close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Обобщенные траектории линейных управляемых систем с разрывными коэффициентами при управлении.

код для вставкиСкачать
ОБОБЩЕННЫЕ ТРАЕКТОРИИ ЛИНЕЙНЫХ
УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ С РАЗРЫВНЫМИ
КОЭФФИЦИЕНТАМИ ПРИ УПРАВЛЕНИИ
А Г Ченцов , Т Ю
Каширцева
Иштитг/т математики и механики УрО Российской Академии наук
Ра« матриваегпсл обобщенное представление областей достижимости и пуч
ков траектории линейной управляемой системы с импульсными ограничениями (на вы
бор управл(ния) в класс( конечно аддитивных мер ограниченной вариации
Ключевые слова
№01 пш линейная система
конечно аддитивная мера, топология поточечной сходи
1. Введение
В статье рассматривается конкретизация общих соотношений [1,2]
примени I ельно к задачам управления линейными системами с разрывными коэффициентами при управлении в правой части соответствующего век
торного дифференциального уравнения
Итак фиксируем два числа /о 6 К и $о € К,, ^о < $о> здесь и ниже
К
вещеел венная прямая Эти моменты <о> $о определяют промежуток
^\
/о [{о $о]> на котором рассматривается процесс управления системой
х(*) = А(*)х(*) +/(*Ж*)
(11)
с фазовым пространством Кп, где п — заданное натуральное число Полагаем, что начальные условия (н у ) системы (1 1) х(10) — ж0 € К" заданы,
матрицан! А — А( ) определен на /о, принимает значения в пространстве
всех п х п - матриц и имеет непрерывные компоненты Аг]( ), г 6 1,п,
] Е 1,п, кроме того, полагаем, что Ь — Ь( ) есть ограниченная /г-векторфункция на I = [*о, ^о[= -^о\{^п} Мы допускаем, что Ь — разрывная функция В (1 1) в качестве / = (/(*) е К,*о < * < ^о) используется для простоты кусочно постоянная (к -п ) и непрерывная справа (н сп ) функция на
I про котор}Ю известно только, что
1^0
^\/(^)\(^^<с,
• *о
(12)
138
А Г Ченцов Т Ю Каширцева
1де с € [0,оо[ задано В дальнейшем мы рассмотрим и управления более
общего вида В этом разделе будем полагать, что компоненты Ь являются
равномерными пределами к -п и н сп вещественно-значных (в/з) функций
на I При этих условиях каждому управлению Г вышеупомянутого типа отвечает единственная траектория <р^ = (^{(^ € Н.",^о < I < $о)> определяемая формулой Коши
4
<?,(*) = Ф(1, *0)х0 + I /(т)Ф(г, т)Ь(т)с1т
(1 3)
<0
Здесь и ниже инхеграл (не обязательно "римановский") вектор-функции
определяется как вектор интегралов ее скалярных компонент Множество
траекторий (1 3) при переборе всех допустимых в смысле (12) управлений Г
называю! пучком возможных траекторий, а аналогичное множество точек
<у9/($о) — областью достижимости [3-5] Упомянутая область не замкнута,
как правило, в К", а пучок соответственно не обладает, вообще говоря,
свойсхвом замкнутое!и в топологии поточечной сходимости
2. Конечно-аддитивные меры как обобщенные управления
в линейной системе
Рассмотрим вопрос о преде 1 авлении "регуляризации" таких характерных
для юории управления объектов, как область достижимости (ОД) и пучок
движений (ПД), будем рассматривать управляемую систему (I 1) на проме
ж>тке /о (см раздел 1) при несколько более общих предположениях Через
^ обозначим семейство всех промежутков [а,Ъ[, а € То, Ь Е [а,'во], тогда
(/ ^}
известное пространство-стрелка, через В обозначим борелевскую
сг-алюбру [6,7] подмножеств I,порожденную полуалгеброй ^ Пусть И —
полуалгебра [1,2,6,7] подмножеств 7 — [^о>$о[, удовлетворяющая следующим условиям ^ С С- С В Полагаем теперь, следуя [1,2], что Во(1,С.) —
множес 1во всех ступенчатых оиюсихельно (/, С} в/з функций на I (см подробнее [1, гл III]), через В(1,С) условимся обозначать замыкание Во(1,С)
в пространстве В(7) всех ограниченных в/з функций на I с традиционной
ьир нормой [8, с 261] Мы полагаем, что в (1 1) вектор-функция Ь( ) такова,
что при всяком г € 1, п компонента 6, = Ъг( ) функции Ь = Ь(), определяемая
условием Ь,.(1) = (Ь(1)}г есть элемент В(1,Л) Ьг Е В(1,С} Относительно
управления Г в (1 1) полагаем, что / € Во(1,С) Предположения относигельно матрицанта А — А( ) сохраняем прежними (см раздел 1) Имеем
при / 6 Вц(1,С) в виде
г ы> 1(г)Ь(г) I -> К"
ОБОБЩЕННЫЕ ТРАЕКТОРИИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
139
борелевскую вектор-функцию на I. Решение (1.1) в этих условиях (и при
фиксации н. у ж(^о) = #о) определяется в смысле Каратеодори. В связи с
этим следует напомнить, что В(1,В) есть множество всех ограниченных
борелевских в/з функций на I (т.е. всех таких ограниченных функций Н :
I -» К, что Ус 6 К. : {I € / /г(^) < с} 6 В). По выбору С имеем вложение
В(1,С) С В(1,В] Решение системы (1 1), порожденное управлением / Е
Во(1,С), определяется посредством (1 3), где следует только использовать
(вместо "римановского" интеграла) интеграл, определяемый по схеме [1,
с 69], либо "обычный" интеграл Лебега. Итак, пусть А — след меры Лебега
[8] на ег-алгебру В (А — счетно-аддитивная неотрицательная в/з мера на
В такая, что А([а,6[) = 6 — а при ^о 5- а 5: Ь < 1?о)- Через г\ обозначаем
след А на С, : г\ — (А | >С); тогда щ есть счетно-аддитивная неотрицательная
в/з мера на С, причем для функций из В(1, С] интегралы относительно г)
и относительно А совпадают. В этих условиях, при / 6 Во(1, С] и, более
общим образом, при / 6 В(1,С} Г-решение системы (1.1) есть функция из
/о в К" со значениями
у>/(*) = Ф(Мо)яо + / /(т)Ф(*,г)Ь(т)т/(йт);
(2.1)
[*0,*[
мы сохраняем для обозначения "обычных" траекторий, порожденных программами Г, обозначение, принятое в (1 3) Условие (1.2) на выбор управляющей программы Г в (2 1) заменим более общим требованием
/1/1*7 = [\т\т,(Л1)<с
/
I/
(2.2)
/
I/
на выбор / € В(1, С]. Здесь, как и прежде, с е [0, оо[ — заданная ресурсная
константа. Через РО (через Р) обозначаем множество всех / е Во(1, С.) (всех
/ 6 В(1, С.)), удовлетворяющих условию (2.2), РО С Р. Кроме того, пусть
С0 = {^/(190) -/еР0},0 = {^(00) -. / е Р}.
Всегда Со С (7, так что мы имеем два варианта области достижимости в
классе обычных управлений. Аналогичным образом полагаем
#о = {у/ /е^0},^ = {у/-/еП
При этом Ло С X
Легко видеть на примерах, подобных [1,2], что множества О(
замкнуты, вообще говоря, в К" с топологией покоординатной сходимости, а множества Л',^ не замкнуты (вообще говоря) в пространстве всех
140.
А.Г Ченцов , Т Ю. Каширцева
п-вектор-функций на /о с топологией поточечной сходимости. Замыкания
этих множеств естественно рассматривать как некоторую их регуляризацию, полезную, в частности, при решении экстремальных задач. В настоящей статье мы рассматриваем представление замыканий Со, О, Х$, X,
используя, по сути дела, конкретизацию общих представлений [1, 2]. Это
представление достигается использованием специального расширения пространства управлений в классе к.-а. мер ограниченной вариации [8, гл.111] с
одним специальным свойством слабой абсолютной непрерывности относительно г? (если С = ^, то этим свойством обладает любая к.-а. мера ограниченной вариации, определенная на С : см. [1, с.89]). Мы рассматриваем
линейное пространство А(С) всех в/з к.-а. мер на С, каждая из которых
имеет ограниченную вариацию; А(С) порождается конусом (аМ)+[С\ всех
неотрицательных в/з к.-а. мер на С, и оснащается сильной нормой, определяемой в виде полной вариации (см. [1, с.62]). При этом, в частности,
ц € (адА}+\С\, а
А,[Г] = {д 6 А(Г) | VI е Г : (п(Ь) = 0) => (/*(!) - 0)}
есть множество всех к -а. мер ограниченной вариации, определенных на С. и
обладающих слабой абсолютной непрерывностью [10] относительно Г]. Мы
используем меры из множества
~,ОС) = {/*еАч[Г]К(/)<с}
;2.3)
в качестве обобщенных управлений (см [2, с.48]). Напомним, что В*(1,С) пространство, топологически сопряженное к банахову пространству В(1, С]
в традиционной зир-норме [8, с. 261], изометрически изоморфно А(С) в сильной норме, а сам изометрический изоморфизм А(>С) на В*(1,С.) определяется простейшей конструкцией интегрирования [1, с. 69, 70] (см. также [11])
Это свойство позволяет оснащать А(С) *-слабой топологией [12]; эту топологию, следуя [1, 2], обозначаем через т*(С) (общее определение см. в [8,
гл.У]; конкретизация приведена в [1, с. 71]). Условия компактности в
(А(Г),т,ОС))
(2.4)
определяются известной теоремой Алаоглу [8, с. 459] (следствие теоремы
Тихонова [13, 14]); конкретизация общих положений приведена в [1, с. 71].
Нам потребуется понятие неопределенного интеграла относительно меры
г/. Следуя [1, с 70], обозначаем для / Е В(1,С) через / * т\ неопределенный ^-интеграл Г, получая всякий раз к.-а. меру из А^-С]; будем использовать основное свойство неопределенного интеграла [1, (3.4.11)]. Напомним,
что [1, с 82] множество (2.3) компактно в топологическом пространстве
ОБОБЩЕННЫЕ ТРАЕКТОРИИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
141
виде всюду плотных, относительно ТП (2.4), подмножеств (см. [1, .87]). При
этом конкретная схема аппроксимативной реализации обобщенных элементов (ОЭ) ц € 3С(>С) в классе / € ?/о приведена в [2, с.245]. Если г € /о,
то отображение т н-> Ф(^, т)Ъ(т) : I —»• К," таково, что все его компоненты—суть элементы В(1, С); мы учитываем здесь свойство непрерывности
[15] матрицанта (фундаментальной матрицы решений) системы при изменении переменных в пределах /о- С учетом этого обстоятельства полагаем
V// е А(С) V* е /о
<йД4) = Ф(Мо)*о + / Ф(*,т)Ь(т)/г(Л-).
(2.5)
[М
Далее, мы рассматриваем (2.5) как траектории обобщенной системы,
полагая
УМеАОС):<^-Ш*))«Е/о-
(2.6)
В виде (2.6) мы имеем всякий раз отображение из /о в К,". Условимся о
следующем обозначении:
X = {«^ : м € ЕС(С)}.
(2.7)
Пространство Е всех п-вектор-функций на /о оснащаем естественной топологией Т поточечной сходимости. Если (О, ^,/г) — направленность в 2 и
X С Е, то сходимость [13,14] (1),^,/1) в (Н,Т) к X имеет место тогда и
только тогда, когда для каждого ^ 6 /о направленность
(г>,^,(/1(сг)(*))(,ед) = (1)1^,л(-)(<))
сходится к Х(г] в К" с обычной топологией покоординатной сходимости.
Здесь и ниже мы используем для обозначения направленностей и сходимости направленностей (сходимость по Мору-Смиту) символику [2, с. 34].
Через с1(-,т) будем обозначать оператор замыкания в ТП с топологией г.
Для замыканий в К" будем использовать более простое обозначение: замыкание множества А, А С К", обозначается через А, т.е. А — с/(А,т'п)).
Нашей ближайшей целью будет устанавление совпадения с/(АЬ, Т)>с1(Х, Т)
и Л\ Из этого утверждения как следствие будем извлекать аналогичные соотношения для ОД Со, О и
С = {^(1?0) : М Е ЕС(С)} - {х(г90) : х(-) е *}.
Нашей ближайшей целью будет установление следующих равенств
(0 = 0 = (50)&(^ = Ы(#0,Я - с/(ДГ,Т)),
(2.8)
142
А Г Ченцов , Т Ю Каширцева
где черта сверху обозначает замыкание в К," с топологией т^п' покоординатной сходимости. Напомним в этой связи, что простанство (Е, Т) есть
тихоновское произведение (см. [13, 14]) экземпляров (К", т'"') с индексным
множеством /о. Для доказательства (2.8) будем использовать "стандартные" свойства непрерывных операторов на компактных ТП и аппроксимативную конструкцию [2, с. 244, 245]. В связи с (2.1), (2.5), (2.6) отметим,
что при условии / 6 В(1,С) и // = / * г\ имеет место равенство (ру = ф^
(см. в этой связи [1, с.70]). Это свойство позволяет утверждать, что
(С0 СО С С)Ь(Хо СХСХ).
(2.9)
С учетом (2.9) и свойства замкнутости [13, 14] непрерывного оператора,
действующего из компактного пространства в хаусдорфово, можно установить следующую цепочку вложений (существенную в плане доказательства
(28))
(С0 С С С С)&(с/(ЛЬ, Г) С с1(Х, Т)СХ).
(2.10)
В' самом деле, Со С О и с1(Хо,Т) С с1(Х,Т) в силу монотонности
оператора замыкания в произвольном ТП. По определению ТП (2.4) мы
имеем при I 6 /о свойство непрерывности оператора
ц ^ ф„Ю : А(С) -* Кп
(2.11)
в смысле топологий т*(/3),т'п'. В частности, это свойство имеет место при
I = -до- Тогда по определению С имеем (в виде (?) нерперывный образ
компакта ВС(С}. Тогда О - компактное множество в (К",т'™') и, стало
быть, С есть множество, замкнутое в смысле г'™'. Поскольку при этом
С С С, ю, по определению замыкания, С С С. Тем самым завершается
обоснование первой цепочки вложений.
Из непрерывности операторов (2.11) при каждом I 6 /о вытекает, что
и оператор
ц^ф„.А(С)->Е
(2.12)
непрерывен в смысле топологий п(Г),Т. В этом случае пучок (2.7) как
непрерывный образ компакта компактен в ТП (Н, Т), а в силу отделимости
последнего, В (2.7) — замкнутое множество. Тогда согласно (2.9) имеет
место вложение с1(Х,Т) С X, чем и завершается проверка (2.10) в целом.
Покажем, что
Хс_с1(Х0,Т).
(2.13)
Для обоснования (2.13) будем использовать конструкцию [2, с. 245]. Пусть
выбрано произвольное движение х(-) — (ж(^))ге/0 6 X, после чего подберем ц 6 ^с(С) так, что при этом х(-) = ф^. Это означает, что х(-) есть
отображение из /ц в К™ такое, что VI € /о : х(1] = фц(1). Воспользуемся
ОБОБЩЕННЫЕ ТРАЕКТОРИИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
143
отображение из /о в Кп такое, что \Л 6 /о : х(г] — Фц(1)- Воспользуемся непрерывностью оператора (2.12). Рассмотрим множество В, определяемое соотношением (3.6.10) [2] при Е — /, так что Т) есть множество
всех неупорядоченных конечных разбиений I; мы оснащаем 1} направлением ч [2, с.48], соответствующим свойству вписанности одного конечного
/!-разбиения I в другое. Если 1С € В, то (поскольку \1 е АЧ[>С]) оределяем
Вц[/С] 6 Во(1,С) в соответствии с [2, с.244]. При этом (см. [2, с 45, 56,
245]) имеет место свойство: 0/Д/С] 6 РО при 1С € О. Как следствие имеем
V/Се^
V! 1/=вм[/С]е *„.
(2.14)
Заметим теперь, что 6^[/С] * ту 6 А,,[^], так что движение (2.14) есть
фу при V = 0/л[/С] *г), если только 1С €. I). Рассмотрим оператор ф = в^[-] *т]
[2, с. 245], т.е.
/С^9м[/С]*г/:В-ч Аг,[С].
Дополняя этот оператор направленным множеством (О,-<),О ф 0, мы получаем [2, с. 245] сходимость
(Б.^Г'-^/х.
(2.15)
В силу непрерывности оператора (2.12) получаем, что
(о,^(^))^0)-^.
(216)
В свою очередь, из соображений, связанных с представлением траекторий
вида (2 14), мы получаем при К. € В, что
Фв^к] = Ф» \»=&ц[к]*ч= Фф(к.)-
(2-17)
Стало быть, у нас (см. (2.16),(2.17)) имеет место сходимость
(в^,Ки)Хе0)^^-
(2-18)
Из (2 14),(2 18) вытекает [13,14], что
ж(-) = ^ес/(Л-0,Т).
Поскольку выбор ж(-) был произвольным, установлено вложение
ХСс1(Х0,Т).
Из (2 10) и (2 19) мы получаем, что справедлива
(219)
144
А Г Ченцов , Т Ю Каширцева
ТЕОРЕМА 2.1. Каждое из множеств Х,Х$ всюду плотно в X в смысле
ТП (5,Г) : с1(Х0,Т) = с1(Х,Т) = X.
3. Управляемая система с импульсным ограничением,
включающая линейную часть и нелинейный безынерционный
преобразователь
В настоящем разделе мы рассмотрим комбинацию системы (1.1) и нелинейного безинерционного блока, определяемого непрерывным оператором
д К." —>• Кш. где п и т — натуральные числа. Итак, мы рассматриваем
систему, в которой действие управления / С Р характеризуется "траекторией"
г^5(ж/(;));/0^кт,
(
3
.
1
)
которую мы условимся обозначать через г^( ), так что г/(1) — д(х](1)} при
I Е /о- При переборе всех / € РО (всех / € Р) реализуется пучок 7,§ (пучок
Ъ] всех возможных траекторий г/(). Мы рассматриваем замыкания множеств 2о, 2 в естественной топологии поточечной сходимости пространства
т-вектор-функций и его представление в терминах к.-а. управлений-мер.
В связи с нелинейным преобразованием в (3.1) полезно отметить некоторые модели, используемые в теории радиотехнических цепей [16, гл.
11] К числу устройств такого рода могут быть отнесены, в частности, полупроводниковые приборы, характеризуемые своей вольтамиерной характеристикой Конструкции такого рода (см. (3 1)) могут рассматриваться,
в частности, в качестве фрагмента типового радиотехнического звена [16]
С учетом (3 1) мы введем в рассмотрение специальный оператор С, переводящий !Е в множество Т всех функций из /о в Кш Полагаем, что С есть,
по определению, отображение
Х^(д(Х(^)^1о:Е^Т.
(
3
.
2
)
Мы оснащаем Т естественной топологией 0 поточечной сходимости (при
этом К'" оснащаем "обычной" топологией покоординатной сходимости, т е.
(Т, 0) есть тихоновское произведение экземпляров К."1. В силу непрерывности оператора д имеем, что отображение С непрерывно в смысле ТП
(Н, 7~) и (У,@). Мы учитываем при этом свойства [2, .35] и тот факт, что
С*(Х)(г) - д(Х(1}} при X Е Е и I 6 /о- В качестве X можно, конечно, использовать (как и в (3.1)) "обычные" траектории системы (1.1). Можно, однако,
в качестве X использовать обобщенную траекторию </3/4, где ц Е А.(С). В
последнем случае естественно возникает суперпозиция операторов (2 12) и
(3 2), 1 е отображение
1л -» С(^) . А(Г) -> Т,
(
3
.
3
)
ОБОБЩЕННЫЕ ТРАЕКТОРИИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
145
непрерывное в смысле ТП (2.4) и (Т,0). Поскольку (Т,6>) — хаусдорфово
ТП, то множество
Г = (С(^) . М 6 ЕС(С}}
(34)
компактно в (Т, 0) как непрерывный образ компакта. В частности, 2 (3 4)
— замкнутое в (Т,&) множество. Н&помнкм, что
(20 и {г/(.) . / е Р0}}&(2 ^ {г/( ) /еР})
(3 5)
Если /6-Р,/леЕид = /*т?, то
С(Ы = ($(<М*)))«Е7„ = (з№/*ч(*)))*е/о = (0(*>/(*)))«€/0 = С(У/) = г/(-)
Таким образом, у нас
20 С Л С 2,
(3 6)
г к / * г] е Н при / б .Р Из (3 6) и замкнутости 2 вытекает, что
с/(2<,,0) Ссг(Я,0) С 2
(37)
Рассмотрим доказательство вложения
2Сс1(20,&),
(
3
.
8
)
действуя по аналогии с обоснованием (2.19) Пусть г € 2 Тогда, используя (34), подберем V € Нс(/1) так, что Г = С(^) Рассмотрим направленное множество (В,-<;),В / 0, а также оператор ву[]. Мы получаем в
виде (В, -<, 9„[ ]) направленность в Рц} которая посредством процедуры [1,
(2 3 9)] может быть погружена в 5, (С.) А именно, мы рассматриваем оператор ж — 6,у[ ] * г] вида
/Сь+вЛ/С]*^ В-^А,,[)С]
При этом, как и в (2 15), имеем [2, с 245] сходимость (О,^,эз) к V в ТП
(24) С другой сюроны, как всякая суперпозиция непрерывных функций,
непрерывно отображение (3 3) Поэтому имеет место сходимость
(в,^,(с№в,№ч))К6]0)§с(^)
Иными словами,
(в,-ф(Уе„[/с]))кеБ)3*.
С3-8)
146
А.Г. Ченцов , Т.Ю. Каширцева
При этом 0„[/С] € ^о при /С е В [2, .45, 56, 245], а тогда У/С € В:
С (фв„[к]*п) = С (^е„ю) = ге„[х:](-) е Я0.
(
3
.
9
)
Из (3.8),(3.9) вытекает по теореме Биркгофа, что г € с1(2о,0). Поскольку выбор я был произвольным, установлено вложение (3.8). Из (3.7),(3.8)
вытекает
ТЕОРЕМА 3.1. Справедлива следующая система равенств
2 = с1(2(),&) = с1(2,0}.
ЗАМЕЧАНИЕ 3.1. С помощью аналогичных рассуждений можно (для
системы, включающей нелинейный преобразователь) построить обобщенное представление в классе к.-а. мер для замыкания ОД в пространстве Кп.
Это представление аналогично первому утверждению (2.8).
Список литературы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
Ченцов А.Г. Конечно-аддитивные меры и релаксации экстремальных задач. Екатеринбург: Наука, 1993. 232 с.
СЬеп1;зоу А.С. АвутрЬоЫс аМашаЫНту. К1и»ег Асайегшс РиЬНзЬегв, 1997. 322 с.
Красовский Н.Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1968. 476 с.
Красовский Н.Н. Игровые задачи о встрече движений. М.: Наука, 1970. 420 с.
Панасюк А.И., Панасюк В.И. Асимптотическая магистральная оптимизация
управляемых систем. Минск: Наука и техника, 1986. 296 с.
Неве Ж. Математические основы теории вероятностей. М.: Мир, 1969. 309 с.
Ширяев А.Н. Вероятность. М.: Наука, 1980. 576 с.
Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Общая теория. М.: Иностр.
лит.,1962. 895 с.
Ченцов А.Г. К вопросу об условиях асимптотической нечувствительности достижимого множества при возмущении части ограничений/Вести. Челяб. ун-та №1(3).
1996. С. 189-205.
ВЬавкага Пао К.Р.8., ВЬазкага Као М. ТЪеогу оГ сЬаг^ез. А кЦк1у оГ йш4е1у
«мЫКлус теазигск. Ьопс1оп: Асас1. Ргевв, 1983. 253 р.
5етас1епу 2. ВапасЬ зрасез оГ гоШтиоик Гипс^опв, уо!ите 1. ХУагнхатоа: Р\УМ РоН.чЬ
8с1еиЫ(и риЬНкЬегй, 1971. 584 р.
Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967. 624 с.
Келли Дж.Л. Общая топология. М.: Наука, 1981. 431 с.
Энгелькинг Р. Общая топология. М.: Мир, 1986. 751 с.
Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1974.
322 с.
Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. М.: Высш. шк., 1988. 448 с.
Зиттагу
ТЬе сЛозиге оГ (,Ье ЪипсИе оГ Ъга]ес1опез оГ а Нпеаг 8уз1ет ш!(,Ь 1п1,е§га1
соп81га!п1з 1з сопз1с1егес!. ТЬе сНпегеп1ла1 е^иа^^оп соп(;а1пз а с11зсоп<,1пиои8
с1ерепс1ете. ТЬе ех1епз!оп 1п 1Ье с1ав5 оГпп11е!у ас!(111;1уе теазигез 1з сопзЪгисЪес!.
Аз а гези!!, *;Ье сюзиге оГ 1,Ье ЬипсИе 1п 1,Ье 4оро1о§у оГ ро!п!;-\у18е сопуег§епсе
13 оЬ1а!пес1.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
587 Кб
Теги
управляемое, обобщенные, система, линейный, управления, коэффициента, траектория, разрывных
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа