close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Об устойчивом продолжении потенциального поля с приближённо заданной поверхности.

код для вставкиСкачать
i
i
i
i
10
Ланеев Д. Е. Об устойчивом продолжении потенциального поля с . . .
УДК 519.6
Об устойчивом продолжении потенциального поля
с приближённо заданной поверхности
Д. Е. Ланеев
Кафедра систем телекоммуникаций
Российский университет дружбы народов
ул. Миклухо–Маклая, 6, Москва, Россия, 117198
Рассматривается задача продолжения потенциального поля с поверхности, заданной приближённо, в область, представляющую собой цилиндр прямоугольного сечения.
Устойчивое решение задачи продолжения строится на основе устойчивого построения
нормали к поверхности с использованием метода регуляризации Тихонова в модификации В. А. Морозова.
Ключевые слова: продолжение потенциального поля, приближённо заданная поверхность, устойчивое решение, метод регуляризации.
1.
Введение
В [1] построен устойчивый метод и обоснованы алгоритмы численного решения
задачи продолжения потенциального поля в чётно-периодической модели, основанный на результатах работ [2]. Метод, развитый в этих работах, состоит в устойчивом решении задачи Коши для уравнения Лапласа с данными на поверхности
произвольного вида. В [3] построено устойчивое решение задачи Коши с данными
на поверхности, заданной приближённо. Этот метод основан на решении задачи
устойчивого построения нормали как задачи вычисления значений неограниченного оператора [4]. В данной работе, на основе результатов работы [3], строится
устойчивое продолжение потенциального поля с поверхности, заданной приближённо. Полученные здесь результаты могут быть использованы для обработки
данных в геофизике, в частности, гравиразведке, для выявления плотностных
аномалий в толще земной коры.
2.
Постановка задачи
Пусть в цилиндре
D∞ = (x, y, z) :
0 < x < lx , 0 < y < ly , −∞ < z < ∞
имеются источники потенциального поля плотности ρ с компактным носителем в
области z > H > 0 в цилиндре D∞ . Рассмотрим чётно-периодическую модель [5]
потенциального поля:
rot E(M ) = 0, M ∈ D∞ ,
div E(M ) = −4πρ(M ),
(n, E)|x=0,lx = 0, (n, E)|y=0,ly = 0,
(1)
E → E ∞ k при z → ±∞.
Статья поступила в редакцию 10 января 2008 г.
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (РФФИ
грант №06-01-00530).
i
i
i
i
i
i
i
i
Вестник РУДН, Серия Математика. Информатика. Физика. № 2. 2008. с. 10–18
11
В рамках модели (1) будем считать, что функция плотности источников ρ
неизвестна, но известно поле E на произвольной достаточно гладкой поверхности S
F ∈ C 2 (Π(0)),
S = (x, y, z) :
0 < x < lx , 0 < y < ly , z = F (x, y) ,
Π(z) = (x, y, z) : 0 < x < lx , 0 < y < ly , z = const .
(2)
Таким образом, в рамках модели (1) мы получаем задачу продолжения поля [5]
rot E(M ) = 0,
M ∈ D(F, H) = (x, y, z) : 0 < x < lx ,
div E(M ) = 0,
0 < y < ly , F (x, y) < z < H, H > 0 ,
E|S = E0 ,
S = (x, y, z) : 0 < x < lx , 0 < y < ly , z = F (x, y) ,
(n, E)|x=0,lx = 0,
(n, E)|y=0,ly = 0,
(3)
F ∈ C 2 Π(0) .
В [5] показано, что векторная задача (3) может быть сведена к смешанной
краевой задаче для составляющей Ez
M ∈ D(F, H),
∆Ez (M ) = 0,
Ez |S =
Ez0 ,
1
∂Ez =
∂n S
n1
∂Ex0 ∂Ey0
+
∂x
∂y
!
, n1 = (Fx0 , Fy0 , −1),
(4)
∂Ez
|y=0,ly = 0,
∂y
∂Ez = 0,
∂x x=0,lx
где
D(H, F ) = (x, y, z) : 0 < x < lx , 0 < y < ly , F (x, y) < z < H .
Функции Ex0 , Ey0 , Ez0 считаем непрерывно-дифференцируемыми на поверхности S.
Задача (4) некорректно поставлена [5] по условиям Коши на поверхности S. В [1]
приведён метод построения регуляризованного решения задачи (4), устойчивого
по отношению к погрешностям в функции E0 . Поверхность S при этом предполагалась заданной точно.
Пользуясь результатами работ [1, 6], построим решение задачи (4) в виде
Ez (M ) = vz (M ) − Φz (M ),
M ∈ D(F, H),
(5)
где
Z
Φz (M ) =
∂ϕ
Ex0 (xP , yP ) + Ez0 (xP , yP )Fx0 (xP , yP )
∂xP
Π(0)
+
Ey0 (xP , yP )
+
Ez0 (xP , yP )Fy0 (xP , yP )
(M, P )
+
P ∈S
(M, P )
+
∂yP
P ∈S
∂ϕ
+ Ex0 (xP , yP )Fx0 (xP , yP ) + Ey0 (xP , yP )Fy0 (xP , yP ) −
−
ϕ(M, P ) =
(M, P )
dxP dyP ,
∂zP
P ∈S
∂ϕ
Ez0 (xP , yP )
(6)
1
θ(zP − zM )(zM − zP ) +
lx ly
i
i
i
i
i
i
i
i
12
Ланеев Д. Е. Об устойчивом продолжении потенциального поля с . . .
2
+
πlx ly
× cos
∞
X
vz (M ) =
∞
X
−π
n m
q
e
n2
l2
x
q
n,m=0,
nm6=0
2
+ m2 |zM −zP |
ly
n2
2
lx
+
×
m2
2
ly
πnxM
πmyM
πnxP
πmyP
cos
cos
cos
,
lx
ly
lx
ly
π
q
n m Φ̃z,nm (a)e
n2
l2
x
2
+ m2 (zM −a)
ly
cos
n,m=0,
nm6=0
n =
1,
n = 0,
0, 5, n =
6 0,
(7)
πnxM
πmyM
cos
,
lx
ly
M ∈ D(−∞, H),
a = min F (x, y), (8)
(x,y)
4
Φ̃z,nm (a) =
lx ly
Zlx Zly
Φz (x, y, a) cos
0
0
πmy
πnx
cos
dx dy.
lx
ly
(9)
Как следует из формул (6)–(9), решение задачи (4) строится на базе функции Φz
вида (6), для вычисления которой согласно (6) необходимо вычисление компонент
вектора нормали n1 к поверхности S:
0
0
0
0
n1 = Fx , Fy , −1 = iFx + jFy − k.
(10)
Если функции поле E0 задано с погрешностью, то функция Φz вида (6) вычисляется также с погрешностью, и устойчивость решения достигается применением метода регуляризации А. Н. Тихонова [7]. Если поверхность S задана с
погрешностью, то вычисление интеграла (6) связано с необходимостью устойчивого вычисления нормали к поверхности, что также представляет собой некорректно поставленную задачу как задача дифференцирования функции, заданной
приближённо.
3.
Приближённо заданная поверхность
Если поверхность S задана приближённо, то это в нашем случае означает,
что функция F известна с некоторой погрешностью, задача вычисления нормали
к поверхности — это задача вычисления градиента функции, заданной приближённо, которая некорректно поставлена. Для получения её устойчивого решения
воспользуемся постановкой [4, 8], то есть рассмотрим задачу вычисления градиента как задачу восстановления значений неограниченного оператора.
Пусть вместо точной функции F задана функция F µ такая, что
kF µ − F kL2 (Π(0)) 6 µ.
(11)
Вектор-функция n1 представляет собой «пространственный» градиент функции
F (x, y) − z, то есть
n1 = grad (F (x, y) − z) = ∇xy F − k.
В качестве приближения к функции ∇xy F рассмотрим «плоский» градиент ∇xy
от экстремали функционала [9]
w
w
w2
w
N β W = wW − F µ w
L2 (Π(0))
w
w
w2
w
+ β w∇W w
.
(12)
L2 (Π(0))
Будем считать, что поверхность S удовлетворяет условию:
F |x=0,lx = F |y=0,ly = 0.
i
i
i
i
i
i
i
i
Вестник РУДН, Серия Математика. Информатика. Физика. № 2. 2008. с. 10–18
13
Это условие, в частности, имеет место в случае, когда S можно рассматривать
как возмущение основной плоскости z = 0. Тогда экстремаль функционала (12)
удовлетворяет уравнению Эйлера
−β∆W + W = F µ ,
W |x=0,lx = 0, W |y=0,ly = 0.
(13)
Решая задачу (13) методом Фурье, получим [3]:
Wβµ (x, y) =
∞
X
µ
F̃nm
1+β
n,m=1
πn
lx
2
+
πm
ly
2 sin
πnx
πmy
sin
.
lx
ly
(14)
Нетрудно видеть, что ряд (14) сходится равномерно на Π(0) при любом β > 0.
Обозначим
µ
.
(15)
W µ = Wβµ , β =
k∆F k
В качестве приближённого значения градиента функции F µ будем рассматривать
вектор-функцию
∇xy W µ (x, y) =
∞
X
n,m=1
µ
F̃nm
1+β
πn
lx
2
+
πm
ly
2 ×
πn
πnx
πmy
πm
πmy
πnx
× i
cos
sin
+j
cos
sin
. (16)
lx
lx
ly
ly
ly
lx
Ряд (16) также равномерно сходится на Π(0).
Пусть F − — нечётнопериодическое продолжение функции F с периодом 2lx
по переменной x и с периодом 2ly по переменной y, т. е.
F − (−x, y) = −F − (x, y),
F − (x, −y) = −F − (x, y),
F − (−x, −y) = F − (x, y),
F − (x + 2lx n, y + 2ly m) = F − (x, y) = F (x, y),
(x, y) ∈ Π(0).
Имеет место следующая теорема [3]:
Теорема 1. Пусть F − ∈ C 2 (R2 ), β = µ/k∆F k > 0. Тогда
w
w
w
w
w∇xy W µ − ∇xy F w
L2 (Π(0))
6
q
k∆F k ·
√
µ.
(17)
В качестве приближений к Fx0 и Fy0 мы будем рассматривать соответственно
и (W µ )0y .
(W µ )0x
4.
Задача продолжения с приближёнными
данными
Пусть теперь функции E0 задана приближённо, а именно: пусть задана функция E0,δ такая, что
w
w
w 0δ
w
6 δ.
(18)
wE − E 0 w
L2 (Π(0))
Тогда функция Φz вида (6) при точно заданной поверхности S может быть вычислена с некоторой погрешностью как приближённая функция:
i
i
i
i
i
i
i
i
14
Ланеев Д. Е. Об устойчивом продолжении потенциального поля с . . .
Φδz (M )
Z
=
Ex0δ (xP , yP )
+
+
(M, P )
∂xP
P ∈S
∂ϕ
Ez0δ (xP , yP )Fx0 (xP , yP )
Π(0)
+
Ey0δ (xP , yP )
+
+
(M, P )
∂yP
P ∈S
∂ϕ
Ez0δ (xP , yP )Fy0 (xP , yP )
+ Ex0δ (xP , yP )Fx0 (xP , yP ) + Ey0δ (xP , yP )Fy0 (xP , yP ) −
−
dxP dyP .
(M, P )
∂zP
P ∈S
∂ϕ
Ez0δ (xP , yP )
(19)
При приближённом задании поверхности S, определяемом условием (11),
функция Φδz может быть вычислена в свою очередь приближённо как Φδµ
z по
формуле (19) с заменой Fx0 и Fy0 на соответственно (W µ )0x и (W µ )0y , а поверхность
S заменяем на поверхность S µ , которая задаётся уравнением z = W µ (x, y) :
Φδµ
z (M )
Z
=
Ex0δ (xP , yP ) + Ez0δ (xP , yP )Wxµ (xP , yP )
∂ϕ
∂xP
(M, P ) +
Π(0)
+ Ey0δ (xP , yP ) + Ez0δ (xP , yP )Wyµ (xP , yP )
∂ϕ
∂yP
(M, P ) +
+ Ex0δ (xP , yP )Wxµ (xP , yP ) + Ey0δ (xP , yP )Wyµ (xP , yP ) −
−
Ez0δ (xP , yP )
∂ϕ
∂zP
(M, P )
dxP dyP . (20)
P ∈S µ
Для формирования решения по формулам (6)–(9) необходимо вычисление коэффициентов Фурье (9). При приближённых данных и при приближённом задании
поверхности, то есть при приближённом вычислении функции (6) речь может идти лишь о приближённом вычислении коэффициентов Фурье. Оценим разность

 
 


  δ
 
 δ,µ
δ
Φz (M ) − Φz (M ) 6 Φδ,µ
z (M ) − Φz (M ) + Φz (M ) − Φz (M ),
M ∈ Π(a), (21)
δ
где функции Φδµ
z , Φz , Φz — функции вида (20), (19), (6) соответственно. Оценим
первую разность в (21),

 
 

  δ,µ

 
 δ,µ
δµ
δ
(M
)
−
Φ
(M
)
+
Φ
(M
)
−
Φ
(M
)


,
Φz (M ) − Φδz (M ) = Φδ,µ
z
z
z,1
z,1
(22)
вводя вспомогательную функцию
Φδµ
z,1 (M ) =
Z
Ex0δ (xP , yP ) + Ez0δ (xP , yP )Fx0 (xP , yP )
∂ϕ
∂xP
(M, P ) +
Π(0)
+ Ey0δ (xP , yP ) + Ez0δ (xP , yP )Fy0 (xP , yP )
∂ϕ
∂yP
(M, P ) +
+ Ex0δ (xP , yP )Fx0 (xP , yP ) + Ey0δ (xP , yP )Fy0 (xP , yP ) −
− Ez0δ (xP , yP )
∂ϕ
∂zP
(M, P )
dxP dyP , (23)
P ∈S µ
отличающуюся от (20) заменой (W µ )0x и (W µ )0y на соответственно Fx0 и Fy0 . Оценим
первую разность в (22)
i
i
i
i
i
i
i
i
Вестник РУДН, Серия Математика. Информатика. Физика. № 2. 2008. с. 10–18
15


 δ,µ

δµ
Φz (M ) − Φz,1 (M ) =
 Z "

0 ∂ϕ

Ez0δ (xP , yP ) Fx0 (xP , yP ) − W µ (xP , yP ) x
=
(M, P ) +

∂xP
Π(0)
+ Ez0δ (xP , yP ) Fy0 (xP , yP ) − W µ (xP , yP )
0 ∂ϕ
y
∂yP
+ Ex0δ (xP , yP ) Fx0 (xP , yP ) − W µ (xP , yP )
+ Ey0δ (xP , yP ) Fy0 (xP , yP ) − W µ (xP , yP )
0 ∂ϕ
y
∂zP
(M, P ) +
0 x
+
#
(M, P )
P ∈S µ



dxP dyP .

(24)
Оценивая производные ϕ их максимумами, получим


 δ,µ

δµ
Φz (M ) − Φz,1 (M ) 6


Z 

 ∂ϕ

0 

 0δ
 0
µ

6
(M, P )
Ez (xP , yP )Fx (xP , yP ) − W (xP , yP ) x  max 
+
M ∈Π(a) ∂xP
P ∈S
Π(0)
Z
+





 ∂ϕ
0 
 0δ


+
(M,
P
)
Ez (xP , yP )Fy0 (xP , yP ) − W µ (xP , yP ) y  max 


M ∈Π(a) ∂yP
P ∈S
Π(0)
Z


0 
 0δ


Ex (xP , yP )Fx0 (xP , yP ) − W µ (xP , yP ) x  +
+
Π(0)


 ∂ϕ


(M, P )

 dxP dyP .
M ∈Π(a) ∂z


0 



+ Ey0δ (xP , yP )Fy0 (xP , yP ) − W µ (xP , yP ) y  max
P ∈S
P
Учитывая очевидные оценки модулей координат градиента функции ϕ его полным модулем


 ∂ϕ




max 
(M, P )
6 max ∇P ϕ(M, P ),

M ∈Π(a) ∂x
M ∈Π(a)
P ∈S
P
P ∈S




 ∂ϕ

 6 max ∇P ϕ(M, P ),
(M,
P
)
max 


M ∈Π(a)
M ∈Π(a) ∂y
P ∈S
P
P ∈S




 ∂ϕ

 6 max ∇P ϕ(M, P ),
(M,
P
)
max 


M ∈Π(a)
M ∈Π(a) ∂z
P ∈S
P
P ∈S
вынесем константу за знак интеграла:
Z


 δ,µ

δµ
Φz (M ) − Φz,1 (M ) 6 max |∇P ϕ(M, P )|
M ∈Π(a)
P ∈S
"


 0δ  0
Ez  |F x − (W µ )0x | +
Π(0)
#


 




 0δ   0
 0δ  0
 0δ   0
µ 0
µ 0
µ 0
+ Ez  Fy − (W )y  + Ex  |Fx − (W )x | + Ey  Fy − (W )y  dx dy.
Применяя неравенство Коши–Буняковского к каждой разности, а также оценку
теоремы, получим:
i
i
i
i
i
i
i
i
16
Ланеев Д. Е. Об устойчивом продолжении потенциального поля с . . .


h
 δ,µ

δµ
Φz (M ) − Φz,1 (M ) 6 max |∇P ϕ(M, P )| Ez0δ · kF 0 x − (W µ )0x k +
M ∈Π(a)
P ∈S
i
+ Ez0δ · Fy0 − (W µ )0y + Ex0δ · kFx0 − (W µ )0x k + Ey0δ · Fy0 − (W µ )0y 6
w
w
w
w
6 max |∇P ϕ(M, P )| 4 wE0δ w
L2 (Π(0))
M ∈Π(a)
P ∈S
w
k∇xy W µ − ∇xy F kL2 (Π(0)) 6
6 max |∇P ϕ(M, P )| 4 wE0 wL2 (Π(0)) + δ
w
q
M ∈Π(a)
P ∈S
k∆F k ·
√
√
µ 6 C1 µ. (25)
Так как нас интересует поведение решения задачи (4) при δ →
то можно
счиw 0, w
тать, что δ 6 δ0 , и, таким образом, можно считать величину wE0 w + δ ограниченной.
Оценим вторую разность в (22)
"
Z



 δ,µ
Φz,1 (M ) − Φδz (M ) 6
Ex0δ (xP , yP ) +
Π(0)
∂ϕ
∂ϕ
(M, P )
+
∂xP
∂xP
P ∈S µ
P ∈S
∂ϕ
∂ϕ
0δ
0δ
0
+ Ey (xP , yP ) + Ez (xP , yP )Fy (xP , yP )
(M, P )
−
(M, P )
+
∂yP
∂yP
P ∈S µ
P ∈S
+ Ez0δ (xP , yP )Fx0 (xP , yP )
(M, P )
−
+ Ex0δ (xP , yP )Fx0 (xP , yP ) + Ey0δ (xP , yP )Fy0 (xP , yP ) − Ez0δ (xP , yP ) ×
×
∂ϕ
∂ϕ
(M, P )
(M, P )
−
∂zP
∂zP
P ∈S µ
P ∈S
#
dxP dyP . (26)
Применяя к разностям производных функции ϕ формулу Лагранжа, получим


 δ,µ

Φz,1 (M ) − Φδz (M ) 6 C2 kW µ − F k 6 C2 kW µ − F µ k + kF µ − F k 6 C3 µ. (27)
Собирая оценки и считая µ 6 µ0 , получаем оценку первой разности в (21)


√
√
√
√
 δ,µ

Φ (M ) − Φδ (M ) 6 C1 µ+C3 µ 6 C1 µ(1+C3 µ) 6 C5 µ,
M ∈ Π(a). (28)
Оценку второй разности в (21) получаем так же, как в [5]:


  Z
 δ
 
Φ (M ) − Φ(M ) = 

"
Ex0δ (xP , yP ) − Ex0 (xP , yP ) +
Π(0)
+ Ez0δ (xP , yP ) − Ez0 (xP , yP ) Fx0 (xP , yP )
+
∂xP
(M, P )+
Ey0δ (xP , yP ) − Ey0 (xP , yP ) + Ez0δ (xP , yP ) − Ez0 (xP , yP ) Fy0 (xP , yP )
+
∂ϕ
∂ϕ
∂yP
(M, P )+
Ex0δ (xP , yP ) − Ex0 (xP , yP ) Fx0 (xP , yP )+ Ey0δ (xP , yP ) − Ey0 (xP , yP ) Fy0 (xP , yP )−
−
Ez0δ (xP , yP )
−
Ez0 (xP , yP )
∂ϕ
∂zP
#
(M, P )
P ∈S



dxP dyP .

(29)
i
i
i
i
i
i
i
i
Вестник РУДН, Серия Математика. Информатика. Физика. № 2. 2008. с. 10–18
17
Оценивая, как и в предыдущих случаях, производные функции ϕ и применяя
неравенство Коши–Буняковского, получаем


 δ

Φ (M ) − Φ(M ) 6
p
w
 w

6 max ∇P ϕ(M, P ) wEx0δ − Ex0 w
M ∈Π(a)
P ∈S
ww w
lx ly w
+ wEz0δ − Ez0 wwFx0 w+
2
p
ww
w
ww w w
lx ly w
+ wEz0δ − Ez0 wwFy0 w + wEx0δ − Ex0 wwF 0 x w+
24
!
p
w 0δ
ww w w 0δ
w
0 ww 0 w
0 w lx ly
w
w
+ Ey − Ey
Fy − Ez − Ez
6 C4 δ, M ∈ Π(a). (30)
2
w
w
+ wEy0δ − Ey0 w
Из (28) и (30) для оценки (21) получаем:


√


max Φδ,µ (M ) − Φ(M ) 6 C5 µ + C4 δ = ∆(µ, δ) −−−→ 0.
µ→0
δ→0
M ∈Π(a)
(31)
Таким образом, функция Φz известна с некоторой погрешностью ∆, имеющей
структуру (31). В соответствии со схемой [5] устойчивое приближённое решение
задачи (4) строится на основе экстремали функционала Тихонова [5, 7], и может
быть получено в виде
δ,µ
δ,µ
(M ) − Φδ,µ
(M ) = vz,α
Ez,α
z (M ),
M ∈ D(H, F ),
(32)
µ,δ
где Φδ,µ
— функция вида (20), а vz,α
имеет вид:
z
µ,δ
vz,α
(M ) =
∞
X
n m
n,m=0
(Φ̃µ,δ
z )nm (a)e
2π
π
q
1 + αe
q
n2
l2
x
n2
l2
x
2
+ m2 (zM −a)
ly
2
+ m2
ly
cos
(H−a)
πmyM
πnxM
cos
.
lx
ly
(33)
µ,δ
Здесь (Φ̃µ,δ
z )nm (a) — коэффициенты Фурье функции Φz (M )|M ∈Π(a) :
(Φ̃µ,δ
z )nm (a)
4
=
lx ly
Zly
Zlx
dx
0
dy Φδ,µ
z (x, y, a) cos
0
πnx
πmy
cos
,
lx
ly
а α — параметр регуляризации. В соответствии с обозначениями, введёнными
выше, величина a выбирается так, чтобы
a<
min
F (x, y).
(x,y)∈Π(0)
Теорема 2. Пусть
pрешение задачи (4) существует в области D(H, F ), α =
α(∆), α(∆) → 0, ∆/ α(∆) → 0 при ∆ → 0. Тогда функция uα(∆) вида (32),
√
где согласно (31) ∆ = ∆(µ, δ) = C5 µ + C4 δ, равномерно сходится к точному
решению задачи (4) при δ → 0, µ → 0 в области D(H − ε, F + ε), где ε > 0 —
некоторое фиксированное сколь угодно малое число.
Теорема 2 доказывается так же, как теорема в [5].
5.
Заключение
Формулы (32)–(33) дают решение задачи продолжения «вертикальной» составляющей поля Ez с приближённо заданной поверхности. Составляющие поля
Ex и Ey могут быть получены преобразованием Гильберта компоненты Ez [8].
Дискретный вариант формул (32)–(33) может быть получен аналогично [1].
i
i
i
i
i
i
i
i
18
Ланеев Д. Е. Об устойчивом продолжении потенциального поля с . . .
Литература
1. Ланеев Д. Е. Об устойчивом численном решении задачи продолжения потенциального поля в четно-периодической модели // Вестник РУДН. Серия
«Физико-математические науки». — № 1. — 2006. — С. 5–12.
2. Ланеев Е. Б. Устойчивое решение одной некорректно поставленной краевой
задачи для потенциального поля // Вестник РУДН. Серия «Прикладная математика и информатика». — № 1. — 2000. — С. 105–112.
3. Ланеев Е. Б., Муратов М. Н. Об устойчивом решении одной смешанной краевой задачи для уравнения Лапласа с приближенно заданной границей // Вестник РУДН. Серия «Математика». — № 9(1). — 2002. — С. 102–111.
4. Морозов В. А. Об одном устойчивом методе вычисления неограниченных операторов // ДАН СССР. — Т. 185, № 2. — 1969. — С. 267–270.
5. Ланеев Е. Б. О некоторых постановках задачи продолжения потенциального
поля // Вестник РУДН. Серия «Физика». — № 8(1). — 2000. — С. 21–28.
6. Ланеев Е. Б. Об устойчивом решении одной смешанной задачи для уравнения Лапласа с краевыми условиями второго рода // Вестник РУДН. Серия
«Прикладная и компьютерная математика». — № 1. — 2003. — С. 110–119.
7. Ланеев Е. Б. О задаче Коши для уравнения Лапласа в неодносвязной области // Статистическая и квантовая физика и ее приложения. — Изд-во УДН,
1986. — С. 49–56.
8. Ланеев Е. Б. Двумерный аналог преобразования Гильберта в задаче продолжения потенциального поля // Вестник РУДН. Серия «Прикладная математика
и информатика». — № 1. — 2001. — С. 110–119.
9. Ланеев Е. Б., Васудеван Б. Об устойчивом решении одной смешанной задачи
для уравнения Лапласа // Вестник РУДН. Серия «Прикладная математика и
информатика». — № 1. — 1999. — С. 128–133.
UDC 519.6
On Stable Continuation of Potential Field with the
Approximately Defined Boundary
D. E. Laneev
Telecommunication Systems Department
Peoples’ Friendship University of Russia
Miklukho-Maklaya str., 6, Moscow, Russia, 117198
The problem of the potential field continuation we consider in a case of an approximately
defined boundary. We have obtained the stability of an approximate solution with respect to
boundary error and to field data error.
i
i
i
i
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
571 Кб
Теги
потенциального, продолжение, приближённого, заданной, устойчивому, поверхности, поля
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа