close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О поперечниках некоторых классов аналитических функций в весовом пространстве Бергмана.

код для вставкиСкачать
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН
2007, том 50, №8
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
М.Р.Лангаршоев, М.С.Саидусайнов*
О ПОПЕРЕЧНИКАХ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ АНАЛИТИЧЕСКИХ
ФУНКЦИЙ В ВЕСОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ БЕРГМАНА
(Представлено членом-корреспондентом АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 21.01.2008 г.)
1. Пусть Х – произвольное банахово пространство, M – некоторое выпуклое центрально симметричное множество в Х, Ln
X – n-мерное линейное подпространство;
 ( X Ln ) – множество всех линейных ограниченных операторов, отображающих пространство Х в подпространство Ln  ( X Ln ) – подмножество проекторов из  ( X Ln ) Величина
E ( f Ln ) X
inf
f
Ln
X
является наилучшим приближением элемента f
X подпространством Ln Требуется найти
величины:
E M Ln
sup E ( f Ln ) X f
X
– приближение фиксированного множества M
 M Ln
X
inf sup f
– наилучшее приближение множества M
 n M Ln
X
f
M
(1)
X подпространством Ln в пространство Х;
 X Ln
M
f
X
(2)
X линейными операторами в пространстве Х;
inf sup f
f
– наилучшее приближение множества M

M
f
X
X Ln
(3)
X линейными проекторами в пространстве Х.
Очевидно, что
E M Ln
X
 M Ln
X

M Ln
X
(4)
Величины [1]
dn (M X ) inf E M Ln
Ln
X
n (M X ) inf  M Ln
Ln
X
n M X
inf 
M Ln
Ln
X
соответственно называют колмогоровским, линейным и проекционным поперечниками. Подпространство L0n
X , на котором достигается нижняя грань во всех вышеперечисленных по-
653
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2007, том 50, №8
перечниках, называется оптимальным подпространством. При вычислении указанных поперечников будем использовать их монотонность по n, а также вытекающие из (4) неравенства
n (M X ) n (M X )
dn M X
2. Рассмотрим конкретный случай нахождения величин (1)-(3) и вышеперечисленных
поперечников. В качестве Х будем рассматривать весовое пространство Бергмана B2 аналитических в единичном круге функций
eit 0
ck z k z
f ( z)
1
k 0
с конечной нормой
12
f
1
2
z
B2
(5)
f ( z) d
z 1
где
– неотрицательная измеримая весовая функция, d
z
– элемент площади и интеграл
понимается в смысле Лебега.
Переходя к полярным координатам, норму (5) запишем в виде
12
1
f
2
B2
M
2
2
f d
0
где
M2
1
2
f
12
2
f
e
it 2
dt
0
Совокупность алгебраических комплексных полиномов степени n обозначим n Легко доказать, что среди произвольных полиномов pn
f ( z) B2
n
1
доставляет частная сумма Тейлора Tn ( f z )
1
n 1
наименьшее значение функции
ck z k разложение f ( z ) в круге
k 0
z
1 При этом
12
1
E f n
Для
B2r
r
целых
012
f ( z) B2
B20
1 B2
f
Tn
1
положительных
B2
f
B2
r
2
M
2
2
f
Tn f
d
0
полагаем
f (r ) z
d r f z dz r
и
через
обозначим множество аналитических в единичном круге функций
у которых r-я производная f ( r ) ( z) B2
654
то есть
Математика
М.Р.Лангаршоев, М.С.Саидусайнов
B2r
f z
f (r )
B2
B2
Пусть f ( z ) – произвольная аналитическая в единичном круге z
лежащая пространству B2
1 функция, принад-
Модуль непрерывности m-го порядка определим равенством
m ( f
)2
sup M 2
m
f
u
(6)
u
где
m
m( f
l
1 Cml f
t u)
ei ( t
lu )
l 0
– разность m-го порядка функции f ( z ) по аргументу t.
В работе [2], в частности, доказано, что для любой функции f ( z) B2
z r f (r )
B2
при всех натуральных m n r n r и любых 0 h  n 0

у которой
0 справед-
ливо точное неравенство
1 h
m2 z r f ( r )
E
2
f n
t sin
t h d dt
2
0 0
1 B2
(7)
h
2
2m
2
nr
sin
2m
nt 2 sin
t h dt
0
где
n (n 1) (n 2)
nr
(n r 1) n
и знак равенства в (7) реализует функция f0 ( z )
zn
r
Используя неравенство (7), снача-
B2
ла находим точные значения величин (1)-(3), а затем, используя полученный результат, оценим сверху всех поперечников.
0 0 h n 0
Для произвольных натуральных m n r n r
 определим
следующие классы функций
 (h)
 (m n r
h)
m2 z r f ( r )
t sin
 mnr
h
1 h
f ( z ) B2r
2
t h d dt 1
0 0
 h
1 h
f z
m2 z r f ( r )
B2r
t sin
2
0 0
655
t h d dt
h
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
где
2007, том 50, №8
(h) – непрерывная монотонно возрастающая функция такая, что lim
x
0
h
0
0
Имеет место следующая
0 0 h n 0
Теорема 1. При всех натуральных m n r n r
 справедли-
вы равенства
E  h n
  h n 1
1 2

2
 h n 1
12
h
2
m
1
nr
2
sin
2m
nt 2 sin
(8)
t h dt
0
E  h
n 1
  h
2
n 1
2

 h
2
1
nr
2
12
h
m
n 1
sin
2m
nt 2 sin
t h dt
h
(9)
0
Доказательство. Не уменьшая общности, приводим доказательство равенства (9).
Оценку сверху получаем для величины (3), используя определение класса  h

 h
Pn
 h
sup En ( f )2 f
1 2
12
h
2
m
1
nr
sin
2m
nt 2 sin
t h dt
h
(10)
0
Очевидно, что если укажем функцию f 0 ( z )  (h
) , для которой реализуется знак
равенства в соотношении (10), то с учетом неравенства (4) равенство (9) будет доказано. Покажем, что функция
f0 ( z) an( m) r (h)  0 1
(h) z n
B2r
где
12
h
( )
nmr
a
( h) 2
m
1
nr
2m
sin (nt 2)sin ( t h)dt
0
12
1
0
2n 1
2
( )d
,
0
удовлетворяет неравенству
1 h
( )m2 ( z r f 0( r )
t ) 2 sin ( t h)d dt
0 0
означающему, что f 0 ( z )  (h
)
656
2
( h)
Математика
М.Р.Лангаршоев, М.С.Саидусайнов
В самом деле, простым вычислением получаем
z r f0( r ) ( z)
2
m
( z r f0( r )
22 m
t )2
an( m) r (h)  0 1
nr
2
nr
2n
(h) z n
2
sin 2 m (nt 2) an( m) r (h)  0 1
(h) ,
откуда вытекает, что
1 h
2
m
( )
( z r f 0( r )
t ) 2 sin ( t h)d dt
0 0
2
2m
2
nr
( )
nmr
a
( h)  0
1
2
( h)
h

2
0
sin 2 m (nt 2) sin ( t h)dt
2
(h)
0
Этим соотношение (9) доказано.
Вычислим теперь значение поперечников, используя результат, полученный в теореме
1, и сформулируем основной результат данной работы.
Теорема 2. Справедливы равенства
12
h
n
( (h) B2 ) 2
m
1
nr
2m
(11)
sin (nt 2)sin ( t h)dt
0
12
h
n
 (h
) B2
m
2
1
nr
2m
sin (nt 2)sin ( t h)dt
(h)
(12)
0
где
n
( ) - любой из вышеперечисленных поперечников d n ( ) n ( ) и n ( ) В частности, при
 h  n имеем:
n
n
где
n1 2
 ( n) B2
 ( n
2m
2
nr
(m (
n1 2
) B2
2m
2
nr
(m (
(m )
1) 2) ((
(m )
1) 2) ((
1 2
1) 2)
1 2
1) 2)
( ),
n
(u) - гамма функция Эйлера.
Доказательство. Не уменьшая общности, докажем равенство (12). Оценку сверху для
проекционного поперечника получим из соотношения (9), поскольку
n ( (h
) B2 )
E ( ( h
) n 1 ) B2
12
h
2
m
1
nr
2m
sin (nt 2)sin ( t h)dt
0
657
( h)
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2007, том 50, №8
С целью получения оценки снизу колмогоровского поперечника класса  (h
(h))
для произвольного полинома
n
n
ak z k
pn ( z )
k 0
оцениваем m ( z r f ( r )
t )2 Рассмотрим (n 1) -мерную сферу комплексных полиномов
1 2
h
Sn
pn n
1
pn
2
B2
m
1
nr
2m
sin (nt 2)sin ( t h)dt
( h)
0
и покажем, что она входит в класс  (h
(h))
Для произвольного полинома pn ( z ) S n
pn
и соотношения (1 cos kt )m
1
n
2
2
B2
с учетом равенства
1
ak
2
2k 1
k 0
( )d
0
(1 cos nt ) m , справедливого для k
n и 0 t
h
 n , согласно
определению модуля непрерывности m -го порядка, из равенства (6) получаем
n
m2 ( z r pn( r )
t )2
2m
2
kr
ak
2
2k
(1 cos kt ) m
k 0
n
2m
2
nr
(1 cos nt ) m
ak
2
2k
.
(13)
k 0
Умножая обе части неравенства (13) на
( )sin ( t h) и интегрируя по
(0 1) и
t (0 h) , получаем
1 h
( )m2 ( z r pn( r )
t ) 2 sin ( t h)d dt
0 0
1
n
2
ak
k 0
2k 1
1
22 m
( )d
0
1
pn
2
а это означает, что Sn
h
2
1
2
nr
2m sin 2 m (nt 2)sin ( t h)dt
0
h
2
2
2m
2
nr
sin 2 m (nt 2)sin ( t h)dt
0
 (h
1
2
2
(h)
2
(h)
) и оценка снизу получена, чем и завершим доказательство
теоремы 2.
Таджикский технический университет им. М.С.Осими,
*
Хорогский государственный университет им. М.Н.Назаршоева
658
Поступило 21.01.2008 г.
Математика
М.Р.Лангаршоев, М.С.Саидусайнов
Л И Т Е РАТ У РА
1. Корнейчук Н.П. Точные константы в теории приближения. М.:Наука, 1987, 422 с.
2. Шабозов М.Ш., Шабозов О.Ш. – Доклады РАН, 2007, т.412, №4, с. 1-4.
М.Р.Лангаршоев, М.С.Саидусайнов
ЌИМАТИ КУТРЊОИ БАЪЗЕ СИНФИ ФУНКСИЯЊОИ АНАЛИТИКЇ ДАР
ФАЗОИ ВАЗНДОРИ БЕРГМАН
Дар маќола ќимати аниќи кутрњои синфи функсияњои аналитикї, ки дар тахти
аломати интеграл модули бефосилагии тартиби m-умро дар бар мегиранд, њисоб карда
шудааст.
M.R.Langarshoev, M.S.Saidusainov
WIDTHS OF SOME CLASSES OF ANALYTICAL FUNCTIONS IN WEIGHTED
BERGMAN SPACE
659
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
549 Кб
Теги
классов, аналитическая, пространство, поперечников, бергман, функции, некоторые, весовой
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа