close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О разрешимости одной смешанной задачи и задачи Коши для уравнения параболического типа.

код для вставкиСкачать
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН
2011, том 54, №6
МАТЕМАТИКА
УДК 517.944;946
Н.М.Исматов
О РАЗРЕШИМОСТИ ОДНОЙ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ И ЗАДАЧИ КОШИ
ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
Институт предпринимательства и сервиса
Министерства энергетики и промышленности Республики Таджикистан
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан Н.Р.Раджабовым 05.02.2011г.)
Для одного двухмерного (не считая времени) уравнения параболического типа с постоянными
коэффициентами доказывается разрешимость классического решения смешанной задачи и задачи
Коши. Доказывается также экспоненциальное убывание решения при больших временах.
Ключевые слова: смешанная задача – задача Коши – разрешимость – уравнения параболического
типа.
В прямоугольном параллелепипеде QT  [0; D1 a1 ]  [0; D2 a2 ]  0, T  рассмотрим следующую первую смешанную задачу:
2
 N 2 N
2 N
 t   vi x  F (t ) N   Di x 2 , ( x1 , х2 , t )  QT
i 1
i 1
i
i


 N ( x, t ) t 0  N 0 ( x), x  ( x1 , x2 )    0; D1 a1   0; D2 a2  ,

 N   0,  x, t     S   0, T 


где N
Г
(1)
 0 имеет следующий вид:

 N (0, x2 , t )  N ( D1 a1 , x2 , t )  0,


 N ( x1 ,0, t )  N ( x1 , D2 a2 , t )  0,
 x2 , t  [0;
 x1, t  [0;
D2 a2 ]  0, T 
D1 a1 ]  0, T 
,
F (t ) – произвольная непрерывная функция на отрезке [0,T], v1,v2,a1,a2 – любые неотрицательные
числа, D1 , D2 – положительные числа, N o ( x ) – пока непрерывная на прямоугольнике  функция.
Введем новую неизвестную функцию v(x1,x2,t) по формуле
1x1  2 x2
N(x,t)   (x,t)e 2 D1

2 D2
 ( t )
t

, где (t )  F ( )d .
(2)
0
Тогда для функции  (x, t) получим задачу
Адрес для корреспонденции: Исматов Набиджон. 734055, Республика Таджикистан, г. Душанбе, пр. Борбада,
48/5,Институт предпринимательства и сервиса. Е-mail: Ismatov_n_m@ mail.ru
436
Математика
Н.М.Исматов
2  2
2

 2
i





D
, ( x, t )  QT


i
 t
i 1 4 D
i 1
xi 2
i


,
 ( x, 0)   ( x), x  
  0,
 

(3)
 1 2 i 
xi  .
i 1 D
2
i


где  ( x)  N 0 ( x) exp   
Задачу (3) будем решать методом Фурье. А именно, ее решение ищем в виде
V ( x, t )  X ( x1, x2 )  T (t ) .
После разделения переменных получим следующие уравнение и краевую задачу:
T (t )  T ( x)  0
2
2
vi2
 2
)v  0
 Di 2  (  
.
i 1 4 Di
i 1 xi

X s 0

(4)
В свою очередь, решение задачи (4) ищем в виде
X ( x1 , x2 )  X 1 ( x1, )  X 2 ( x2 ) .
Тогда вместо задачи (4) получим D1 X 2 X 1  D2 X 1 X 2  (   ) X 1  X 2  0, где  
v12
v2
 2 .
4 D1 4 D2
С другой стороны, так как
D1
X 1
X 
 (   )  D2 2  1 , где 2      1 ,
X1
X2
то для решения X 1 ( x1, ) и X 2 ( x2 ) получим следующие краевые задачи:


 D1 X1 ( x1 )  1 X1 ( x1 )  0, x1  (0,; D1 a1 ,


 X1 (0)  X1 ( D1 a1 )  0
и


 D2 X 2 ( x2 )  2 X 2 ( x2 )  0, x2  (0,; D2 a2 ), 2      1
.

X
(0)

X
(
D
a
)

0

2
2
2
2

Очевидно, что нетривиальные решения и собственные числа этих задач соответственно имеют вид:
437
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2011, том 54, №6
n x1
m x2
, X 2 ( x2 )  sin
D1 a1
D2 a2
X1 ( x1 )  sin
и
2
2
 n 
 m 
1n  
 и 2 m  
 , n, m  1, 2,
 Da 
 Da 
1 1 
2 2 


Но тогда собственные значения и ортонормированная система собственных функций задачи (4) имеют вид
2
n,m
2
 n   m 

 
 
 Da   D a 
1
1
2
2

 

2
X n ,m ( x1 , x2 ) 
sin
a1a2 D1 D2
n
m
x1  sin
x2 
D1 a1
D2 a2
Следовательно, формальное решение смешанной задачи (3) имеет вид
 ( x, t ) 

C
n , m 1
n,m
e
 n ,mt
n x1
m x2
,
 sin
D1 a1
D2 a2
sin
(5)
где Сn,m – произвольные постоянные. Их определим из начальных условий задачи (3):
Сn,m 
a1 D1 a2 D2
2
a1a2 D1D2
 
0
 (1 , 2 )sin
0
n1
m2
 sin
d1d2 .
D1 a1
D2 a2
Имеет место
Лемма. Для любого натурального n, m  1 собственные значения задачи(4) удовлетворяют
неравенствам
2
2
     

 
    n,m   .
 Da   D a 
1 1 
2 2 


Имеет место
Теорема 1. (Обоснование метода Фурье)
Пусть в задаче (1) F(t) – произвольная непрерывная функция на отрезке 0, T ,
T   , а на-
чальная функция N 0 ( x ) принадлежит классу С 2 (QT )  C(QT ) и удовлетворяет граничным условиям
задачи (1). Тогда функция N(x,t), определяемая формулой (2), в которой функция v(x,t) задается суммой двукратного ряда Фурье (5), дает классическое решение задачи (1) из класса C(QT )  С 2 (QT ) .
Теорема 2. Смешанная задача (1) имеет не более одного классического решения.
438
Математика
Н.М.Исматов
На доказательствах теорем 1 и 2 не останавливаемся.
Замечание 1. Если норму собственной функции X n,i (i=1,2) определить по формуле
X in 
ai Di ai Di
2n
,

sin
2
4n
D1
то в задаче (1) вместо прямоугольника [0; D1 a1 ]  [0; D2 a2 ] можно было бы рассматривать произвольный
прямоугольник
  0; l1   0; l2  . Поэтому рассмотренный нами прямоугольник
[0; D1 a1 ] [0; D2 a2 ] не ограничивает общность задачи.
Теорема 3. Решение смешанной задачи (1) N(x,t) при фиксированном t по направлениям отрицательных полуосей (x1<0, x2<0) при
х1 , х2  
стремится к нулю экспоненциально, а по направ-
лениям положительных полуосей растет экспоненциально. Кроме того, решение задачи (1) при t0
экспоненциально стремится к нулю, если( Ф(t )  А, t  0.
Теорема 4. При выполнении условий теоремы 1 классическое решение смешанной задачи (3)
экспоненциально стремится к нулю при t   .
Доказательство теоремы 4. При выполнении условий теоремы 1 имеем: V ( x, t )  Ce
где C 

C
n , m 1
n,m
sin
 1,1t
,
n x1
m x2
,
sin
D1 a1
D2 a2
2
2
       v1
1,1  
 
 
 Da   D a  2 D
1
1
2
2
1

 
 
2
  v2
 
 2 D
2
 
2

 .


Отсюда и следует утверждения теоремы 4.
2. Задача Коши. Пусть требуется найти решение следующей задачи Коши:
2
2

vi 2
 2v
v   Di 2 , x  R2  R  R, t  0
vt ( x, t )  
4
D
xi

i 1
i 1
i
.
 v( x , x , 0)   ( x , x ), ( x , x )  R  R, R  ( , )

1
2
1
2
1
2
(6)
Сначала построим фундаментальное решение этой задачи, то есть найдем решение уравнения
2
 2 vk 2
 2
L ( x, t ) 

   Dk
  ( x, t ) ,
t k 1 4Dk
xk 2
k 1
где
 ( x, t )
– дельта функция Дирака.
Применив к обеим частям уравнения (6) преобразование Фурье по х, получим
439
Доклады Академии наук Республики Таджикистан

1
 2 
где  
2011, том 54, №6
2
2
 v
 2v  i ( x, y )
Dk
dx1dx2  1( y ) (t ),
e
  t   v  
xk 2 
k 1
vk 2
.

k 1 4 Dk
2
Так как

 v( y, t )
v ixy

ixy
 t e dx  t   ve dx   t

1
 2 
2

1
v ( x, t )e
 2  
ixy
2
dx  v ( y, t )
(*)


1
 2 
2
2
  Dk
 k 1
 2 v ix , y
1
e dx 
2
2
xk
 2 
2
2
k 1
k 1

  2v
 2v  i ( x, y )
D

D
  1 x12 2 x22  e dx 
 
  Dk (iyk )2 F (v)    Dk yk 2v ( y, t ),
то получим следующую задачу Коши:
2
 dv
2

   v   Dk yk v  0,
 dt
k 1
v ( y, 0)   ( y )

или
2
2
(   Dk yk 2 ) t
dv~
2 ~
 (   Dk y k )v  v~( y, t )  e k 1
С ( y)
dt
k 1
В силу обратного преобразования Фурье, получим
1
v( x, t ) 
2

 v( y, t )e
 ix , y

1
dy 
2

2
 C ( y )e
 (   Dk yk 2 ) t
k 1
e ix , y dy .

Из (*) при t=0, получим:
1
v ( y,0) 
2

 v( x,0)e

ix , y
1
dx 
2

  ( x )e
ix , y
dx  F ( y)   ( y)  c( y) ,

то есть с(y) есть преобразование Фурье начальной функции (y).
2
Поэтому получим
v ( y, t )   ( y )e
 (   Di yi 2 ) t
k 1
.
440
Математика
Н.М.Исматов
Таким образом, имеем:
v( x, t )   2 
1
 v( z, t )e
i ( z , y )
E2
  2  e
2
1
dz 
2
2
e
 (   Dk yk 2 ) t i ( x , y )
 ( y )dy 
k 1
E2
(7)
2
  ( z )dz  e
 t
E2
 (  Dk yk 2 ) t i ( x  z , y )
k 1
dy
E2
Вычислим внутренний интеграл. Имеем:
2
e
 (  Dk yk 2 ) t i ( xk  zk , yk )
k 1
2

dy1dy2    e  (1 Dk yk
2
) t  i ( xk  zk , yk )
dyk .
k 1 
E2
Введя обозначение xk  yk   k , используя теорию вычетов, с применением теоремы Коши ,
получим:

I
e
 Dy 2t i ( x  z , y )

dy 



e

2
4 tD0
e
D( y
i 2
)
2 tD



4tD 

I1 
так как
e
e
 tD 2
dy  


4tD 
2 
4 tD

2
e
 tDy 2
e
 tD ( y 
dy  e
i 2
)
2 Dt

i

dy 

2 Dt
dy  d
y
2
4 tD
I1

 tDy 2

d  e
2


2
 Dy t i  y
dy 
e
2
y tD  s
1
dy 
ds 
dy 
tD
tD

1

 
,
tD
tD
t22
s
 e ds 

то получим
I e

2
tDk

tDk
.
Следовательно, формула (7) принимает такой вид:
2
v( x, t )   e
k 1
t 
 k 22
4 tDk

1
tDk (2 )2


1
  ( y)dy  (2 )   ( x   , t ) ( )dz,
2


где
441
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
tDk
k 1
2
xk  yk

2
 ( x  y, t )  
2011, том 54, №6
e  t e
xk  yk
2
2
    t 2 e
 

 e 
Dk
k 1
 t 
2 tDk
2 tDk
x y
1  x1  y1
 2 2
4 t  D1
D2

2
x y
1  x y
  1 1  2 2
4 t  D1
D2

2
e  t

2 t
D1 D2

2
e
– фундаментальное решение оператора L 
2







e t
t
e
2




D1 D2
 2 vk 2 2
2

 Dk
.
t k 1 4Dk i 1 xk 2
Таким образом, для решения задачи Коши получим следующее выражение:
1   x1  y1   x2  y2 

4t 
D1
D2

2
2
V  x, t  
1
 2 
2
   x  y, t   y  dy 
R
2
1
 2 
2
   t e
2  t  e

R 

D1 D2
2




  y  dy ,
(8)
где функция
1   x1  y1   x2  y2 

4t 
D1
D2

2

e
  x  y , t   e t
2
 tD1 D2

2




2
называется фундаментальным решением задачи Коши (6). В связи с этим формулу (8) назовем интегралом типа Пуассона.
Имеет место
Теорема 2.1. Пусть функция (x), х=(х1 ,х2) непрерывна и ограничена для всех хR2 и t0. Тогда задача Коши (6) имеет единственное ограниченное решение (т.е. v(x,t)  M, xR2, t0 ). При
этом при t>0 интеграл типа Пуассона (8) можно по параметрам x и t сколько угодно раз дифференцировать под знаком несобственного интеграла (8). В частности, формула (8) является классическим решением задачи Коши, то есть удовлетворяет уравнению и начальному условию задачи (8) в
обычном смысле, то есть в виде lim v( x, t )   ( x) .
t 0
По аналогии с [1] для уравнения теплопроводности введем класс М.
Пусть М – класс функций, обращающихся в нуль при t  0 и ограниченных в каждой полосе
0  t  T . Тогда имеет место
Теорема 2.2. Если f  x, z   M , то тепловой потенциал
t
Z  x, t   
f  y, z 
 2  t  z D D
0 R2
1
2

2
e

1   x1  y1 2  x2  y2 2

4 t i 
D1
D2
в классе М существует. Потенциал Z удовлетворяет оценку
442




dydt
Математика
Н.М.Исматов
Z  x, t   t sup f  y, i  , t  0
0 t
и начальному условию lim Z x, t   0, x  R2
t 0 
Если f  C 2 t  0  и все ее производные до второго порядка включительно ограничены в каждой полосе, то Z  C 2 t  0  C1 t  0
Отметим, что часть вышеприведенных результатов в краткой форме была опубликована в [2].
В заключение выражаю благодарность М.Исмати за постановку задачи.
Поступило 05.02.2011 г.
Л И Т Е РАТ У РА
1. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. – М.:Наука, 1967, 436 с.
2. Исматов Н.М. – Паѐм (Вестник), ИПС, 2008, №18, с.119-122.
Н.М.Исматов
ОИД БА ЊАЛШАВАНДАГИИ ЯК МАСЪАЛАИ ОМЕХТА ВА МАСЪАЛАИ
КОШИ БАРОИ МУОДИЛАИ НАВЪИ ПАРАБОЛИКЇ
Донишкадаи соњибкорї ва хизмат Вазорати энергетика ва саноати Љумњурии Тољикистон
Дар маќола барои як муодилаи дученаи (бе ба назаргирии ваќт) навъи параболикї бо
коэффитсиентњои доимї дар њамворї њалшавандагии њалли классикии масъалаи омехта ва
масъалаи Коши исбот карда шудааст. Ба ѓайр аз ин, ба таври экспоненсиалї камшавии њал
њангоми ваќтњои калон низ нишон дода мешавад.
Калимањои калидї: масъалањои омехта ва Коши – њалшавандагї - муодилаи навъи параболикї.
N.M.Ismatov
ON THE SOLVABАLITY ONE MIXED OF PROBLEM AND PROBLEM COUSHI
FOR THE EQUATIONS TYPE OF PARABOLICE
Institute of Entrepreneurship and Service, Ministry of Energy and Industry Republic Tajikistan
In the present of paper for one two- dimensional parabolic equation of type with constants coefficients in the plant mixed of problem and Coushi problem prove of solvability. In addition exponentially diminution classical of solution at of larger time proved.
Key words: mixed of problem and Coushi problem – solvability – parabolic equation of type.
443
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
536 Кб
Теги
типа, уравнения, кошик, разрешимости, смешанной, одной, задачи, параболические
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа