close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Описание класса субгармонических в единичном круге функций характеристика Неванлинны которых принадлежит весовым lp-пространствам.

код для вставкиСкачать
108
Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2007. №9/1(59).
УДК 517.53
ОПИСАНИЕ КЛАССА СУБГАРМОНИЧЕСКИХ
В ЕДИНИЧНОМ КРУГЕ ФУНКЦИЙ,
ХАРАКТЕРИСТИКА НЕВАНЛИННЫ КОТОРЫХ
ПРИНАДЛЕЖИТ ВЕСОВЫМ L p -ПРОСТРАНСТВАМ
© 2007
О.В. Охлупина1
В этой работе получено параметрическое представление класса субгармонических функций, характеристика Неванлинны которых принадлежит весовым пространствам Лебега.
Введение
Пусть D = {z : |z| < 1}, z = reiϕ . S — множество измеримых положительных суммируемых функций ω на (0; 1), для которых существуют числа mω , Mω , qω , причем
ω(rλ)
mω , qω ∈ (0; 1) удовлетворяют оценке mω 6
6 Mω , r ∈ (0; 1), λ ∈ [qω ; 1]. Такие
ω(r)
функции называют еще медленно изменяющимися функциями (см. [1]). Важным
частным случаем функции из S является степенная функция ω(t) = tα , α > −1.
Далее обозначим через S H(D) множество всех субгармонических функций в
D, u+ (z) = max(u(z); 0), u− (z) = max(−u(z); 0), u(z) = u+ (z) − u− (z).
Введем также в рассмотрение следующий класс субгармонических функций:


 p  1p
 π
 1




Z
Z
















p
+
iϕ




dr
u
(re
)dϕ
ω(1
−
r)
u
∈
S
H(D)
:
,
S Hω (D) = 
<
+∞























−π
0
0 < p < +∞. L p,ω (D) — обычное весовое L p -пространство, т.е.
 

 p  1p
 π


1


Z
Z













 

iϕ







dr
|ψ(re
)|dϕ
ω(1
−
r)
ψ
:
L p,ω (D) = 
.
<
+∞























−π
0
Одна из наиболее важных теорем в теории субгармонических функций принадлежит Ф. Риссу (см., например, [2, с. 123]).
Теорема (Ф. Рисс). Пусть u(z) — субгармоническая функция в D. Тогда в D
существует единственная
борелевская мера µ такая, что для любой подобласти
R
Ω ⊂ D: u(z) = ln |z − ζ|dµ(ζ) + h(z), где h(z) — гармоническая функция в Ω.
Ω
1 Охлупина Ольга Валентиновна (valentir2006@yandex.ru), кафедра математического анализа
Брянского государственного университета, 242036, Россия, г. Брянск, ул. Бежицкая, 14
Описание класса субгармонических в единичном круге функций . . .
109
При решении разнообразных задач в теории потенциала и в теории функций
комплексного переменного очень важно иметь представление субгармонической
функции во всем круге D.
Задачи такого рода для субгармонических в D ( и в шаре в Rn ) функций, имеющих ограниченную характеристику Р. Неванлинны, исследованы в работах [3–5].
В данной работе мы получим параметрическое представление для функций u,
вообще говоря, не имеющих ограниченную характеристику Р. Неванлинны T (r, u) =
Zπ
1
=
u+ (reiϕ )dϕ, т.е. класса функций u, для которых T (r, u) ∈ L p,ω (D), 0 < p < +∞,
2π
−π
ω ∈ L1 (0; 1).
Для дальнейшего изложения введем также следующее обозначение (см. [4]):
пусть z, ζ ∈ D, ζ , 0, β > −1, тогда


!
Z (1 − |t|2 )β ln |1 − t |






z

 β
ζ
dm
(t)
.
(a)
Aβ (z, ζ) = 1 − exp 
−

2


β+2


¯
ζ
π
(1
−
t
z)


D
Основным результатом работы является следующее утверждение.
Теорема. Для того чтобы субгармоническая функция u принадлежала классу
S Hωp (D), 0 < p < +∞, ω ∈ S , необходимо и достаточно, чтобы в D u допускала
представление
Z
u(z) =
ln |Aβ (z, ζ)|dµ(ζ) + h(z),
(b)
D
где β — достаточно большое положительное число, зависящее только от ω,
µ(ζ) — произвольная борелевская неотрицательная мера в D, для которой
R1
ω(1 − r)(1 − r) p n p (r)dr < +∞, n(r) = µ(Dr ), Dr = {z : |z| < r}, 0 < r < 1, h(z) —
0
гармоническая функция в D, удовлетворяющая условию:
p
 π
Z1

Z


iϕ
ω(1 − r)  |h(re )|dϕ dr < +∞.


0
−π
α
Замечание. При p = 1, ω(t) = t , α > −1 аналогичное представление получено
в работе [6].
1. Доказательство вспомогательных утверждений
В этом разделе работы будем предполагать, что u(z) является субгармонической в D функцией, которая гармонична в некоторой окрестности точки ноль,
причем u(0) = 0. c — константа, не имеющая принципиального значения.
Доказательство теоремы основано на следующих вспомогательных утверждениях.
Лемма 1. Пусть u — произвольная субгармоническая функция из класса
S Hωp (D), 0 < p < +∞. Тогда справедлива оценка:
p
 π
p
 π
Z1
Z1

Z

Z




ω(1 − r)  |u(reiϕ )|dϕ dr 6 c ω(1 − r)  u+ (reiϕ )dϕ dr.




0
−π
0
−π
110
О.В. Охлупина
Доказательство. Применяя
Zπ
1
u(0) 6
u(reiϕ )dϕ, r ∈ [0; 1).
2π
теорему
о
среднем
значении,
имеем:
−π
Далее воспользуемся тем, что u(z) = u+ (z) − u− (z):
Zπ
Zπ
+
2πu(0) = 0 6
iϕ
−
iϕ
[u (re ) − u (re )]dϕ =
−π
Zπ
+
iϕ
−π
то есть
u− (reiϕ )dϕ,
u (re )dϕ −
−π
Zπ
Zπ
−
iϕ
u+ (reiϕ )dϕ.
u (re )dϕ 6
−π
−π
Затем, учитывая, что |u(z)| = u+ (z) + u− (z), а также предыдущее неравенство,
получим:
Zπ
Zπ
Zπ
iϕ
+
iϕ
−
iϕ
|u(re )|dϕ = [u (re ) + u (re )]dϕ 6 2 u+ (reiϕ )dϕ.
−π
−π
−π
Возведем обе части полученного неравенства в степень p:
p
 π
p
 π

Z

Z



+
iϕ
p
iϕ


u
(re
)dϕ
6
2
|u(re
)|dϕ
 .



(1.1)
−π
−π
Умножим неравенство (1.1) на ω(1 − r) и проинтегрируем по r от 0 до 1:
p
 π
p
 π
Z1
Z1

Z

Z




+
iϕ
p
iϕ
ω(1 − r)  u (re )dϕ dr < +∞.
ω(1 − r)  |u(re )|dϕ dr 6 2




−π
0
0
−π
Следовательно, u ∈ L p,ω (D). Что и требовалось доказать.
Следующая лемма установлена в работе [5].
Лемма 2. Пусть z, ζ ∈ D, ζ , 0, β > −1, Aβ (z, ζ) — функция, определенная по
формуле (a). Тогда справедлива оценка:
!β+2
1 − |ζ|2
ln |Aβ (z, ζ)| 6 c
.
(1.2)
|1 − ζ̄z|
Лемма 3. Пусть u ∈ S Hωp (D), 0 < p < +∞, Dr = {z : |z| < r}, 0 < r < 1, n(r) = µ(Dr ).
Тогда справедлива оценка:
 π
p
Z1
Z1

Z


+
iϕ
p p
ω(1 − r)(1 − r) n (r)dr 6 c ω(1 − r)  u (re )dϕ dr.


0
0
Доказательство. Пусть сначала u ∈
Rr Rπ
∆u(teiϕ )dϕtdt, 0 < r < 1.
u, n(r) =
−π
S Hωp (D) ∩C (2) (D).
∆u— лапласиан функции
0 −π
Рассмотрим круг радиуса ρ : 0 < ρ < 1. Тогда по формуле Грина (см. [7, с. 274])
имеет место следующее равенство:
Zπ Zρ
Zπ
ρ
2
iϕ
u(ρe )dϕ =
−π
−π 0
ρ
ln ∆u(reiϕ )rdrdϕ.
r
(1.3)
Описание класса субгармонических в единичном круге функций . . .
Так как u(0) = 0, то, по теореме о среднем,
Rπ
111
u(reiϕ )dϕ > 0, а также, учитывая,
−π
что u(z) 6 u+ (z), получим:
Zπ Zρ
Zπ
Zπ
ρ
ln ∆u(reiϕ )rdrdϕ 6 ρ2 u+ (ρeiϕ )dϕ 6
u+ (ρeiϕ )dϕ.
r
−π 0
−π
−π
Возведем обе части неравенства в степень p, 0 < p < +∞, а затем умножим на
ω(1 − ρ) и проинтегрируем по ρ от 0 до 1:
p
 π
p
 π ρ
Z1
Z1

Z

Z Z
ρ




ω(1 − ρ)  u+ (ρeiϕ )dϕ dρ.
ω(1 − ρ) 
ln ∆u(reiϕ )rdrdϕ dρ 6




r
−π 0
0
−π
0
Учитывая это, получим:
Z1
 π ρ
p
Z Z

ρ


ω(1 − ρ) 
ln ∆u(reiϕ )rdrdϕ dρ < +∞.


r
(1.4)
−π 0
0
Проинтегрируем по частям внутренний интеграл в (1.4):


Zπ Zρ
Zρ Zr Zπ


ρ
1


∆u(teiϕ )dϕtdt dr.
ln ∆u(reiϕ )rdrdϕ =


r
r
−π 0
Положим µ(Dr ) =
Rr Rπ
0 −π
0
∆u(teiϕ )dϕtdt = n(r). С учетом этого перепишем (1.4):
0 −π
Z1
p
p
 π
 ρ
Z1


Z
Z
1


 n(r) 
+
iϕ
u
(ρe
)dϕ
dr dρ 6
ω(1
−
ρ)
ω(1 − ρ) 
 dρ.



r
(2π) p
0
0
−π
0
Оценим левую часть последнего неравенства снизу:

p
 ρ
p
 Zρ

Z1
Z1
Z



n(r) 
 n(r) 
ω(1 − ρ) 
+∞ >
ω(1 − ρ) 
dr dρ >
dr dρ >




r
r
0
0
0
ρ− 1−ρ
2
Z1
>
1
2
Zρ
Запишем оценку для интеграла

p
 Zρ


n(r) 

ω(1 − ρ) 
dr dρ.


r
1−ρ
ρ−
2
n(r)
dr:
r
ρ− 1−ρ
2
Zρ
1−ρ
n(r)
dr > n ρ −
r
2
!
!
!
!
1−ρ
3ρ − 1 1 − ρ
ρ−ρ+
=n
.
2
2
2
ρ− 1−ρ
2
Воспользуемся полученной оценкой:
!
!p
!
Z1
Z1
3ρ − 1
1−ρ
p 3ρ − 1
ω(1 − ρ)n
dρ = c(p) ω(1 − ρ)n p
(1 − ρ) p dρ.
2
2
2
1
2
1
2
(1.5)
112
О.В. Охлупина
Совершим замену переменных:
3ρ − 1
2
1
= r, 1 − ρ = (1 − r), 6 r 6 1.
2
3
4
Тогда (1.5) примет вид:
Z1
ω(1 − r)n p (r)(1 − r) p dr,
c1 (p)
1
4
! p+1
!
1
2
2
· p ·ω
.
3
2
3
Следовательно,
где c1 (p) =
Z1
Z1
ω(1 − r)n p (r)(1 − r) p dr 6 c
0
 π
p
Z



ω(1 − r)  u+ (reiϕ )dϕ dr < +∞


−π
0
S Hωp (D)
(1.6)
(2)
при условии, что u ∈
∩ C (D).
R1
Покажем, что ω(1 − r)n p (1 − r)(1 − r) p dr < +∞ в случае, когда u ∈ S Hωp (D).
0
Для доказательства леммы в общем случае рассмотрим последовательность бесконечно дифференцируемых субгармонических функций uk (z), которые, убывая, сходятся к субгармонической функции u(z) внутри D при k → +∞ (см. теорема 3.8,
[2], с. 121), при этом ∆uk слабо сходятся к dµ, где µ — представляющая мера в разложении Рисса субгармонической функции u. Применим формулу (1.3) к данной
последовательности:
Zπ Zρ
Zπ
ρ
iϕ
2
uk (ρe )dϕ =
−π 0
−π
ρ
ln ∆uk (reiϕ )rdrdϕ.
r
Используя теорему Б. Леви (см. [8, с. 303]), перейдем к пределу при k → +∞
в предыдущем равенстве. Затем, используя формулу Иенсена (см., например, [2,
§3.9]), получим:
Zρ
Zπ
1
n(r)
+
iϕ
u (ρe )dϕ >
dr,
2π
r
−π
0
где n(r) = µ(Dr ). Следовательно,
Z1
Z1
ω(1 − ρ)(1 − ρ) p n p (ρ)dρ 6
0
 ρ
p
Z

 n(r) 
ω(1 − ρ) 
dr dρ 6


r
0
0
Z1
6
0
p
 π

Z


+
iϕ
ω(1 − ρ)  u (ρe )dϕ dρ < +∞.


−π
Что и требовалось доказать.
Лемма 4. Пусть u — произвольная субгармоническая функция в D, допускающая представление (b), где µ(ζ) — борелевская неотрицательная мера в D, для
R1
которой ω(1 − r)(1 − r) p n p (r)dr < +∞, n(r) = µ(Dr ), Dr = {z : |z| < r}, 0 < r < 1, h(z) —
0
Описание класса субгармонических в единичном круге функций . . .
113
гармоническая функция в D, удовлетворяющая условию:
 π
p
Z1
Z



ω(1 − r)  |h(reiϕ |dϕ dr < +∞,


−π
0
0 < p < +∞, ω ∈ S , β — достаточно большое положительное число, зависящее только от ω. Тогда u ∈ S Hωp (D).
Доказательство. Введем следующее обозначение: пусть
Z
ln |Aβ (z, ζ)|dµ(ζ).
Vβ (z) =
D
Тогда u(z) = Vβ (z) + h(z).
Учитывая, что u(z) 6 u+ (z), а также справедливость оценки (1.2) из леммы 2,
запишем:
!β+2
Z
1 − |ζ|2
+
+
u (z) 6 |h(z)| + Vβ (z) 6 |h(z)| + c
dµ(ζ).
D |1 − ζ̄z|
Проинтегрируем обе части неравенства по ϕ от −π до π, возведем обе части в
степень p и применим неравенство Минковского:
Z π Z
 p
!p
!p
!β+2
Z π
Z π


 
1 − |ζ|2
+
iϕ
iϕ


u (re )dϕ 6
|h(re )|dϕ + c(p) 
dµ(ζ) dϕ .

D |1 − ζ̄z|
−π
−π
−π
Умножим обе части на ω(1 − r) и проинтегрируем по r от 0 до 1:
!p
!p
Z 1
Z π
Z 1
Z π
+
iϕ
iϕ
ω(1 − r)
u (re )dϕ dr 6
ω(1 − r)
|h(re )|dϕ dr+
0
−π
0
1
Z

ω(1 − r) 
0
Z
π
Z


−π
 p
!β+2
 
1 − |ζ|2
+c(p)
dµ(ζ) dϕ dr.
D |1 − ζ̄z|
−π
0
Первый интеграл в правой части сходится по предположению. Покажем
сходимость второго интеграла правой части, то есть остается показать принад!p
R1
Rπ
p
+
iϕ
лежность Vβ (z) классу S Hω (D), а именно ω(1 − r)
Vβ (re )dϕ dr < +∞.
Z
−π
!
2 β+2
1 − |ζ|
dµ(ζ).
|1 − ζ̄z|
Пусть 1 < p < +∞, ζ = ρeiϕ , z = reiθ , ψ — произвольная функция из Lq (0; 1), ψ > 0,
kψkLq = 1.
Рассмотрим последовательность неотрицательных бесконечно дифференцируемых функций χk (ρ, ϕ), которые, убывая, слабо сходятся к dµ(ρ, ϕ) (см. [9, с. 37]).

!β+2
Z π
Z π Z 1 Z π

1 − ρ2

+
iϕ
 dϕ =
χ
(ρ,
ϕ)ρdϕdρ
Vβ (ρe )dϕ 6 c

k
i(θ−ϕ) |
−π
−π
0
−π |1 − ρre
! !
Z π Z 1
Z π
dθ
β+2
=c
dρ dϕ 6
(1 − ρ) χk (ρ, ϕ)ρ
i(θ−ϕ) |β+2
−π
0
−π |1 − ρre
!
!
Z 1Z π
Z π
Z 1
(1 − ρ)β+2
(1 − ρ)β+2
6 c1
χ
(ρ,
ϕ)ρdϕdρ
=
c
χ
(ρ,
ϕ)ρdϕdρ
=
1
k
β+1 k
β+1
0
−π (1 − ρr)
−π
0 (1 − ρr)
"Z 1
!#
Z ρZ π
(1 − ρ)β+2
= c1
d
χk (t, ϕ)dϕtdt .
β+1
0 (1 − ρr)
0
−π
Vβ (z) 6 Vβ+ (z) 6 c
D
114
О.В. Охлупина
Интегрируя по частям последний интеграл, получим:
!
!
Z 1
Z ρZ π
Z ρZ π
Z 1
(1 − ρ)β+2
(1 − ρ)β+1
d
χk (t, ϕ)dϕtdt = c(β)
χk (t, ϕ)dϕtdt dρ.
β+1
β+1
0 (1 − ρr)
0
−π
0 (1 − ρr)
0
−π
Переходя к пределу при k → +∞, имеем:

 ρ π
Z1
Z1
Z Z

(1 − ρ)β+1 
(1 − ρ)β+1



 dρ = c(β)
c(β)
dµ(t,
ϕ)
n(ρ)dρ.


(1 − ρr)β+1 
(1 − ρr)β+1
0 −π
0
0
1
p
Умножим полученный интеграл на ψ(r) и ω (1 − r) и проинтегрируем по r от 0
до 1:
Z 1
Z 1
1
(1 − ρ)β+1
n(ρ)dρdr =
ω p (1 − r)ψ(r)
β+1
0 (1 − ρr)
0
Z 1
Z 1 1p
ω (1 − r)ψ(r)
β+1
n(ρ)(1 − ρ)
=
drdρ =
(1 − ρr)β+1
0
0
Z 1
Z ρ 1p
ω (1 − r)ψ(r)
β+1
=
n(ρ)(1 − ρ)
drdρ+
(1 − ρr)β+1
0
0
Z 1
Z 1 1p
ω (1 − r)ψ(r)
drdρ = I1 + I2 .
+
n(ρ)(1 − ρ)β+1
(1 − ρr)β+1
0
ρ
Оценим I1 . При 0 < r < ρ: 1 − rρ > 1 − r. Тогда
Zρ
Z1
I1 6
n(ρ)(1 − ρ)
0
β+1
0
1
ω p (1 − r)ψ(r)
drdρ.
(1 − r)β+1
Воспользуемся видом функции ω(x) (свойства функции ω(x) см. в работе [5,
с. 1423]).
Z1
ε(t)
ω(x) = exp
dt,
(1.7)
t
x
1
p
log mω
log mω
1
αω ω (x)
где βω > ε(t) >
=
−
=
−α
.
ω(x)
>
x
,
> β− αω . Следовательно,
ω
1
β
log
q
x
log qω
ω
x p
1
R1
ω p (x)
αω
функция
монотонно убывает при β > 1 + . С учетом этого, I1 6 n(ρ)(1 −
β
p
x
0
ρ

R


1


ψ(r)
−ρ)ω p (1−ρ)  1−r dr dρ. Изменим порядок интегрирования в последнем интеграле:
0
Z1
0
ψ(r)
1−r
 1

Z

1


p
 n(ρ)(1 − ρ)ω (1 − ρ)dρ dr.
r
Применим неравенство Гельдера:
 1q
 1

Z
 ψq (r)dr


0
 1
Z


0

 p  1p
Z1



1
1



n(ρ)(1 − ρ)ω p (1 − ρ)dρ dr =



1−r
r
Описание класса субгармонических в единичном круге функций . . .
 1
Z

= 

115

 p  1p
Z1



1

 1

p (1 − ρ)dρ
n(ρ)(1
−
ρ)ω
dr



1−r
r
0
После замены переменных v = 1 − ρ последний интеграл примет вид:
 1
Z

c 


 p  1p
Z1−r



1


 1
p (v)dv
dr
n(1
−
v)vω



1−r
0
(1.8)
0
Применяя к (1.8) неравенство Харди (см. [10, с. 319]), получим оценку сверху для
(1.8):
 1
 1
 1p
 1p
Z

Z





c(p)  ω(v)v p n p (1 − v)dv = c(p)  ω(1 − t)(1 − t) p n p (t)dt < +∞.




0
0
Оценим I2 . При ρ < r < 1: 1 − rρ > 1 − ρ. Тогда
 1
 1


Z1
Z1
Z
Z


1
1
1


 ω p (1 − r)ψ(r)dr dρ =
p (1 − r)ψ(r)dr 
ω
n(ρ)
I2 6
n(ρ)(1 − ρ)β+1

 dρ.



(1 − ρ)β+1 
ρ
0
ρ
0
После замены переменных v = 1 − r последний интеграл примет вид:

 1−ρ
Z1

 Z
1


p
n(ρ)  ω (v)ψ(1 − v)dv dρ.


0
0
Учитывая (1.7), запишем:
 1−ρ
 1


Z1
 Z
Z


ε(t) 
ω(v)
 ε(t) 
 ε(t)
= exp 
dt −
dt = exp 
dt 6
ω(1 − ρ)
t
t
t




v
v
1−ρ
 1−ρ 
!
!β
 Z

dt 
1−ρ
1−ρ ω

6 exp βω
=
.
 = exp βω ln
t 
v
v

v
!βω
1−ρ
при 1 − ρ > v.
v
Применим полученную оценку к интегралу (1.9):
 1−ρ

Z1
 Z

1


n(ρ)  ω p (v)ψ(1 − v)dv dρ 6


Следовательно, ω(v) 6 ω(1 − ρ)
0
0
Z1
1
p
6
n(ρ)ω (1 − ρ)(1 − ρ)
0
βω
p
 1−ρ

 Z

 ψ(1 − v) 
dv

 dρ =
βω


vp
0
Z1
1
p
=
n(ρ)ω (1 − ρ)(1 − ρ)
0
1
(1 − ρ)
1−βω
p
 1−ρ

 Z

 ψ(1 − v) 
du

 dρ.
βω


vp
0
(1.9)
116
О.В. Охлупина
Применяя неравенство Гельдера, получим:
q  1q
 1
 1p  1 
Z1−ρ
Z 


Z

1
ψ(1
−
v)
 




I2 6  n p (ρ)ω(1 − ρ)(1 − ρ) p dρ ×  
dv
dρ

 6

βω


  (1 − ρ) 1−βp ω

p
v
0
0
0
q  1q
 1
Z1−ρ
Z 


1
ψ1 (v) 

 

dv dρ ,
6 c  
βω


  (1 − ρ) 1−βp ω
vp
0
0
где ψ1 (v) = ψ(1 − v). Сделаем замену переменной 1 − ρ = x:
 1
q  1q
Zx
Z 


ψ1 (v) 
  1


I2 6 c   1−βω
dv
dx

 .
βω
 x p
vp
0
0
Воспользуемся неравенством Харди:
q  1q
 1 1
 1


Z Z
Z

  ψ1 (xv) 

dx
dv
I2 6 c  
=
c


βω

 
vp
0
0
0
 1
 1
Z ψq (xv)   q

 
1
dv dx .

βω q
 
v p
0
Изменим порядок интегрирования:
 1q
 1 1
 1
 1
 1

Z Z ψq (xv)   q
Z
Z
dv 

 
 

q
1

dv
ψ
(xv)dx
c  
dx
=
c
 .
 
βω q
βω q 
1


 
p
p
v
v
0
0
0
0
Сделаем замену переменных xv = t, 0 6 t 6 v во внутреннем интеграле:
 1q
 q1
 1
 v
 v
Z1


Z
Z
Z
dv
dv



q
 ψq (t)dt = c
ψ
(t)dt
c 
 .
βω 1 
1
1

 v βωp q +1 

+q 
p
v
0
0
0
0
Вернемся к функции ψ(t). По определению нормы функции ψ в пространстве
Z1
dv
Lq (0; 1): I2 6 c
.
βω 1
v p +q
0
1 1
βω
1
βω 1
Полученный интеграл сходится при
+ < 1. Так как + = 1, то
< , то
p q
p q
p
p
есть βω < 1.
Следовательно, потенциал Vβ (z) ∈ S Hωp (D), если 1 < p < +∞.
Рассмотрим теперь случай 0 6 p < 1. Воспользовавшись полученной ранее
оценкой, запишем:
Zπ
Z1
Vβ+ (ρeiϕ )dϕ
−π
6 c(β)
0
(1 − ρ)β+1
n(ρ)dρ.
(1 − ρr)β+1
1
Разобьем интервал от 0 до 1 точками rk = 1 − k , k = 0, 1, 2, ... . С учетом этого
2
разбиения:
r
Z1
∞ Zk+1
X
(1 − ρ)β+1
(1 − ρ)β+1 n(ρ)
n(ρ)dρ
6
dρ.
(1.10)
(1 − ρr)β+1
(1 − rρ)β+1
k=1
0
rk
Описание класса субгармонических в единичном круге функций . . .
117
Рассмотрим выражение под знаком суммы:
Zrk+1
rk
(1 − ρ)β+1 n(ρ)
n(rk )(1 − rk )β+1
dρ 6
(rk − rk−1 ).
β+1
(1 − rρ)
(1 − rrk )β+1
Учитывая, что 1 − rk =
1
1
, n(rk ) = nk , а также rk − rk−1 = k , получим:
k
2
2
n(rk )(1 − rk )β+1
nk
(rk − rk−1 ) = k(β+2)
.
β+1
(1 − rrk )
2
(1 − rrk )β+1
Zrk+1
То есть
rk
(1 − ρ)β+1 n(ρ)
nk
dρ 6 c k(β+2)
.
(1 − rρ)β+1
2
(1 − rrk )β+1
С учетом этого возведем обе части (1.10) в степень p, умножим неравенство
на ω(1 − r) и проинтегрируем по r от 0 до 1:
Z1
0
 1
p
Z 1
Z

∞
β+1
X
nkp
ω(1 − r)dr
 (1 − ρ) n(ρ) 
ω(1 − r) 
dρ dr 6 c1
6
β+1
kp(β+2)
p(β+1)


(1 − rρ)
2
0 (1 − rrk )
k=1
0
Применим лемму 3 из работы [4]:
∞
X
6 c2 
k=1
nkp
2kp(β+2)
∞ p 1


X nk ω( 2k )

ω(1 − rk ) 

< +∞ .
·
 = c3 
k(p+1)
p(β+1)−1
2
(1 − rk )
k=1
Следовательно, функция u принадлежит классу S Hωp (D). Лемма доказана.
2. Доказательство основной теоремы
Мы докажем основную теорему при условии, что функция u является гармонической в некоторой малой окрестности точки ноль. При этом u(0) = 0. Общий
случай (u(0) , 0) сводится к этому аналогично, как при p = 1, ω(t) = tα , α > −1
(см. [6]).
1. Сначала докажем необходимость. Пусть u ∈ S Hωp (D). Покажем, что u допускает представление (b). Рассмотрим разность u(z) − Vβ (z) = h(z) и покажем, что она
является гармонической функцией.
+
R Пусть Dr — круг радиуса r, 0 < r < 1. По теореме РиссаR для Dr : u(z) = V(z) +
ln|ζ − z|dµ(ζ), где V(z) — гармоническая функция в Dr , ln|ζ − z|dµ(ζ) — субгарDr
моническая функция.
Dr
118
О.В. Охлупина
Преобразуем выражение:
!
|Aβ (z, ζ)|
ζ − z = ln
ln|Aβ (z, ζ)| = ln |Aβ (z, ζ)| · + ln|ζ − z|;
ζ
−
z
|ζ − z|


Z (1 − |t|2 )β ln 1 −




|Aβ (z, ζ)|
1
z
β


ln
= ln 
· 1 − · exp 
−


 |ζ − z| |ζ − z|
ζ (1 − t¯z)β+2
 π
D


Z (1 − |t|2 )β ln 1 − t 





ζ
1
 β

= ln + Re 
−
dm
(t)
.


2

 π

|ζ|
(1 − t¯z)β+2


D
Z
h(z) = u(z) − ln|Aβ (z, ζ)|dµ(ζ) =
t ζ






 =
dm2 (t)






Z 
Z (1 − |t|2 )β ln 1 − t 







ζ
1
 β

−
= u(z) − ln |ζ − z| + ln
+ Re 
dm
(t)

 dµ(ζ) =
2 




|ζ|
(1 − t¯z)β+2
 π

Dr
D
Z
Z
1
= u(z) − ln|ζ − z|dµ(ζ) − ln dµ(ζ)−
|ζ|
Dr
Dr


Z
Z (1 − |t|2 )β ln 1 − t 





ζ
 β

−
dµ(ζ),
− Re 
dm
(t)
2 


β+2


(1 − t¯z)
 π

Dr
Dr
Z
D
1
dµ(ζ) < +∞. Это следует из того, что Vβ (0) > −∞, +∞ > −Vβ (0) = −
|ζ|
Dr


Z
Z
Z (1 − |t|2 )β ln 1 − t 





ζ
1

 β
— гармониче−
− ln|Aβ (0, ζ)|dµ(ζ) >
ln dµ(ζ). Re 
dm
(t)
2 


β+2


|ζ|
(1 − t¯z)

 π
ln
D
D
D
ская функция в круге радиуса r. Так как r — произвольное из (0; 1), получаем,
что h(z) является гармонической функцией.
!p
R1
Rπ
Покажем, что h(z) удовлетворяет условию ω(1 − r)
|h(reiϕ )|dϕ dr < +∞. Рас−π
0
смотрим разность u(z) − Vβ (z) = h(z). Так как u(z) 6 u+ (z), то по лемме 2:
!β+2
Z
1 − |ζ|2
+
+
+
+
h (z) 6 u (z) + Vβ (z) 6 u (z) + c
dµ(ζ).
|1 − ζ̄z|
D
Проинтегрируем обе части неравенства по ϕ:
Zπ
Zπ
Zπ Z

h+ (reiϕ )dϕ 6
u+ (reiϕ )dϕ + c 
−π
−π
−π
D
1 − |ζ|2
|1 − ζ̄z|
Применим теорему о среднем значении: −∞ < 2πh(0) =
!β+2
Rπ


dµ(ζ) dϕ.
h(reiϕ )dϕ.
−π
Zπ h
i
2πh(0) =
h+ (reiϕ ) − h− (reiϕ ) dϕ;
−π
Zπ
Zπ
−
iϕ
h (re )dϕ =
−π
Zπ
+
iϕ
h+ (reiϕ )dϕ + 2π|h(0)|.
h (re )dϕ − 2πh(0) 6
−π
−π
Описание класса субгармонических в единичном круге функций . . .
Zπ
Zπ
iϕ
h+ (reiϕ )dϕ + c1 .
|h(re )|dϕ 6
−π
В результате
Zπ
Zπ
iϕ
−π
Zπ Z

u (re )dϕ + c 
+
|h(re )|dϕ 6
−π
119
iϕ
−π
−π
D
1 − |ζ|2
|1 − ζ̄z|
!β+2


dµ(ζ) dϕ + c1 .
Возведем обе части неравенства в степень p, применим неравенство Минковского,
а затем умножим обе части на ω(1 − r) и проинтегрируем по r от 0 до 1:
 π
p
 π
p
Z1
Z1
Z

Z





ω(1 − r)  |h(reiϕ )|dϕ dr 6
ω(1 − r)  u+ (reiϕ )dϕ dr+




0
−π
−π
0
Z1
+c
0
 π
  p
!
Z Z
2 β+2
 
1
−
|ζ|


dµ(ζ) dϕ dr + c2 .
ω(1 − r)  


D |1 − ζ̄z|
−π
Оба интеграла в правой части сходятся. Сходимость первого следует из принадлежности функции u классу S Hωp (D), сходимость второго доказана ранее (см.
лемму 4).
!p
R1
Rπ
iϕ
Следовательно, ω(1 − r)
|h(re )|dϕ dr < +∞, то есть функция u допускает
0
−π
представление (b).
2. Доказательство достаточности непосредственно следует из предыдущего
пункта и леммы 4.
Теорема доказана.
Литература
[1] Сенета, Е. Правильно меняющиеся функции / Е. Сенета. – М.: Наука, 1985.
[2] Хейман, У. Субгармонические функции / У. Хейман, П. Кеннеди. – М.: Мир,
1980.
[3] Tsuji, M. Potential theory in modern function theory / M. Tsuji. – Tokyo: Maruzen Co., 1959.
[4] Джрбашян, М.М. К проблеме представимости аналитических функций /
М.М. Джрбашян // Сообщ. ин-та математики и механики АН Арм. ССР. –
1948. – В. 2. – С. 3–40.
[5] Шамоян, Ф.А., Параметрическое представление и описание корневых множеств весовых классов голоморфных в круге функций / Ф.А. Шамоян // Сиб.
мат. журнал. – 1999. – T. 40:6. – С. 1421–1440.
[6] Аветисян, К.Л. Потенциалы типа Грина и представимость весовых классов
субгармонических функций / К.Л. Аветисян // Изв. Нац. АН Армении. Математика. – 1995. – Т. 30. – №2.
[7] Кусис, П. Введение в теорию пространств H p . Пер. с англ. / П. Кусис. – М.:
Мир, 1984.
[8] Колмогоров, А.Н. Функциональный анализ / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. –
М.: Наука, 1976.
[9] Ландкоф, Н.С., Основы современной теории потенциала / Н.С. Ландкоф. –
М.: Наука, 1966.
120
О.В. Охлупина
[10] Стейн, И.М., Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций / И.М. Стейн. – М.: Мир, 1973.
Поступила в редакцию 29/X/2007;
В окончательном варианте — 29/X/2007.
DESCRIPTION OF A CLASS OF SUBHARMONIC
FUNCTIONS IN THE UNIT DISK, NEVANLINNA’S
CHARACTERISTIC OF WHICH BELONGS TO WEIGHT
LP -SPACES
© 2007
O.V. Okhlupina2
In the paper a parametrical representation of a class of subharmonic functions
in the unit disk with the Nevanlinna’s characteristic from the weight spaces of
Lebesque is obtained.
Paper received 29/X/2007.
Paper accepted 29/X/2007.
2 Okhlupina Olga Valentinovna (valentir2006@yandex.ru), Dept. of Mathematical Analysis,
Bryansk State University, Bryansk, 242036, Russia.
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа