close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О существовании и единственности решений задачи Дирихле для псевдодифференциальных эллиптических уравнений в областях с некомпактными границами.

код для вставкиСкачать
Уфимский математический журнал. Том 1. № 1 (2009). С. 38-68.
УДК 517.956.223
О СУЩЕСТВОВАНИИ И ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЙ
ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В ОБЛАСТЯХ С
НЕКОМПАКТНЫМИ ГРАНИЦАМИ
Л.М. КОЖЕВНИКОВА
Аннотация. Выделен класс единственности решений задачи Дирихле для псевдодифференциальных эллиптических уравнений в областях с некомпактными границами.
Ограничение на рост решения формулируется в терминах геометрической характеристики неограниченной области Ω, введенной ранее в работах автора для квазиэллиптических уравнений. Доказано существование решения, принадлежащего установленному классу единственности.
Ключевые слова: псевдодифференциальные эллиптические уравнения, задача Дирихле, класс единственности, неограниченная область, область с некомпактной границей,
существование решения, геометрическая характеристика.
1.
Введение
В настоящей работе исследуются вопросы корректности постановки задачи Дирихле для
некоторого класса псевдодифференциальных эллиптических уравнений в неограниченной
области Ω пространства Rn+1 = {y = (x, y) = (y0 , y) | x ∈ R, y = (y1 , . . . , yn ) ∈ Rn }, n ≥ 1.
Доказательству теорем типа Фрагмена-Линделефа, принципа Сен-Венана или выделению классов единственности решений для эллиптических уравнений посвящены работы
Е.М. Ландиса [1], О.А. Олейник, Г.А. Иосифьян [2] – [4], А.Ф. Тедеева, А.Е. Шишкова
[5] – [8]. Перечисленные утверждения, несмотря на внешние различия, характеризуют
близкие качественные свойства решений эллиптических уравнений. Подробный обзор работ по рассматриваемой тематике приведен в [9]. Здесь процитируем лишь результаты,
сравнимые с результатами настоящей работы.
В работах О.А. Олейник, Г.А. Иосифьян [2] – [4] получена априорная оценка обобщенного решения смешанной задачи для линейного эллиптического уравнения второго порядка,
аналогичная оценкам, выражающим принцип Сен-Венана в теории упругости. При этом
рассматриваются области с конечным числом ветвей, достаточно произвольным образом
уходящими в бесконечность. Граница области поделена на три части, на которых соответственно ставятся краевые условия первого, второго и третьего типа. Приведем характерное
следствие из теорем 1, 2 работы [3] для решения задачи Дирихле
L2 u ≡ −
n
X
(aij (y)uyi )yj = Φ(y),
(1. 1)
i,j=0
Kojevnikova L.M. On existence and uniqueness of solutions of the Dirichlet’s problem for
pseudodifferential elliptic equations in domains with non-compact boundaries.
c Кожевникова Л.М. 2009.
Работа поддержана РФФИ (грант 09-01-00440-а).
Поступила 27 февраля 2009 г.
38
О СУЩЕСТВОВАНИИ И ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ. . .
u
= 0.
39
(1. 2)
∂Ω
Для области Ω, лежащей в полупространстве R+
n+1 = {y ∈ Rn+1 | x > 0}, положим
n
P
A(u) =
aij (y)uyi uyj , Ωr = {y ∈ Ω | x < r}, γr = {y ∈ Ω | x = r},
i,j=0
0 < ν(r) = inf

Z

γr

Z

2
∞
A(g)dy g(y) ∈ C0 (Ω),
g dy = 1 ,

r > 0.
(1. 3)
γr
Доказано, что обобщенное решение задачи (1.1), (1.2) с Φ(y) = 0 в Ω подчиняется оценке
 R

Z p
Z
Z
A(u)dy 6 C exp −
ν(x)dx A(u)dy, r < R.
Ωr
r
ΩR
Отсюда вытекает следующая теорема единственности. Пусть u(y) – решение задачи (1.1),
(1.2) с нулевой правой частью. Если для некоторой последовательности RN → ∞
R

Z
Z Np
A(u)dy 6 ε(RN ) exp 
ν(x)dx ,
(1. 4)
Ω RN
1
где ε(RN ) → 0 при RN → ∞, то u ≡ 0 в Ω.
А.Е. Шишковым в работах [5] – [8] установлены энергетические априорные оценки решений задачи Дирихле для квазилинейных дивергентных эллиптических уравнений высокого порядка c нелинейностью порядка p − 1, p > 1 в неограниченных областях с
некомпактными границами. На их основе доказываются альтернативные теоремы типа
Фрагмена-Линделефа о поведении решений на бесконечности. В качестве геометрической
характеристики неограниченной области Ω ⊂ Rn+1 используется функция нелинейной частоты сечений γ(r) = {y ∈ Ω | |y| = r}:




Z
Z

p
∞
p
(1. 5)
νp (r) = inf
|∇γ g| ds g(y) ∈ C0 (Ω),
|g| ds , r > 0,




γ(r)
γ(r)
где ∇γ g — проекция ∇g на плоскость, касательную к γ(r). Очевидно, функция νp (r) при
p = 2 является обобщением функции ν(r).
Кроме того, в работе [10] А.Е. Шишковым для квазилинейных дивергентных эллиптических уравнений высокого порядка доказано существование решения задачи Дирихле
в областях с некомпактными границами, относящимися к классу "узких" в окрестности
бесконечности, при экспоненциальном росте правой части.
C нашей точки зрения, геометрические характеристики неограниченной области Ω, рассматриваемые на сечениях этой области некоторым семейством гиперповерхностей, такие,
как ν(r), νp (r), недостаточно эффективны для областей с нерегулярным поведением границы.
Прежде чем перейти к изложению наших результатов, введем некоторые обозначения.
Положим: k · kQ — норма в пространстве L2 (Q), аргумент Q = Ω может быть опущен;
Ωrr21 = {y ∈ Ω | r1 < x < r2 }, причем значения r1 = −∞, r2 = ∞ могут отсутствовать.
Определим область вращения
Ω(f ) = {(x, y) ∈ Rn+1 x > 0, | y |< f (x)}
(1. 6)
с положительной функцией f (x). От функции f будем требовать только то, чтобы множество Ω(f ) было областью.
40
Л.М. КОЖЕВНИКОВА
Пусть, например,
Ω(fa ), fa (x) = max(1, xa );
Ω(fea ), fea (x) = ∞, x 6= i, fea (i) = ia , i ∈ N;
Ω(fba ), fba (x) = fa (x), x 6= i, fba (i) = ib , i ∈ N,
0 < b < a < 1.
Очевидно, что ν(r, Ω(fa )) = ν(r, Ω(fba )) при всех r > 0, за исключением натуральных точек,
поэтому классы единственности (1.4) для областей Ω(fa ) и Ω(fba ) совпадают. Однако, в
работе [9] для области Ω(fba ) нами установлен существенно более широкий и точный класс
единственности, такой же, как для области Ω(fb ), fb (x) = max(1, xb ):
lim exp(−κb r1−b )kukΩr+1
(fba ) = 0.
r
r→∞
Далее, поскольку ν(r, Ω(fea )) = 0, r 6= i, i ∈ N, то класс единственности (1.4) для области
Ω(fea ) не пригоден. Для области Ω(fea ) также получен точный класс единственности, такой
же, как и для области Ω(fa ):
lim exp(−κa r1−a )kukΩr+1
(fea ) = 0.
r
r→∞
Будем предполагать, что неограниченная область Ω ⊂ Rn+1 представлена в виде
∞
S
объединения Ω =
Ω(N ) последовательности вложенных Ω(N ) ⊂ Ω(N +1) ограниченN =0
ных областей, удовлетворяющих следующим дополнительным требованиям. Дополнения
(N )
(N )
Ω(N −1) = Ω(N ) \ Ω(N −1) распадаются на конечное число подобластей ωi , i = 1, p(N ) :
(N )
Ω(N −1)
=
(N )
pS
(N )
ωi
, N = 1, ∞. Пересечение (∂Ω(N ) )
T
Ω распадается на конечное число
i=1
(N )
гиперповерхностей Si , i = 1, p(N ) , N = 0, ∞.
Для множества Q ⊂ Ω введем обозначение
)
(
λ(Q) = inf k∇gk2Q g(y) ∈ C0∞ (Ω), kgkQ = 1 .
(N )
(N )
(N )
(1. 7)
(N )
(t1 , ..., tp(N ) ) и λ(N ) = (λ1 , ..., λp(N ) ) формулами
(N )
(N )
(N −1)
(N )
(N )
, i = 1, p(N ) , N = 1, ∞.
), λi = λ ωi
ti = dist(Si , Si
Будем предполагать, что существует число θ > 0 такое, что выполняются неравенства:
Определим векторы t(N )
=
(N )
(N )
1 6 θλi (ti )2 ,
Описанное выше представление Ω =
i = 1, p(N ) ,
∞
S
N = 1, ∞.
(1. 8)
Ω(N ) при выполнении неравенств (1.8) назо-
N =0
вем λ-разбиением области Ω. Понятие λ-разбиения можно считать обобщением понятия
λ-последовательности, введенного в [11] для области, расположенной вдоль выделенной
оси Ox. А именно, предполагается, что неограниченная область Ω лежит в полупростран(N )
стве R+
= ΩxN определяются
n+1 и сечение γr не пусто при любом r > 0. Множества Ω
неограниченной возрастающей последовательностью положительных чисел {xN }∞
N =0 . При
∞
этом последовательность {xN }N =0 называется λ-последовательностью, а условие (1.8) для
∞
S
разбиения Ω =
ΩxN принимает вид
N =0
1 6 θλ(xN , xN +1 )∆2N ,
x
где λ(xN , xN +1 ) = λ(ΩxNN +1 ), ∆N = xN +1 − xN .
N = 0, ∞,
(1. 9)
О СУЩЕСТВОВАНИИ И ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ. . .
41
Суть оценок сен-венановского типа состоит в отслеживании убывания "энергии среды"
при движении вдоль линии, составляющей "ось среды". Нами предложен способ построения точек на этой линии (лямбда-последовательности) таких, что при переходе к следующей точке происходит спад "энергии среды" в фиксированное число раз. Доказательство
точных сен-венановских оценок состоит в установлении верхней и нижней границы для
этого числа.
Построение лямбда-последовательности основано на оценке первого собственного значения оператора, соответствующего уравнению, в области, заключенной между трансверсальными к "оси среды" поверхностями, проходящими через соседние точки последовательности.
До некоторого времени понятие λ-последовательности считалось новым изобретением,
пока не была обнаружена работа О.А. Олейник, Г.А. Иосифьян [12], в которой по существу
использовался прототип этой последовательности для системы уравнений теории упругости. Приведем результаты этой работы для одного уравнения (1.1) с непрерывными в Ω
симметричными коэффициентами, удовлетворяющими условию равномерной эллиптичности.
В работе [12] определяется неограниченно возрастающая последовательность положительных чисел {RN }∞
N =0 такая, что
1 6 Θ(RN +1 − RN )2 χ(RN , RN +1 ),
N = 0, ∞,
где
)
λ(Q) Ω(r2 ) \ Ω(r1 ) ⊂ Q ⊂ Ω(r2 ) ,
(
χ(r1 , r2 ) = inf
r1 < r2 ,
Ω(r) = {y ∈ Ω | |y| < r}, число Θ зависит лишь от n и констант равномерной эллиптичности.
О.А. Олейник, Г.А. Иосифьян доказали следующую теорему единственности. Если обобщенное решение u(y) задачи (1.1), (1.2) в Ω удовлетворяет условиям
k∇ukΩ(RN ) 6 ε(RN ) exp N,
N ∈ N,
(1. 10)
где ε(RN ) → 0 при N → ∞, то u = 0 в Ω.
Отметим, что в работе [12] не выделен класс областей, для которых существует последовательность {RN }∞
N =0 и не установлена точность класса единственности (1.10).
Приведем необходимое и достаточное условие существования λ-последовательности:
при любом r1 > 0 найдется r2 > r1 такое, что λ(r1 , r2 ) > 0,
(1. 11)
(см. [11], § 3, следствие 1 к утверждению 2). При этом λ-последовательность можно построить, начиная с любого x0 > 0. Таким образом, λ-последовательность существует для
очень широкого класса неограниченных областей.
Ради некоторого упрощения формулировок результатов потребуем выполнение условия
λ(0) = λ Ω(0) > 0.
(1. 12)
Определим невозрастающую последовательность
(1)
(1)
(N )
(N )
λ(N ) = min{λ(0) , λ1 , ..., λp(1) , λ1 , ..., λp(N ) },
N = 1, ∞.
(1. 13)
Если выполнено условие (1.12), то λ(N ) > 0, N ∈ N. Тогда, очевидно, справедливо неравенство
(1. 14)
λ(N )kgk2Ω(N ) 6 k∇gk2Ω(N ) , g(y) ∈ C0∞ (Ω), N ∈ N.
Назовем λ-последовательность {xν }∞
ν=0 с числом θ > 0 оптимальной, если существует положительная постоянная C(θ) такая, что для любой другой λ-последовательности {xJ }∞
J=0
42
Л.М. КОЖЕВНИКОВА
с числом θ > 0 справедлива импликация
(xL 6 xN ) ⇒ (L 6 CN ).
(1. 15)
Установлено, что оптимальной является λ-последовательность с минимально возможными, без нарушения условия (1.9), интервалами (xν , xν+1 ) (см. [11], утверждение 3).
Для областей вращения вида (1.6) приведем способ построения λ-последовательности.
Неограниченную возрастающую последовательность положительных чисел {xN }∞
N =0 определим индуктивно
(1. 16)
xN +1 = sup r inf f (x) ≥ (r − xN ) , N = 0, ∞,
x∈[xN ,r]
начиная с x0 = 1. Эту последовательность назовем Π-последовательностью функции
f . Установлено, что Π-последовательность является λ-последовательностью для области
Ω(f ) (см. [9], следствие 3.1).
Если существует постоянная ω ≥ 1 такая, что
sup f (z) z ∈ [x − f (x), x + f (x)] 6 ωf (x), x ≥ 1,
(1. 17)
то Π-последовательность {xN }∞
N =0 является оптимальной λ-последовательностью для
Ω(f ), и существуют постоянные c, ω ≥ 1 такие, что справедливы оценки
c
−1
ZxN
dx
≤N ≤c
f (x)
1
ω −1 6
ZxN
dx
,
f (x)
N ≥ 1,
(1. 18)
N = 0, ∞,
(1. 19)
1
xN +2 − xN +1
6 ω,
xN +1 − xN
(см. [9], следствие 3.3).
Приведем результаты, установленные для решения задачи Дирихле в случае уравнения
−L2 u ≡
n
X
(aij (y)uyi )yj =
n
X
(Φi (y))yi − Φ(y),
(1. 20)
i=0
i,j=0
c граничным условием
u
∂Ω
= Ψ .
(1. 21)
∂Ω
Действительные коэффициенты уравнения (1.20) считаем измеримыми в Ω и ограниченными для п.в. y ∈ Ω функциями
| aij (y) |6 a,
i, j = 0, n,
(1. 22)
для любых z ∈ Rn+1 и п.в. y ∈ Ω удовлетворяющими условию
n
X
aij (y)zi zj ≥ b
a|z|2 .
(1. 23)
i,j=0
Рассмотрим вопросы существования и единственности решения задачи с локально суммируемыми данными Φ(y), Φ(y) = (Φ0 (y), Φ1 (y), . . . , Φn (y)), Ψ(y). В § 3 выделен класс
единственности решений задачи (1.20), (1.21), для областей с нерегулярным поведением
границы этот класс может быть шире класса единственности (1.4). В случае уравнения
Лапласа установлена точность найденного класса единственности.
Через Ξ2 = {n, θ, b
a, a} обозначим набор постоянных, зависимость других постоянных
от этого набора будем указывать в круглых скобках.
О СУЩЕСТВОВАНИИ И ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ. . .
43
Теорема 1. Пусть {εN }∞
N =0 — произвольная последовательность положительных чи∞
S
сел. Пусть для области Ω существует λ-разбиение Ω =
Ω(N ) , удовлетворяющее услоN =0
вию (1.12). Тогда найдется положительная постоянная κ2 (Ξ2 ) такая, что, если для решения u(y) задачи (1.20), (1.21) с Φ(y) = 0, Φ(y) = Ψ(y) = 0 выполнено одно из условий
lim exp(−κ2 N )ε−1
N kukΩ(N )+εN = 0,
(1. 24)
lim exp(−κ2 N )k∇ukΩ(N +1) = 0,
(1. 25)
N →∞
(N )
N →∞
(N )+εN
то u = 0 в Ω. Здесь Ω(N )
(N )
= {y ∈ Ω \ Ω(N ) | dist(y, S (N ) ) < εN }.
Точность установленных классов единственности доказана нами для областей вращения, поэтому приведем следствие теоремы 1 для областей, расположенных вдоль оси Ox.
Теорема 10 . Пусть {εN }∞
N =0 — произвольная последовательность положительных чисел. Пусть для области Ω существует λ-последовательность {xN }∞
N =0 , подчиняющаяся
требованию (1.12). Тогда найдется положительная постоянная κ2 (Ξ2 ) такая, что, если
для решения u(y) задачи (1.20), (1.21) с Φ(y) = 0, Φ(y) = Ψ(y) = 0 выполнено одно из
условий
lim exp(−κ2 N )ε−1
(1.240 )
N +εN = 0,
N kukΩx
x
N →∞
N
lim exp(−κ2 N )k∇ukΩxxN +1 = 0,
N →∞
(1.250 )
N
то u = 0 в Ω.
Отметим, что класс единственности (1.250 ) близок к классу (1.10). При εN = xN +1 − xN
для достаточно больших N , очевидно, ограничение (1.240 ) слабее, чем (1.250 ).
∞
S
Конечно, классы единственности (1.24), (1.25) зависят от представления Ω =
Ω(N ) .
N =0
Поскольку мы не следим за точным значением κ2 , можно считать, что оптимальная λпоследовательность при фиксированном θ обеспечивает "наиболее быстро убывающую" с
ростом x = xN экспоненту в√(1.240 ). Отметим, что постоянная κ2 определяется параметром
θ, и согласно (3.4) κ2 6 C/ θ.
Следующая теорема является следствием теоремы 10 для области вращения.
Теорема 2. Существует положительная постоянная κ2 (Ξ2 ) такая, что, если для
решения u(y) задачи (1.20), (1.21) в области Ω(f ) с Φ(y) = 0, Φ(y) = Ψ(y) = 0 выполнено
условие


Zr
dx 
lim exp −κ2
kukΩr+1
= 0,
(1. 26)
r
r→∞
f (x)
1
то u = 0 в Ω(f ).
Для задачи Дирихле в области вращения Ω(f ) в случае уравнения Лапласа
∆u = 0
(1. 27)
в [9, теорема 0.3] построен следующий пример неединственности решения.
Теорема 3. Пусть для функции f (x), x > 0 существует положительная функция
f (x) 6 f (x), x > 0 такая, что Π-последовательность {xN }∞
N =0 функции f (x) удовлетворяет условию (1.19). Тогда в области вращения Ω(f ) существует неотрицательное
ненулевое решение задачи (1.27), (1.2), подчиняющееся оценке
u(y) 6 exp (κ∗ N ) ,
y ∈ ΩxN (f ),
N ≥ 1,
c положительной постоянной κ∗ , зависящей только от n.
(1. 28)
44
Л.М. КОЖЕВНИКОВА
Для областей вращения Ω(f ) в условиях теоремы 3 при дополнительном требовании
того, что существует постоянная ω1 ≥ 1 такая, что для Π-последовательности {xN }∞
N =0
функции f (x) справедливы неравенства
inf
[xN ,xN +1 ]
f (x) 6 ω1 ∆N ,
N = 1, ∞,
(1. 29)
получено ([9], следствие 4.1) следствие оценки (1.28)
kukΩxxN +1 (f ) 6 M exp(K∗ N )∆N ,
N ≥ 0.
(1. 30)
N
Таким образом, установлена точность класса единственности (1.240 ) для области Ω(f ).
Действительно, применим теорему 3 в ситуации, когда выполнено условие (1.29). Поскольку Π-последовательность функции f является λ-последовательностью для области Ω(f )
(см. утверждение 3.1 [9]), то сравнивая (1.240 ) при εN = ∆N , N = 0, ∞, и (1.30), приходим к выводу, что в случае уравнения Лапласа постоянная κ2 в классе единственности
(1.240 ) для области Ω(f ) не может быть заменена на неограниченно возрастающую последовательность {κN }∞
N =0 . В этом смысле, построенный пример показывает, что найденный
класс единственности для области Ω(f ) нельзя существенно расширить.
Понятие λ-последовательности, введенное для уравнений второго порядка в случае областей, расположенных вдоль оси Ox, несложным образом обобщается на некоторый класс
уравнений, которые являются дифференциальными по выделенной переменной x и псевдодифференциальными по остальным переменным, в том числе на уравнения высокого
порядка.
Через B(z), z ∈ Rn будем обозначать непрерывные положительные при п.в. z ∈ Rn
функции такие, что
B(z) 6 C|z|b , b, C > 0, |z| ≥ 1.
На множестве комплекснозначных функций g(y) = g(x, y) ∈ C∞
0 (Rn+1 ) при каждом x ∈ R
определим функционал
kg(x)k2Bk,q = kDxk g(x, y)k2Rn + Xk−q kDxq g(x, y)k2Rn + kBFy→z [g]k2Rn ,
(1. 31)
где Fy→z [g] — преобразование Фурье, k — натуральное число, q — целое неотрицательное
число, q 6 k. Здесь и далее используется обозначение X0 = 0, Xp = 1 при p 6= 0.
Rb
2
Для g(x, y) ∈ C∞
(Ω)
положим
kgk
=
kg(x)k2Bk,q dx, индекс (−∞, ∞) заменяем на
0
Bk,q ,(a,b)
a
R.
Обозначим
(
λ[Bk,q ](r1 , r2 ) = inf
kgk2Bk,q ,(r1 ,r2 )
)
r
g(y) ∈ C∞
0 (Ω), kgkΩr21 = 1 ,
r1 < r2 .
(1. 32)
Для неотрицательных ρ положим
[a,b]
ρ
=
ρa , ρ < 1,
ρb , ρ ≥ 1,
a, b ≥ 0.
Неограниченную возрастающую последовательность положительных чисел {xJ }∞
J=0 назовем λ[Bk,q ]-последовательностью области Ω, если существует число θ > 0 такое, что справедливы неравенства
2[k,q]
(1. 33)
1 6 θλ(xJ , xJ+1 )∆J , J = 0, ∞,
где λ(xJ , xJ+1 ) = λ[Bk,q ](xJ , xJ+1 ), ∆J = xJ+1 − xJ .
Необходимое и достаточное условие существования λ[Bk,q ]-последовательности формулируется также, как и в случае уравнений второго порядка (см. условие (1.11)). При этом
О СУЩЕСТВОВАНИИ И ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ. . .
45
λ-последовательность можно построить начиная с любого x0 > 0 (при q > 0 доказательство аналогично тому, как это было сделано в [11] (§ 3, следствие 1 к утверждению 2). А
при q = 0 неравенство kg(x)kBk,0 ≥ kgkRn , x ∈ R влечет неравенство
λ[Bk,0 ](r1 , r2 ) ≥ 1,
r1 < r2 .
(1. 34)
Поэтому λ[Bk,0 ]-последовательность можно построить всегда начиная с любого x0 > 0.
Действительно, выбирая θ ≥ 1, можно положить, например, xJ+1 = xJ + 1, J = 0, ∞.
Ради некоторого упрощения формулировок результатов потребуем, чтобы
λ0 = λ[Bk,q ](−∞, x0 ) > 0.
(1. 35)
В случае q = 0 требование (1.35) выполняется всегда, поскольку, как уже отмечалось,
λ0 ≥ 1.
Определим невозрастающую последовательность
λ[Bk,q ](N ) = min{λ[Bk,q ](−∞, x0 ), λ[Bk,q ](x0 , x1 ), ..., λ[Bk,q ](xN −1 , xN )},
N ∈ N.
(1. 36)
Если выполнено условие (1.35), то λ[Bk,q ](N ) > 0, N ∈ N. Тогда, очевидно, справедливо
неравенство
λ[Bk,q ](N )kgk2ΩxN 6 kgk2Bk,q ,(−∞,xN ) ,
g(y) ∈ C∞
0 (Ω),
N ∈ N.
(1. 37)
Назовем λ[Bk,q ]-последовательность {xν }∞
ν=0 с числом θ > 0 оптимальной, если существует положительная постоянная C(θ, k, q) такая, что для любой другой λ[Bk,q ]-последовательности {xJ }∞
J=0 с числом θ > 0 справедлива импликация (1.15).
Установлено, что оптимальной является λ[Bk,q ]-последовательность с минимально возможными, без нарушения условия (1.33), интервалами (xν , xν+1 ) (при q > 0 доказывается
аналогично тому, как это было сделано в [11] в утверждении 3 , при q = 0 см. [13], утверждение 4 ).
Для областей вращения приведем примеры λ[Bk,q ]-последовательностей. С этой целью
определим понятие Π[k, q, φ]-последовательности. При этом на функцию B(z) накладываются следующие ограничения.
Потребуем, чтобы функции Bs (zs ) = B(0, . . . , zs , . . . , 0), zs ∈ R, s = 1, n были четными
возрастающими при zs > 0 и существовали положительные числа c1 , c2 такие, что
Bs (hz) ≤ c1 Bs (z)Bs (h),
h > 0,
z > 0,
Bs (z) ≤ c2 |z|, |z| 6 1.
Будем предполагать также справедливость неравенств
B(z) ≥ Bs (zs ),
Положим
φs (r) =
Потребуем, чтобы
1
,
Bs ( 1r )
lim Bs (z)
z→∞
=
z ∈ Rn ,
(1. 39)
s = 1, n.
φ(r) = min φs (r),
(1. 38)
r > 0.
(1. 40)
(1. 41)
s=1,n
∞,
s
=
1, n, следствием чего является
lim φs (r) = 0, s = 1, n.
r→0
Например, для функции B 2 (z) =
n P
zs2ms + zs2ls соответствующие функции определя-
s=1
2(ms +ls )
ются равенствами Bs2 (z) = z 2ms +z 2ls , φ2s (r) = rr2ms +r2ls , r > 0, ls , ms ∈ N, ls 6 ms , s = 1, n.
При этом выполняются условия (1.38) – (1.40). Нетрудно показать, что
1
√ r[m,l] 6 φ(r) 6 r[m,l] , r > 0,
2
где m = max ms , l = min ls .
s=1,n
s=1,n
46
Л.М. КОЖЕВНИКОВА
При q > 0 неограниченную возрастающую последовательность положительных чисел
{xJ }∞
J=0 определим индуктивно следующим образом:
[k,q]
, J = 0, ∞,
xJ+1 = sup r inf φ(f (x)) ≥ (r − xN )
(1. 42)
x∈[xJ ,r]
начиная с x0 = 1. Эту последовательность назовем Π[k, q, φ(r)]-последовательностью функции f . Аналогично, при q = 0 полагаем
k
xJ+1 = sup r inf φ(f (x)) ≥ (r − xJ ) , r 6 xJ + 1 , J = 0, ∞,
(1.420 )
x∈[xJ ,r]
начиная с x0 = 1. Эту последовательность обозначим через Π[k, 0, φ(r)]. При этом обозначение Π[1, 1, r] будем сокращать до Π. В [13](следствие 1 к утверждению 5) установлено,
что при q ≥ 0 Π[k, q, φ(r)]-последовательность является λ[Bk,q ]-последовательностью для
области Ω(f ).
Пусть существует положительная постоянная c3 такая, что справедливо неравенство:
B(hz) 6 c3 B(z) max Bs (h) ,
s=1,n
z ∈ Rn ,
h > 0.
Если при этом найдется постоянная ω ≥ 1 такая, что
n
o
1
1
sup f (z) z ∈ [x − φ(f (x))[ k ,σ(q)] , x + φ(f (x))[ k ,σ(q)] ] 6 ωf (x),
(1. 43)
x ≥ 1,
(1. 44)
то Π[k, q, φ(r)]-последовательность {xN }∞
N =0 является оптимальной λ[Bk,q ]-последовательностью для Ω(f ) и существует положительная постоянная c такая, что справедливы оценки
(см. [13], утверждение 7) (1.19) и
ZxN
ZxN
dx
dx
c−1
≤N ≤c
, N ≥ 1.
(1. 45)
1
[ k ,σ(q)]
[ k1 ,σ(q)]
φ(f
(x))
φ(f
(x))
1
1
Здесь σ(q) = 0, если q = 0, и σ(q) = 1/q в ином случае. В частности, Π[k, q, r[m,l] ]последовательность функции f (x) является оптимальной λ [Bk,q ]-последовательностью c
n P
zs2ms + zs2ls для Ω(f ) (при q = 0 считаем, что l = ls = 1).
B 2 (z) =
s=1
Рассмотрим псевдодифференциальное эллиптическое уравнение:
X
Lu ≡
(−1)j Dxj Tbβ (aαβ (y)T α Dxi u) = Φ, y ∈ Ω.
(1. 46)
α,β∈S
Множество индексов α = (i, α), β = (i, β) ∈ S имеет вид:
o
n
i
S = α = (i, α) i = 0, k, α = 1, N , k ∈ N.
(1. 47)
Псевдодифференциальные операторы T α с комплексными символами Aα (x, z) определяются равенствами
−1
T α u = Fz→y
[Aα (x, z)Fy→z [u]],
а псевдодифференциальные операторы Tbα имеют комплексносопряженный символ
Aα (x, z).
На измеримые комплекснозначные функции Aα (x, z), α = (i, α) ∈ S наложим следующие условия. Существуют число A > 0 и функция B(z) такие, что для п.в. (x, z) ∈ Rn+1
справедливы неравенства
AB 1−i/k (z),
при B(z) ≥ 1;
α
| A (x, z) |6
(1. 48)
max(0,1−i/q)
AB
(z),
при B(z) < 1.
Здесь и ниже при q = 0 считаем, что дробь i/q равна ∞.
О СУЩЕСТВОВАНИИ И ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ. . .
47
Потребуем эллиптичность оператора L в следующем виде. Пусть существует положительное число b
a и функция B(z) такие, что в дополнение к (1.48) для формы
P
G(g) =
aαβ (y)T α Dxi gT β Dxj g справедливо неравенство
α,β∈S
Z
Re
g(y) ∈ C∞
0 (Ω),
G(g)dy ≥ b
akgk2Bk,q ,R ,
(1. 49)
Rn+1
∞
в котором имеется ввиду естественное вложение C∞
0 (Ω) ⊂ C0 (Rn+1 ).
Комплекснозначные функции aαβ (y), α, β ∈ S будем считать измеримыми в Ω, продолженными нулем вне Ω, ограниченными для п.в. y ∈ Ω
| aαβ (y) |6 a.
(1. 50)
◦
Для уравнения (1.46) c Φ ∈G ∗Bk,q (Ω) , Ψ(y) ∈ WBk,q ,lc (Ω) рассматривается комплекснозначное решение задачи Дирихле из пространства WBk,q ,lc (Ω) с граничным условием
◦
u(y) − Ψ(y) ∈HBk,q ,lc (Ω).
◦
(1. 51)
◦
Определения пространств G ∗Bk,q (Ω), WBk,q ,lc (Ω), HBk,q ,lc (Ω) приведены в § 1.
Естественно, что вещественное уравнение
X
(−1)|α| Dyβ (aαβ (y)Dyα u) = Φ
Lu ≡
(1. 52)
α,β∈S
является примером псевдодифференциального уравнения (1.46). Здесь α = (i, α) =
= (i, α1 , . . . , αn ) — мультииндексы c целыми неотрицательными числами i, αs , s = 1, n,
| α |= i + α1 + α2 + · · · + αn . Множество S определяется параметрами q, k, q 6 k, ls ,
ms ∈ N, ls 6 ms , s = 1, n следующим образом:


α
i α


µ(α) = + 1 + · · · + n ≥ 1,


q
l
l
1
n
S = α = (i, α) .
(1. 53)
ν(α) = i + α1 + α2 + · · · + αn 6 1 



k m1 m2
mn
При q = 0 будем требовать ls = 1, s = 1, n.
Для уравнения (1.52) ставится задача Дирихле, определяемая следующими граничными
условиями:
i i αs αs Dx u = Dx Ψ , i < k; Dys u = Dys Ψ , αs < ms , s = 1, n.
(1. 54)
∂Ω
∂Ω
∂Ω
∂Ω
Потребуем, чтобы для коэффициентов уравнения (1.52) для действительных функций
g(y) ∈ C0∞ (Ω) выполнялось следующее неравенство:
!
Z X
n
X
kDylss gk2 + kDymss gk2 + kDxk gk2 + kDxq gk2 . (1. 55)
aαβ (y)Dyα gDyβ gdy ≥ b
a
s=1
Ω α,β∈S
Установлено, что решение задачи (1.52), (1.54) будет действительным (см. [13], § 1, замечание).
Задача Дирихле (1.20), (1.21) является частным случаем задачи Дирихле (1.46),
(1.51). Если выполнено условие (1.23), то справедливо неравенство (1.49) c параметрами
n
P
k = q = 1, B 2 (z) =
zs2 .
s=1
Далее через Ξ = {n, k, q, θ, b
a, a, A} обозначим набор постоянных.
В § 2 выделен класс единственности решений задачи Дирихле (1.46), (1.51) c локально
суммируемыми данными.
48
Л.М. КОЖЕВНИКОВА
Теорема 4. Пусть {εN }∞
N =0 — произвольная последовательность положительных чисел. Пусть для области Ω существует λ[Bk,q ]-последовательность, удовлетворяющая
условию (1.35), и выполнены требования (1.48) – (1.50). Тогда существует положительная постоянная κ(Ξ) такая, что, если для решения u(y) задачи (1.46), (1.51) с
Φ = 0, Ψ(y) = 0 выполнено условие
−[k,q]
lim εN
N →∞
exp(−κN )kukΩxxN +εN = 0,
(1. 56)
N
то u = 0 в Ω.
Несложным следствием теоремы 4 в случае областей вращения является следующее
утверждение.
Теорема 5. Пусть выполнены условия (1.48) – (1.50), (1.38) – (1.40), тогда существует положительная постоянная κ(Ξ) такая, что, если решение u(y) задачи (1.46), (1.51)
в области Ω(f ) с Φ = 0, Ψ(y) = 0 подчиняется требованию


Zr
dx
 kukΩr+1 = 0,
lim exp −κ
(1. 57)
1
r
,σ(q)]
r→∞
[
k
φ(f
(x))
1
то u = 0 в Ω(f ).
Для области Ω(fa ) c функцией fa (x) = max{1, xa }, a > 0, x > 0 класс единственности
(1.57) решения задачи (1.52), (1.54) при q ≥ 0 приводится к виду
lim exp −κa r1−alσ(q) kukΩr+1
(fa ) = 0,
r
r→∞
где при q > 0 предполагается a < q/l. В области Ω(f−a ) c функцией f−a (x) = min{1, x−a },
a > 0, x > 0 класс единственности (1.57) решения задачи (1.52), (1.54) при q ≥ 0 приводится к виду
lim exp −κ−a r1+am/k kukΩr+1
(f−a ) = 0.
r
r→∞
Таким образом, для расширяющихся областей младшие, а для сужающихся областей
старшие члены уравнения (1.52) играют определяющую роль в формировании предлагаемого здесь класса единственности.
При n = 1 для уравнений uxxxx = uyy и uxx = uyyyy в области Ω(fa ) класс единственности
(1.57) принимает вид, соответственно,
lim exp −κa r1−a/2 kukΩr+1
lim exp −κa r1−2a kukΩr+1
(fa ) = 0,
(fa ) = 0.
r
r
r→∞
r→∞
Таким образом, классы единственности зависят от направления, в котором расположена
область, то есть классы единственности для одного и того же уравнения анизотропны.
В § 4 доказана теорема существования решения задачи (1.46), (1.51) с экспоненциально
растущими данными Φ, Ψ(y), принадлежащими классу единственности, определяемому
условием (1.56).
2.
Вспомогательные утверждения
Для функций v, w ∈ C∞
0 (Rn+1 ) введем следующие обозначения:
Z n
Z
o
2
Dxk wDxk v + Xk−q Dxq wDxq v dy,
(w, v)Bk,q = B (z)F [w]F [v]dz +
Rn
Rn
Zb
(w, v)Bk,q ,(a,b) =
(w(x), v(x))Bk,q dx,
a
О СУЩЕСТВОВАНИИ И ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ. . .
G(w, v) =
X
aαβ (y)T α Dxi wT β Dxj v,
49
Zb Z
G(w, v)dxdy,
(w, v)G,(a,b) =
α,β∈S
a Rn
индекс (−∞, ∞) заменяем на R.
◦
Гильбертовы пространства HBk,q (Ωr ), WBk,q (Ωr ), r ≥ 0 определим как пополнеr
∞
ния пространств комплекснозначных функций C∞
0 (Ω ), C0 (Rn+1 ) по нормам kvkBk,q ,R ,
◦
(kvk2Bk,q ,R + Xq kvk2Ωr )1/2 , соответственно. Отметим, что нормы пространств HBk,0 (Ωr ),
◦
WBk,0 (Ωr ) совпадают. Пространства HBk,q ,lc (Ω), WBk,q ,lc (Ω) составим из функций u(y),
определенных в Ω, для которых при любом r > 0 найдется функция из пространства
◦
HBk,q (Ω), WBk,q (Ω), соответственно, совпадающая с функцией u(y) в Ωr . Поскольку локальность мы понимаем здесь в необычном смысле, то индекс loc заменен на lc.
◦
Через H ∗Bk,q (Ωr ) обозначим пространство линейных непрерывных функциона∞ ◦
◦
◦
S
лов на HBk,q (Ωr ), r ≥ 0. Определим пространства G Bk,q (Ω) =
HBk,q (ΩN ),
∞
T
◦
G ∗Bk,q (Ω) =
◦
N =0
N =0
◦
◦
H ∗Bk,q(ΩN ). Очевидно, G
◦
∗
Bk,q (Ω)
= lim pr H
N →∞
∗
N
Bk,q(Ω )
и справедливо вло-
◦
жение H ∗Bk,q (Ω) ⊂G ∗Bk,q (Ω) .
Обобщенным решением задачи Дирихле для уравнения (1.46) назовем функцию u(y) из
пространства WBk,q ,lc (Ω), удовлетворяющую интегральному тождеству
(u, v)G,R = Φ(v)
для любой функции v(y)
∈
◦
(2. 1)
C∞
0 (Ω) и условию (1.51). Если ввести обозначение
w(y) = u(y) − Ψ(y) ∈HBk,q ,lc (Ω), то (2.1) перепишется в эквивалентном виде
∀ v(y) ∈ C∞
0 (Ω).
(w, v)G,R = Φ(v) − (Ψ, v)G,R ,
(2. 2)
◦
Пространства H 12 (Ω), W21 (Ω) определим как пополнения пространств вещественных
функций C0∞ (Ω), C0∞ (Rn+1 ) по нормам k∇vk, (k∇vk2 + kvk2 )1/2 , соответственно. Про◦
1
странства H 12,lc (Ω), W2,lc
(Ω) составим из функций u(y), определенных в Ω, для которых
◦
при любом r > 0 найдется функция из пространства H 12 (Ω), W21 (Ω), соответственно,
совпадающая с функцией u(y) в Ωr .
Для функций v, w ∈ C0∞ (Rn+1 ) введем обозначения:
Z
n
X
(w, v) = wvdy, (w, v)A =
(aij ()wxi , vxj ).
i,j=0
Ω
1
(Ω) рассматривается
Для уравнения (1.20) с Φ(y) ∈ L2,lc (Ω), Φ(y) ∈ L2,lc (Ω), Ψ(y) ∈ W2,lc
действительное решение задачи (1.20), (1.21). Обобщенным решением задачи (1.20), (1.21)
1
назовем функцию u(y) ∈ W2,lc
(Ω), удовлетворяющую интегральному тождеству
(u, v)A = (Φ, ∇v) + (Φ, v)
(2. 3)
для любой функции v(y) ∈ C0∞ (Ω) и условию
◦
u(y) − Ψ(y) ∈H
1
2,lc (Ω).
◦
Если ввести обозначение w(y) = u(y) − Ψ(y) ∈H
лентном виде
1
2,lc (Ω),
(w, v)A = (Φ, ∇v) + (Φ, v) − (Ψ, ∇v)A ,
то (2.3) перепишется в эквива-
∀ v(y) ∈ C0∞ (Ω).
(2. 4)
50
Л.М. КОЖЕВНИКОВА
Вопросы существования решения краевых задач для псевдодифференциальных эллиптических уравнений рассматривались многими авторами (см. работы [14], [15] и др.). Здесь
формулируется теорема существования решения задачи (1.46), (1.51), доказательство которой приведено в работе [13].
Теорема 6. Пусть для области Ω существует λ[Bk,q ]-последовательность {xN }∞
N =0 ,
выполнены условия (1.35), (1.48) – (1.50). Тогда существует единственное обобщен◦
ное решение u(y) задачи (1.46), (1.51) с функционалом Φ ∈H
Ψ(y) ∈ WBk,q (Ω), удовлетворяющее оценке
∗
Bk,q (Ω)
и функцией
kukBk,q ,R 6 C(kΦk + kΨkWBk,q (Ω) ).
(2. 5)
Лемма 1. Для любой функции g(x) ∈ C ∞ [a, b] и любого ε 6 (b − a)2 справедливы неравенства
Zb
Zb
i i 2
p 2
−p
(Dx g) dx 6 ε
ε (Dx g) + Gi g 2 dx, p = 0, i,
(2. 6)
a
a
где Gi ≥ 1 — постоянная, зависящая только от i, причем Gi+1 ≥ Gi . Здесь i — произвольное натуральное число.
Доказательство леммы см. в работе [11].
Следствие 1. Пусть ∆ = b−a, Πba = {y ∈ Rn+1 | a < x < b}, q ≥ 0, тогда существует
e q) такая, что для любой функции g(x, y) ∈ C0∞ (Rn+1 )
положительная постоянная C(k,
при любом ∈ (0, 1] для i = q, k, p = 0, i − 1 справедливы неравенства:
kDxp gk2Πb
2
e
n
o
Ckgk
Πba
k
2
q
2
6 kDx gkΠba + Xk−q kDx gkΠba + k
;
2i−2p
∆
i−p ∆2[k,q]
2
e
n
o Ckgk
Πb
i
2
k
2
q
2
e
kDx gkΠba 6 C kDx gkΠba + Xk−q kDx gkΠba + 2[k,q]a .
∆
a
(2. 7)
(2.70 )
Доказательство. Из (2. 6) при ε = b
∆2 , b
∈ (0, 1] следуют неравенства
Zb
Zb
(Dxp g)2
dx 6 b
k−p
∆2k−2p
a
Gk
(Dxk g)2 dx + p 2k
b
∆
a
Zb
g 2 dx,
p = 0, i,
i = 0, k.
a
Делая в них замену = b
k−p , ∈ (0, 1], при ∆ 6 1 выводим неравенства
Zb
(Dxp g)2
dx 6 ∆2i−2p
a
Zb
(Dxk g)2 dx
a
Zb
(Dxi g)2 dx 6 a
Zb
+
k
i−p
∆2k
(Dxk g)2 dx +
a
Zb
Gk g 2 dx,
i = 1, k,
a
Gk k
k−i
p = 0, i − 1,
∆2k
Zb
g 2 dx,
i = 0, k − 1.
(2. 8)
a
Проинтегрировав их по y ∈ Rn , устанавливаем неравенства (2.7), (2.70 ) при ∆ 6 1.
Пусть теперь ∆ > 1, применяя неравенство (2.6) при ε = 1 для Dxq g, выводим
Zb
a
(Dxi g)2 dx 6
Zb
(Dxk g)2 + Xk−q Gk−q (Dxq g)2 dx,
a
Проинтегрировав (2.9) по y ∈ Rn , получаем (2.70 ).
i = q, k.
(2. 9)
О СУЩЕСТВОВАНИИ И ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ. . .
51
b 2 , δb ∈ (0, 1)
Снова запишем неравенство (2.6) при ε = δ∆
2p−2i
Zb
∆
(Dxp g)2 dx
Zb
bi−p
6δ
a
(Dxi g)2 dx
+
a
Zb
Gi
δbp ∆2i
g 2 dx,
p = 1, i − 1.
(2. 10)
a
Соединив (2.10) с (2.9), при ∆ > 1, p = 1, i − 1, i = q, k получаем
2p−2i
Zb
∆
(Dxp g)2 dx
Zb
bi−p
6δ
a
(Dxk g)2
+
Xk−q Gk−q (Dxq g)2
dx +
a
Zb
Gi
δbp ∆2i
g 2 dx.
(2. 11)
a
Полагая b
= δbi−p , из (2.11) при p = 1, i − 1, i = q, k выводим неравенства
2p−2i
Zb
∆
(Dxp g)2 dx
Zb
6b
(Dxk g)2
+
Xk−q Gk−q (Dxq g)2
k
i−p
b
a
a
dx +
b
Gk
∆2q
Zb
g 2 dx.
a
В итоге, делая замену = Gk−q b
, проинтегрировав их по y ∈ Rn , получаем (2.7).
Лемма 2. Пусть ∆ = b − a, q ≥ 0, α = (i, α) и символ Aα (x, z) псевдодифференциального оператора T α удовлетворяет условию (1.48). Тогда существует положительная
e
постоянная C(A,
k, q) такая, что для любой функции g(x, y) ∈ C∞
0 (Rn+1 ) при любом
∈ (0, 1] справедливы неравенства:
kT α Dxp gk2Πb
a
∆2(i−p)
6
kgk2Bk,q ,(a,b)
+
2
e
Ckgk
Πb
a
k
i−p
,
p = 0, i − 1,
(2. 12)
α ∈ S.
(2.120 )
∆2[k,q]
e kgk2B ,(a,b) +
kT α Dxi gk2Πba 6 C
k,q
kgk2Πb
a
∆2[k,q]
!
,
Доказательство. Сначала для Π10 , α ∈ S, p = 0, i − 1, ∈ (0, 1] установим неравенства
!
kT α Dxbp gk2Π1
kDxbk gk2Π1
kDxbq gk2Π1
kgk2Π1
0
0
0
0
e k
6 kBF [g]k2Π1 +
+ Xk−q
+C
,
(2. 13)
0
∆2i
∆2k
∆2q
2[k,q]
i−p
∆
!
kDxbk gk2Π1
kT α Dxbi gk2Π1
kDxbq gk2Π1
kgk2Π1
0
0
0
e kBF [g]k2 1 +
6C
+ Xk−q
+ 2[k,q]0 .
(2.130 )
Π0
∆2i
∆2k
∆2q
∆
Далее, чтобы получить (2.12), (2.120 ), достаточно сделать замену переменной x = a + x
b∆
в (2.13), (2.130 ).
На первом шаге будем рассматривать функции g(b
x, y) ∈ C0∞ (Π10 ). Для них справедливо
разложение в ряд Фурье
g(b
x, y) =
∞
X
Z1
aj (y) sin jπb
x,
j=1
aj (y) = 2
g(b
x, y) sin jπb
xdb
x.
(2. 14)
0
Продифференцировав (2.14) p раз по x
b и применив оператор T α , получаем равенства Парсеваля
Z1
∞
X
α p 2
|T Dxbg| db
x = Ep
j 2p |T α aj (y)|2 , p = 0, i.
0
j=1
52
Л.М. КОЖЕВНИКОВА
Интегрируя их по y ∈ Rn и пользуясь равенством Планшереля, получаем
Z
∞
X
2p
2
α p
| Aα (b
j
kT DxbgkΠ1 = Ep
x, z)|2 |e
aj (z) |2 dz, p = 0, i.
0
j=1
(2. 15)
Rn
Здесь функции e
aj (z) являются преобразованием Фурье функций aj (y). В частности, справедливо соотношение
Z
∞
X
p
2p
2
|e
aj (z) |2 dz, p = 0, i.
j
kDxbgkΠ1 = Ep
(2.150 )
0
j=1
Rn
∈ (0, 1) неравенства
Установим для α ∈ S, p = 0, i − 1, b
)
(
2q 2k
2p
2k/(i−p)
j
j
A
j
|Aα (b
+
+ B 2 (z) + k/(i−p) 2[k,q] ,
x, z)|2 2i 6 b
Xk−q
∆
∆
∆
b
∆
)
(
2q 2k
2i
j
j
1
j
|Aα (b
x, z)|2 2i 6 A2 Xk−q
+
+ B 2 (z) + 2[k,q] .
∆
∆
∆
∆
(2. 16)
(2.160 )
Рассмотрим сначала случай ∆ < 1, B(z) < 1. Используя условие (1.48) и неравенство
Юнга при p = 1, i − 1, для p = 0, i − 1 получаем оценки
2p
2k
2p
j
j
A2
A2k/(i−p)b
α
2j
|A (b
x, z)| 2i 6
6
X
b
.
(2. 17)
+
p
∆
∆
∆2(k−p)
∆
b
k/(i−p) ∆2k
В случае p = i также выводим
j 2i
|A (b
x, z)| 2i 6 A2
∆
α
2
j
∆
2i
6A
2
j
∆
2k
,
i = 0, k.
(2.170 )
Далее рассмотрим случай B(z) ≥ 1. Согласно условию (1.48), используя неравенство
Юнга для i = 1, k − 1, выводим
2p
j 2p
A2k/i j 2pk/i
2j
2(1−i/k)
2
(2. 18)
6
A
B
(z)
6
X
b
B
(z)
+
, i = 1, k.
k−i
∆2i
∆2i
b
(k−i)/i ∆2k
Применяя еще раз неравенство Юнга при p = 1, i − 1, для δb ∈ (0, 1) устанавливаем неравенства
2k/(i−p)
b 2k + A
j 2pk/i A2k/i 6 Xp δj
, p = 0, i − 1.
(2. 19)
δbp/(i−p)
Положим δb = b
k/i , тогда b
(k−i)/i δbp/(i−p) = b
−1b
k/(i−p) . Соединяя (2.18) и (2.19), получаем
!
2k
2p
2k/(i−p)
j
j
A
|Aα (b
x, z)|2 2i 6 b
B 2 (z) +
+ k/(i−p) 2k , p = 0, i − 1.
(2. 20)
∆
∆
b
∆
|Aα (b
x, z)|2
Для p = i, применяя неравенство Юнга при i = 1, k − 1, для i = 0, k выводим
2i
2k !
2i
j
j
j
x, z)|2 2i 6 A2 B 2(1−i/k)
6 A2 Xk−i B 2 (z) + Xi
.
|Aα (b
∆
∆
∆
( 2.200 )
Пусть ∆ ≥ 1, B(z) < 1, тогда, ввиду (1.48), справедливы неравенства
|Aα (b
x, z)|2
j 2p
j 2p
2 2 max(0,1−i/q)
6
A
B
(z)
.
∆2i
∆2i
(2. 21)
О СУЩЕСТВОВАНИИ И ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ. . .
53
Пусть i ≥ q ≥ 0, тогда из (2.21), воспользовавшись неравенством Юнга при p = 1, i − 1,
выводим неравенства
2p
2i
2p
A2
A2i/(i−p)b
j
j
α
2j
+
|A (b
6
X
b
6
x, z)| 2i 6
p
2(i−p)
i/(i−p)
2i
∆
∆
∆
∆!
b
∆
2q 2k
(2. 22)
j
j
A2k/(i−p)
6b
Xk−q
+
+ k/(i−p) 2q , p = 0, i − 1.
∆
∆
b
∆
Для p = i из (2.21) получаем неравенства
j 2i
x, z)|2 2i 6 A2
|Aα (b
∆
j
∆
2i
6 A2
j
∆
2k
+ Xk−q
j
∆
2q !
.
(2.220 )
При i < q, q > 0, применяя неравенство Юнга для i = 1, q − 1, из (2.21) выводим
|Aα (b
x, z)|2
j 2p
j 2p
A2q/i j 2pq/i
2 2(1−i/q)
2
6
A
B
(z)
6
b
B
(z)
+
.
∆2i
∆2i
b
(q−i)/i ∆2q
(2. 23)
Используя неравенство Юнга для p = 1, i − 1, устанавливаем
2q/(i−p)
b 2q + A
,
j 2pq/i A2q/i 6 Xp δj
δbp/(i−p)
p = 0, i − 1.
(2. 24)
−1b
q/(i−p) . Соединяя (2.23), (2.24) устанавливаем
Положим δb = b
q/i , тогда b
(q−i)/i δbp/(i−p) = b
неравенства
!
2q
2q/(i−p)
2p
j
A
j
|Aα (b
x, z)|2 2i 6 b
B 2 (z) +
+ q/(i−p) 2q , p = 0, i − 1.
(2. 25)
∆
∆
b
∆
При p = i из (2.21), применяя неравенство Юнга для i = 1, q − 1, для i = 0, q − 1 выводим
неравенствa
2i
2q !
2i
j
j
j
|Aα (b
x, z)|2 2i 6 A2 B 2(1−i/q) (z)
6 A2 B 2 (z) + Xi
.
(2.250 )
∆
∆
∆
Установленные неравенства (2.17), (2.20), (2.22), (2.25), (2.170 ), (2.200 ), (2.220 ), (2.250 )
обеспечивают, соответственно, неравенства (2.16), (2.160 ).
Подставляя (2.16) в (2.15), для b
∈ (0, 1) при α ∈ S, p = 0, i − 1 получим
( )
2q
∞
2k
2k/(i−p)
kT α Dxbp gk2Π1
X
j
j
A
2
0
6b
Ep
+ Xk−q
+ B (z) + k/(i−p) 2[k,q] ke
aj (z)k2Rn . (2. 26)
2i
∆
∆
∆
b
∆
j=1
e = (A2 Ep )k/(i−p) , = b
Пользуясь (2.15), (2.150 ), из последнего выводим (2.13) с C
Ep .
Докажем теперь неравенства (2.13) для функции g(b
x, y) ∈ C0∞ (Rn+1 ). Известно (см.
[16], гл. III, § 4, п. 2), что для любого k ∈ N существует
оператор продолжения
∞
1
∞
2
Exb : C (Π0 ) → C (Π−1 ) такой, что g(b
x, y) = Exb(g(b
x, y)), g 1 = g. При этом справедΠ0
ливы неравенства
kDxbi gk2Π2 6 Ci kDxbi gk2Π1 .
(2. 27)
−1
0
Поскольку оператор Exb коммутирует с преобразованием Фурье по y, то справедливо неравенство
kBF [g]k2Π2 6 C0 kBF [g]k2Π1 .
(2. 28)
−1
0
54
Л.М. КОЖЕВНИКОВА
Пусть ω(b
x) ∈ C0∞ (−1, 2) – срезающая функция, не превосходящая единицы, равная
единице на [0, 1]. Тогда для функции v = gω, принадлежащей C0∞ (Π2−1 ), при помощи (2.13)
для ∈ (0, 1], p = 0, i − 1, α ∈ S можно установить, что
kT α Dxbp vk2Π2
−1
6
2k
+ 3
kDxbk vk2Π2
−1
∆2k
−1
k/(i−p)
∆2[k,q]
kDxbq vk2Π2
−1
2q
∆2i
(
(AEp )2k/(i−p) kvk2Π2
+ Xk−q 3
+
∆2q
+
(2. 29)
)
kB(z)F [v]k2Π2
−1
.
Поскольку срезающая функция ω(b
x) зависит только от x
b, то следствием неравенства (2.28)
является оценка
(2. 30)
kBF [v]k2Π2 6 C0 kBF [g]k2Π1 .
−1
0
Кроме того, пользуясь (2.27), для i = 0, k выводим соотношения
!2
i
i
i
X
X
X
i−r
2
i
2
r
r
r
Cr kDxbr gk2Π1 .
kDxbvkΠ2 6
Ci kDxb ωDxbgkΠ2−1
6 E1 (i)
kDxbgkΠ2 6 E1 (i)
−1
−1
r=0
0
r=0
r=0
Далее применим неравенства (2.6) с ε = 1, имеющие в данном случае следующий вид:
kDxbr gk2Π1 6 kDxbi gk2Π1 + Gi kgk2Π1 ,
0
0
r = 0, i.
0
В результате получаем
kDxbi vk2Π2
−1
6 E2 (i)
kDxbi gk2Π1
0
+
kgk2Π1
0
,
i = 0, k.
(2. 31)
Подставляя (2.31), (2.30) в (2.29) для g ∈ C0∞ (Rn+1 ), для p = 0, i − 1 выводим неравенства
!
kT α Dxbp gk2Π1
kDxbk gk2Π1
kDxbq gk2Π1
kgk2Π1
2
0
0
0
(2. 32)
6 C kBF [g]kΠ1 +
+ Xk−q
+ k/(i−p) 02[k,q] ,
0
∆2i
∆2k
∆2q
∆
Делая замену = C, выводим (2.13) для g ∈ C0∞ (Rn+1 ). Сложив неравенства (2.13),
записанные для действительной и мнимой частей, устанавливаем (2.13) для g ∈ C∞
0 (Rn+1 ).
Итак, (2.13) доказано в общей ситуации.
Неравенства (2.130 ) выводятся из (2.160 ) аналогичным образом. Лемма доказана.
∞
Определим невозрастающую функцию η(x)
∈ C (−∞, 1), равную 1 и 0 при x 6 0 и
1
x ≥ 1, соответственно, и на интервале 2 , 1 равную 1 − x. Для x ∈ (0, 1) справедливы
неравенства
|Ds η| 6 b
cs , s = 0, ∞.
x−a
Рассмотрим функцию ηa,b (x) = η ∆ , ∆ = b − a, для нее справедливы неравенства
|Ds ηa,b | 6
b
cs
,
∆s
s = 0, ∞.
(2. 33)
Нетрудно показать, что
k
Dp ηa,b
=
p
X
s=1
p0 p1 ...ps
Bsp
Y
p0
ηa,b
(Dηa,b )p1 · · · (Ds ηa,b )ps ,
p = 1, k,
p1 +...+sps =p
p0 +p1 ...+ps =k
p0 p1 ...ps
где Bsp
– целые неотрицательные числа. Очевидно, p0 ≥ k − p.
Ввиду (2.33) при x ∈ (a, b), p = 1, k справедливы неравенства
p1 ps
p
k−p
X
Y
cp,k ηa,b
b
c1
b
cs
p0
p k
p0 p1 ...ps
| D ηa,b |6
Bsp
ηa,b
6
.
s
p
∆
∆
∆
p
+...+sp
=p
s
s=1
1
p0 +p1 +...+ps =k
(2. 34)
О СУЩЕСТВОВАНИИ И ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ. . .
55
Для функции ρ[a,b] приведем некоторые неравенства, которые будут использованы в дальнейшем:
если ρ 6 %, то ρ[a,b] 6 %[a,b] ;
(2. 35)
если c ≥ 1, то (cρ)[a,b] 6 ρ[a,b] cmax(a,b) .
(2. 36)
Лемма 3. Пусть ∆ = b − a, q ≥ 0, α = (i, α) и символ Aα (x, z) псевдодифференциального оператора T α удовлетворяет условию (1.48), тогда cуществует положительная
постоянная C(A, k, q) такая, что для любой функции g(x, y) ∈ C∞
0 (Rn+1 ) при любом
δ ∈ (0, 1] для p = 0, i − 1 справедливы неравенства:
k−i+p α p
kηa,b
T Dx gk2Πb
a
∆2(i−p)
Zb
6δ
2k
ηa,b
kg(x)k2Bk,q dx +
a
k
kηa,b
T α Dxi gk2Πba
2
Cδ kgkΠba
,
k
2[k,q]
δ i−p ∆
(2. 37)
 b

Z
2
kgkΠb
2k
6 C  ηa,b
kg(x)k2Bk,q dx + 2[k,q]a  , α = (i, α) ∈ S;
∆
(2.370 )
a
Zb
k−i+p p
kηa,b
Dx gk2Πb
a
6δ
∆2(i−p)
2k
ηa,b
kDxk g(x)k2Rn
+
Xk−q kDxq g(x)k2Rn
a
k
kηa,b
Dxi gk2Πba
Zb
6C
2k
ηa,b
kDxk g(x)k2Rn
+
Xk−q kDxq g(x)k2Rn
2
Cδ kgkΠba
,
dx + k
2[k,q]
δ i−p ∆
dx + C
kgk2Πb
a
∆2[k,q]
,
i = q, k.
(2. 38)
( 2.380 )
a
∆
Доказательство. Положим br = b − 2∆r , ∆r = 2r+1
, r = 0, ∞. Для функции ηa,b (x)
справедливы равенства
1
1
min ηa,b (x) = r+1 , r = 0, ∞.
(2. 39)
max ηa,b (x) = r ,
[br ,br+1 ]
[br ,br+1 ]
2
2
Сначала выведем неравенства (2.37). Применяя (2.39), (2.12), (2.35), (2.36), для
p = 0, i − 1, r = 0, ∞ оценим интегралы
 br+1

Z
Z
2(k−i+p)
α p 2
2k(r+1)
e
ηa,b
|T Dx g|
C2
−2(rk+i−p) 
2
dxdy
6
2
kgk
dx
+
kgk2 br+1  6
k
B
k,q
Πbr
∆2(i−p)
2[k,q]
i−p ∆
b
br
Πbr+1
r
2(k−i+p)
6 2
br+1
Z
e 2(k−i+p)
C2
2k
ηa,b
kg(x)k2Bk,q dx + k
kgk2 br+1 .
Πbr
i−p ∆2[k,q]
br
Положим = δ2−2(k−i+p) , δ ∈ (0, 1]. Для p = 0, i − 1 имеем
2k k−i+p
i−p
22(k−i+p)
2
δ
=
6 k 22k(k−1) .
k
δ
i−p
δ i−p
Таким образом, для p = 0, i − 1, r = 0, ∞ установлены неравенства
Z
2(k−i+p)
ηa,b
|T α Dxp g|2
∆2(i−p)
b
Πbr+1
r
br+1
Z
2k
dxdy 6 δ
ηa,b
kg(x)k2Bk,q dx +
br
Суммируя их по r = 0, ∞, выводим (2.37).
Cδ
∆2[k,q] δ
k
i−p
kgk2 br+1 .
Πbr
56
Л.М. КОЖЕВНИКОВА
Применяя (2.39), (2.120 ), (2.35), (2.36) выводим неравенства

 br+1
Z
Z
2k(r+1)
2
2k
e
ηa,b
|T α Dxi g|2 dxdy 6 2−2rk C
kg(x)k2Bk,q dx + 2[k,q] kgk2 bs+1  6
Πbs
∆
b
br
Πbr+1
r
br+1
Z
2k
2k
e
e 2
6 22k C
ηa,b
kgk2Bk,q dx + C
kgk2 br+1 ,
Πbr
∆2[k,q]
r = 0, ∞.
br
Суммируя их по r = 0, ∞, выводим (2.370 ). Неравенства (2.38), (2.380 ) выводятся аналогичным образом c применением неравенств (2.7), (2.70 ).
3.
Теоремы единственности
Установим оценку Сен-Венановского типа для эллиптического уравнения второго порядка (1.20).
Предложение 1. Пусть для области Ω существует λ-разбиение Ω =
∞
S
Ω(N ) , под-
N =0
чиняющееся требованию (1.12) и {εN }∞
N =0 — произвольная последовательность положительных чисел. Тогда найдутся положительные постоянные κ2 (Ξ2 ) и M1 , M2 (Ξ2 ) такие,
что если Φ(y) = Ψ(y) = 0, Φ(y) = 0 в Ω(N )+εN при некотором N ∈ N, то для решения
u(y) задачи (1.20), (1.21) при всех ν = 0, N − 1 справедливы оценки
k∇ukΩ(ν) 6 M1
exp {−κ2 (N − ν)}
kukΩ(N )+εN ;
εN
(N )
(3. 1)
если Ψ(y) = 0, Φ(y) = 0 в Ω(N +1) при некотором N ∈ N, то для решения u(y) задачи
(1.20), (1.21) при всех ν = 0, N − 1 имеют место неравенства
k∇ukΩ(ν) 6 M2 exp {−κ2 (N − ν)} k∇ukΩ(N +1) .
(3. 2)
(N )
Доказательство. Пусть ξ2 (y) липшицева неотрицательная срезающая функция такая,
◦
что Φξ2 ≡ 0, Φξ2 = Ψξ2 ≡ 0. Положим в (2.3) v = (u − Ψ)ξ22 ∈H 12 (Ω), установим тождество
(u, uξ22 )A = 0.
Используя (1.23), (1.22), получаем
Z
Z
2
2
b
a ξ2 | ∇u | dy 6 2a(n + 1) | u || ∇u || ∇ξ2 | ξ2 dy = I2 .
Ω
(3. 3)
Ω
Зафиксируем натуральное число N и целое неотрицательное число ν 6 N − 1. Выберем
κ2 так, чтобы
√
2 θκ2 e2κ2 a(n + 1) 6 b
a.
(3. 4)
Построим определенную в Ω липшицеву функцию ξ 2 (y), удовлетворяющую условиям


1, y ∈ Ω(ν) ;

!!


(j)


dist(Si , y)


,
exp (−κ2 (j − ν)) exp κ2 min 1,

(j)


ti
(j)
ξ 2 (y) =
y ∈ ωi , i = 1, p(j) , j = ν + 1, N ;




dist(S (N )+εN , y)
(N )+ε


, y ∈ Ω(N ) N ;
 exp (−κ2 (N − ν)) min 1,

εN


 0, y ∈ Ω \ Ω(N )+εN .
О СУЩЕСТВОВАНИИ И ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ. . .
57
Здесь S (N )+εN = {y ∈ Ω \ Ω(N ) | dist(y, S (N ) ) = εN }. Нетрудно установить следующие
соотношения
exp (−κ2 {N − ν})
(N )+ε
|∇ξ 2 | 6
, y ∈ Ω(N ) N ;
(3. 5)
εN
κ2 ξ
(j)
|∇ξ 2 | 6 (j)2 , y ∈ ωi , i = 1, p(j) , j = ν + 1, N ;
(3. 6)
ti
max ξ 2 (y) = eκ2 min ξ 2 (y),
(j)
ωi
i = 1, p(j) ,
j = ν + 1, N .
(3. 7)
(j)
ωi
(N )+ε
В неравенстве (3.3) положим ξ2 = ξ 2 , пользуясь тем, что ∇ξ 2 ≡ 0 вне Ω(ν) N , применяя
(3. 5), (3. 6), выводим:
Z
N
−1 Z
X
I 2 = 2a(n + 1)
ξ 2 |u||∇u||∇ξ 2 |dy + 2a(n + 1)
ξ 2 |u||∇u||∇ξ 2 |dy 6
(3. 8)
j=ν
(N )+εN
(j+1)
Ω(j)
p(j) Z
N
X
X
6 2a(n + 1)
j=ν+1 i=1
Ω(N )
2
|u||∇u|
κ2 ξ 2
(j)
Z
ti
(j)
ωi
ξ 2 |u||∇u|
dy + 2a(n + 1)
exp (−κ2 {N − ν})
dy.
εN
(N )+εN
Ω(N )
Для j = 1, ∞ установим соотношения
Z
√ Z
| u || ∇u |
dy 6 θ
|∇u|2 dy,
(j)
ti
i = 1, p(j) .
(3. 9)
(j)
(j)
ωi
ωi
Для этого достаточно воспользоваться определением (1.7) и условием (1.8):
Z
Z
Z
|u||∇u|
ε
1
u2
2
dy 6
|∇u| dy +
2 dy 6
(j)
2
2ε
(j)
ti
ti
(j)
(j)
(j)
ωi
ε
6
2
ωi
Z
(j)
θλ
|∇u| dy + i
2ε
2
(j)
Выбрав ε =
Z
(j)
1
u dy 6
2
2
(j)
ωi
√
ωi
Z
θ
ε+
ε
Z
|∇u|2 dy.
(j)
ωi
ωi
θ, выводим (3. 9). Ввиду (3. 7) из (3. 9) получаем неравенства
2
√ Z 2
ξ 2 |u||∇u|
2κ2
θ
ξ 2 |∇u|2 dy, i = 1, p(j) , j = ν + 1, N .
dy 6 e
(j)
ti
(3. 10)
(j)
ωi
ωi
Далее оценим интеграл
Z
exp (−κ2 {N − ν})
ε
ξ 2 |u||∇u|
dy 6
εN
2
(N )+εN
Z
(N )+εN
Ω(N )
exp (−2κ2 {N
2
ξ 2 |∇u|2 dy+
2ε2N ε
− ν})
Ω(N )
(N )+εN
Ω(N )
6e
√
Z
θκ2
(N )+εN
Ω(N )
2
ξ 2 |∇u|2 dy
exp (−2κ2 {N − ν})
√
+
4e2κ2 θκ2 ε2N
(N )+εN
Ω(N )
√
Выбрав ε = 2e2κ2 θκ2 , установим неравенство
Z
exp (−κ2 {N − ν})
ξ 2 |u||∇u|
dy 6
εN
2κ2
Z
Z
(N )+εN
Ω(N )
u2 dy.
u2 dy.
58
Л.М. КОЖЕВНИКОВА
Пользуясь (3. 10) и последним неравенством, из (3. 8) получим оценку
Z
√ 2κ
2
2
I 2 6 2a(n + 1)κ2 θe
ξ 2 |∇u|2 dy+
(N )+εN
Ω(ν)
a(n + 1) exp(−2κ2 {N − ν + 1})
+ √
ε2N
2 θκ2
(3. 11)
Z
u2 dy.
(N )+εN
Ω(N )
Соединяя (3.3) при ξ2 = ξ 2 и (3.11), пользуясь (3.4), выводим соотношение
k∇uk2Ω(ν) 6
a(n + 1) exp (−2κ2 {N − ν + 1})
√
kuk2 (N )+εN .
2
Ω(N )
ε
2b
a θκ2
N
Неравенство (3.1) доказано.
Теперь докажем неравенство (3.2). Построим определенную в Ω липшицеву функцию
b
ξ2 (y) такую, что

ξ 2 (y), y ∈ Ω(N ) ;

!



(N +1)

y)
dist(S
,
 exp (−κ (N − ν)) min 1,
,
2
(N +1)
ξb2 (y) =
t
i



 y ∈ ωi(N +1) , i = 1, p(N +1) ;


0, y ∈ Ω \ Ω(N +1) .
Очевидно, справедливы неравенства
|∇ξb2 | 6
exp(−κ2 {N − ν})
(N +1)
ti
,
(N +1)
y ∈ ωi
i = 1, p(N +1) .
,
(3. 12)
(N +1)
В неравенстве (3.3) положим ξ2 = ξb2 , пользуясь тем, что ∇ξb2 ≡ 0 вне Ω(ν) , применяя
(3. 12), (3. 6), выводим:
N
−1 Z
X
b
I2 = 2a(n + 1)
ξ 2 |u||∇u||∇ξ 2 |dy+
j=ν
(j+1)
Ω(j)
Z
ξb2 |u||∇u||∇ξb2 |dy 6 2a(n + 1)
+2a(n + 1)
p(j) Z
N
X
X
j=ν+1 i=1
(N +1)
Ω(N )
2
|u||∇u|
κ2 ξ 2
(j)
dy+
ti
(j)
ωi
p(N +1)
+2a(n + 1)
Z
X
i=1
(N +1)
exp (−κ2 {N − ν})
ξb2 |u||∇u|
dy.
(N +1)
ti
ωi
Оценим интегралы
Z
(N +1)
exp (−κ2 {N − ν})
ξb2 |u||∇u|
dy 6
(N +1)
ti
ωi
Z
ε
6
2
(N +1)
ωi
exp (−2κ2 {N − ν})
ξb22 |∇u|2 dy +
2ε
u2
Z
(N +1)
ωi
(N +1)
ti
2 dy,
i = 1, p(N +1) ,
(3. 13)
О СУЩЕСТВОВАНИИ И ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ. . .
59
√
выбрав ε = 2e2κ2 θκ2 , воспользовавшись (1.7), (1.8), установим неравенства
Z
Z
√
exp (−κ2 {N − ν})
2κ2
b
ξ2 |u||∇u|
dy 6 e
ξb22 |∇u|2 dy+
θκ2
(N +1)
ti
(N +1)
ωi
(N +1)
ωi
√
θ exp (−2κ2 {N − ν})
+
4e2κ2 κ2
Z
|∇u|2 dy,
i = 1, p(N +1) .
(N +1)
ωi
Пользуясь (3. 10) и последним неравенством, из (3. 13) получим оценку
√
Z
√ 2κ Z
a(n
+
1)
θ
2
2
2
b
b
I2 6 2a(n + 1)κ2 θe
exp(−2κ2 {N − ν + 1})
ξ2 |∇u| dy +
2κ2
|∇u|2 dy.
(N +1)
(N +1)
Ω(N )
Ω(ν)
Соединяя (3.3) при ξ2 = ξb2 и последнюю оценку, пользуясь (3.4), выводим соотношение
√
a(n + 1) θ
2
exp (−2κ2 {N − ν + 1})k∇uk2Ω(N +1) .
k∇ukΩ(ν) 6
2b
aκ2
(N )
Неравенство (3.2) доказано.
Доказательство теоремы 1. При ν = 0, N − 1, N ≥ 1 из предложения 1 вытекает
справедливость неравенств
exp (−κ2 {N − ν})
k∇ukΩ(ν) 6 M1
kukΩ(N )+εN ,
εN
(N )
k∇ukΩ(ν) 6 M2 exp (−κ2 {N − ν}) k∇ukΩ(N +1) .
(N )
Переходя в правой части к пределу при N → ∞ либо на основе (1.24), либо (1.25), выводим
равенства
exp(−κ2 ν)k∇ukΩ(ν) = 0, ν = 0, ∞,
из которых следует утверждение теоремы.
Далее установим оценку Сен-Венановского типа для псевдодифференциального эллиптического уравнения (1.46).
Предложение 2. Пусть для области Ω существует λ[Bk,q ]-последовательность
∞
{xN }∞
N =0 , подчиняющаяся требованию (1.35), выполнены условия (1.48) – (1.50) и {εN }N =0
– произвольная последовательность положительных чисел. Тогда найдутся положительные постоянные κ(Ξ) и M (Ξ) такие, что если supp Φ ⊂ ΩxN +εN , Ψ(y) = 0 в ΩxN +εN
при некотором N ∈ N, то для решения u(y) задачи (1.46), (1.51) при всех ν = 0, N − 1
справедливы оценки
exp (−κ{N − ν})
kukBk,q ,(−∞,xν ) 6 M
kukΩxxN +εN .
(3. 14)
[k,q]
N
εN
Доказательство. Пусть $(t) ∈ C ∞ (R) – неубывающая функция, равная 0 и 1 при t 6 0
и t ≥ 1, соответственно. Пусть
b
ai = max | Di $(t) |,
t∈[0,1]
ai = 3ib
ai ,
i = 0, ∞.
Из теоремы Лагранжа следует, что b
ai+1 ≥ b
ai , тем более ai+1 ≥ ai .
Выберем число e∗ > 1 так, чтобы выполнялось неравенство
2
C3 (1 + θ) exp
6 e∗b
a,
e∗
где C3 – постоянная, определяемая ниже и зависящая только от Ξ.
(3. 15)
(3. 16)
60
Л.М. КОЖЕВНИКОВА
Зафиксируем натуральное число N и целое неотрицательное число ν 6 N − 1. Рассмотрим кусочно-постоянную функцию β(x), x ∈ R такую, что β(x) = δJ , x ∈ [xJ , xJ+1 ),
причем δJ−1 = e∗ ∆J , J = ν, N − 1 и β(x) = 0 при x 6∈ [xν , xN ).
Построим функцию α(x) 6 β(x), сглаживая функцию β(x) по следующему правилу.
Если δJ−1 < δJ , то на отрезке [xJ , xJ + ∆J /3] функция α(x) определяется так:
3(x − xJ )
.
α(x) = δJ−1 + (δJ − δJ−1 )$
∆J
Если же δJ > δJ+1 , то на отрезке [xJ+1 − ∆J /3, xJ+1 ] полагаем
3(x − xJ+1 )
α(x) = δJ − (δJ − δJ+1 )$ 1 +
.
∆J
В оставшихся точках считаем α(x) = β(x).
xR
J+1
Установим оценки интеграла
α(t)dt, J = ν, N − 1:
xJ
xJ +
Z
δJ ∆J
1
=
=
3e∗
3
2∆J
3
xZJ+1
δJ dt 6
xJ +
xZJ+1
α(t)dt 6
xJ
∆J
3
δJ dt = δJ ∆J =
1
.
e∗
(3. 17)
xJ
Очевидно, что во всех случаях производные функции α(x) подчиняются оценкам
i
3
ai
ai δJ
i
| D α(x) |6
δJ max | Di $(t) |6 i =
,
(3. 18)
t∈[0,1]
∆J
∆J
e∗ ∆i+1
J
при x ∈ [xJ , xJ+1 ], J = ν, N − 1, i ∈ N.
Определим дифференциальные полиномы Pp (α) от гладкой функции α(x) условиями
P0 (α) = 1, Pp (α) = (D + α)Pp−1 . Тогда для p = 1, ∞ имеем
p−1
Pp (α) = (D + α)
p
X
α=
Y
p1 p2 ...ps
Asp
s=1
αp1 (Dα)p2 (Ds−1 α)ps ,
где Apsp1 p2 ...ps — целые неотрицательные числа.
Положим
p
X
Y
bp =
Apsp1 p2 ...ps
s=1
s
ap01 ap12 · · · aps−1
;
(3. 20)
p1 +2p2 +...+sps =p
очевидно bp+1 ≥ bp .
Следовательно, полиномы Pp (α) удовлетворяют неравенствам
p1
p
p
X
Y
a0
as−1 s
bp
p1 p2 ...ps
| Pp (α) |6
Asp
,
···
6
s
e∗ ∆J
e∗ ∆J
e∗ ∆pJ
s=1
p +2p +...+sp =p
1
(3. 19)
p1 +2p2 +...+sps =p
2
x ∈ [xJ , xJ+1 ],
s
J = ν, N − 1,
p ∈ N.
Определим невозрастающую гладкую функцию ξ(x) на R условиями

1, 

 x 6 xν ;


x

Z


 exp − α(t)dt , x 6 x 6 x ;
ν
N
ξ(x) =

xν


k


ξ(x
)η
x N 6 x 6 x N + εN ;
N xN ,xN +εN (x),


0,
x ≥ x N + εN .
(3. 21)
О СУЩЕСТВОВАНИИ И ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ. . .
61
0
На промежутке [xν , xN ], очевидно, ξ = −αξ, и ввиду (3.17) справедливы неравенства
ξ(xJ )
1
1
6 exp
6
, J = ν, N − 1.
(3. 22)
exp
3e∗
e∗
ξ(xJ+1 )
ξ(xν )
N −ν
Перемножая эти неравенства, находим, что exp
6
и
3e∗
ξ(xN )
N −ν
.
(3. 23)
ξ(xN ) 6 exp −
3e∗
Нетрудно доказать, что на промежутке [xν , xN ] справедливы соотношения
2
Dp ξ = ξPp (−α),
Dp ξ = ξ
2
p
X
Cpl Pl (−α)Pp−l (−α),
p ∈ N.
l=0
Далее, пользуясь (3.21), выводим
| Dp ξ |6 ξ
bp
,
e∗ ∆pJ
2
| Dp ξ |6 ξ
2
2p b2p
,
e∗ ∆pJ
x ∈ [xJ , xJ+1 ],
J = ν, N − 1,
p ∈ N.
(3. 24)
2
Оценим производные Dp ξ, Dp ξ , p = 1, k, на отрезке [xN , xN + εN ]. Ввиду (2.34) имеем
2p c2p η 2k−p
| D ξ (x) |6 ξ (xN )
,
εpN
cp η k−p
| D ξ(x) |6 ξ(xN ) p ,
εN
p 2
p
2
x ∈ [xN , xN + εN ].
(3. 25)
◦
2
Положим в (2.1) v = (u − Ψ)ξ (x) ∈W Bk,q (Ω), учитывая то, что Φ(ξ) = 0, Ψξ ≡ 0,
получим равенство
2
(u, uξ )G,R = 0.
Применяя (1.49), выводим неравенство
Z∞
b
a
6b
a
Z∞ 2
ξ ku(x)k2Bk,q dx 6
−∞
(3. 26)
2
ξ ku(x)k2Bk,q − kξu(x)k2Bk,q
n
o
2
dx + Re (uξ, uξ)G,R − (u, uξ )G,R = I.
−∞
2
Оценим интегралы в I с учетом того, что Dp ξ ≡ 0, Dp (ξ ) ≡ 0, p ∈ N вне промежутка
[xν , xN + εN ]. Пользуясь (1.50), выводим неравенство


!2 
xN
Z+εN Z  X
i−1
i−1
X
X
|Dxi u|ξ
I 6 C1
|Dxp u||Dxi−p ξ| +
|Dxp u||Dxi−p ξ|  +

p=0
p=0
xν
i=q,k
Rn
+
+|T
X
i−1
X
α,β∈S
p=0
β
Dxj u|
i−1
X
|T α Dxp u||Dxi−p ξ|
j−1
X
|T β Dxp u||Dxj−p ξ|+
(3. 27)
p=0
!)
|T
α
Dxp u|
|Dxi−p ξ|ξ
+
|Dxi−p ξ 2 |
dxdy.
p=0
Для случая q = 0 считаем, что сумма
P
i=q,k
содержит лишь одно слагаемое при i = k.
62
Л.М. КОЖЕВНИКОВА
Используя на промежутках [xJ , xJ+1 ], J = ν, N − 1, (3.24), а на промежутке [xN , xN +εN ]
применяя (3.25), устанавливаем, что
!
"
x
N
−1 ZJ+1Z
X
X
X
2
| T α Dxi u |2 +
I 6 C2
ξ µ
| Dxi u |2 +
J=ν x
J
+
i−1
XX
| Dxp u |2
1
µe2∗
2(i−p)
i=q,k p=0 ∆J
xN
Z+εN Z
2
µ
x
2(i−p)
∆J
α∈S p=0
ηx2kN ,xN +εN | Dxi u |2 +
dxdy+
(3. 28)
Rn
2(i−p)
X
ηx2kN ,xN +εN | T α Dxi u |2
+
α∈S
i=q,k
εN
i=q,k p=0
!#
!
X
i−1
2(k−i+p)
XX
| Dxp u |2 ηxN ,xN +εN
1
+
µ
+
i−1
XX
| T α Dp u |2
"
+C2 ξ (xN )
xN
α∈S
i=q,k
Rn
+
i−1
2(k−i+p)
XX
| T α Dxp u |2 ηxN ,xN +εN
!#
2(i−p)
εN
α∈S p=0
dxdy ≡ I I + I II ,
где I I содержит интегралы по (xν , xN ), а I II по (xN , xN + εN ), µ ∈ (0, 1] — произвольное
число.
Пользуясь неравенствами (2.7), (2.70 ), (2.12), (2.120 ) c ∆ = ∆J , = 1, применив определение λ[Bk,q ]-последовательности (1.33), (1.32), находим для J = 0, ∞, p = 0, i, что


xZJ+1
kuk2ΩxJ+1
p
2
kD
uk
xJ
x
Rn
2
e kuk2
e
 6 C(1+θ)kuk
JJ0 =
dx 6 C
i = q, k,
Bk,q ,(xJ ,xJ+1 ) +
Bk,q ,(xJ ,xJ+1 ) ,
2(i−p)
2[k,q]
∆J
∆J
xJ
(3. 29)
00
xZJ+1
JJ =
kT α Dxp uk2Rn
2(i−p)
∆J
xJ

e kuk2
dx 6 C
Bk,q ,(xJ ,xJ+1 ) +
kuk2ΩxJ+1
xJ
2[k,q]
∆J

2
e
 6 C(1+θ)kuk
B
k,q ,(xJ ,xJ+1 )
,
α ∈ S.
Отсюда, ввиду (3.22) для J = ν, N − 1, p = 0, i, сразу следует, что
xZJ+1
ξ
xJ
xZJ+1
ξ
xJ
p
2
2 kDx ukRn
2(i−p)
∆J
2 kT
α
e + θ) exp
dx 6 C(1
xZJ+1
2
ξ ku(x)k2Bk,q dx,
i = q, k,
xJ
Dxp uk2Rn
2(i−p)
∆J
2
e∗
e + θ) exp
dx 6 C(1
xZJ+1
2
2
ξ ku(x)k2Bk,q dx,
e∗
(3. 30)
α ∈ S.
xJ
Теперь, выбрав µ = 1/e∗ , применив (3.30), оценим интеграл I I
C3 (1 + θ)
II 6
exp
e∗
2
e∗
ZxN
2
ξ ku(x)k2Bk,q dx.
(3. 31)
xν
Далее, используя (2.38), (2.380 ), (2.37), (2.370 ) при ∆ = εN , полагая δ = 1/e2∗ , оценим
интеграл I II
I II
C3 2
6
ξ (xN )
e∗
xN
Z+εN
xN
2
ηx2kN ,xN +εN ku(x)k2Bk,q dx + C4 (e∗ )ξ (xN )
kuk2 xN +εN
ΩxN
2[k,q]
εN
.
(3. 32)
О СУЩЕСТВОВАНИИ И ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ. . .
63
Соединив оценки (3.31) – (3.32), установим неравенство
C3 (1 + θ)
exp
I6
e∗
2
e∗
xNZ+εN
2
2
ξ ku(x)k2Bk,q dx + C4 ξ (xN )
kuk2 xN +εN
ΩxN
2[k,q]
.
(3. 33)
εN
xν
Комбинируя последнюю оценку с (3.26) и выбирая e∗ согласно (3.16), заключаем, что
2
b
akuk2Bk,q ,(−∞,xν ) 6 C4 ξ (xN )
kuk2 xN +εN
ΩxN
2[k,q]
.
εN
1
1
< .
3e∗
3
Доказательство теоремы 4. При ν = 0, N − 1, N ≥ 1 из предложения 2 вытекает
справедливость неравенств
Таким образом, согласно (3.23), установлено неравенство (3.14) с κ =
kukBk,q ,(−∞,xν ) 6 M
exp (−κ{N − ν})
[k,q]
εN
kukΩxxN +εN ,
N
из которых, согласно (1.37), заключаем
exp(−κν)λ1/2 (ν)kukΩxν 6 M
exp(−κN )
[k,q]
εN
kukΩxxN +εN .
N
Переходя в последних неравенствах к пределу при N → ∞ и применяя (1.56), выводим
равенства
exp(−κν)λ1/2 (ν)kukΩxν = 0, ν = 0, ∞,
из которых следует утверждение теоремы.
Доказательство теоремы 5. Для Π[k, q, φ(r)]-последовательности, ввиду (1.42),
(1.420 ), справедливы неравенства
xZJ+1
xJ
dx
6
1
φ(f (x))[ k ,σ(q)]
∆J
1
φ(f (x))[ k ,σ(q)]
inf
6 1,
J = 0, ∞,
(3. 34)
[xJ ,xJ+1 )
суммируя которые выводим
ZxN
1
dx
6 N.
1
φ(f (x))[ k ,σ(q)]
(3. 35)
В условии (1.57) положим r = xN , где {xN }∞
N =0 — Π[k, q, φ(r)]-последовательность функции f (x). Получим


ZxN
dx
 kuk xN +1 = 0.
lim exp −κ
(3. 36)
1
ΩxN
N →∞
φ(f (x))[ k ,σ(q)]
1
Соединяя (3.36) и (3.35), несложно установить соотношение
lim exp (−κN ) kukΩxxN +1 = 0.
N →∞
N
{xN }∞
N =0
Поскольку Π[k, q, φ(r)]-последовательность
является λ[Bk,q ]-последовательностью
области Ω(f ), то, согласно теореме 4 с εN = 1, N = 0, ∞, получаем u(y) = 0 для п.в.
y ∈ Ω(f ).
Доказательство теоремы 2 проводится аналогичным образом.
64
Л.М. КОЖЕВНИКОВА
4.
Теорема существования
Пусть {xN }∞
N =0 – λ[Bk,q ]-последовательность области Ω. Покажем ограниченность ве◦
◦
личины (w, v)G,R в пространстве HBk,q (Ω). Для этого сначала для α ∈ S, v ∈HBk,q (Ω)
установим оценку
I = kT α Dxi vk2Rn+1 6 C1 kvk2Bk,q ,R ,
q ≥ 0.
(4. 1)
Для q > 0, применяя неравенства (2.120 ) при ∆ = 1 для первых сумм и ∆ = ∆J для
вторых сумм, устанавливаем соотношения
−1
X
I=
kT
α
Dxi vk2Πx0 +N +1
+
x0 +N
N =−∞
e kvk2B ,(−∞,x ) + kvk2Ωx0
6C
0
k,q
∞
X
kT α Dxi vk2ΠxN +1 6
xN
N =0


∞ 
kvk2ΩxN +1 
X
xN
e
+C
kvk2Bk,q ,(xN ,xN +1 ) +
.
2[k,q]


∆N
N =0
Используя условие (1.35) и определение (1.32), (1.33) λ[Bk,q ]-последовательности, выводим
неравенство
e + λ−1 )kvk2
e + θ)kvk2
I 6 C(1
+ C(1
,
Bk,q ,(−∞,x0 )
0
Bk,q ,(x0 ,∞)
◦
из которого следует (4.1). Пользуясь неравенством (2.120 ) при ∆ = 1, для v ∈HBk,0 (Ω)
устанавливаем соотношениe
∞
X
I=
e kvk2 + kvk2
kT α Dxi vk2ΠN +1 6 C
Bk,0 ,R ,
(4. 2)
N
N =−∞
из которого следует (4.1).
◦
Теперь оценим (w, v)G,R , w, v ∈HBk,q (Ω). Для q ≥ 0, пользуясь условием (1.50), применяя
(4.1), выводим соотношения
X
|(w, v)G,R | 6 a
kT α Dxi wkRn+1 kT β Dxj vkRn+1 6 C2 kwkBk,q ,R kvkBk,q ,R .
(4. 3)
α,β∈S
Обозначим через x−1 = −∞. Определим гладкие функции ωN (x) ∈ C0∞ (R), N ≥ 0 с
носителем на [xN −1 , xN +1 ]. Положим
x − xN
x − x0
x − xN −1
−$
, ω0 (x) = 1 − $
.
ωN (x) = $
∆N −1
∆N
∆0
Здесь $(t) ∈ C ∞ (R) – функция из предложения 2. Очевидно, справедливы равенства
ωN (x) + ωN +1 (x) = 1,
x ∈ [xN , xN +1 ],
N ≥ 0.
Ввиду (3.16) при i = 0, ∞ имеют место неравенства
|Di ωN | 6
b
ai
,
∆iN −1
x ∈ (xN −1 , xN ),
|Di ωN | 6
b
ai
,
∆iN
x ∈ (xN , xN +1 ).
(4. 4)
◦
Обозначим через kΦk(a,b) норму сужения функционала Φ на H Bk,q (Ωba ).
Теорема 7. Пусть для области Ω существует λ[Bk,q ]-последовательность, подчиняющаяся условию (1.35), и выполнены требования (1.48) – (1.50). Если существуют число
О СУЩЕСТВОВАНИИ И ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ. . .
65
b такие, что при каждом целом N ≥ 0 функция
κ
b ∈ (0, κ) и положительная постоянная C
◦
Ψ(y) ∈ WBk,q ,lc (Ω) и функционал Φ ∈G ∗Bk,q (Ω) удовлетворяют неравенствам:
kΨk2W
Bk,q
b exp(2b
κN ),
kΦk2(xN −1 ,xN +1 ) 6 C
X
b exp(2b
x
κN ),
+
λ(xJ , xJ+1 )kΨk2ΩxJ+1 6 C
(Ω N +1 )
xN −1
(4. 5)
xJ
J=N −1,N
то существует решение задачи Дирихле (1.46), (1.51), подчиняющееся требованию (1.56)
с εN = ∆N , N = 0, ∞.
Доказательство. Согласно теореме 6 при каждом N = 0, ∞ существует единственное решение uN (y) ∈ WBk,q (ΩxN +1 ) задачи Дирихле (1.46), (1.51) с функционалом
◦
ΦN (v) = Φ(ωN v), v ∈H Bk,q (Ω) и функцией ΨN (y) = Ψ(y)ωN (x),
N = 0, ∞. Положим
◦
wN = uN − ΨN ∈H Bk,q (ΩxN +1 ), N = 0, ∞. Рассмотрим функциональный ряд
∞
X
wN (y).
(4. 6)
N =0
◦
Покажем, что он сходится по норме пространства H Bk,q (Ωr ) для любого r > 0. Согласно
(3.14) при εN = ∆N , применяя (1.32), (1.33), для ν = −1, N − 4, N ≥ 3 имеем неравенства
kwN k2Bk,q ,(−∞,xν+1 ) 6 M 2
exp(−2κ(N − ν − 3))
2[k,q]
∆N
kwN k2ΩxN −1 6
xN −2
6 θM 2 exp(−2κ(N − ν − 3))kwN k2Bk,q ,(xN −2 ,xN −1 ) ,
из которых, применяя (2.5), получим
√
kwN kBk,q ,(−∞,xν+1 ) 6 CM θ exp (3κ) exp (−κ(N − ν)) kΦN k + kΨN kWBk,q (Ω) .
(4. 7)
◦
Оценим нормы kΦN k, kΨN kWBk,q (Ω) , N = 0, ∞. Для N ≥ 1, v(y) ∈H Bk,q (Ω) имеем:
|ΦN (v)| = |Φ(vωN )| 6 kΦk(xN −1 ,xN +1 ) kωN vkBk,q ,(xN −1 ,xN +1 ) .
(4. 8)
Далее оценим норму
kωN vk2Bk,q ,(xN −1 ,xN +1 ) = kωN vk2Bk,q ,(xN −1 ,xN ) + kωN vk2Bk,q ,(xN ,xN +1 ) =
=
Z
X
J=N −1,N
|Dxk (vωN )|2 + Xk−q |Dxq (vωN )|2 dydx +
x
Z xZN +1
2
B 2 (z)ωN
|Fy→z [v]|2 dzdx.
Rn xN −1
ΩxJ+1
J
Применяя (4.4), выводим неравенства
Z
X
kωN vk2Bk,q ,(xN −1 ,xN +1 ) 6
J=N −1,N
Z
xZN +1
x
ΩxJ+1
J
X
i
X
i=q,k
p=0
!2
Cip |Dxp v||Dxi−p ωN )|
B 2 (z)|Fy→z [v]|2 dzdx 6
+
Rn xN −1
6 C1
X
J=N −1,N
Z
x
ΩxJ+1
J
Z xZN +1
dydx +
B 2 (z)|Fy→z [v]|2 dzdx.
2(i−p)
∆J
i
XX
|Dxp v|2
i=q,k p=0
dydx+
Rn xN −1
66
Л.М. КОЖЕВНИКОВА
Пользуясь неравенствами (2.7), (2.70 ) c ∆ = ∆J , = 1, определением λпоследовательности (1.32), (1.33), устанавливаем соотношения


kvk2ΩxJ+1
X
xJ
kDxk vk2 xJ+1 + Xk−q kDxq vk2 xJ+1 +
+
kωN vk2Bk,q ,(xN −1 ,xN +1 ) 6 C2
2[k,q]
ΩxJ
ΩxJ
(4. 9)
∆J
J=N −1,N
+kBFy→z [v]k2ΠxN +1 6 C32 kvk2Bk,q ,(xN −1 ,xN +1 ) .
xN −1
Соединяя (4.8), (4.9), для N ≥ 1 выводим
kΦN k 6 C3 kΦk(xN −1 ,xN +1 ) .
(4. 10)
◦
Для N ≥ 1, v(y) ∈H Bk,q (Ω) имеем:
kΨN k2WB
k,q
(Ω)
= kΨωN k2WB
k,q
= kΨωN k2WB
(Ω)
x
k,q
(ΩxN
)
N −1
+ kΨωN k2WB
x
k,q
+1
)
(ΩxN
N
.
Используя (4.4), устанавливаем оценку
kΨN k2WB
Z xZN +1
|Ψ|2 dydx +
B 2 (z)|Fy→z [Ψ]|2 dzdx+
Z
k,q
(Ω)
6
x
Rn xN −1
+1
ΩxN
N −1
+C1
i
XX
|Dxp Ψ|2
Z
X
2(i−p)
J=N −1,N
i=q,k p=0
x
ΩxJ+1
J
dydx.
∆J
Применяя неравенства (2.7), (2.70 ) c ∆ = ∆J , = 1, определением λ-последовательности
(1.33) устанавливаем соотношения


2
X kΨkΩxxJ+1
J
6
kΨN k2WB (Ω) 6 C4 kΨk2W (ΩxN +1 ) +
2[k,q]
k,q
xN −1
Bk,q
∆
J
J=N −1,N
!
P
6 C4 kΨk2W (ΩxN +1 ) + θ
λ(xJ , xJ+1 )kΨk2ΩxJ+1 .
Bk,q
xN −1
xJ
J=N −1,N
В результате, при всех N ≥ 1 получим оценки
!
kΨN k2WB (Ω)
k,q
6 C5
kΨk2W (ΩxN +1 )
xN −1
Bk,q
+
X
J=N −1,N
λ(xJ , xJ+1 )kΨk2ΩxJ+1
xJ
.
(4. 11)
Отметим, что для N = 0 неравенства (4.10), (4.11) также остаются верными.
При помощи (4.5), из (4.10), (4.11) заключаем справедливость оценок
kΦN k 6 C6 exp (b
κN ) ,
kΨN kWBk,q (Ω) 6 C6 exp (b
κN ) ,
N = 0, ∞.
(4. 12)
Далее, воспользовавшись (4.12), из (4.7) выводим
kwN kBk,q ,(−∞,xν+1 ) 6 C7 exp (−κ(N − ν)) exp (b
κN ) ,
для ν = −1, N − 4, N ≥ 3. Таким образом, ряд (4.6) мажорируется сходящимся числовым
рядом
∞
∞
X
X
kwN kBk,q ,(−∞,xν+1 ) 6 C7 exp (b
κν)
exp (−(κ − κ
b)(N − ν)) =
N =ν+4
= C7 exp (b
κν)
∞
X
i=4
N =ν+4
exp (−(κ − κ
b)i) 6 C8 exp (b
κν) .
(4. 13)
О СУЩЕСТВОВАНИИ И ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ. . .
67
Следовательно при любом целом ν ≥ 0 ряд (4.6) сходится по норме пространства
◦
◦
H Bk,q (Ωxν ) к функции w ∈H Bk,q ,lc (Ω).
Покажем, что u(y) = w(y) + Ψ(y) является обобщенным решением задачи (1.46), (1.51).
Для этого запишем интегральные тождества (2.2) для функций wN , N = 0, L и сложим
их, тогда для любого целого L ≥ 0 получим равенство
L
X
(wN , v)G,R =
N =0
L
X
ΦN (v) −
N =0
L
X
(ΨN , v)G,R ,
N =0
справедливое для любой функции v(y) ∈ C∞
0 (Ω). Для достаточно большого L такого, что
xν
supp v ⊂ Ω , ν 6 L, его можно переписать в виде
!
L
X
wN , v
= Φ(v) − (Ψ, v)G,R .
N =0
G,R
Применяя (4.3), выводим неравенства
L
L
X
X
wN , v)G,R 6 C2 kw −
wN kBk,q ,(−∞,xν ) kvkBk,q ,(−∞,xν ) ,
(w −
N =0
N =0
из которых следует, что lim (
L
P
L→∞ N =0
wN , v)G,R = (w, v)G,R . Выполнив в последнем тождестве
предельный переход при L → ∞, установим тождество (2.2) для суммы ряда
∞
P
wN .
N =0
Значит, функция u = Ψ + w ∈ WBk,q ,lc (Ω) является обобщенным решением уравнения
(1.46) c граничным условием (1.51).
Для построенного решения u(y) установим соотношение (1.56). Применяя (2.5), (4.12),
выводим неравенства
ν+3
ν+3
ν+3 X
X
X
kΦN k + kΨN kWBk,q (Ω) 6 C9
exp (b
κN ) .
(4. 14)
kwN kBk,q ,(−∞,xν+1 ) 6 C
N =0
N =0
N =0
Соединяя (4.13), (4.14), получаем
kwkBk,q ,(−∞,xν+1 ) exp (−κν) 6 exp (−κν)
( ν+3
X
kwN kBk,q ,(−∞,xν+1 ) +
N =0
(
6 exp (−κν) C9
(
6 exp (−(κ − κ
b)ν) C10
ν+3
X
∞
X
)
kwN kBk,q ,(−∞,xν+1 )
6
N =ν+4
)
exp (b
κN ) + C8 exp (b
κν)
N =0
ν+3
X
6
(4. 15)
)
exp (−b
κi) + C8
6 C11 exp (−(κ − κ
b)ν) .
i=0
Применяя определение λ[Bk,q ]-последовательности (1.32), (1.33), устанавливаем
xν+1 + kΨk xν+1
kukΩxxν+1 exp(−κν)∆−[k,q]
kwk
exp(−κν)∆−[k,q]
6
ν
ν
Ωxν
Ωxν
ν
6 θ1/2 kwkBk,q ,(xν ,xν+1 ) + kΨkΩxxν+1 λ1/2 (xν , xν+1 ) exp(−κν).
ν
Воспользовавшись (4.5), (4.15), в итоге выводим
kukΩxxν+1 exp (−κν) ∆ν−[k,q] 6 C12 exp (−(κ − κ
b)ν) ,
ν
ν = 0, ∞.
Ввиду того, что правая часть последнего неравенства при ν → ∞ стремится к нулю,
равенство (1.56) при εN = ∆N , N = 0, ∞ установлено. Теорема 7 доказана.
68
Л.М. КОЖЕВНИКОВА
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ландис Е.М. О поведении решений эллиптических уравнений высокого порядка в неограниченных областях // ДАН СССР. Т. 31. 1974. C. 35-58.
2. Олейник О.А., Иосифьян Г.А. Аналог принципа Сен-Венана для эллиптического уравнения
второго порядка и единственность решений краевых задач в неограниченных областях //
УМН. Т. 31, № 4. 1976. С. 261-262.
3. Олейник О.А., Иосифьян Г.А. Энергетические оценки обобщенных решений краевых задач
для эллиптических уравнений второго порядка и их приложения // ДАН СССР. Т. 232, № 6.
1977. C. 1257-1260.
4. Олейник О.А., Иосифьян Г.А. Об устранимых особенностях на границе и единственности
решений краевых задач для эллиптических и параболических уравнений второго порядка //
Функциональный анализ и его приложения. Т. 11, вып. 3. 1977. С. 54-67.
5. Тедеев А.Ф., Шишков А.Е., О качественных свойствах решений и субрешений квазилинейных
эллиптических уравнений // Изв. вузов. Математика. Т. 260, № 1. 1984. С. 62-68.
6. Шишков А.Е. Поведение решений задачи Дирихле для квазилинейных дивергентных эллиптических уравнений высокого порядка в неограниченных областях // Сибирский матем. ж-л.
Т. 28, № 6. 1987. С. 134-146.
7. Шишков А.Е. Квазилинейные дивергентные эллиптические уравнения в неограниченных областях // Диффер. уравнения. Т. 24, № 8. 1988. С. 1410-1423.
8. Шишков А.Е. Принцип Фрагмена-Линделера для квазилинейных дивергентных эллиптических уравнений высокого порядка // Успехи мат. наук. Т. 43, вып. 4. 1988. С. 231-232.
9. Кожевникова Л.М. Анизотропные классы единственности решения задачи Дирихле для квазиэллиптических уравнений // Изв. РАН. Т. 70, № 6. 2006. C. 93-128.
10. Шишков А.Е. Разрешимость граничных задач для квазилинейных эллиптических и параболических уравнений в неограниченных областях в классах функций, растущих на бесконечности // Укр. матем. журнал. Т. 47, № 2. 1995. C. 277-289.
11. Кожевникова Л.М. Стабилизация решения первой смешанной задачи для эволюционного квазиэллиптического уравнения // Матем. сб. Т. 196, № 7. 2005. C. 67-100.
12. Олейник О.А., Иосифьян Г.А. О единственности решения смешанной задачи для уравнений
теории упругости в неограниченной области // УМН. Т. 31, № 5. 1976. С. 247-248.
13. Кожевникова Л.М. Поведение на бесконечности решений псевдодифференциальных эллиптических уравнений в неограниченных областях // Матем. сб. Т. 199, № 8. 2008. C. 61-94.
14. Агранович М.С., Вишик М.И. Псевдодифференциальные операторы. М.: Наука, 1968.
15. Эскин Г.И. Краевые задачи для эллиптических псевдодифференциальных уравнений. М.: Наука, 1973.
16. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1983.
17. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического
типа. М.: Наука, 1973.
Лариса Михайловна Кожевникова,
Стерлитамакская госпедакадемия,
пр. Ленина, 37,
453103, г. Стерлитамак, Россия
E-mail: kosul@mail.ru
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа