close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О разрешимости одной смешанной задачи для нелинейного дифференциального уравнения в частных производных высокого порядка.

код для вставкиСкачать
Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2013. № 4 (33). С. 46–57
УДК 517.956.4
О РАЗРЕШИМОСТИ ОДНОЙ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ
ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА
Т. К. Юлдашев
Сибирский государственный аэрокосмический университет им. ак. М. Ф. Решетнева,
Россия, 660014, Красноярск, пр. газеты имени «Красноярский рабочий», 31.
E-mail: tursunbay@rambler.ru
Рассматриваются вопросы обобщённой разрешимости смешанной задачи для
нелинейного дифференциального уравнения с параболическим оператором высокой степени. Используется метод разделения переменных.
Ключевые слова: нелинейное уравнение, параболический оператор высокой степени, обобщённая разрешимость.
1. Постановка задачи. В области D рассматривается уравнение
∂
∂t
+ (−1)m
∂ 2m n
u(t, x) = f (t, x, u(t, x), u(−t, x))
∂x2m
(1)
с начальными
u(t, x)
t=0
= ϕ1 (x),
∂ j−1
u(t, x)
= ϕj (x),
∂tj−1
t=0
j = 2, n
(2)
и граничными
∂ 2(nm−1/2)
= uxxx (t, x)
= ... =
u(t,
x)
=
x=0
x=0
x=0
∂x2(nm−1/2)
Z l
Z l
Z l 2(nm−1)
∂
u(t, y)dy = 0 (3)
=
u(t, y)dy =
uyy (t, y)dy = . . . =
2(nm−1)
0
0
0 ∂y
ux (t, x)
условиями, где f (t, x, u, ϑ) ∈ (D × R2 ), ϕj (x) ∈ C(Dl );
(2nm−1)
ϕ0j (x)x=0 = ϕ000
(x)x=0 =
j (x) x=0 = . . . = ϕj
Z l
Z l
Z l
(2nm−2)
00
=
ϕj (y)dy =
ϕj (y)dy = . . . =
ϕj
(y)dy = 0,
0
0
j = 1, n;
0
D ≡ DT × Dl , DT ≡ [−t, T ], Dl ≡ [0, l]; 0 < l < ∞, 0 < T < ∞; n, m —
натуральные числа.
Дифференциальное выражение −∂ 2nm /∂x2nm при граничных условиях
(3) порождает положительно определённый самосопряжённый оператор с чисто точечным спектром.
Следует отметить, что изучению разного типа линейных и нелинейных
дифференциальных уравнений в частных производных и их систем посвящено много работ и при этом применялись разные методы. Смешанные задачи
Турсун Камалдинович Юлдашев (к.ф.-м.н., доц.), доцент, каф. высшей математики.
46
О разрешимости одной смешанной задачи для нелинейного дифференциального уравнения . . .
с интегральными условиями были рассмотрены в работах многих авторов,
в частности в [1–3].
В данной работе, в отличие от работ [4,5], используется метод разделения
переменных, основанный на поиске решения смешанной задачи (1)–(3) в виде
предела
N
X
u(t, x) = lim
ai (t) · bi (x).
(4)
N →∞
i=1
2. Вспомогательные понятия. Множество
a(t) = (ai (t)) : ai (t) ∈ C(DT ), i = 1, N
введением нормы
ka(t)kBpN (T ) =
X
N i=1
max |ai (t)|
t∈DT
p 1/p
,
p>1
становится банаховым пространством и обозначается через BpN (T ). Наряду с
этим пространством также рассмотрим банахово пространство Bp (T ) с нормой
N p 1/p
X
ka(t)kBp (T ) = lim
max |ai (t)|
.
N →∞
i=1
t∈DT
Очевидно, что limN →∞ BpN (T ) = Bp (T ). Для каждого элемента a(t) ∈ Bp (T )
определяется оператор
Qa(t) = u(t, x) = lim
N →∞
N
X
ai (t) · bi (x).
i=1
Обозначим через Ep (D) множество значений оператора Q. Здесь очевидно, что Q : Bp (T ) → Ep (D) и Ep (D) ⊂ Lp (D).
Для произвольной функции g(x), x ∈ Dl , в пространстве Lp (Dl ) вводится
норма следующим образом:
Z 1
1/p
p
|g(y)| dy
< ∞.
kg(x)klp (Dl ) =
0
(k)
Через Wp (D) обозначается множество функций Φ(t, x) таких, что Φ(t, x),
(∂ 2 /∂x2 )Φ(t, x), . . . , (∂ 2nm−2 /∂x2nm−2 )Φ(t, x) при фиксированном t ∈ DT принадлежат области определения оператора −∂ 2nm /∂x2nm , имеют производные
порядка k по t, принадлежащие Lp (Dl ), и обращаются в нуль при t 6 −T + δ
и t > T − δ (0 < δ — зависит от Φ(t, x)), где
)
(
Z T Z l
q/p 1/q
1 1
<∞ ,
+ = 1.
Lp, q (D) = u(t, x) :
|u(t, x)|p dx
dt
p q
0
0
(k)
Ясно, что пространство Wp (D) всюду плотно в пространстве Lp (D).
47
Т. К. Ю л д а ш е в
Пусть bi (x) — собственные функции дифференциального
−∂ 2nm /∂x2nm , удовлетворяющие граничным условиям
b0i (0)
=
b000
i (0)
= ... =
(2nm−1)
bi
(0)
Z
оператора
l
=
bi (y)dy =
0
Z l
Z l
(2nm−2)
bi
(y)dy = 0
b00i (y)dy = . . . =
=
0
0
и обладающие свойством
(2nm)
bi
(x) = (−1)2(nm+1/2) λ2nm
bi (x),
i
где λ2nm
— соответствующие собственные значения данного оператора. Тогда
i
функция, определённая с помощью предела (4), формально удовлетворяет
граничным условиям (3).
(k)
Пусть для функций из Wp (D) справедливы соотношения
Z
Z
Φ(t, y)dy = lim
lim
t→±T
l
0
t→±T
0
l
∂Φ(t, y)
dy = . . . = lim
t→±T
∂t
Z
0
l
∂ n−1 Φ(t, y)
dy = 0
∂tn−1
при k = n.
3. Сведение решения задачи к системе нелинейных интегральных уравнений.
Определение. Если функция u(t, x) ∈ Ep (D) удовлетворяет интегральному условию
Z t Z ln
h ∂n
∂ n+2m−1
n(n − 1)
∂ n+2m
u(s, y)
Φ
+
n
Φ
+
Φ+
∂sn
∂sn−1 ∂y 2m
2
∂sn−2 ∂y 2m+2
0
0
n(n − 1)(n − 2) ∂ n+2m+1
n(n − 1)(n − 2) ∂ 2nm−3
+
Φ + ... +
Φ+
n−3
2m+4
3!
∂s
∂y
3!
∂s3 ∂y 2nm−6
n(n − 1) ∂ 2nm−2
∂ 2nm−1
∂ 2nm i
+
Φ
+
n
Φ(s,
y)
+
−
2
∂s2 ∂y 2nm−4
∂s∂y 2nm−2
∂y 2nm
o
− f (s, y, u(s, y), u(−s, y))Φ(s, y) dyds =
Z l
h ∂ n−1
∂ n+2m−2
n(n − 1) ∂ n+2m−1
=
ϕ1 (y)
Φ
+
n
Φ
+
Φ+
∂tn−1
∂tn−2 ∂y 2m
2
∂tn−3 ∂y 2m+2
0
n(n − 1)(n − 2)
∂ n+2m
n(n − 1)(n − 2) ∂ 2nm−4
+
Φ
+
.
.
.
+
Φ+
3!
∂tn−4 ∂y 2m+4
3!
∂t2 ∂y 2nm−6
n(n − 1) ∂ 2nm−3
∂ 2nm−2 i
+
Φ
+
n
Φ
dy−
2
∂t∂y 2nm−4
∂y 2nm−2 t=0
Z l
h ∂ n−2
∂ n+2m−3
n(n − 1) ∂ n+2m−2
−
ϕ2 (y)
Φ
+
n
Φ
+
Φ+
∂tn−2
∂tn−3 ∂y 2m
2
∂tn−4 ∂y 2m+2
0
n(n − 1)(n − 2) ∂ 2nm−5
n(n − 1) ∂ 2nm−4 i
+ ... +
Φ
+
Φ
dy+
3!
∂t∂y 2nm−6
2
∂y 2nm−4 t=0
48
О разрешимости одной смешанной задачи для нелинейного дифференциального уравнения . . .
l
∂ n+2m−4
n(n − 1) ∂ n+2m−3
Φ
+
n
Φ
+
Φ+
∂tn−3
∂tn−4 ∂y 2m
2
∂tn−5 ∂y 2m+2
0
n(n − 1)(n − 2) ∂ 2nm−6 i
dy−
+ ... +
Φ
3!
∂y 2nm−6 t=0
2
Z l
∂
∂ 2m+1
n(n − 1) ∂ 2m+2
ϕn−2 (y)
− ... −
Φ+n
Φ+
Φ
dy+
∂t2
∂t∂y 2m
2
∂y 2m+2 t=0
0
Z l
Z l
∂
∂ 2m
+
ϕn−1 (y)
Φ + n 2m Φ
dy −
ϕn (y) Φ t=0 dy
∂t
∂y
0
0
t=0
Z
+
ϕ3 (y)
h ∂ n−3
(k)
для любого Φ(t, x) ∈ Wp (D), то она называется обобщённым решением смешанной задачи (1)–(3).
Приближённое решение смешанной задачи (1)–(3) ищется в виде
u(t, x) =
N
X
ai (t) · bi (x).
i=1
Покажем, что коэффициенты разложения ai (t) решения смешанной задачи (1)–(3) удовлетворяют следующей системе нелинейных интегральных
уравнений (СНИУ):
Z tZ
l
ai (t) = wi (t) +
0
f s, y, QN a(s), QN a(−s) ×
0
× bi (y)Pi (t, s)dyds,
t ∈ DT , (5)
где
wi (t) =
2m(n−1)
λ
λ6m
λ4m
i
t2 + i t3 + . . . + i
tn−1 ϕ1i +
2!
3!
(n − 1)!
2m(n−2)
λi
λ4m
λ6m
2m
2
3
i
i
+ t 1 + λi t +
t +
t + ... +
tn−2 ϕ2i +
2!
3!
(n − 2)!
2m(n−3)
2
6m
4m
λi
t
λi 2 λi 3
n−3
+
1 + λ2m
t
+
t
+
t
+
.
.
.
+
t
ϕ3i +
i
2!
2!
3!
(n − 3)!
i
tn−1
tn−2
2m
1 + λ2m
ϕni · e−λi t ,
+ ... +
i t ϕ(n−1)i +
(n − 2)!
(n − 1)!
h
1 + λ2m
i t+
2m (t−s)
Pi (t, s) = (n − 1)!(t − s)n−1 · e−λi
,
QN a(s) =
N
X
ai (s) · bi (y).
i=1
Согласно определению обобщённого решения смешанной задачи (1)–(3)
имеем
49
Т. К. Ю л д а ш е в
Z t Z l X
N
0
0
i=1
ai (s) · bi (y)
h ∂n
∂ n+2m
∂ n+2m−1
n(n − 1)
Φ
+
n
Φ
+
Φ+
∂sn
∂sn−1 ∂y 2m
2
∂sn−2 ∂y 2m+2
n(n − 1)(n − 2) ∂ 2nm−3
n(n − 1)(n − 2) ∂ n+2m+1
Φ
+
.
.
.
+
Φ+
3!
∂sn−3 ∂y 2m+4
3!
∂s3 ∂y 2nm−6
n(n − 1) ∂ 2nm−2
∂ 2nm−1
∂ 2nm i
+
Φ
+
n
Φ
+
Φ −
2
∂s2 ∂y 2nm−4
∂s∂y 2nm−2
∂y 2nm
N
N
X
X
− f s, y,
aj (s) · bj (y),
aj (−s) · bj (y) Φ(s, y) dyds =
+
j=1
j=1
l
h ∂ n−1
∂ n+2m−2
n(n − 1) ∂ n+2m−1
ϕ1 (y)
=
Φ
+
n
Φ
+
Φ+
∂tn−1
∂tn−2 ∂y 2m
2
∂tn−3 ∂y 2m+2
0
∂ n+2m
n(n − 1)(n − 2) ∂ 2nm−4
n(n − 1)(n − 2)
Φ
+
.
.
.
+
Φ+
+
3!
∂tn−4 ∂y 2m+4
3!
∂t2 ∂y 2nm−6
n(n − 1) ∂ 2nm−3
∂ 2nm−2 i
+
Φ
+
n
Φ
dy−
2
∂t∂y 2nm−4
∂y 2nm−2 t=0
Z l
h ∂ n−2
∂ n+2m−3
n(n − 1) ∂ n+2m−2
−
ϕ2 (y)
Φ
+
n
Φ
+
Φ+
∂tn−2
∂tn−3 ∂y 2m
2
∂tn−4 ∂y 2m+2
0
n(n − 1) ∂ 2nm−4 i
n(n − 1)(n − 2) ∂ 2nm−5
Φ
+
Φ
dy+
+ ... +
3!
∂t∂y 2nm−6
2
∂y 2nm−4 t=0
Z l
h ∂ n−3
∂ n+2m−4
n(n − 1) ∂ n+2m−3
+
ϕ3 (y)
Φ
+
n
Φ
+
Φ+
∂tn−3
∂tn−4 ∂y 2m
2
∂tn−5 ∂y 2m+2
0
n(n − 1)(n − 2) ∂ 2nm−6 i
+ ... +
Φ
dy − . . . −
3!
∂y 2nm−6 t=0
Z l
h ∂2
∂ 2m+1
n(n − 1) ∂ 2m+2 i
−
ϕn−2 (y)
Φ
+
n
Φ
+
Φ
dy+
∂t2
∂t∂y 2m
2
∂y 2m+2 t=0
0
Z l
Z l
h∂
∂ 2m i
+
ϕn−1 (y)
Φ + n 2m Φ
dy −
ϕn (y)[Φ]t=0 dy. (6)
∂t
∂y
t=0
0
0
Z
(k)
Пусть в (6) Φ = Φν (t, x) = h(t)bν (x) ∈ Wp (D), где 0 6= h(t) ∈ C n (DT ).
Тогда
Z t Z l X
N
0
0
h
(n−1)
ai (s) · bi (y) (−1)n h(n) (s)bν (y) + (−1)n−1 nλ2m
(s)bν (y)+
ν h
i=1
+ (−1)n−2
+
n(n − 1) 2m+2 (n−2)
λν
h
(s)bν (y) + . . . +
2
i
n(n − 1) 2nm−4 00
0
2nm
λν
h (s)bν (y) − nλ2nm−2
h
(s)b
(y)
+
λ
h(s)b
(y)
−
ν
ν
ν
ν
2
N
N
X
X
− f s, y,
aj (s) · bj (y),
aj (−s) · bj (y) h(s) dyds = 0.
j=1
50
j=1
О разрешимости одной смешанной задачи для нелинейного дифференциального уравнения . . .
Учитывая, что функции bi (x) полны и ортонормированны в Lp (Dl ), из
последнего равенства имеем
Z t
(n−1)
ai (s) · (−1)n h(n) (s) + (−1)n−1 nλ2m
(s)+
i h
0
+ (−1)n−2
+
n(n − 1) 2m+2 (n−2)
λi
h
(s) + . . . +
2
n(n − 1) 2nm−4 00
0
2nm
λi
h (s) − nλ2nm−2
h
(s)
+
λ
h(s)
−
i
i
2
Z l
N
N
−
f s, y, Q a(s), Q a(−s) h(s) · bi (y)dy ds = 0.
0
Отсюда, интегрируя по частям, получаем
Z
t
0
n(n − 1) 2m+2 (n−2)
(n)
(n−1)
λi
ai
(s) + . . . +
h(s) ai (s) + nλ2m
(s) +
i ai
2
n(n − 1) 2nm−4 00
λi
ai (s) + mλ2nm−2
a0i (s) + λ2nm
ai (s)−
+
i
i
2
Z l
−
f s, y, QN a(s), QN a(−s) · bi (y)dy ds = 0. (7)
0
Так как h(t) — любая функция, удовлетворяющая указанным выше условиям,
ai (t) имеет обобщённые производные порядка n по t в смысле Соболева на
отрезке DT . Поскольку h(t) 6= 0 для всех t ∈ DT , из (7) получаем
(n)
(n−1)
ai (t) + nλ2m
i ai
+
(t) +
n(n − 1) 2m+2 (n−2)
λi
ai
(t) + . . . +
2
n(n − 1) 2nm−4 00
λi
ai (t) + nλ2nm−2
a0i (t) + λ2nm
ai (t) =
i
i
2
Z l
=
f t, y, QN a(t), QN a(−t) · bi (y)dy. (8)
0
Решая систему (8) методом вариации произвольных постоянных, получаем
2m
ai (t) = C1i + C2i t + C3i t2 + C4i t3 + . . . + Cni tn−1 · e−λi t +
Z tZ l
+
f s, y, QN a(s), QN a(−s) bi (y)Pi (t, s)dyds,
0
t ∈ DT , (9)
0
где
2m (t−s)
Pi (t, s) = (n − 1)!(t − s)n−1 · e−λi
.
Для определения коэффициентов Cji (j = 1, n) используем условия
ai (0) = ϕ1i ,
a0i (0) = ϕ2i ,
a00i (0) = ϕ3i ,
...,
(n−1)
ai
(0) = ϕni .
51
Т. К. Ю л д а ш е в
При этом начальные данные ϕji подбираются из условия (2) так, что суммы
ϕN
j (x)
=
N
X
ϕji bi (x),
j = 1, n
i=1
аппроксимируют при N → ∞ функции ϕj (x) ∈ Lp (Dl ).
Тогда имеем
1 4m
λi ϕ1i + 2λ2m
i ϕ2i + ϕ3i ,
2!
1 6m
2m
C4i =
λi ϕ1i + 3λ4m
··· ,
i ϕ2i + 3λi ϕ3i + ϕ4i ,
3!
h
1
2m(n−1)
2m(n−2)
Cni =
λ
ϕ1i + (n − 1)λi
ϕ2i +
(n − 1)! i
(n − 1)(n − 2) 4m
(n − 1)(n − 2) 2m(n−3)
λi
ϕ3i + . . . +
λi ϕ(n−2)i +
+
2
2
i
C1i = ϕ1i ,
C2i = λ2m
i ϕ1i + ϕ2i ,
C3i =
+(n − 1)λ2m
i ϕ(n−1)i + ϕni .
Подставляя найденные значения Cji в (9), получаем СНИУ (5).
4. Однозначная разрешимость СНИУ.
Теорема
1. Пусть выполняются следующие
Z
условия:
t
f s, x, QN w(s), QN w(−s) 6 ∆ < ∞;
ds
Lp (Dl )
0
Z t
kh(s, x)kLp (Dl ) ds < ∞;
2) f (t, x, u, ϑ) ∈ Lip h(t, x)u,ϑ , где
1) 0
3) kw(t)kBpN (T ) < ∞.
Тогда СНИУ (5) имеет единственное решение в пространстве BpN (T ).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Используем метод последовательных приближений.
При этом итерационный процесс Пикара определим следующим образом:
a0i (t) = wi (t),
t ∈ DT ,
Z tZ l
ak+1
(t)
=
w
(t)
+
f s, y, Qak (s), Qak (−s) bi (y) · Pi (t, s)dyds,
i
i
0
0
k = 0, 1, 2, 3, . . . ,
(10)
t ∈ DT .
В силу условий теоремы для разности a1i (t) − a0i (t) из (10) получим
ka1 (t) − a0 (t)kBpN (T ) 6
Z t Z l
N
X
0
0
6
max
f s, x, Qa (s), Qa (−s) · |bi (y)| · P̄i (t, s) dyds 6
i=1
t
0
0
Z t Z l
0
0
f s, x, Qa (s), Qa (−s) dxds 6 M1 M2 l1/q ∆, (11)
6 M1 M2 max
t
0
52
0
О разрешимости одной смешанной задачи для нелинейного дифференциального уравнения . . .
где
M1 = kG(t, s)kB N (D2 ) ,
p
M2 = kb(x)kBqN (l) ,
T
1 1
+ = 1.
p q
Аналогично находим
1
a (−t) − a0 (−t) N
6 M1 M2 l1/q ∆.
B (T )
(12)
p
В силу второго условия теоремы для разности a2i (t) − a1i (t) из (10) имеем
2
a (t) − a1 (t) N
6 M1 M2 max
B (T )
t
p
Z tZ
l
|f1 − f0 | dyds.
0
0
Так как
f s, x, Qa1 (s), Qa1 (δ(s, Qa1 (−s))) − f s, x, Qa0 (s), Qa0 (δ(s, Qa0 (−s))) 6
N
X
1
aν (−s) − a0ν (−s) + a1ν (−s) − a0ν (−s) |bν (x)| ,
6 h(s, x)
ν=1
из последнего неравенства с учётом (11) и (12) получим следующую оценку:
2
a (t) − a1 (t) N
6
Bp (T )
Z t
2
3 1/q
∆ max kh(s, x)kLp (Dl ) ds,
6 M 1 M2 l
t
(t, x) ∈ D. (13)
0
Меняя в (13) t на −t, s на −s, получим
2
a (−t) − a1 (−t) N
6
Bp (T )
Z t Z l
2
6 M1 M2 max
h(−s, y) a1 (−s) − a0 (−s)B N (T ) +
p
t
0
0
+ a1 (s) − a0 (s)B N (T ) dyds 6
p
Z t
2
1/q
3
6 M1 l
M2 ∆ max kh(−s, x)kLp (Dl ) ds, (t, x) ∈ D. (14)
t
0
Пусть
h̄(s, x) ≡
1
[h(s, x) + h(−s, x)] .
2
Тогда из (13) и (14) получим
2
U (t) − U 1 (t) N
6
Bp (T )
Z t
2
1/q
3
6 M1 l
M2 ∆ max h̄(s, x)Lp (D ) ds,
t
0
l
(t, x) ∈ D,
53
Т. К. Ю л д а ш е в
где
k
U (t) − U k−1 (t) N
≡
Bp (T )
o
n
≡ max ak (t) − ak−1 (t)B N (T ) ; ak (−t) − ak−1 (−t)B N (T ) .
p
p
Продолжая этот процесс для произвольного натурального числа k, аналогичным образом находим
k+1
U
(t) − U k (t)B N (T ) 6
p
Z t
k
k+1
2k+1 ∆
1/q
max h̄(s, x)Lp (D ) ds . (15)
6 M1 l
M2
l
k! t
0
Так как
k+1
a (t) − ak (t) N
6 U k+1 (t) − U k (t)B N (T ) ,
B (T )
p
p
из оценки (15) следует, что при k → ∞ последовательность функций {ak (t)}∞
k=1
сходится равномерно по t к функции a(t) ∈ BpN (T ). Отсюда следует существование решения СНИУ (5).
Покажем единственность решения в пространстве BpN (T ). Пусть СНИУ
(5) имеет два решения: a(t) ∈ BpN (T ) и ϑ(t) ∈ BpN (T ). Тогда для их разности
получим
kU (t) − V (t)kBpN (T ) 6
6
M1 M22 l1/q
Z t
h̄
max
(s, x) Lp (D ) kU (s) − V (s)kBpN (T ) ds, (16)
l
t
0
где
kU (t) − V (t)k ≡ max ka(t) − ϑ(t)k; ka(−t) − ϑ(−t)k .
Применяя к (16) неравенство типа Гронуолла—Беллмана, получим
ka(t) − ϑ(t)kBpN (T ) = 0
для всех t ∈ DT . Отсюда следует единственность решения СНИУ (5) в пространстве BpN (T ). 5. Однозначная разрешимость смешанной задачи. Подставляя CНИУ (5)
в предел (4), получим формальное решение смешанной задачи (1)–(3):
u(t, x) = lim
N →∞
N X
wi (t)+
i=1
Z tZ
+
0
l
f s, y, Q a(s), Q a(−s) · bi (y)Pi (t, s)dyds bi (x). (17)
N
N
0
Теорема 2. Пусть выполняются условия теоремы 1. Если a(t) ∈ BpN (T )
является решением СНИУ (5), то предел (17) будет обобщённым решением
смешанной задачи (1)–(3).
54
О разрешимости одной смешанной задачи для нелинейного дифференциального уравнения . . .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как a(t) ∈ BpN (T ), из равенства
N
X
N
lim u (t, x) = lim
N →∞
N →∞
ai (t) · bi (x) = u(t, x)
i=1
в силу условий теоремы следует
lim f t, x, uN (t, x), uN (−t, x) = f (t, x, u(t, x), u(−t, x))
N →∞
(18)
в смысле метрики Lp (D). Построим последовательность операторов:
Z t Z ln
h ∂n
∂ n+2m−1
n(n − 1)
∂ n+2m
Φ
+
n
Φ
+
Φ+
VN (t) =
uN (s, y)
∂sn
∂sn−1 ∂y 2m
2
∂sn−2 ∂y 2m+2
0
0
n(n − 1) ∂ 2nm−2
∂ 2nm−1
∂ 2nm i
+ ... +
Φ
+
n
Φ
+
Φ −
2
∂s2 ∂y 2nm−4
∂s∂y 2nm−2
∂y 2nm
o
− f s, y, uN (s, y), uN (−s, y) Φ(s, y) dyds−
Z l
h ∂ n−1
∂ n+2m−2
n(n − 1) ∂ n+2m−1
−
ϕN
(y)
Φ
+
n
Φ
+
Φ+
1
∂tn−1
∂tn−2 ∂y 2m
2
∂tn−3 ∂y 2m+2
0
n(n − 1) ∂ 2nm−3
∂ 2nm−2 i
+ ... +
Φ
+
n
Φ
dy+
2
∂t∂y 2nm−4
∂y 2nm−2 t=0
Z l
h ∂ n−2
∂ n+2m−3
n(n − 1) ∂ n+2m−2
Φ
+
n
Φ
+
Φ+
+
ϕN
(y)
2
∂tn−2
∂tn−3 ∂y 2m
2
∂tn−4 ∂y 2m+2
0
n(n − 1)(n − 2) ∂ 2nm−5
n(n − 1) ∂ 2nm−4 i
+ ... +
Φ
+
Φ
dy−
3!
∂t∂y 2nm−6
2
∂y 2nm−4 t=0
Z l
h ∂ n−3
∂ n+2m−4
n(n − 1) ∂ n+2m−3
−
ϕN
(y)
Φ
+
n
Φ
+
Φ+
3
∂tn−3
∂tn−4 ∂y 2m
2
∂tn−5 ∂y 2m+2
0
n(n − 1)(n − 2) ∂ 2nm−6 i
+ ... +
Φ
dy + . . . +
3!
∂y 2nm−6 t=0
Z l
h ∂2
∂ 2m+1
n(n − 1) ∂ 2m+2 i
+
ϕN
Φ
+
n
Φ
+
Φ
dy−
n−2 (y)
∂t2
∂t∂y 2m
2
∂y 2m+2 t=0
0
Z l
Z l
∂
∂ 2m
N
−
ϕn−1 (y)
Φ + n 2m Φ
dy +
ϕN
n [Φ]t=0 dy. (19)
∂t
∂y
0
0
t=0
Интегрируя по частям отдельные слагаемые в (19) и учитывая условия
теоремы и начальные условия
ai (0) = ϕ1i ,
a0i (0) = ϕ2i ,
a00i (0) = ϕ3i ,
...,
(n−1)
ai
(0) = ϕni ,
получаем
Z l
ϕ1 (y) −
VN (t) =
0
N
X
i=1
ϕ1i bi (y)
∂ n+2m−2
Φ
+
n
Φ+
∂tn−1
∂tn−2 ∂y 2m
h n−1
∂
55
Т. К. Ю л д а ш е в
n(n − 1) ∂ n+2m−1
n(n − 1) ∂ 2nm−3
∂ 2nm−2 i
dy−
Φ
+
.
.
.
+
Φ
+
n
Φ
2
∂tn−3 ∂y 2m+2
2
∂t∂y 2nm−4
∂y 2nm−2 t=0
h n−2
Z l
N
X
∂ n+2m−3
n(n − 1) ∂ n+2m−2
∂
ϕ2 (y)−
Φ+n
Φ+
Φ+
−
ϕ2i bi (y)
∂tn−2
∂tn−3 ∂y 2m
2
∂tn−4 ∂y 2m+2
0
i=1
n(n − 1)(n − 2) ∂ 2nm−5
n(n − 1) ∂ 2nm−4 i
+ ... +
dy+
Φ
+
Φ
3!
∂t∂y 2nm−6
2
∂y 2nm−4 t=0
h n−3
Z l
N
X
∂ n+2m−4
n(n − 1) ∂ n+2m−3
∂
ϕ3 (y)−
+
ϕ3i bi (y)
Φ+n
Φ+
Φ+
∂tn−3
∂tn−4 ∂y 2m
2
∂tn−5 ∂y 2m+2
0
i=1
n(n − 1)(n − 2) ∂ 2nm−6 i
Φ
+ ... +
dy − . . . −
3!
∂y 2nm−6 t=0
h 2
Z l
N
X
∂ 2m+1
n(n − 1) ∂ 2m+2 i
∂
Φ+n
Φ+
Φ
dy+
ϕn−2 (y)−
ϕ(n−2)i bi (y)
−
∂t2
∂t∂y 2m
2
∂y 2m+2 t=0
0
i=1
h
Z l
k
X
∂ 2m i
∂
+
ϕn−1 (y) −
Φ + n 2m Φ
dy−
ϕ(n−1)i bi (y)
∂t
∂y
t=0
0
i=1
Z l
N
X
ϕn (y) −
ϕni bi (y) Φ(t, y) t=0 dy+
−
+
0
Z tZ
+
0
l
i=1
Φ(s, y) f (s, y, u(s, y), u(−s, y)) −
0
−
N Z
X
i=1
l
f s, z, u (s, z), u (−s, z) · bi (z)dz bi (y)dydt. (20)
N
N
0
Очевидно, что первые n интегралов в (20) стремятся к нулю при N → ∞,
так как ϕj (x) ∈ Lp (Dl ), j = 1, n. Сходимость последней разности в (20) при
N → ∞ следует из (18). Отсюда заключаем, что limN →∞ VN (t) = 0. Это и
доказывает теорему. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Д. Г. Гордезиани, Г. А. Авалишвили, “Решения нелокальных задач для одномерных колебаний среды” // Матем. моделирование, 2000. Т. 12, № 1. С. 94–103. [D. G. Gordeziani,
G. A. Avalishvili, “On the constructing of solutions of the nonlocal initial boundary value
problems for one-dimensional medium oscillation equations” // Matem. Mod., 2000. Vol. 12,
no. 1. Pp. 94–103].
2. В. Б. Дмитриев, “Нелокальная задача с интегральными условиями для волнового уравнения” // Вестн. СамГУ. Естественнонаучн. сер., 2006. № 2(42). С. 15–27.
[V. B. Dmitriev, “A nonlocal problem with integral conditions for the wave equation” //
Vestn. SamGU. Estestvennonauchn. Ser., 2006. no. 2(42). Pp. 15–27].
3. Л. С. Пулькина, “Смешанная задача с интегральным условием для гиперболического
уравнения” // Матем. заметки, 2003. Т. 74, № 3. С. 435–445; англ. пер.: L. S. Pul’kina,
“A mixed problem with integral condition for the hyperbolic equation” // Math. Notes, 2003.
Vol. 74, no. 3. Pp. 411–421.
4. Т. К. Юлдашев, “Смешанная задача для нелинейного дифференциального уравнения
четвертого порядка с малым параметром при параболическом операторе” // Ж. вычисл.
56
О разрешимости одной смешанной задачи для нелинейного дифференциального уравнения . . .
матем. и матем. физ., 2011. Т. 51, № 9. С. 1703–1711; англ. пер.: T. K. Yuldashev, “Mixed
value problem for nonlinear differential equation of fourth order with small parameter on the
parabolic operator” // Comput. Math. Math. Phys., 2011. Vol. 51, no. 9. Pp. 1596–1604.
5. Т. К. Юлдашев, “Смешанная задача для нелинейного интегродифференциального уравнения с параболическим оператором высокой степени” // Ж. вычисл. матем. и матем.
физ., 2012. Т. 52, № 1. С. 112–123; англ. пер.: T. K. Yuldashev, “Mixed value problem for
nonlinear integro-differential equation with parabolic operator of higher power” // Comput.
Math. Math. Phys., 2012. Vol. 52, no. 1. Pp. 105–116.
Поступила в редакцию 20/I/2012;
в окончательном варианте — 21/III/2012.
MSC: 35K25
ON SOLVABILITY OF A MIXED VALUE PROBLEM FOR
NONLINEAR PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATION OF HIGHER
ORDER
T. K. Yuldashev
M. F. Reshetnev Siberian State Aerospace University,
31, pr. “Krasnoyarski Rabochiy”, Krasnoyarsk, 660014, Russia.
E-mail: tursunbay@rambler.ru
The questions of one valued generalized solvability of mixed value problem for nonlinear
partial differential equation with the parabolic operator of arbitrary natural power are
studied. The separation of variables is used.
Keywords: nonlinear equation, parabolic operator of the higher power, generalized solvability.
Original article submitted 20/I/2012;
revision submitted 21/III/2012.
Tursun K. Yuldashev (Ph. D. Phys. & Math.), Associate Professor, Dept. of Higher Mathematics.
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа