close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О производной действительной операторной функции действительного операторного аргумента.

код для вставкиСкачать
Вестник ТГУ, т. 12, вып. 4, 2007
преобразований, запишется в виде

1 + m cos2 α
m sin 2α


ẍ =
u1 +
u2 − r1 (t) cos2 α − r2 (t) sin α cos α,


1
+
m
2(1
+
m)



m sin 2α
1 + m cos2 α
(2)
ÿ
=
u
+
u2 − r1 (t) sin α cos α − r2 (t) sin2 α,
1

2(1
+
m)
1
+
m





 α̈ = −¡cos α)u − (sin α)u + 1 + m (r (t) cos α + r (t) sin α¢,
1
2
1
2
m
¡
¢
где m = m2 /m1 , r1 (t) = f1 (t) − mp̈1 (t), r2 (t) = f2 (t) − m 1 + p̈2 (t) .
Из (2) следует, что если u1 (t) ≡ u2 (t) ≡ 0, то при r1 (t) ≡ 0 (и только в этом случае) система (2) имеет тривиальное решение (идеальное движение). Таким образом, при идеальном
движении точка m1 осуществляет заданное движение и при этом отсутствует «раскачивание» точки m2 относительно m1 . Если p1 (t) = p1 + vt, p2 (t) = p2 (горизонтальное движение
с постоянной скоростью), f2 (t) ≡ 0, f1 (t) = const, то задача стабилизации упрощается. Доклад посвящён построению неупреждающего позиционного управления, решающего задачу
стабилизации в описанном случае.
ЛИТЕРАТУРА
1.
Николаев С. Ф., Тонков Е. Л., Феклистов И. В. Колебания двух материальных точек, соединённых
жёсткой тягой // Известия Института математики и информатики УдГУ. Ижевск, 2006. Вып. 2(36).
С. 201–204.
2.
Николаев С. Ф., Тонков Е. Л., Феклистов И. В. Стабилизация механической системы, состоящей из
двух материальных точек, соединённых жёсткой тягой нулевой массы // Известия Института математики и информатики УдГУ. Ижевск, 2006. Вып. 3(37). С. 113–114.
3.
Самарский А. А., Михайлов А. П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. М.: Физматлит, 2001. 320 с.
Феклистов Игорь Вячеславович
Удмуртский государственный ун-т,
Россия, Москва
e-mail: artclimate@rambler.ru
Поступила в редакцию 10 мая 2007 г.
О ПРОИЗВОДНОЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ОПЕРАТОРНОЙ ФУНКЦИИ
ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ОПЕРАТОРНОГО АРГУМЕНТА
c
°
В. И. Фомин
Пусть E — банахово пространство; L(E) — банахова алгебра ограниченных линейных
операторов, действующих из E в E. Рассмотрим действительную операторную функцию
f : D(f ) ⊆ L(E) → L(E) действительного операторного аргумента Λ (действительные
545
Вестник ТГУ, т. 12. вып. 4, 2007
операторы — это, по определению, операторы из L(E); такое название связано с тем, что при
решении некоторых задач
√ приходится рассматривать комплексные операторы Z = A + =B,
где A, B ∈ L(E), = = −I — мнимая операторная единица (см. [1]). Пусть D(f ) является
открытым множеством, Λ0 ∈ D(f ). Рассмотрим класс коммутирующих с Λ0 операторов:
KΛ0 = {B ∈ L(E) | Λ0 B = BΛ0 }. Известно ([2, с. 49]), что KΛ0 является подпространством
пространства L(E).
О п р е д е л е н и е 1. Функция Y = f (Λ) называется дифференцируемой в точке Λ0 ,
если ∃ A ∈ L(E), ∃ Oδ (Λ0 ) ⊂ D(f ) | для ∀ H ∈ Oδ (Θ) ∩ KΛ0 справедливо соотношение
f (Λ0 + H) − f (Λ0 ) = AH + ω (Λ0 , H), где kω (Λ0 , H)k = o (kHk) при H → Θ; при этом,
оператор A называется производной функции f (Λ) в точке Λ0 : f 0 (Λ0 ) = A (здесь Θ —
нулевой оператор).
Заметим, что определение 1 корректно, так как
n а) Oδ (Θ) ∩ KΛo0 6= ∅, ибо {αI : |α| < δ} ⊂ Oδ (Θ) ∩ KΛ0 а в случае Λ0 6= Θ
α Λ0 : |α| < kΛδ0 k ⊂ Oδ (Θ) ∩ KΛ0 ;
б) Λ0 + H ∈ Oδ (Λ0 ) при любом H ∈ Oδ (Θ), в частности, при любом H ∈ Oδ (Θ) ∩ KΛ0 ;
в) если функция f (Λ) дифференцируема в точке Λ0 , то ее производная f 0 (Λ0 ) определяется единственным образом.
Пусть функция Y = f (Λ) дифференцируема на открытом множестве Ω ⊆ D(f ), т.е.
дифференцируема в каждой точке этого множества. Тогда ее производная Y 0 = f 0 (Λ) представляет собой действительную операторную функцию действительного операторного аргумента.
Если f (Λ) ≡ C, где C — некоторый оператор из L(E), то f 0 (Λ) = Θ.
Если f (Λ) = Λ, то f 0 (Λ) = I.
Если f (Λ) = Λn , n ∈ N , n > 2, то f 0 (Λ) = nΛn−1 (при выводе этой формулы существенным является условие H ∈ KΛ0 из определения 1).
n
T
Если функции fi (Λ), 1 6 i 6 n, дифференцируемы на открытом множестве G ⊆
D(fi )
и Ci ∈ L(E), 1 6 i 6 n, то функция
формула
"
n
X
n
P
i=1
i=1
Ci fi (Λ) дифференцируема на G и справедлива
#0
Ci fi (Λ)
i=1
=
n
X
Ci fi0 (Λ)
(1)
i=1
(в частности, формула (1) сохраняет силу, если в ней вместо операторов Ci записать числа
αi , 1 6 i 6 n).
Для функции вида Pn (Λ) = Λn + A1 Λn−1 + ... + An−1 Λ + An , где Ai ∈ L(E), 1 6 i 6 n,
справедлива формула
Pn(m) (Λ)
= m!
n−m
X
m
Cn−k
Ak Λn−m−k , 1 6 m 6 n;
k=0
Pn(m) (Λ) = Θ при m > n.
Для функций eΛ =
формулы
∞
P
n=0
Λn
n! ,
sin Λ =
∞
P
n=0
2n+1
Λ
, cos Λ =
(−1)n (2n+1)!
∞
P
n=0
¡ Λ ¢0
= eΛ , (sin Λ)0 = cos Λ, (cos Λ)0 = − sin Λ.
e
546
2n
Λ
(−1)n (2n)!
справедливы
Вестник ТГУ, т. 12, вып. 4, 2007
ЛИТЕРАТУРА
1.
Фомин В.И. О случае комплексных характеристических операторов линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка в банаховом пространстве // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы конф. Воронеж, 2007. С. 231–232.
2.
Треногин В.А., Писаревский Б.М., Соболева Т.С. Задачи и упражнения по функциональному анализу.
М.: Физматлит, 2002.
Фомин Василий Ильич
Тамбовский государственный
технический ун-т
Россия, Тамбов
e-mail: kulikov@apmath.tstu.ru
Поступила в редакцию 5 мая 2007 г.
ЛОМАНЫЕ ЭЙЛЕРА В СИСТЕМАХ КАРАТЕОДОРИ
c
°
1
Д. В. Хлопин
Известно [1], что в динамических системах с непрерывной правой частью некоторые
решения могут получены как пределы ломаных Эйлера, мелкость разбиений которых стремится к нулю. В случае единственности ломаные Эйлера сходятся к единственному решению, получены при достаточно общем признаке единственности и соответствующие оценки
сходимости [2]. Для измеримой правой части исследовались [3] всевозможные пределы последовательностей ломаных Эйлера, вмещающее их дифференциальное включение можно
получить также из [4, Теорема 1.1.3].
В данной работе описываются условия, при которых ломаные Эйлера сходятся к пучку
решений системы. Использующаяся для этого в непрерывном случае мелкость разбиений
не применима для измеримой правой части. Действительно, можно показать (см. [5]), что в
случае измеримой правой части существует такой класс эквивалентных (по Борелю) измеримых функций, для которого, при любой правой части из этого класса эквивалентности,
малая мелкость разбиения не гарантирует близость соответствующей ломаной Эйлера к
пучку решений системы, даже если все моменты разбиений взяты среди точек Лебега (или
моментов непрерывности) правой части.
Вместо мелкости по заданной правой части и компакту содержащему все траектории
системы, на множестве всевозможных разбиений отрезка времени строится метрика (множество разбиений оснащалось достаточно сложной топологией, например, в [6]).
Пусть дана удовлетворяющая условиям Каратеодори [7] система
ẋ = f (t, x), x(t0 ) = x0 ,
1
(1)
Работа выполнена при поддержке РФФИ (проекты № 06-01-00414, № 07-01-96088).
547
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
8
Размер файла
574 Кб
Теги
функции, действительно, производной, операторное, аргументы
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа