


¯f (ρeit )¯p dt < ∞, 1 6 p < ∞,

lim 
 ρ→1−0
2π
kf kp := kf kHp =
0



n
o



 max |f (z)| : |z| < 1 ,
p = ∞.
Известно [11], что для f (z) ∈ Hp почти везде на окружности |z| = 1
существуют угловые граничные значения f (t) := f (eit ) ∈ Lp , 1 6 p 6 ∞.
Через f (r) (t)(r ∈ Z+ ; f (0) (t) ≡ f (t)) обозначим граничные значения
(r)
обычной r-й производной f (r) (z) = dr f /dz r , а через fa (t) (r ∈ Z+ ;
(0)
fa (t) ≡ f (t)) обозначим граничные значения r-й производной по аргументу
fa(r) (z) := ∂ r f (ρeit )/∂tr , r ∈ Z+ .
При этом
fa0 (z) = f 0 (z)zi,
n
o0
fa(r) (z) = fa(r−1) (z) , r > 2.
a
Всюду в дальнейшем полагаем
f (r) (z) =
∞
X
αk,r ck z k−r ,
αk,r = k(k − 1). . . (k − r + 1), k > r,
(1)
k=r
fa(r) (z)
∞
∞
X
X
r
k ikt
=
(ik) ck ρ e :=
(ik)r ck z k .
k=1
(2)
k=1
Множество всех комплексных алгебраических полиномов степени не
выше n обозначим
(
)
n
X
Pn = pn (z) : pn (z) =
ak z k , a k ∈ C .
k=0
Величина
n
o
En (f )p := E(f ; Pn−1 )Hp = inf kf − pn−1 kHp : pn−1 (z) ∈ Pn−1
называется наилучшим приближением функции f (z) ∈ Hp полиномами
pn−1 (z) ∈ Pn−1 . Если f (z) ∈ Hp имеет непрерывные граничные значения
50
М. Ш. Шабозов, Ш. А. Холмамадова
f (t), то их гладкость характеризуем модулем непрерывности m-го порядка
в Lp –норме
n
o
ωm (f ; t)p = sup k4m (f ; ·, u)kp : u ∈ [0, t] , 1 6 p 6 ∞,
где
4m (f ; x, u) =
m
X
k=0
µ ¶
m
(−1)
f (x + (m − k)u)
k
k
— конечная разность m-го порядка функции f (z) ∈ Hp в точке x с шагом u.
В частности, из равенства (1) следует, что если f (r) (t) угловое граничное
значение производной f (r) (z) ∈ H2 , то, согласно равенству Парсеваля, имеем
( ∞
)
X
2
m
2
(r)
m
2
ωm (f ; t)2 = 2 sup
αk,r |ck | (1 − cos(k − r)u) : u ∈ [0, t] . (3)
k=r+1
(r)
Аналогичным образом, если fa (z) ∈ H2 , то, используя равенство (2),
находим
)
(∞
X
2
k 2r |ck |2 (1 − cos ku)m : u ∈ [0, t] .
ωm
(fa(r) ; t)2 = 2m sup
k=1
Отметим, что для произвольной аналитической в единичном круге функции
f (z) ∈ H2 в силу уравнения замкнутости справедливо равенство
1
En2 (f ) =
2π
Z2π
2
|f (t)| dt −
n−1
X
k=0
0
2
|ck | =
∞
X
|ck |2 .
k=n
Кроме того, согласно неравенству Гёльдера
En (f )Hp 6 En (f )H2 ,
1 6 p 6 2.
(4)
Всюду далее для 1 6 p 6 ∞ положим
n
o
n
o
(r)
Hp(r) = f (z) ∈ Hp , kf (r) kp < ∞ , Hp,a
= f (z) ∈ Hp , kfa(r) kp < ∞ .
Имеет место следующая
(r)
Теорема 1. Пусть f (z) ∈ Hp , 1 6 p 6 2. Тогда для любых m, n ∈ N,
r ∈ Z+ при 0 < h 6 π/(n − r), n > r, 1 6 q 6 2 имеет место неравенство
 h
−1/q  h
1/q
¶mq
Z µ
Z
(n − r)t
−1 
q
 ωm
En (f )p 6 2−m αn,r
sin
dt
(f (r) , t)2 dt , (5)
2
0
0
где αn,r = n(n − 1). . . (n − r + 1), n > r. При p = 2 существует функция
(r)
f0 (z) ∈ H2 , обращающая (5) в равенство.
О поперечниках некоторых классов аналитических в круге функций
51
Доказательство. Используя неравенства Минковского [12, с. 104]

2/q 1/2
 hÃ
 h
!q/2 1/q
Z
Z X
∞
∞
X 


|fk (t)|q dt  , h > 0, 0 < q 6 2,
|fk (t)|2
dt > 
0
k=n
k=n
0
и учитывая (3), получаем
 h
1/q  h "
#q/2 1/q
Z
Z
∞
X
q
2
 ωm
(f (r) , t)2 dt > 
2m
αk,r
|ck |2 (1 − cos(k − r)t)m
dt >
0
k=n
0


> 2m
∞
X

Zh
αq |ck |q
k,r
k=n
= 2m/2


∞
X

k=n
2/q 1/2

(1 − cos(k − r)t)mq/2 dt  =
0

Zh
q
|ck |2 αk,r
0
Функция
Z
q
ϕ(k) = αk,r
h
2/q 1/2


mq/2 
.
(1 − cos(k − r)t)
dt


(6)
(1 − cos(k − r)t)mq/2 dt
0
для значений k > n > r является строго возрастающей, поскольку при 1 6
6 q 6 2 имеем
ϕ0 (k) =
Ã
q
+αk,r
q
r−1
X
s=0
h
q
· αk,r
(1 − cos(k − r)h)mq/2 +
k−r
1
1
−
k−s
k−r
! Zh
(1 − cos(k − r)t)mq/2 dt > 0,
0
а потому
Zh
min {ϕ(k) : k > n > r} = ϕ(n) =
(1 − cos(n − r)t)mq/2 dt.
q
αn,r
0
Учитывая соотношение (7), из (4), (6) получаем
 h
1/q
Z
q
 ωm
(f (r) , t)2 dt >
0
(7)
52
М. Ш. Шабозов, Ш. А. Холмамадова


2/q
Zh
 2 
> 2m/2 αn,r
(1 − cos(n − r)t)mq/2 dt

|ck |2 
=
k=n
0

1/2
∞
X
1/q
Zh
(1 − cos(n − r)t)mq/2 dt
= 2m/2 αn,r 
En (f )2 >
0
 h
1/q
¶mq/2
Z µ
(n − r)t
> 2m/2 αn,r 
2 sin2
dt En (f )p =
2
0
 h
1/q
¶mq
Z µ
(n − r)t
dt En (f )p , 1 6 p 6 2.
= 2m αn,r 
sin
2
(8)
0
Из неравенства (8) следует (5). Непосредственным вычислением убеждаемся,
(r)
что знак равенства в неравенстве (5) реализует функция f0 (z) = z n ∈ H2 . В
n
самом деле, с одной стороны En (f0 )H2 := En (z )H2 = 1, а с другой стороны
простой подсчет показывает, что
³
n − r ´m
(r)
ωm (f0 , t)H2 = 2m αn,r sin
t , n > r.
2
Отсюда, для 0 < h 6 π/(n − r) и 1 6 q 6 2 имеем:
 h
1/q
−1/q  h
¶mq
Z µ
Z
(n − r)t
(r)
−1 
q
 ωm
sin
2−m αn,r
(f0 , t)2 dt = 1 := En (f0 )H2 ,
dt
2
0
0
чем и завершаем доказательство теоремы 1.
Аналогичным образом доказывается, что если структурные свойства
(r)
аналитических функций задавать модулем непрерывности ωm (fa ; t)2 , то
справедлива
(r)
Теорема 2. Пусть f (z) ∈ Hp,a , 1 6 p 6 2. Тогда для любых чисел
m, n, r ∈ N, 1/r 6 q 6 2 и 0 < h 6 π/n имеет место неравенство
 h
−1/q  h
1/q
Z ³
Z
´mq
nt
q
 ωm
En (f )p 6 2−m n−r 
sin
dt
(fa(r) , t)2 dt . (9)
2
0
0
(r)
При p = 2 для функции f0 (z) = z n ∈ H2,a неравенство (9) обращается в
равенство.
О поперечниках некоторых классов аналитических в круге функций
53
Основные результаты
В этом пункте, прежде чем сформулировать другие результаты, приведем
несколько определений и обозначений общего характера.
Пусть S = {ϕ ∈ H2 : kϕk 6 1} — единичный шар в H2 ; M — выпуклое
центрально-симметричное подмножество в H2 . Λn ⊂ H2 — n-мерное
подпространство; Λn ⊂ H2 — подпространство коразмерности n; l : H2 → Λn
— линейный непрерывный оператор, переводящий элементы пространства
H2 в Λn ; l⊥ : H2 → Λn — непрерывный оператор линейного проектирования
пространства H2 на подпространство Λn . Величины
bn (M, H2 ) = sup {sup {ε > 0; εS ∩ Λn+1 ⊂ M} : Λn+1 ⊂ H2 } ,
dn (M, H2 ) = inf {sup {kf k2 : f ∈ M ∩ Λn } : Λn ⊂ H2 } ,
dn (M, H2 ) = inf {sup {inf {kf − gk2 : g ∈ Λn } : f ∈ M} : Λn ⊂ H2 } ,
λn (M, H2 ) = inf {inf {sup {kf − lf k2 : f ∈ M} : lH2 ⊂ Λn } : Λn ⊂ H2 } ,
ª
ª
ª
© ©
©
πn (M, H2 ) = inf inf sup kf − l⊥ f k2 : f ∈ M : l⊥ H2 ⊂ Λn : Λn ⊂ H2
называют соответственно бернштейновским, гельфандовским, колмогоровским,
линейным и проекционным n-поперечниками множества M в пространстве
H2 . Указанные n-поперечники монотонны по n и в гильбертовом
пространстве H2 удовлетворяют соотношения [12, 13]
bn (M; H2 ) 6 dn (M; H2 ) 6 dn (M; H2 ) = λn (M; H2 ) = πn (M; H2 ).
(10)
Пусть Φ(u) — произвольная непрерывная, возрастающая при u > 0
функция, такая, что Φ(0) = 0. При любых m, n, r ∈ N, соответственно при
0 < h 6 π/(n − r), r < n, 1 6 q 6 2 и 0 < h 6 π/n, 1/r 6 q 6 2, определим
классы функций


Zh


(r)
q
W r (Φ) := W (m, n, r, q, Φ) = f (z) ∈ H2 :
ωm
(f (r) ; t)2 dt 6 Φq (h) ,


0


Zh


(r)
q
War (Φ) := W (m, n, r, q, Φ) = f (z) ∈ H2,a :
ωm
(fa(r) ; t)2 dt 6 Φq (h) .


0
Используя результаты первого пункта, вычислим точные значения
всех перечисленных выше n-поперечников множеств W r (Φ) и War (Φ) в
пространстве H2 . С этой целью положим
n
o
m
(sin t)m
1, если t > π/2 .
∗ := (sin t) , если 0 < t 6 π/2;
54
М. Ш. Шабозов, Ш. А. Холмамадова
Теорема 3. Пусть функция Φ(u) при всех µ ∈ R+ , m, n, r ∈ N,
соответственно для 1 6 q 6 2, 0 < h 6 π/(n − r), n > r и 1/r < q 6 2,
0 < h 6 π/n, удовлетворяет условию
Zµπ³
Zπ ³
v ´mq
v ´mq
q
Φ (u)
sin
dv 6 Φ (µu)
sin
dv.
2 ∗
2
q
0
(11)
0
Тогда для любого n ∈ N справедливы равенства
−1/q

Zπ/2
³
1

− m+ 1
−1 
mq
Φ
γn (W r (Φ), H2 ) = 2 ( q ) (n − r) q αn,r
 sin tdt
0
π ´
, (12)
n−r

−1/q
Zπ/2
³π´

− m+ 1
− r− 1 
γn (War (Φ), H2 ) = 2 ( q ) n ( q )  sinmq tdt
,
Φ
n
(13)
0
где γn (·) — любой из n-поперечников: колмогоровский dn (·), бернштейновский
bn (·), гельфандовский dn (·), линейный λn (·), проекционный πn (·).
Доказательство. Не умаляя общности, докажем, например,
соотношение (12). Используя неравенство (5), запишем оценку сверху
проекционного n-поперечника класса W r (Φ), полагая в (5) h = π/(n − r) :
n
o
πn (W r (Φ), H2 ) 6 sup En (f ) : f ∈ W r (Φ) 6

−1 
6 2−m αn,r

−1/q
π/(n−r)
Z
sinmq
0
(n − r)t 
dt
2
³
Φ
π ´
=
n−r

−1/q
Zπ/2
³
1

− m+ 1
−1 
mq
= 2 ( q ) (n − r) q αn,r
sin
tdt
Φ


0
π ´
.
n−r
(14)
Для получения оценки снизу бернштейновского n-поперечника класса
W r (Φ) введем в рассмотрение (n + 1)–мерную сферу



−1/q


π/2

Z


³ π ´
1


−(m+ 1q )
−1
mq
Sn+1 = pn (z) : kpn k2 = 2
(n − r) q αn,r  sin tdt
Φ

n−r 




0
О поперечниках некоторых классов аналитических в круге функций
55
и укажем, что Sn+1 ⊂ W r (Φ). В работе [14] доказано, что для произвольного
полинома pn (z) ∈ Sn+1 имеет место неравенство
µ
¶
(n − r)t m
(r)
m
ωm (pn ; t)2 6 2 αn,r sin
kpn kH2 .
(15)
2
∗
Обе части неравенства (15) возведем в степень q (1/r < q 6 2) и
проинтегрируем полученное соотношение по t в пределах от 0 до µu. Затем
в интеграле, расположенном в правой части неравенства, произведём замену
переменной nt = v, заменим норму полинома pn (z) ∈ Sn+1 радиусом сферы
и в итоге получим
Zµu
³
q
q
ωm
(p(r)
;
t)
dt
6
Φ
2
n
0
π ´
×
n−r

−1
π/(n−r)
¶mq
Z
Zµuµ
(n − r)t 
(n − r)t

dt 
sinmq
dt =
×
sin
2
2
∗
0
0
= Φq
³
π ´
n−r
 π
−1
Z
³
v
v ´mq 
sinmq dv  .
dv
sin
2 ∗
2
µ(n−r)u
Z
0
(16)
0
В правой части (16) введём обозначение π/(n − r) = u и, используя
условие (11), придем к неравенству
−1
 π
Zµu
Zµπ³
Z
´
mq
v
v
q
q
ωm
(p(r)
sin
dv  sinmq dv  6 Φq (µu),
n ; t)2 dt 6 Φ (u)
2 ∗
2
0
0
0
которое равносильно включению Sn+1 ⊂ W r (Φ). Используя определение
бернштейновского n-поперечника, запишем оценку снизу
bn (W r (Φ), H2 ) > bn (Sn+1 , H2 ) =

−1/q
Zπ/2
³
1

− m+ 1
−1 
mq
= 2 ( q ) (n − r) q αn,r
Φ
 sin tdt
0
π ´
.
n−r
(17)
Сравнивая неравенства (14) и (17) с учётом (10) получаем равенство (12).
Аналогичным образом доказывается (13). Теорема 3 доказана.
Условие (11) в формулировке теоремы 3 выглядит не совсем естественным
и труднопроверяемым. Однако, на наш взгляд это не так.
Теорема 4. Множество функций Φ, удовлетворяющих условию (11),
не пусто.
56
М. Ш. Шабозов, Ш. А. Холмамадова
Доказательство. Рассмотрим, например, степенную функцию Φ∗ (u) =
= uα , где
 π
−1
 Z ³
´
v mp 
α := π p
dv
.
(18)
sin


2
0
Из (18) получаем
1
1
< α < (mp + 1).
p
p
(19)
Условие (11), выполнение которого предстоит доказать для функции Φ∗ ,
в рассматриваемом случае запишется в виде
, Zπ
Zµπ³
³
v ´mp
v ´mp
αp
µ >
sin
dv
sin
dv.
2 ∗
2
0
0
С учётом (18) данное неравенство примет вид
π αp
µ >
αp
Zµπ³
0
v ´mp
sin
dv,
2 ∗
(20)
где 0 < µ < ∞. Рассмотрим вспомогательную функцию
π αp
R(µ) :=
µ −
αp
Zµπ³
sin
0
v ´mp
dv.
2 ∗
В бесконечно малой окрестности нуля с учётом (21) имеем
!
Ã
Zµπ³ ´
mp+1
π αp
v mp
π
π
R(µ) =
µ −
dv = µαp
−
µmp+1−αp .
αp
2
αp 2mp (mp + 1)
(21)
(22)
0
Следовательно, при µ → 0+ из (22) и (19) получаем R(µ) > 0. Из (21) и
(18) имеем R(0) = R(1) = 0. Покажем, что на интервале (0, 1) функция (21)
является знакопостоянной. Для этого, рассуждая методом от противного,
полагаем, что существует некоторая точка ξ ∈ (0, 1), в которой функция R
меняет знак. В силу теоремы Ролля производная первого порядка функции
R, то есть
³
µπ ´mp
R0 (µ) = πµαp−1 − π sin
,
2
должна иметь на интервале (0, 1) не менее двух различных нулей. Столько
же различных нулей на (0, 1) и в тех же точках, что и R0 , должна иметь
функция
³
µπ ´
R∗ (µ) := π 1/(mp) µ(αp−1)/(mp) − sin
.
(23)
2
О поперечниках некоторых классов аналитических в круге функций
57
Так как в силу левой части неравенства (19) и соотношения (23) R∗ (0) =
= R∗ (1) = 0, то функция
³ αp − 1
π
µπ ´
0
R∗ (µ) = π 1/(mp)
µ(αp−mp−1)/(mp) − cos
(24)
mp
2
2
на основании теоремы Ролля должна иметь на (0, 1) не менее трех различных
нулей. Из (24) и правой части неравенства (19) следует, что на интервале
(0, 1) R∗0 является разностью двух положительных функций, одна из которых
монотонно убывает и выпукла вниз, а другая монотонно убывает и выпукла
вверх. Из геометрических соображений очевидно, что R∗0 может иметь на
(0, 1) не более двух различных нулей. Полученное противоречие доказывает,
что R(µ) > 0 для любого µ ∈ (0, 1).
Пусть теперь 1 6 µ < ∞. Тогда на основании (21) и (18) функция R
примет следующий вид
Из (25) получаем
R(µ) = µαp − αp(µ − 1) − 1.
(25)
³
´
R0 (µ) = αp µαp−1 − 1 .
(26)
В силу левой части неравенства (19) из (26) получаем, что R0 (µ) > 0 на
полусегменте [1, ∞). Поскольку, как следует из (25), R(1) = 0, то R(µ) > 0 на
указанном точечном множестве. Полученное означает, что неравенство (20),
а значит и условие (11), справедливо для функции Φ∗ при любом µ ∈ (0, ∞).
Теорема 4 полностью доказана.
Следствие 1. Для любых m, n, r ∈ N, соответственно при 1 < q 6 2 и
1/r < q 6 2, справедливы равенства
−1
γn (W r (Φ∗ ), H2 ) = 2−m π α−1/q (αq)1/q αn,r
(n − r)1/q , n > r;
γn (War (Φ∗ ), H2 ) = 2−m π α−1/q (αq)1/q n−r+1/q ,
где γn (·) — любой из вышеперечисленных n-поперечников.
Список литературы
1. Тайков Л.В. О наилучшем приближении в среднем некоторых классов
аналитических функций // Матем. заметки. 1967. Т.1, №2. С.155–162.
2. Тайков Л.В. Поперечники некоторых классов аналитических функций //
Матем. заметки. 1977. Т.22, №2. С.285–295.
3. Айнуллоев Н., Тайков Л.В. Наилучшее приближение в смысле Колмогорова
классов аналитических в единичном круге функций // Матем. заметки. 1986.
Т.40, №3. С.341–351.
4. Вакарчук С.Б. Наилучшие линейные методы приближения и поперечники
классов аналитических в круге функций // Матем. заметки. 1995. Т.57, №1.
С.30–39.
58
М. Ш. Шабозов, Ш. А. Холмамадова
5. Вакарчук С.Б. О наилучших линейных методах приближения и поперечниках
некоторых классах аналитических функций // Матем. заметки. 1999. Т.65, №2.
С.186–193.
6. Вакарчук С.Б. Точные значение поперечников классов аналитических в круге
функций и наилучшие линейные методы приближения // Матем. заметки. 2002.
Т.72, №5. С.665–669.
7. Шабозов М.Ш. Поперечники некоторых классов аналитических функций в
пространстве Бергмана // Докл. РАН. 2002. Т.383, №2. С.171–174.
8. Шабозов М.Ш., Шабозов О.Ш. Наилучшее приближение и значение
поперечников некоторых классов функций в пространстве Бергмана Bp ,
1 6 p 6 ∞ // Докл. РАН. 2006. Т.410, №4. С.461–464.
9. Шабозов М.Ш., Шабозов О.Ш. О наилучшем приближении некоторых классов
аналитических функций в весовых пространствах Бергмана // Докл. РАН. 2007.
Т.412, №4. С.466–469.
10. Вакарчук С.Б., Шабозов М.Ш. О поперечниках классов функций,
аналитических в круге // Матем. сборник. 2010. Т.201, №8. С.3–22.
11. Кусис П. Введение в теорию пространств Hp . М.: Мир, 1984. 256 с.
12. Pinkus A. n-Widths in Approximation Theory. Berlin: Springer-Verlag, 1985. 292 p.
13. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. М.: Издательство
МГУ, 1976. 304 с.
14. Шабозов М.Ш., Шабозов О.Ш. Поперечники некоторых классов аналитических
функций в пространстве Харди H2 // Матем. заметки. 2000. Т.68, №5. С.796–800.
Шабозов Мирганд Шабозович (shabozov@mail.ru), д.ф.-м.н., академик
АН Республики Таджикистан, отдел теории функций и функционального
анализа, Институт математики АН Республики Таджикистан, Душанбе.
Холмамадова Шогуна Авобековна (shoga-84@mail.ru),
Хорогский государственный университет им. М. Назаршоева.
аспирант,
About of widths of some classis analytical in the disk functions
M. Sh. Shabozov, Sh. A. Kholmamadova
Abstract. We obtain the exact values of arbitrary nth widths for classes
analytical in the unit disk functions in the space H2 , satisfying the condition
 h
1/q
Z
q
 ωm
(f (r) ; t)dt 6 Φ(h),
0
О поперечниках некоторых классов аналитических в круге функций
59
here 0 < h < ∞, 1/r < q 6 2, r ∈ N, ωm (f (r) ; t) — modulus of continuity of mth
order derivative f (r) ∈ H2 ; and Φ(t) is a continuous and an increasing function
with Φ(0) = 0.
Keywords: the best approximation, modulus of continuity, n-widths.
Shabozov Mirgand (shabozov@mail.ru), doctor of physical and mathematical
sciences, academician of Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan, department of theory of functions and functional analysis, Institute of Mathematics,
Dushanbe.
Kholmamadova Shoguna (shoga-84@mail.ru), postgraduate student, M.
Nazarshoev Khorog State University.
Поступила 14.09.2012
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
627 Кб
Теги
классов, аналитическая, круг, поперечников, функции, некоторые
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа