close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О фредгольмовой разрешимости внешней задачи Дирихле для вырождающегося эллиптического оператора с суммируемыми коэффициентами.

код для вставкиСкачать
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН
2016, том 59, №1-2
МАТЕМАТИКА
УДК 517.948
С.А.Исхоков
О ФРЕДГОЛЬМОВОЙ РАЗРЕШИМОСТИ ВНЕШНЕЙ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ
ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ОПЕРАТОРА
С СУММИРУЕМЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Институт математики им.А.Джураева АН Республики Таджикистан
(Представлено членом-корреспондентом АН Республики Таджикистан З.Х.Рахмоновым 16.11.2015 г.)
В работе исследована фредгольмовая разрешимость вариационной задачи Дирихле для эллиптического оператора высшего порядка, заданного во внешности ограниченной области Ω  Rn.
Коэффициенты исследуемого оператора степенным образом вырождаются как на границе ∂Ω области Ω, так и в бесконечности. Младшие коэффициенты оператора принадлежат некоторым
Lp-пространствам со степенным весом.
Ключевые слова: внешняя задача Дирихле, эллиптический оператор, степенное вырождение, фредгольмовая разрешимость.
1. Работа посвящена исследованию фредгольмовой разрешимости внешней вариационной задачи Дирихле для эллиптического оператора высшего порядка со степенным вырождением на границе и на бесконечности. Исследуемый оператор задаётся во внешности некоторой ограниченной области с замкнутой (n  1) -мерной границей. Подобные исследования, ранее, в основном, проводились для эллиптических операторов в ограниченной области (см. [1-4] и имеющуюся в них библиографию). Случай эллиптических операторов во внешности ограниченной области рассматривался в
работах [5-7].
2. Пусть  - ограниченная область в n-мерном евклидовом пространстве R n с (n  1) мерной гладкой границей  и пусть *  R n
 . Символом K R обозначим открытый шар доста-
точно большого радиуса R  0 с центром в начале координат такой, что   K R . Пусть   x  –
регуляризованное расстояние от x  до  ,  ,  – вещественные числа. Символом   ,  x 
обозначим бесконечно дифференцируемую положительную в * функцию, которая ведет себя как
   x  вблизи  и как    x  в R n
KR .
Пусть r – натуральное число, 1  p   и   x  – непрерывная в * положительная функ-
 
ция. Введём весовое пространство Wpr; , , *
всех измеримых в * комплекснозначных функций
u  x  с конечной нормой
Адрес для корреспонденции: Исхоков Сулаймон Абунасрович. 734063, Республика Таджикистан, г. Душанбе,
ул. Айни, 299/1, Институт математики АН РТ. E-mail: sulaimon@mail.ru
5
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2016, том 59, №1-2
u;Wpr; , ,  *  
1/ p


p
p


k
    p,  x  u   ( x ) dx   p  x  u( x ) dx 


Ω*
 k r Ω*

где
u  ( x)
k
,
– обобщённая по С.Л.Соболеву производная функции
u  x  мультииндекса
k   k1, k2 ,, kn  , k  k1  k2  kn – длина мультииндекса k . Обозначим через W
0

0

*
пополнение класса C0 (Ω ) , а через W
  

 

'
– пространство антилинейных непрерывных
   , наделенное нормой сопряженного пространства.
p  [1, ) и вещественного  введём весовое пространство L   ;Ω  с нормой
0
функционалов, определенных на W
Для
r
p ; ,  ,
r
p ; ,  ,

r
p ; ,  ,

*
p
u; Lp   ;Ω

 
Пространства Wpr; , , Ω *
*
0
и W

1/ p


p


    p  x  u( x ) dx  .


 Ω*

r
p ; ,  ,
 

ранее были введены Н.В.Мирошиным в работе
[5]. Частные случаи этих пространств ранее изучались в работе [6]. Со свойствами этих пространств
также можно ознакомиться в работе [7].
3. Рассмотрим полуторалинейную форму
B  u, v  
   x  
2
k  l 2 r
 x  akl ( x)u( k ) ( x)v ( l ) ( x) dx
(1)
k ,|l | r Ω*
с
комплекснозначными
коэффициентами
akl ( x ) ,
первоначально
определённую
на
всех
u, v  C0  Ω*  .
Каждой паре мультииндексов k , l таких, что k , l  r , k  l  2r  1 , сопоставим в соответствие число:
 n
 r  k   , l  r, n  2  r  k  ,

pkl  x   
 n   , k  r, n  2  r  l  ;

r l
если k  r  1, l  r  1, то
6
Математика
С.А.Исхоков

n
  , n  2 r  k , n  2 r  l ,

 2r  k  l

n
pkl  
, n  2 r  k , n  2 r  l ,
 r  l 

n
, n  2 r  k , n  2 r  l ;

 r  k  
pkl – любое конечное число больше 2 в оставшихся случаях.
Здесь ε – достаточно малое положительное число.
Теорема 1. Пусть коэффициенты akl ( x ) при | k |= l  r ограничены, удовлетворяют условию эллиптичности
Re
 a  x  
k
l
kl
 c0 
x Ω , ξ  R 
2r
*
k  l r
n
(2)
и для любого достаточно малого числа   0 существует число   0 такое, что
akl  y   akl ( z )  


для любого y  Ω* и любого z  z  R n : z  y   /  ( y ) .
Пусть также коэффициенты akl ( x ) при | k |+ l  2r  1 принадлежат пространству


Lpkl   n / pkl ;Ω* .
Тогда найдутся такие числа C1  0 и C2  0 , что
ReB u, u  
 C1   2 ,  x  u 
k  r Ω*
k
 x
2
dx  C2  2 ,  x   2 r ( x ) u  x  dx
2
(3)
*
Ω
 
для всех u  C0 Ω* .
Неравенство (3) является аналогом неравенства Гординга для вырождающихся эллиптических
операторов во внешности ограниченной области. Весовой аналог неравенства Гординга для других
классов вырождающихся эллиптических операторов ранее был установлен в работах [8, 9].
4. Рассмотрим вариационную задачу Дирихле, связанную с формой (1).

0
Задача Dλ . Для заданного функционала F  W
r
2; ,  ,
  

'
требуется найти решение U ( x )
уравнения
B U , v     2  x U  x  v( x ) dx  F , v
Ω*
7
v  C  Ω   ,

0
*
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
0
принадлежащее пространству W
r
2; ,  ,
2016, том 59, №1-2
  .

Наряду с задачей D рассматриваются отвечающие ей однородную и формально сопряженные задачи:
Задача D0;λ . Требуется найти решение U ( x ) уравнения
B U , v     2  x U  x  v( x ) dx  0
v  C  Ω   ,

0
*
Ω*
0
принадлежащее пространству W
r
2; ,  ,
  .


0
*
Задача Dλ . Для заданного функционала G  W
r
2; ,  ,
  

'
требуется найти решение V ( x )
уравнения
v  C  Ω   ,
B  V , v     2  x V  x  v( x ) dx  G, v

0
*
Ω*
0
принадлежащее пространству W
r
2; ,  ,
  .

*
Задача D0; λ . Требуется найти решение V ( x ) уравнения
B  V , v     2  x V  x  v( x ) dx  0
v  C  Ω   ,

0
*
Ω*
0
принадлежащее пространству W
r
2; ,  ,
  .

Здесь B  V , v   B[v,V ].
Теорема 2. Пусть выполнены все условия теоремы 1. Пусть также 0    r и
lim sup
R x  R

где d  x   1  x

2 1/2
  x  (1  ln d ( x ))
d  r ( x )
 0,
и   1 , если   n / 2 совпадает с одним из чисел 1,2,, r, и   0 в про-
тивном случае.
Тогда задача D фредгольмова, то есть:

0
а) задача D разрешима для тех и только тех функционалов F  W
r
2; ,  ,
*
рых F ,V  0 на всех V ( x ) , являющихся решениями задачи D0; ;
*
б) размерности пространств решений задач D0; и D0; конечны и равны;
8
   , для кото
'
Математика
С.А.Исхоков
в) задача D0; имеет отличные от нуля решения только для счётного числа значений параметра  j , j  1,2,, причем  j   при j   ;
*
г) сопряженная однородная задача D0; разрешима для тех и только тех значений  , что и
задача D0; .
Фредгольмовая разрешимость задачи D ранее изучалась в работах Н.В.Мирошина [6, 7] в
предположении, что все коэффициенты akl  x  , k , l  r, ограничены и такие, что
Re  akl  x   k  l  c0   k
k , l r
2
(4)
k r
для всех x  Ω и любого набора комплексных чисел    k k r . Условие эллиптичности (2) в теореме 2 слабее условия (4). Вместо набора комплексных чисел    k k r в (2) используется набор
 
вещественных чисел  k
k r
,   1, 2 ,, n   Rn . Более того, в отличие от (4), в условии (2)
младшие коэффициенты akl  x  , k  l  2r  1 не участвуют.
Поступило 20.11.2015 г.
Л И Т Е РАТ У РА
Мирошин Н. В. Вариационная задача Дирихле для вырождающегося на границе эллиптического
оператора. – Дифференциальные уравнения, 1988, т. 24, № 3. с. 455-464.
2. Исхоков С.А. О гладкости решения вырождающихся эллиптических уравнений. –
Дифференциальные уравнения, 1995, т. 31, № 4, с. 641-653.
3. Исхоков С.А., Куджмуродов А.Я. О вариационной задачи Дирихле для вырождающихся
эллиптических операторов. – Доклады Академии наук России, 2005, т. 403, №2. с. 165-168.
4. Никольский С.М, Лирозкин П.И, Мирошин Н.В. Весовые функциональные пространства и их
приложения к исследованию краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений. –
Известия вузов. Математика, 1988, №8, с. 4-30.
1.
5. Мирошин Н.В. Спектральные внешние задачи для вырождающегося эллиптического оператора. –
Известия вузов. Математика, 1988, №8, с. 47-55.
6. Мирошин Н.В. Внешняя задача Дирихле для вырождающегося эллиптического оператора. – Труды Математического института АН СССР, 1979, т. 150, с. 198-211.
7. Мирошин Н.В. Внешняя вариационная задача Дирихле для эллиптического оператора с вырождением. – Труды Математического института РАН, 1992, т. 194, с. 179-195.
8. Исхоков С.А. Неравенство Гординга для эллиптических операторов с вырождением. –
Математические заметки, 2010, т. 87, №2, с. 201-216.
9
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2016, том 59, №1-2
9. Исхоков С.А., Гадоев М.Г., Якушев И.А. Неравенство Гординга для эллиптических операторов
высшего порядка с нестепенным вырождением. – Доклады Академии наук России, 2012, т. 443,
№3, c. 286-289.
С.А.Исњоќов
ОИДИ БА МАЪНОИ ФРЕДГОЛМ ЊАЛШАВАНДАГИИ МАСЪАЛАИ
БЕРУНАИ ДИРИХЛЕ БАРОИ ОПЕРАТОРИ ЭЛЛИПТИКИИ
ТАНАЗЗУЛЁБАНДА БО КОЭФФИТСИЕНТЊОИ
СУММИРОНИДАШАВАНДА
Институти математикаи ба номи А.Љўраеви Академияи илмњои Љумњурии Тољикистон
Дар маќола ба маънои Фредголм халшавандагии масъалаи вариатсионии Дирихле барои оператори эллиптикии дараљаи олї, ки дар беруни соњаи мањдуди Ω  Rn додашудааст,
тадќиќ карда мешавад. Коэффитсиентњои оператори тадќиќшаванда дар сарњади ∂Ω соњаи Ω ва
дар беохирї ба таври дараљагї таназзул меёбанд. Коэффитсиентњои хурди оператор ба баъзе
Lp-фазоњои вазни дараљагї дошта тааллуќ доранд.
Калимањои калидї: масъалаи берунаи Дирихле, оператори эллиптикї, таназзулёбии дараљагї,
њалшавандагї ба маънои Фредголм.
S.A.Iskhokov
ABOUT FREDHOLM SOLVABILITY OF EXTERIOR DIRICHLET PROBLEM
FOR A DEGENERATE ELLIPTIC OPERATOR WITH SUMMABLE
COEFFICIENTS
A.Dzhuraev Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan
Fredholm solvability is investigated for higher-order elliptic operator given in exterior of a bounded
domain Ω  Rn. Coefficients of the operator under consideration have power degeneration on the boundary
∂Ω of the domain Ω and at infinity. Lower coefficients of the operator belong to some Lp-spaces with power
weights.
Key words: exterior Dirichlet problem, elliptic operator, power degeneration, Fredholm solvability.
10
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа