close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О проблеме выбора системы базисных функций при построении математической модели деформации кабеля.

код для вставкиСкачать
МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА»
№1/2016
ISSN 2410-6070
ФИЗИКО- МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
УДК 519.62
Е.А.Алашеева
к.ф.-м.н., доцент, ПГУТИ, г.Самара
А.С.Агаповичева
Студентка, гр.ОИТ-31, ПГУТИ, г.Самара
О ПРОБЛЕМЕ ВЫБОРА СИСТЕМЫ БАЗИСНЫХ ФУНКЦИЙ ПРИ ПОСТРОЕНИИ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ДЕФОРМАЦИИ КАБЕЛЯ
Аннотация
При построении математической модели в прикладных исследованиях у студентов возникает
необходимость аппроксимировать функцию по некоторым экспериментальным данным. При этом возникает
проблема выбора системы базисных функций. От удачного выбора базиса зависит сходимость метода и
точность полученной аппроксимации.
Ключевые слова
Кубические сплайны, базисные функции, метод наименьших квадратов, математическая модель.
Возникает проблема построить математическую модель следующей прикладной задачи: следует отыскать
зависимость между деформацией модуля оптического кабеля и вероятностью увеличения потерь в нём.
Результаты эксперимента, по которым следует найти эмпирическую зависимость представим в
таблице:
Таблица 1
i
0.54 0.55 0.56 0.57 0.58 0.59 0.60 0.61 0.62 0.63 0.64 0.65 0.66 0.67 0.68 0.69
p
0.25
0.40
0.47
0.52
0.57
0.64
0.72
0.79
0.82
0.89
0.92
0.94
0.95
0.95
1
1
Здесь относительные деформации модуля  i   i / d nom , где d nom - внешний диаметр модуля до
деформации,
 i - деформация модуля. Среднее значение вероятности для каждой деформации для всех
k
 pi
, где k - число измерений, для каждого значения  i .
k
Для получения эмпирической функции для p   f x  , воспользуемся методом наименьших квадратов [1,2]
опытов рассчитывалось по формуле: p  
i 1
Эффективность применения данного метода во многом зависит от удачного выбора базисных функций
(эмпирической формулы). Выбора базисной функции экспериментальные данные необходимо представить
графически (рис.1)
Рисунок 1 – Экспериментальная зависимость
9
p от  i
МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА»
№1/2016
ISSN 2410-6070
Можно выбрать один из классических базисов полной области:
3y
5y
 I 3 cos

2
2
2
Разложение Чебышева: A y   I1T0  y   I 2T2  y   I 3T4  y   
Разложение Фурье: A y   I1 cos
y
 I 2 cos
Разложение Маклорена: A( y)  I1  I 2 y 2  I 3 y 4  
Однако, если внимательно посмотреть на представленные на рисунке 1 точки, то можно сделать вывод,
что искомая функция по форме не похожа ни на один из представленных базисов, следовательно, их
использование не будет обеспечивать хорошую сходимость метода [3].
Поэтому лучше использовать один из базисов подобластей.
В отличие от рассмотренной выше системы базисных функций полной области иногда целесообразнее
использовать базисные функции, определенные во всей области определения оператора L , но равные нулю
в части этой области.
 0, y  yi ,
1
Базисные сплайны: - сплайн нулевой степени (импульс):
f i   , yi  y  yi 1 ,
h
 0, y  yi 1 .
0, y  yi ,

 1 y  yi 1
, yi  y  yi 1,
- линейный сплайн:
 
h2
fi   h
1 y  yi 1
 
, yi 1  y  yi  2 ,
h2
h

0, y  yi  2.
0, y  yi ,


1
 y  yi 3 , yi  y  yi 1 ,

4
-кубический сплайн:
6
h

 1  1  y  yi 1   1  y  yi 1 2  1  y  yi 1 3 , yi 1  y  yi  2 ,
2

2h 3
2h 4
f i   6h 2h
1
1
1
1
2
  2  yi 3  y   3  yi 3  y   4  y i 3  y 3 , yi  2  y  yi 3 ,
2h
2h
 6h 2h
1
3





,
y
y
y
y  yi  4 ,
i4
i 3

6h 4

0, y  yi  4 .

Кусочно- синусоидальные функции:
 I i sin k ( yi 1  y )  I i 1 sin k ( y  yi )
, y   yi , yi 1 ,

fi  
sin kyi

0, y   yi , yi 1 .

0, y   , y2 i ,


y  y2i
, y   y2 i , y2 i 1 ,

h

 y2 i  2  7 y  6 y2 i 1 , y   y2 i 1 , y2 i  2 ,
Базис из сплайновых вейвлет:

h
  6 y2 i 3  16 y  10 y2 i  2
, y   y2 i  2 , y2 i 3 ,

h
i  
6 y2 i 3  16 y  10 y2 i  4

, y   y2 i 3 , y2 i  4 ,
h

  y2 i  4  7 y  6 y2 i 5 , y   y , y ,
2i4
2 i 5

h

y2 i 6  y
, y   y2 i 5 , y2 i 6 ,

h

0, y   y2 i 6 ,.

Синусоидальная интерполяция: f   A  B sin k ( y  yi )  C cos k ( y  yi ), y  ( yi , yi 1 )

i
0, y  ( yi , yi 1 ).

Точки на рисунке 1 расположены так, что в качестве базисных функций лучше выбрать:
10
МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА»
№1/2016
ISSN 2410-6070
f x   yx     i N i ,3 x 
m
i  3
где
N i ,3 x  - кубические В-сплайны дефекта 1. Кубические В-сплайны эффективно выбирать в
качестве базисных функций, поскольку они обладают высокими аппроксимирующими свойствами. Номер
сплайна начинаем с -3, чтобы обеспечить покрытие всех точек эксперимента.
Рисунок 2 – Базис из кубических сплайнов
Рисунок 3 – Эмпирическая зависимость между деформацией модуля и вероятностью увеличения потерь
Для реализации алгоритма было выполнено программирование на языке C#.
Список использованной литературы:
1. Турчак Л.И., Плотников П.В., «Основы численных методов»,-М.: ФИЗМАТЛИТ, 304с. (2003)
2. Вержбицкий В.М., «Основы численых методов», -М.: Высшая школа, 840с. (2005)
3. Алашеева, Е.А., Маслов М.Ю. Сравнительная характеристика различных систем базисных функций
полной области применительно к решению интегральных уравнений Фредгольма второго рода. Вестник
СамГУ, 2012 ,№9, стр 14-20
© Алашеева Е.А., Агаповичева А.С., 2016
УДК 535
К.К. Алимов
К.ф-м.н., доцент
Кафедра прикладной физики и нанотехнологий
Чувашский государственный университет имени И.Н.Ульянова
Г.Чебоксары, Российская Федерация
ВОССТАНОВЛЕНИЕ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЧАСТИЦ АЭРОЗОЛЕЙ С ПОМОЩЬЮ
ИСКУССТВЕННЫХ НЕЙРОННЫХ СЕТЕЙ
Аннотация
Исследована возможность использования искусственных нейронных сетей для восстановления функции
распределения частиц в оптической диагностике аэрозолей, основанной на обращении индикатрисы
рассеяния монохроматического излучения. В качестве объекта рассмотрен аэразоль, состоящий из
полидисперсных сферических частиц, функция распределения которых представляет гамма-распределение.
11
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
1 170 Кб
Теги
построение, выбор, кабеля, система, математические, функции, базисный, проблемы, деформация, модель
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа