close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Об одном варианте теоремы Банаха-Стоуна для банаховых расслоений.

код для вставкиСкачать
Вестник РУДН
Серия Математика. Информатика. Физика.
№ 3 (1). 2010. С. 23–27
УДК 517.98
Об одном варианте теоремы Банаха–Стоуна для
банаховых расслоений
М. А. Плиев, С. Н. Табуев
Лаборатория теории операторов
Южный математический институт ВНЦ РАН и Правительства РСО-А
ул. Маркуса, д. 22, 362027, Владикавказ, Россия
Рассматриваются банаховы пространства непрерывных сечений банахового расслоения, где каждый слой расслоения — банахова решётка. Устанавливается вариант теоремы Банаха-Стоуна.
Ключевые слова: непрерывные банаховы расслоения, банаховы решётки, компакты, гомеоморфизмы.
1.
Введение
Одной из важных классических теорем современного функционального анализа является изоморфизм категорий компактных хаусдорфовых топологических
пространств и пространств непрерывных функций, заданных на этих компактах.
Указанный факт является, в частности, отправной точкой бурно развивающейся
области математики — некоммутативной геометрии. Но если пространства непрерывных функций на компакте в вышеуказанной ситуации заменить пространствами непрерывных вектор-функций на тех же компактах, принимающими значение в некоторых банаховых пространствах  и  , то возможна ситуация, когда банаховы пространства (, ) и (,  ) изоморфны для негомеоморфных
компактов  и . Соответственно возникает естественная математическая проблема — какие дополнительные условия необходимо наложить на отображение
 : (, ) → (,  ), осуществляющее изоморфизм, или на пространства 
и  , чтобы гарантировать существование  :  →  — гомеоморфизма компактов  и ? Эта проблема с различными уточнениями и дополнениями известна
как задача Банаха–Стоуна. Имеется богатая литература, посвящённая различным аспектам этой проблемы [1–6]. Вместе с тем теория непрерывных банаховых
расслоений позволяет рассматривать пространства непрерывных вектор-функций
как частный случай расслоений с постоянным слоем. Таким образом возникает
задача — распространить теорию Банаха–Стоуна на пространства сечений непрерывных банаховых расслоений. Настоящая заметка — первый шаг в этом направлении.
2.
Предварительные сведения
Приведём некоторые предварительные сведения, необходимые для дальнейшего.
Цель настоящего параграфа — зафиксировать терминологию, обозначения и ввести требуемые понятия. Все необходимые сведения о векторных решётках, решёточно нормированных пространствах и банаховых расслоениях можно найти в
монографии [7] и работе [8], о банаховых пространствах — в [9]. Все банаховы
пространства рассматриваются над полем действительных чисел.
1.1. Пусть  — вещественное
векторное пространство, а  — некоторое ⎪⎪
⎪ ·⎪
⎪ :  →  называется решёточной нормой, если
пространство. Отображение ⎪
выполняются
аксиомы:
⎪⎪
⎪
⎪ следующие
⎪
⎪
⎪⎪
⎪
1) ⎪
⎪ > 0;⎪⎪
=⎪
0 ⇔⎪ =
0; (∀ ∈  );
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
2) ⎪

+

6

+

;
(1 , 2 ∈  );
2
1
2
⎪ 1⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪ = || ⎪
⎪⎪
⎪; ( ∈ ,  ∈  ).
3) ⎪
Статья поступила в редакцию 16 декабря 2009 г.
24
Плиев М. А., Табуев С. Н.
Говорят, что для нормы справедливо условие Канторовича, или условие разложимости, если выполняется ещё одно условие:
⎪⎪
⎪ ⎪
⎪⎪
⎪ = 1 + 2 ⇒ (∃1 , 2 ∈ ,  = 1 + 2 ); ⎪
⎪1⎪
⎪ = 1 ,
4) ⎪
(∀ ⎪
∈  ); ∀1 , 2 ∈ + ⎪
⎪
⎪
⎪2⎪ = 2 .
Векторное пространство  , снабжённое решёточной нормой со значениями
в векторной решётке , называется
решёточно нормированным пространством
⎪⎪
⎪⎪
⎪ ·⎪
⎪ , ) или сокращённо (, ). Если норма ⎪
⎪ ·⎪
⎪ раз(РНП) и обозначается (, ⎪
ложима, то и пространство (, ) называется разложимым. Множество 
⎪⊂
⎪
⎪⎪
⎪6
называется bo-ограниченным, если существует элемент  ∈ + , такой что ⎪
, ∀ ∈  . РНП (, ) называется пространством Банаха–Канторовича (ПБК),
если оно разложимо и порядково полно в следующем смысле: любая bo-фундаментальная сеть ( )∈Ξ ⊂  сходится к некоторому элементу  ∈  .
1.2. Пусть  — топологическое пространство. Банахово расслоение над  —
произвольное отображение  , определённое на  и ставящее в соответствие каждой точке  ∈  некоторое банахово пространство  := — слой в точке .
Норму элемента  в слое  будем обозначать через |||| := |||| . Функция ,
определённая на множестве dom(), называется сечением над dom() расслоения
 , если () ∈  () для всех  ∈ dom().
Множество сечений  ⊂  (,  ) называется послойно плотным в  , если
множество {() :  ∈ ,  ∈ dom()} послойно плотно в  () для любой точки
 ∈ . Сечение называется скалярно непрерывным, если непрерывна функция
 ↦→ ||()|| .
1.3. Непрерывной структурой в  называют послойно плотное множество
скалярно непрерывных сечений  ⊂  (,  ), являющееся векторным подпространством в  (,  ). Банахово расслоение над множеством  с заданной непрерывной структурой называют непрерывным банаховым расслоением над  и обозначают (,  ,  ) или просто (,  ). Сечение  ∈  (,  ) называют непрерывным, если для любого  ∈  непрерывна функция  ↦→ ‖() − ()‖ () .
Множество всех непрерывных сечений расслоения  обозначим (,  ). Векторное пространство (,  ) является решёточно нормированным пространством,
⎪⎪
⎪ :=
⎪⎪
где решёточная норма непрерывного сечения вычисляется по формуле ⎪
‖ (·)‖ (·) . Топологическое пространство  называется экстремальным, если замыкание каждого открытого множества в  открыто. Непрерывное банахово расслоение (,  ) над экстремальным компактом  называется насыщенным, если
(,  ) является пространством Банаха–Канторовича. Напомним, что для банаховых пространств  и  через (,  ) обозначается пространство линейных
непрерывных операторов из  в  . Пусть (,  ) и (, ) — непрерывные
бана⋃︀
ховы расслоения над компактом . Отображение  :  →
( ,  ), такое
∈
что  ↦→ ( ,  ) называется гомоморфизмом НБР, если для любого сечения
 ∈ (,  ) сечение  ∈ (, ), где  ↦→ () := () () также принадлежит
(, ).
3.
Теорема Банаха–Стоуна
В настоящем пункте установим основной результат — вариант теоремы Банаха–
Стоуна для непрерывных банаховых расслоений.
2.1. Ниже будем полагать, что  и  — компактные хаусдорфовы пространства, ( ) и () — непрерывные банаховы расслоения над  и  соответственно,
где каждый слой  и  является банаховой решёткой. Ясно, что пространства
(,  ) и (, ) также будут банаховыми решётками, где порядок задаётся
поточечно, норма сечения  вычисляется по формуле |‖ |‖ = ‖‖ (·)‖ (·) ‖() .
Возьмём произвольные  ∈  и  ∈  и введём множества
 = { ∈ (,  ) :  () = 0};  = { ∈ (, ) : () = 0}.
Об одном варианте теоремы Банаха–Стоуна для банаховых расслоений
25
Легко видеть, что множества  и  будут замкнутыми порядковыми идеалами
в (,  ) и (, ) соответственно. Пусть  — решёточный изоморфизм векторных решёток (,  ) и (,  ). Будем говорить, что оператор  удовлетворяет
свойству , если для любого  ∈ (,  )
(  )() ̸= 0, ∀ ∈  ⇔  () ̸= 0, ∀ ∈ .
Следующая лемма описывает одно важное свойство решёточных изоморфизмов со свойством .
Лемма. Пусть  : (,  ) → (, ) — изоморфизм банаховых решёток со
свойством . Тогда для любого  ∈  найдётся единственный элемент  ∈ ,
такой что  ( ) =  .
Доказательство. Для произвольного  ∈  введём множество
Φ( ( )) := { ∈  : (  )() = 0, ∀ ∈  }.
Установим, что множество Φ( ( )) не будет пустым. Предположим противное.
Тогда для каждого  ∈  найдётся непрерывное сечение  ∈  , такое что
(  )() ̸= 0, и в силу непрерывности найдётся окрестность  точки , такая
что сечение   отлично от нуля в каждой точке ′ ∈  . Кроме того | | ∈
 , и в силу того, что  — решёточный изоморфизм, получаем, что | ( )| =
 | |. Таким образом можем считать, что  и   положительные элементы в
соответствующих решётках. Используя компактность , можем найти конечный
набор непрерывных сечений 1 , . . . ,  ∈ + , таких что непрерывные сечения
 1 , . . . ,   не имеют общих нулей в . Отсюда имеем, что сечение  (1 +. . .+ )
отлично от нуля в каждой точке  ∈ . Однако сечение 1 + . . . +  обращается
в нуль в точке , а оператор  обладает свойством . Пришли к противоречию.
Докажем теперь, что Φ( ( )) состоит из единственной точки. Действительно, если 1 , 2 ∈ Φ( ( )), то  ( ) =  ,  ∈ {1, 2}. Рассуждая аналогично,
получим, что  −1 ( ) =  ,  ∈ {1, 2}. Отсюда получаем, что  ( ) ⊂  ⊂
 ( ) для некоторых  ∈ ,  ∈ {1, 2}. В силу биективности оператора  и хаусдорфовости пространства  получаем, что 1 = 2 и  ( ) = 1 = 2 . Теперь
можем задать биективное отображение  :  → ,  ↦→ (), где  (() ) =  .
2.2. Теперь сформулируем основной результат.
Теорема. Пусть  : (,  ) → (, ) — изоморфизм банаховых решёток
со свойством . Тогда компакты  и  гомеоморфны, и оператор  может
быть записан в виде (  )() = () (()); ∀ ∈ (,  );  ∈ , где  :  → 
— гомеоморфизм компактов  и , а  — гомоморфизм НБР (,  ) и (, ),
где  ↦→ () ∈ L(() ,  ). Если кроме того (,  ) и (, ) — насыщенные НБР
над экстремальными компактами  и , то ‖ ‖ = sup ‖()‖.
∈
Доказательство. Покажем, что биекция , построенная в лемме, является
гомеоморфизмом. В силу компактности топологических пространств  и  достаточно установить непрерывность . Предположим противное. Тогда найдётся
сеть ( )∈Λ элементов пространства , сходящаяся к точке 0 , такая что сеть
(( ))∈Λ сходится к 0 ∈  ̸= (0 ). Пусть 0 и (0 ) — непересекающиеся окрестности точек 0 и 0 . Выберем сечение  ∈ (,  ) таким образом,
что  () = 0 для любых  ∈ ∖(0 ) . Тогда (  )(0 ) = 0. Действительно, найдётся такой номер 0 ∈ Λ, что для всех  > 0 элементы ( ) ∈ 0 и, так
как  (( )) = 0, то (  )( ) = 0. Так как ( )∈Λ сходится к 0 , а также в
силу непрерывности сечения   , получаем, что (  )(0 ) = 0. Возьмём теперь
непрерывную функцию  ∈ (), такую что () = 0 для любых  ∈ ∖(0 )
и (0 ) = 1. Тогда произвольное сечение  ∈ (,  ) можно представить в виде
26
Плиев М. А., Табуев С. Н.
суммы  =  + (1 − ) , где 1 — функция, тождественно равная единице в каждой точке  ∈ . Так как ( )() = 0 для любых  ∈ ∖(0 ) , то  ( )(0 ) = 0.
Кроме того,  ((1 − ) )(0 ) = 0 в силу того, что (1 − ) ∈ (0 ) . Таким образом
получаем, что для произвольного сечения  ∈ (,  ) справедлива формула
  (0 ) =  ( + (1 − ) )(0 ) =  ( )(0 ) +  ((1 − ) )(0 ) = 0.
Но последнее равенство противоречит сюръективности оператора  . Следовательно функция  непрерывна.
Построим теперь операторное сечение
⋃︁
:→
L(() ,  ); () ∈ L(() ,  ); ∀ ∈ .
∈
Для произвольной точки 0 ∈  оператор (0 ) ∈ ((0 ) , 0 ) зададим
следующим образом. Пусть  ∈ (0 ) и сечение  ∈ (,  ) выбрано так, что
 ((0 )) = . Тогда (0 ) = (  )(0 ). В силу того, что оператор  обладает
свойством , значение (0 ) не зависит от выбора сечения  . Аддитивность и
однородность оператора (0 ) очевидны.
Покажем, что (0 ) — линейный и решёточный изоморфизм банаховых решёток (0 ) и 0 . Действительно, если  ∈ (0 ) ̸= 0, то  ((0 )) =  ̸= 0 и
(  )(0 ) ̸= 0. Таким образом оператор (0 ) инъективен. Покажем сюръективность. Пусть  ∈ 0 , тогда выберем сечение  ∈ (, ), где (0 ) = . Тогда в
силу того, что  — изоморфизм банаховых решёток (,  ) и (, ), найдётся непрерывное сечение  , такое что   =  и  ((0 )) = . Отсюда получаем
(0 ) = (  )(0 ) = (0 ) = . Таким образом (0 ) — биекция.
Покажем, что (0 ) — решеточный изоморфизм. Пусть 1 , 2 ∈ (0 ) и  =
1 ∨ 2 . Выберем сечения 1 , 2 ∈ (,  ), где  ((0 )) =  ;  ∈ {1, 2}, и пусть
 := 1 ∨ 2 . Тогда  ((0 )) = 1 ((0 )) ∨ 2 ((0 )) = 1 ∨ 2 . Далее имеем
(0 )(1 ∨ 2 ) =  (1 ∨ 2 )(0 ) =  (1 )(0 ) ∨  (2 )(0 ) = (0 )1 ∨ (0 )2 .
Отсюда получаем, что (0 ) — решеточный изоморфизм. Так как каждый положительный оператор в банаховой решётке непрерывен по норме, то заключаем,
что оператор (0 ) непрерывен по норме.
Пусть теперь компакты  и  экстремальны. Для произвольной точки  ∈ 
можно найти сечение  ∈ (,  ), такое что |‖ |‖ = ‖ ()‖ () . Действительно, в
силу того, пространство (,  ) будет пространством Банаха–Канторовича, то в
силу разложимости векторной нормы найдётся непрерывное сечение  ∈ (,  ),
такое что ‖ (·)‖ (·) = 1(·), где 1 — функция тождественно равная единице на
. Для произвольной точки  ∈  возьмём замкнутое множество  ⊂ ,  ∈
/
. Воспользовавшись леммой Урысона [10, теорема 1.5.10], найдём непрерывную
функцию  :  → [0, 1], такую что () = 0 для любого  ∈  и () = 1.
Рассмотрим непрерывное сечение () = () (). Ясно, что сечение  ∈ (,  )
обладает требуемыми свойствами. Далее можем написать
‖() (())‖ = ‖(  )()‖ 6 ‖  ‖ 6 ‖ ‖|‖ |‖.
Отсюда получаем, что sup ‖()‖ 6 ‖ ‖. С другой стороны,
∈
‖  ()‖ = ‖() (())‖ 6 ‖()‖‖ (())‖ 6 sup ‖()‖|‖ |‖,
∈
|‖  |‖ = sup ‖  ()‖ 6 sup ‖()‖|‖ |‖; ‖ ‖ 6 sup ‖()‖.
∈
∈
∈
Таким образом окончательно получаем, что ‖ ‖ = sup ‖()‖.
∈
Об одном варианте теоремы Банаха–Стоуна для банаховых расслоений
27
Литература
1. Behrends E., Cambern M. An Isomorphic Banach-Stone Theorem // Studia
Math. — 1988. — Vol. 90. — Pp. 15–26.
2. Cao J., Reilly I., Xiong H. A Lattice-Valued Banach-Stone Theorem // Acta Math.
Hungar. — 2003. — Vol. 98. — Pp. 103–110.
3. Chen J.-X., Chen Z.-L., Wong N.-C. A Banach-Stone Theorem for Riesz Isomophisms for Banach Lattices // Proc. Amer. Math.Soc. — 2008. — Vol. 136. —
Pp. 3869–3874.
4. Ercan Z., Onal S. Banach-Stone Theorem for Banach Lattice Valued Continuous
Functions // Proc. Amer. Math.Soc. — 2007. — Vol. 135. — Pp. 2827–2829.
5. Fleming R., Jamison J. Isometries on Banach Spaces Vector-Valued Function
Sraces. — Chaptman and Hall/CRS, 2008. — 245 p.
6. Jeang J.-S., Wong N.-C. On Banach-Stone Problem // Studia Math. — 2003. —
Vol. 155. — Pp. 95–105.
7. Кусраев А. Г. Мажорируемые операторы. — М.: Наука, 2003. — 624 с.
8. Гутман А. Е. Банаховы расслоения в теории решеточно нормированных пространств // Линейные операторы, согласованные с порядком. — Новосибирск:
Изд-во ИМ СО РАН, 1995. — С. 63–211.
9. Megginson R. E. An Introduction to Banach Space Theory. — Springer-Verlag,
1998. — 600 p.
10. Энгелькинг Р. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — 752 с.
UDC 517.98
A Variant of the Banach–Stone for Banach Bundles
M. A. Pliev, S. N. Tabuev
Laboratory Operator Theory
Southern Mathematical Institute
of Vladikavkaz Scientific Center of RAS and RSO-A
22, Marcus str., 362027, Vladikavkaz, Russia
We consider Banach spaces continuous sections when every fiber is Banach lattice. A some
versions of the Banach-Stone theorem was obtained.
Key words and phrases: continuous Banach bundles, Banach lattices, compacts, homeomorphisms.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
9
Размер файла
612 Кб
Теги
теорема, вариант, одной, банаховых, стоуна, расслоения, банаха
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа