close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О численном эксперименте в проблеме распределения нулей L-функций Дирихле.

код для вставкиСкачать
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 12 Выпуск 2 (2011)
Труды VIII Международной конференции
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения,
посвященной 190-летию Пафнутия Львовича Чебышева и
120-летию Ивана Матвеевича Виноградова
УДК 511
О ЧИСЛЕННОМ ЭКСПЕРИМЕНТЕ В
ПРОБЛЕМЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НУЛЕЙ
L-ФУНКЦИЙ ДИРИХЛЕ
Ю. П. Коновалов, А. Е. Коротков (г. Саратов)
Аннотация
Рассматриваются вычислительные схемы, связанные с проверкой гипотезы о нулях L-функций Дирихле и обсуждаются вопросы, которые встают при реализации численных алгоритмов.
1
Об одном вычислительном алгоритме, связанном с расширенной гипотезой Римана.
Рассмотрим L-функцию Дирихле
L(s, ?) =
?
?
?(n)
n=1
ns
, s = ? + it,
(1)
где ? - неглавный характер Дирихле. Расширенная гипотеза Римана предполагает, что нули L-функции (1) располагаются на критической прямой.
В [1] была доказана
Теорема
1.
Следующие условия эквивалентны:
1. Нули L-функции
(1)
лежат на критической прямой;
2. имеет место следующая асимптотическая оценка
S(x) =
?
n?x
1
?(n)?(n) = O(x 2 +? ),
(2)
О ЧИСЛЕННОМ ЭКСПЕРИМЕНТЕ В ПРОБЛЕМЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ... 35
где ?(n) - функция Мангольдта, равная
{
ln p, n = pk ,
?(n) =
0, n ?= pk ,
а ? произвольное положительное число.
Теорема 1 позволяет провести численный эксперимент, который косвенно
подтверждает расширенную гипотезу Римана на примере отдельных L-функций.
Действительно, тот факт, что функция вида
S(x)
S1 (x) = ? ,
x
(3)
где S(x) функция вида (2), является ограниченной на достаточно большом
интервале в какой-то мере позволяет говорить в пользу гипотезы. Например,
для характера Дирихле
?
? 0, n ? 0 (mod 3),
1, n ? 1 (mod 3),
?(n) =
?
?1, n ? 2 (mod 3),
проведенные вычисления показали ограниченность функции (3) при x ? 106 .
На рисунке 1 приведен график поведения этой функции.
Рис. 1
Такие же результаты были получены для ряда характеров Дирихле в случае
периодов 3,4,5. Нужно сказать, что программа вычисления функции S1 (x) вида
(3) позволяет проводить параллельные вычисления для нескольких характеров
одновременно. Основной недостаток этой вычислительной схемы заключается
в том, что она не определяет нули L-функции. Приведем еще одну вычислительную схему, связанную с расширенной гипотезой Римана, которая позволяет
определить нули L-функций.
36
2
Ю. П. КОНОВАЛОВ, А. Е. КОРОТКОВ
Аппроксимационный подход в задаче определения нулей L-функций Дирихле.
Наряду с L-функцией Дирихле (1) рассмотрим степенной ряд вида
g(x) =
?
?
?(n)xn .
(4)
n=1
Легко видеть, что функция g(x) вида (4) является рациональной функцией
вида
Pd?1 (z)
g(z) =
,
(5)
1 + z + z 2 + ... + z d?1
где d период характера ?.
Таким образом, функция вида (4) определяет функцию, регулярную внутри
круга радиуса 1 и регулярную в точке z = 1. В силу известных результатов теории приближений [2], существуют алгебраические полиномы, приближающие
функцию g(x) на отрезке [0, 1] с показательной скоростью. Как показано в [2],
в качестве таких полиномов можно взять полиномы вида
Pn (x) =
n
?
ck Tk (x),
(6)
k=0
где Tk (x) полиномы Чебышева.
Там же [2] показано, что величина приближения En (g) функции g(x) на
отрезке [0, 1] полиномами вида (6) удовлетворяет оценке
( )
1
En (g) = O
,
(7)
?n
где величина ? > 1 ?и тем больше, чем меньше период d характера ?. В [3]
показано, что ? > 1+2 5 в случае, когда период характера d=3,4,5,6,8,10.
Пусть полином (6) является полиномом вида
Pn (x) =
n
?
(n)
ak xk .
(8)
k=1
В работе [3] показано, что полиномы Дирихле вида
Qn (s) =
n
(n)
?
a
k=1
k
ks
(9)
приближают L-функцию Дирихле вида (1) в области ? : 0 < ?0 ? ? ? 1, |t| ? T
с той же скоростью, что и полиномы Pn (x) вида (8) приближают функцию g(x)
О ЧИСЛЕННОМ ЭКСПЕРИМЕНТЕ В ПРОБЛЕМЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ... 37
( )
на отрезке [0, 1], т.е. со скоростью порядка O ?1n , ? > 1, где константа зависит
только от величины T .
Известная теорема Гурвица [4] говорит о том, что нули L-функции Дирихле
в области ? являются пределами нулей полиномов Qn (s) вида (9) при n ? ?,
и, как было указано выше, нули полиномов Qn (s) в случаях d = 3, 4, 5, 6, 8, 10
достаточно быстро сходятся к нулям L-функции.
В силу сказанного приведем следующую вычислительную схему определения нулей L-функции Дирихле в области ?.
1. Определяем коэффициенты ck разложения (6) по формулам
?
1 ?
ck =
g(cos ?) cos k?d?,
(10)
? ??
где g(x) имеет вид (5).
(n)
2. Находим коэффициенты ak полинома Pn (x) вида (8). При этом полиномы
Чебышева Tk (x) определяем исходя из рекуррентного соотношения
Tk+1 (x) = 2xTk (x) ? Tk?1 (x),
T0 (x) = 1,
T1 (x) = x.
3. Определяем нули полиномов Qn (s).
Полиномы Дирихле вида (9) аппроксимируют L-функцию Дирихле (1) в области ? значительно быстрее, чем частные суммы ряда Дирихле. Авторами
была разработана программа нахождения таких полиномов Дирихле, что позволило в ряде случаев определить нули L-функций вида (1) в области ? при
достаточно больших T .
На рисунке 2 указаны нули таких полиномов для n = 50, n = 80, n = 90, T =
100 и
?
? 0, n ? 0 (mod 3),
1, n ? 1 (mod 3),
?(n) =
?
?1, n ? 2 (mod 3),
38
Ю. П. КОНОВАЛОВ, А. Е. КОРОТКОВ
Рис. 2
Из рисунка 2 видно, что нули полиномов Дирихле вида (9) в области ?
располагаются на критической прямой уже при n = 50.
Отметим, что авторы провели вычисление нулей в ряде случаев, когда периоды соответствующих характеров были равны 3,5, и величина T = 103 . Нужно
отметить, что в этих случаях нули полиномов Дирихле лежали на критической
прямой, начиная с n ? 120.
Представляет интерес определить зависимость n(T ), при которой полиномы
Дирихле будут иметь нули, лежащие на критической прямой.
Отметим также, что приведенная вычислительная схема позволяет определить нули рядов Дирихле с периодическими коэффициентами, которые определяют целые функции. Как известно [5], нули таких функций не обязательно
располагаются на критической прямой, и здесь указанная вычислительная схема будет полезной в связи с ответом на следующий вопрос: существуют ли две
целые функции, определенные рядами Дирихле с периодическими коэффициентами, которые не имеют общих нулей? Как показано в работе [6], ответ на
этот вопрос играет важную роль при решении проблемы взаимосвязи основной
и расширенной гипотез Римана.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
[1] Кузнецов В. Н. Аналог теоремы Сеге для одного класса рядов Дирихле //
Мат. заметки, 1984, т.36, N6.
[2] Кузнецов В. Н., Водолазов А. М. Аппроксимационный критерий периодичности конечнозначных функций натурального аргумента // Исследования
по алгебре,теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам:
Межвуз. сб. науч. тр. - Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2003, Вып. 2.
[3] Даугавет И. К. Введение в теорию приближений функций. - Л.: Изд-во
ЛГУ, 1977.
[4] Титчмарш Е. Теория функций. - М.: Наука, 1980.
[5] Воронин С. М., Карацуба А. А. Дзета-функция Римана. - М.: Физматизд,
1994.
[6] Кузнецов В. Н., Полякова О. А. Расширенная гипотеза Римана и нули
функций, заданных рядами Дирихле с периодическими коэффициентами
// Чебышевский сборник: Науч.-теор. журн. - Тула, 2010, Т.11.
Саратовский государственный университет им. Н.Г.Чернышевского.
Поступило 17.10.2011
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
533 Кб
Теги
эксперимент, функции, нулей, дирихле, проблемы, распределение, численного
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа