close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Однопериодические обобщённые аналитические функции с отклоняющимся аргументом.

код для вставкиСкачать
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН
2013, том 56, №9
МАТЕМАТИКА
УДК 517.956.2
Д.С.Сафаров, Г.М.Мисоков
ОДНОПЕРИОДИЧЕСКИЕ ОБОБЩЁННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
С ОТКЛОНЯЮЩИМСЯ АРГУМЕНТОМ
Курган-Тюбинский государственный университет им. Н.Хусрава
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан З.Д.Усмановым 25.07.2013 г.)
В работе дан метод нахождения однопериодических обобщённых аналитических функций с
отклоняющимся аргументом.
Ключевые слова: периодическая функция – аналитическая функция – решение – уравнение.
В работе [1] построены однозначные, обобщённые в смысле И.Н.Векуа [2], однопериодические решения уравнения обобщённых аналитических функций
когда a  z  , b  z  , f  z  – непрерывные однопериодические функции, удовлетворяющие условиям
a  z 
A
z

, b  z 
B
z

,
f  z 
C
z

,  1 .
(1)
В данной работе строятся однозначные обобщённые решения (в смысле Векуа) для уравнения
вида
(2)
с периодом , Re  0, когда a – постоянная, f  z  – непрерывная однопериодическая функция с
периодом , h – некоторая постоянная.
Предположим, что f  z  удовлетворяет условию (1) и   2 . Пусть R – фундаментальная
область группы
Sk  z   z  k, Re  0, k  0, 1, 2,
Будем искать однопериодические обобщённые решения уравнения (2), допускающие в конечной части плоскости в качестве особых точек лишь полюсы, а при приближении z к концевым точкам полосы R , стремящиеся к конечному или бесконечному значению.
Как в [1], условимся считать, что обобщённое однопериодичное решение уравнения (2) имеет
в области R порядок не выше   S1  S2 ,   1  2  m , если оно в точках z j  R имеет полюсы порядков  j , а также полюсы на концах полосы R порядков не выше S1 и S2 соответственно.
Адрес для корреспонденции: Сафаров Джумабой Сафарович. 735140, Республика Таджикистан, г. КурганТюбе, ул. Айни, 67, Курган-Тюбинский государственный университет. E-mail: Safarov-5252@mail.ru
680
Математика
Д.С.Сафаров, Г.М.Мисоков
Теорема 1. Пусть в уравнении (2) число h кратно  и
. Тогда уравнение (1) при
любой правой части имеет однопериодическое обобщенное решение, с периодом  , порядком не
выше   S1  S2 , и оно представимо в виде
где
,
H1  t, z   H  t, z   H  t , z0  , z0  R
(3)
C jk , CS  постоянные.
Доказательство. Будем искать однопериодическое решение уравнения (2) в виде
(4)
где   z  – искомая функция. Если выполнены условия теоремы, то в представлении (4)   z  должна быть однопериодической по  .
В самом деле,
– однопериодическая по , а при h  k и Jma   , k  целое,
eahah  e2ikJma  1 ,
поэтому
  z     w  z    e az az  e aa  w  z  e az az  e2iJma   z  .
Подставляя (4) в (2), относительно   z  получим неоднородное уравнение Коши-Римана
 z  f  z  eaz az .
Так как
стями решения
(5)
, то все особенности функции   z  совпадают в R с особенноуравнения (2).
Таким образом,   z  должна иметь в области R порядок не выше   S1  S2 , то есть в точках z1 , z2 ,, zm имеет полюсы порядка 1 , 2 ,, m , соответственно, и при приближении z к концевым точкам R полюсы порядка S1 и S2 .
Как показано в работе [1], однопериодические решения уравнения (5), имеющие в R порядок
не выше   S1  S2 , определяются формулой
681
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2013, том 56, №9
(6)
где
H1  t, z   H  t, z   H  t , z0  , z0  R ,

1
1
1 

H  t, z  
 

.
t  z k   t  z  k k 
k 0
В самом деле, функция
в силу периодичности ядра H1  t , z  является периодической по
 . А в силу того, что
1 

lim  H  t , z  
  0,
tz
tz

интеграл
имеет дифференциальные свойства оператора Векуа [2]
T F  
1
1
F t 
d ,
 
tz

то есть
Поэтому разность
является однопериодической аналитической функцией,
имеющей в R порядок не выше   S1  S2 . Поэтому эта разность
имеет вид
(3) и справедлива формула (6).
Подставляя (6) в равенство (4), получим утверждение теоремы 1.
Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1 и h  k, k  целое число и  - корень
уравнения
  aeh  h  0 ,
причём    i . Тогда уравнение (1) при любой правой части имеет решение вида


1
w  z   e z  z   z   ∬f  t  e  at at H1  t , z  dR  ,
 R


682
(7)
Математика
Д.С.Сафаров, Г.М.Мисоков
где функция   z  представляется формулой
2 i
S
Sz
1

d k 1
  z   
C jk k 1 H1  z, z j    CS e 
dz
j 1 k 1  k  1 !
S  S
m j
k 1
1
,
2
где C jk , CS  произвольные постоянные числа.
Замечание 1. В случае регулярных однопериодических решений уравнения (1), то есть непрерывных решений на R , уравнение (1) имеет решения вида

  z   e z  z C 

1
f t  e
∬
R
t t

H1  t , z  dR  ,

где C  произвольная постоянная.
Замечание 2. Все корни уравнения (7) сосредоточены на окружности   a , поэтому каждому корню уравнения (7) соответствует бесчисленное множество решений однородного уравнения
(2).
Поступило 25.07.2013 г.
Л И Т Е РАТ У РА
1. Показеев В.И., Сафаров Д.С. Простые обобщенные аналитические функции, автоморфные относительно элементарных групп. – Изв. АН РТ. Отд.физ.-мат.н., №4 (120), 1991, с.3-8.
2. Векуа И. Н. Обобщенные аналитические функции. – М., 1959, 628 с.
Љ.С.Сафаров, Ѓ.М.Мисоќов
ФУНКСИЯЊОИ АНАЛИТИКИИ УМУМИКАРДАШУДАИ ЯКДАВРДОШТА
БО АРГУМЕНТИ ФАРЌКУНАНДА
Донишгоњи давлатии Ќурѓонтеппа ба номи Н.Хусрав
Дар маќола усули ёфтани функсияњои аналитикии умумикардашудаи якдаврдошта бо
аргументи фарќкунанда нишон дода шудааст.
Калимањои калидї: даврї – аналитикї – њал – муодила.
D.S.Safarov, G.M.Misokov
SINGLY-PERIODIC SOLUTIONS OF THE GENERALIZED ANALYTIC
FUNCTIONS WITH DEVIATING ARGUMENTS
N.Khusrav Qurgantyube State University
In the paper a method of finding the one-periodical generalized analytic functions with deviating arguments is proposed.
Key words: periodical – analytic – solution – equation.
683
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
14
Размер файла
621 Кб
Теги
однопериодические, аналитическая, отклоняющимся, функции, обобщённой, аргументы
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа