close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Об одной априорной оценке решений однородной задачи Дирихле для эллиптических уравнений в дивергентной форме.

код для вставкиСкачать
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН
2007, том 50, №7
МАТЕМАТИКА
УДК 517.9
А.Ё.Куджмуродов
ОБ ОДНОЙ АПРИОРНОЙ ОЦЕНКЕ РЕШЕНИЙ ОДНОРОДНОЙ ЗАДАЧИ
ДИРИХЛЕ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
В ДИВЕРГЕНТНОЙ ФОРМЕ
(Представлено членом-корреспондентом АН Республики Таджикистан З.Х.Рахмоновым 16.10.2007 г.)
В работе доказывается одна априорная оценка решения однородной задачи Дирихле
для эллиптических уравнений в дивергентной форме. Рассматриваемые эллиптические уравнения заданы в ограниченной области n-мерного евклидова пространства и степенным образом вырождаются на границе области.
1. Далее всюду в этой работе считается, что Ω – ограниченная область в n-мерном
евклидовом пространстве R n с n 1 -мерной границей
; r – фиксированное натуральное
число;
до границы области
x – регуляризованное расстояние точки x
функция класса C
, эквивалентная расстоянию от x
до
, то есть
, удовлетворяющая нера-
венству
Dk
для любого мультииндекса k
есть k
x
Mk
1 k
x , x
k1 , k 2 ,...k n . Здесь и далее k – длина мультииндекса k , то
k1 k2 ... kn .
Пусть
, p – некоторые вещественные числа и p
класс измеримых в
порядка r
k
1. Символом Lrp ,
обозначим
функций, имеющих все обощенные по Соболеву производные u k x
r с конечной полунормой
1
r
p;
p
u; L
x u
k
p
p
.
x dx
k r
Обозначим через Vpr;
весовое пространство с конечной нормой
u;V
Символом Lp;
, где
r
p;
p
r
p;
u; L
u; Lp;
p
1
p
r
– вещественное число, обозначается весовое пространство со сле-
дующей нормой
573
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2007, том 50, №7
1
p
u; L p ;
Заметим, что [1,2] при p 1, r
множество C0
плотно в Vpr;
p
x u x
dx
p
.
R пространство Vpr;
N,
является банаховым и
.
2. Рассмотрим дифференциальный оператор
Au
1
l
l
k
bkl x akl x u
x
,
, u C0
k ,l r
2
где bkl
k
l 2r
x . В качестве главной части оператора A рассматривается следующий
оператор
A0u
1
k
r
2
x akl x u
l
k
x
.
l r
Относительно коэффициентов akl , k
r оператора A0 предполагается выпол-
l
нение следующих двух условий:
I) существует число M 0
0 такое, что
akl
для любого мультииндекса
:
II) существует число c 0
x
x , x
M0
r;
0 такое, что
Re
akl x
2
c0
k l
k
k l r
для всех x
(1)
k
и любого набора комплексных чисел
k
k r
Также предполагается, что коэффициенты akl x
щенные производные мультииндекса
k
2r
k
0
n
2r k
max 2
0
l
2r 1 имеют все обоб-
x
Lqkl ;
,
k
(2)
,
qkl
Здесь и далее
k
l и
akl
где
.
l
, если n
0
,
n
2r k
2 2r
l
k
, если n 2 2r
– достаточно малое положительное число.
574
k .
Математика
А.Ё.Куджмуродов
Задача D0 . Для заданной функции F
L2;
требуется найти решение u(x)
r
уравнения
F,
Au
принадлежащее пространству V2;2 r
Теорема. Пусть
(3)
.
r
r и выполняются условия I), II), (2). Тогда любое решение u(x)
задачи D 0 удовлетворяет оценке
u;V2;2r
M F ; L2;
r
u;V2;r
r
,
(4)
где число M >0 не зависит от F.
Отметим, что если коэффициенты akl x
k
l
2r 1 ограничены и также удовле-
творяют неравенству (1), то сформулированная выше теорема следует из результатов работы
Н.В.Мирошина [3]. В отличие от этого имеющееся у нас условие (2) позволяет младшим коэффициентам иметь интегрируемые особенности во внутренних точках области.
Рассмотрим пространство Wpr;
u;W
0
Символом W
с конечной нормой
r
p;
p
r
p;
u; L
p
u; L p
обозначим пополнение множества C0
r
p;
1
p
.
(5)
по норме (5). Пусть число
удовлетворяет условию
1
p
r
1
p
и s0 – целое число, удовлетворяющее неравенствам
1
p
r
Тогда, если
C s0
1
0
W
где
0
W
r
p;
n
, где
s0
r
1
1
.
p
0,1 , то согласно теореме 1.2.1 [4]
s
r
p;
u W
r
p;
:
u
ns
0, s
0,1,..., s0 1 ,
– производная по внутренней нормали. Если же
Vpr;
1
p
1, 2,..., r , то
с точностью до эквивалентности норм. Поэтому задача D0 в этом случае
совпадает со следующей однородной задачей Дирихле.
575
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2007, том 50, №7
Задача D0 . Для заданной функции F
L2;
нения (3) , принадлежащее пространству W22; r
требуется найти решение u(x) урав-
r
и удовлетворяющее граничным условиям
r
s
u
ns
0,s
0,1,..., s1 1 ,
где s1 - целое число, удовлетворяющее неравенствам
1
2
r
s1
1
.
2
r
Отметим, что получение априорных оценок вида (4) является основным моментом в
исследование гладкости обобщенного решения вырождающихся дифференциальных уравнений (см., например, 1-4 ). Априорная оценка (4) также в дальнейшем используется для исследования дифференциальных свойств обобщенного решения некоторых классов эллиптических дифференциальных уравнений.
3. Далее коротко остановимся на некоторых основных моментах доказательства сформулированной выше теоремы.
Пусть Во и, v – билинейная форма, ассоциированная с оператором А0. Из условий I),
II) следует, что коэффициенты билинейной формы Во и, v удовлетворяют условиям теорем
1.1 и 1.2 работы 2 при
x
x ,
лучаем, что оператор A0 отображает Vpr; m m
m
0, r , а из теоремы 1.2
u Lr2;
L2;loc
r
m
в Vpm;
для всех p
r
m
1;
следует, что если целое число m
2
0, r
и всех целых
и функция
являются решением уравнения
B0 u, v
где Ф V2;m
x . Поэтому, применяя теорему 1.1 2 , по-
x
, то u W2r,locm
Ф, v
v C0
и при условии u
,
L2;
справедлива следующая
r
оценка
u;V2;r
m
m
Ф;V2;m
u;V2;r
r
.
m
Из этих результатов при m r следует, что для всех u C0
ству L2;
и справедливо неравенство
r
0
где число
A0 u принадлежит простран-
0
u;V22; r
r
u;V2r;
A0 u; L2;
0 не зависит от u x . Так как C0
имеет место для всех u V22; r
r
.
576
r
плотно в V22;r
,
(6)
r
, то неравенство (6)
Математика
А.Ё.Куджмуродов
Лемма. Пусть A1u
Au
A0 u , коэффициенты a kl x
k,l
r, k
l
2r 1 и число
удовлетворяют условиям теоремы. Тогда для любого достаточно малого числа
ществует число M
0 такое, что
A1u; L2;
для всех u C0
0 су-
u;V22; r
r
M
r
u; L2;
(7)
r
.
Доказательство. Для удобства записи символом
всем мультииндексам k, l таким, что k
r и k
r, l
обозначим суммирование по
1
2r 1 . Применяя формулу Лейб-
l
ница о дифференцировании произведения двух функций многих переменных, представим
A1u в виде

~
bk~ x u k x ,
A1u
~
k 2r 1
где

bk~ x
~
l k k
l
1
1 cl ,k~ bkl x a kl x
~
k k k l
,
где cl ,k~ - некоторые константы. В этом равенстве для каждого фиксированного мультииндекса
~
k суммирование производится по переменным мультииндексам k и l , удовлетворяющим
условиям
k ,l
r; k
2r 1;k
l
k
k l.
Используя формулу Лейбница и соответствующие соотношения между нормами производных функций в весовых L p -нормах, в силу условий (2) , можно представить коэффици
енты bk~ x в виде

bk~ x
2
~
2r k
x bk~ x ,
(8)
где
bk~ x
Lq ~ ;
k

k
,

~
k
а числа q k~ определяются равенствами
577
n
q k~
0
,
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2
0,
qk
k
если n 2 2r
n
k
2r
2007, том 50, №7
, если n
k
2 2r
.
Справедливо следующее обобщение неравенства Гельдера
UV ; L2;
U ; Lp0 ; 1
1
p
1
q
V ; Lq ;
0
1
,
2
1
,
(9)
2
.
2
Для удобства обозначений оператор A1 запишем в виде

bl x u l x .
A1u
l 2r 1
Применяя неравенство (9) и представление (8), получаем
A1u; L2;

bl u l ; L2;
r
bl u l ; L2;
r
l 2r 1
l 2r 1
bl ; Lql ;
r l
l 2r 1
l
(10)
l
. u l ; Lpl ; l

u; L pl ; l
,
l 2r 1
где
1
2
pl
1
1
ql
,
r
l

l
l
l
2r 1 .
Так как
r
l
и pl
0
1
n
2
2r 1 l
n
pl
0
2 , то из теорем вложения разных метрик для пространств V pr;
(см. [5] ) следует
неравенство
l
u;V2;2r
u; Lpl ; l
для всех мультииндексов l таких, что l
A1u; L2;
0
1
2r 1 . Отсюда и из (10) следует, что
u; L22;r
r
1
r
1
r
0
1
u; L2;
0
r
.
(11)
С другой стороны, из интерполяционного неравенства (17) работы [6], в частности
следует, что если m
ствует число M
2r и
0
2r , то для любого достаточно малого числа
0 такое, что
578
0 суще-
Математика
А.Ё.Куджмуродов
v; Lm2;
0
Применяя это неравенство при m
Au
1 ; L2;
Так как
v;V2;2 r
2r m
.
v; L2
r из (11) получаем
2r 1,
u;V2;2r
r
M
M
r
u; L2
u; L2;
0
.
r
r , то отсюда следует оценка (7). Лемма доказана.
Применяя неравенства (6), (7), имеем
A u; L2;
r
Так как
A0u; L2;
A1u; L2;
r
rr
0
0 – достаточно малое число, подбирая
u;V2;2r
r
M
Au; L2;
r
u;V2; r
0
M
r
u;V2;r
.
, находим:
u;V2;r
.
Отсюда следует, что если u(x) является решением задачи D0 , то для него справедлива
оценка (4) . Теорема доказана.
В заключение автор благодарит С.А.Исхокова за постановку задачи и оказанную помощь при выполнении работы.
Институт математики
Поступило 16.10.2007 г.
АН Республики Таджикистан
Л И Т Е РАТ У РА
1. Лизоркин П.И., Никольский С.М. – Труды Мат.ин-та АН СССР, 1983, т.161, с.157-183.
2. Исхоков С.А. – Дифференц. уравнения, 1995, т.31, №4, с.641-653.
3. Мирошин Н.В. – Дифференц. уравнения, 1988, т.24, №3, с.455-464.
4. Никольский С.М., Лизоркин П.И., Мирошин Н.В. – Известия вузов. Математика, 1988, №8, с.4-30.
5. Исхоков С.А., Кужмуратов А.Я. – Доклады РАН, 2005, т.403, №2, с.165-168.
6. Исхоков С.А. – Доклады РАН, 2003, т.392, №5, с.606-609.
А.Ё.Куљмуродов
ОИДИ ЯК БАЊОИ АПРИОРИИ ЊАЛЛИ МАСЪАЛАИ ЯКЉИНСАИ
ДИРИХЛЕ БАРОИ МУОДИЛАЊОИ ЭЛЛИПТИКЇ ДАР ШАКЛИ
ДИВЕРГЕНТЇ
Дар маќола як бањои априории њалли масъалаи Дирихле барои муодилањои
эллиптикї дар шакли дивергентї исбот карда шудааст. Муодилањои эллиптикї дар
соњаи мањдуди фазои евклидии n-ченака дода шуда, дар сарњади соња ба тарзи дараљагї
таназзул меёбанд.
579
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2007, том 50, №7
А.Yo.Kujmurodov
ON AN APRIORI ESTIMATE OF SOLUTIONS OF HOMOGENUOUS DIRICHLET
PROBLEM FOR ELLIPTIC EQUATIONS IN DIVERGENT FORM
In the paper an priory estimate of solutions of homogeneous Dirichlet problem for elliptic
equations in divergent form was established. Elliptic equations under consideration are given in a
bounded domain of n - dimensional Euclidean space and degenerate on the boundary of the domain.
580
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
567 Кб
Теги
однородные, решение, уравнения, оценки, эллиптическая, одной, дирихле, дивергентного, задачи, формы, априорной
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа