close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Об одном внутреннем ассоциативном продолжении частичного мультипликативного матричного группоида.

код для вставкиСкачать
Раздел I.
Алгебра и геометрия
Рис. 5
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Гурский, Д. MаthCAD для студентов и школьников. Популярный самоучитель / Д. Гурский, Е. Турбина. – СПб.: Питер, 2005. – 400 с.
2. Дьяконов, В. П. Mathcad 2001. Учебный курс / В. П. Дьяконов. – СПб.: Питер. – 2001. – 624 с.
3. Компьютерная геометрия: учеб. пособие / Н. Н. Голованов и др. – М.: Академия, 2006. – 512 с.
4. Режим доступа: http//:www.exponenta.ru.
УДК 512.5
ББК 22
В. М. Кривенко
ОБ ОДНОМ ВНУТРЕННЕМ АССОЦИАТИВНОМ ПРОДОЛЖЕНИИ
ЧАСТИЧНОГО МУЛЬТИПЛИКАТИВНОГО МАТРИЧНОГО ГРУППОИДА
Аннотация. В работах известного отечественного математика Е. С. Ляпина одним из центральных является вопрос о существовании ассоциативных продолжений частичных матричных
группоидов. В настоящей работе установлена возможность внутреннего ассоциативного продолжения частичного мультипликативного матричного группоида.
Ключевые слова: умножение матриц, полугруппа, продолжение.
V. M. Krivenko
ABOUT ONE INTERNAL ASSOCIATIVE EXTENSIONS OF
PARTIAL MULTIPLICATE MATRICES GROUPOID
Absrtact. In works of known domestic mathematician E. S. Ljapina on the theory partial of
groupoids one of central is the question on existence of associative extensions partial of groupoids. In the
present work the possibility of internal associative extension of partial matrices groupoid is established.
Key words: multiplication of matrices, semigroup, extension.
1 . Пусть S; – произвольный частичный группоид [1]. В соответствии с [1] полугруппа
S; называется внутренним полугрупповым продолжением частичного группоида S; , если
( x, y
S) (если x y
, то x y = x  y).
5
Вестник ТГПИ
Естественные науки
Вопросы о существовании таких продолжений изучались ранее в работах Е. С. Ляпина [1, 2].
Известно, что операция обычного умножения матриц является частичной бинарной операцией, поэтому группоид
, состоящий из всех прямоугольных матриц над произвольным
кольцом
является частичным.
В настоящей работе устанавливается существование внутреннего полугруппового продолжения частичного мультипликативного группоида
Отметим, что для любых матриц A, B и C из
выполняются два утверждения:
1). Если произведения
и
определены, то определены произведения B
и
и
A
2). Если произведения B
иA
определены, то определены произведения
и
иA
Эти утверждения называют
следует, что для любых матриц
,
условиями сильной ассоциативности операции
и
из
выполняется равенство:
Из них
(1)
2 . Пусть
и
– произвольные матрицы, имеющие
строк. Тогда приписывая
справа ко всем строкам матрицы
соответствующие по номеру строки матрицы
получим
матрицу, имеющую строк и
столбцов, которую будем обозначать
Аналогично, для матриц
и
, имеющих столбцов определяется матрица, полученная из матрицы
приписыванием снизу матрицы
, которую будем обозначать
.
Пусть
чим через
– произвольная матрица, тогда
таких, что
, обозна-
матрицу, которая получается из матрицы
удалением всех столбцов до – того столбца и всех столбцов после – того столбца (если такие есть). Будем считать, что матрица
состоит из одного – того столбца матрицы
Полагаем также, что если
, то
Аналогично,
таких, что
Отметим, что
считается пустым символом.
определяется матрица
таких, что
и
выполняются равенства:
и
.
Из обычного правила умножения прямоугольных матриц • следует, что
,
(2)
и
(3)
Кроме того, для любых матриц
,
и
выполняется равенство:
,
где символом + обозначается обычное сложение матриц.
. Определим теперь на множестве
(п.
операцию ⋆ так, что
где • является символом обычной операции умножения матриц.
6
(4)
Раздел I.
Алгебра и геометрия
Теорема. Группоид
, является полугруппой, которая является внутренним полугрупповым продолжением частичного группоида
.
Доказательство. Из определения операции
так как матрица
Пусть
кажем, что
,
следует, что если
считается пустым символом, а матрица
совпадает с матрицей
и
– произвольные прямоугольные матрицы из множества
.
По-
⋆(
(
Рассмотрим следующие возможные случаи:
1.
;
2.
;
3.1.
;
3.2.
;
4.
.
В случае 1. получаем: (
=
=
и
, то
⋆(
=
.
Действительно, так как
ми
строками матрицы
, то первые
строк матрицы
совпадают с первы-
которыми являются все строки матрицы
Матрица, состоящая из последующих за
строками матрицы
.
совпадает с матрицей
. Отсюда следует справедливость (II) в случае 1.
В случае 2. получаем: (
,
=
и
=
⋆(
7
Вестник ТГПИ
Естественные науки
=
=
=
.
Действительно, для любых матриц
,
и
,
выполняется равенство:
.
Таким образом, равенство (II) справедливо в случае 2.
В случае 3.1 получаем: (
=
=
=
=
и
,
⋆(
=
=
=
=
=
.
Отсюда следует справедливость (II) в случае 3.1.
В случае 3.2 опять применяя равенство (4) получаем: (
=
=
=
8
Раздел I.
Алгебра и геометрия
=
,
и
⋆(
=
=
=
|
Согласно равенству (1) получаем, что
|
Поэтому равенство (II) справедливо в случае 3.2.
Покажем, наконец, что равенство (II) справедливо в случае 4.
Действительно,
(
=
=
=
и
=
⋆(
=
=
=
=
=
тсюда и следует справедливость (II) в случае 4.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
полных ассоциативных // Известия вузов. Математика. − 1982. − № 7. – С. 40−44.
2.
возможности полугруппового продолжения частичного группоида // Известия вузов. Математика. – 1989. − № 10. – С. 30−36.
1.
9
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
15
Размер файла
1 131 Кб
Теги
группоиды, мультипликативный, внутренние, продолжение, одной, матричное, частичного, ассоциативные
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа