close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Определение площади физической поверхности участка по способу итераций.

код для вставкиСкачать
УДК 528.4
А.В. Виноградов
ОмГАУ, Омск
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ ФИЗИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ УЧАСТКА ПО
СПОСОБУ ИТЕРАЦИЙ
A.V. Vinogradov
Omsk state agrarian university (OmSAU).
Institutskia pl., Omsk, 644008, Russian Federation
DETERMINATION AREA TO PHYSICAL SURFACE OF THE AREA AFTER THE
MANNER ITERATION
It is necessary to know the physical area of a surface of the plot to produce some
geomorphological, geobotanical and geological works. This problem is known for some hundreds
years, but it is also urgent. Modern computers allow to have a new problem solving. This article
presents you some methods of calculation the physical area of a surface of the plot using new
computer technologies and mathematical algorithms. As a result of applied workings was reducing
errors of calculation of the area to 0,07 %.
В целом ряде работ рассматривается возможность определения площади
физической поверхности участка для ведения кадастра. Это достаточно
сложная, а главное трудоемкая задача. Так как рельеф любой поверхности очень
разнообразен и при его съѐмке всегда происходит генерализация. Поэтому
определение этой площади всегда носит субъективный характер, и
соответственно математический аппарат для решения этой задачи так же
разработан недостаточно.
Для нахождения физической площади любого участка самый простой
способ – это разбиение участка на элементарные фигуры, обычно треугольники.
Разобьѐм на местности или на цифровой модели местности сплошную сеть
треугольников, вершины которых будут находиться на основных точках рельефа
или линиях перегиба, а затем определим все стороны этих треугольников. В
результате, пользуясь известной формулой Герона, можно вычислить площадь
каждого треугольника, а сумма этих площадей даст физическую площадь
данного участка. (Вполне вероятно для этих целей и была получена эта
формула). В зависимости от длины сторон треугольников получаем площадь с
разной степенью точности. В работе [7] предлагается выдерживать стороны
треугольников порядка 10 км. Это возможно только в плоскоравнинной
местности, хотя в этой работе речь идѐт об орошаемых участках самотечными
каналами, и такие стороны вполне оправданы. Но в этом случае площадь на
плоскости будет практически равна физической площади. Для повышения
точности результата площадь надо вычислять дважды и по независимым
измерениям. Это предлагается в работах [5, 6]. По космическим снимкам строят
небольшие треугольники, но большей частью это предназначено для
сельскохозяйственных и лесных угодий. Все вычисления выполняют дважды,
но так как первоначально берѐтся четырѐхугольник (по девяти пикселям) и у
него находят две диагонали, то получаемые результаты зависимы.
Определѐнный интерес может вызывать местность с достаточно
расчленѐнным рельефом, при углах наклона более 4 °. Но в такой местности
поверхность имеет сложные формы, а главное она плохо описывается любыми
элементарными фигурами. Для точного описания надо строить треугольники с
короткими сторонами, порядка нескольких десятков метров. И всѐ равно часть
треугольников будет рассекать поверхность земли и, соответственно,
вычисленная площадь не будет соответствовать физической поверхности.
Особенно это будет наблюдаться в местах закруглений рельефа. Кроме того,
любая поверхность имеет микроформы рельефа, учѐт которых очень трудоѐмок,
но они могут изменить значение площади в пределах 0,5 %.
В некоторых случаях физическую площадь вычисляют по углу наклона
дневной поверхности к горизонтальной плоскости [2, 3, 4]. Для некоторого
упрощения определения общего угла наклона местности предлагается
определять его по построенной на карте сетке взаимно перпендикулярных
профилей [2]. С некоторыми упрощениями аналогичный способ предложен в
работе [4]. Различные способы определения угла наклона местности
рассматриваются во многих работах и считаются достаточно трудоѐмкими,
требующими определѐнного внимания. И не смотря на это, получаем
приближѐнные результаты, особенно при больших углах наклона [2].
Главным недостатком этих способов – это то, что в равнинной местности
различие между площадью физической поверхности и на горизонтальной
плоскости мало, и может быть в пределах точности измерений, а при
выраженных формах рельефа трудно описать сложный рельеф элементарными
плоскостями с требуемой подробностью.
Для упрощения решения таких задач воспользуемся разработанным
способом вычисления интеграла способом итераций [1]. Ведь определение
площади любого участка по отдельным элементам (фигурам), это и есть
процесс интегрирования. Рассмотрим определения площади физической
поверхности на примере вычисления площади полусферы.
Будем заменять полусферу пирамидами с постоянным увеличением числа
пирамид и увеличением их боковых граней. Первая пирамида будет с четырьмя
гранями и высотой, равной радиусу шара. Затем построим две восьмигранных
пирамиды, нижняя будет усечѐнная, а верхняя полная. Боковые грани этих
пирамид равны. Будем и далее увеличивать в два раза число пирамид и число их
боковых граней. Такое деление наилучшим образом подходит к результатам
набора точек на реальной поверхности. Вычислим пространственные
координаты вершин пирамид. А далее, после каждого деления найдѐм суммы
площадей боковых поверхностей пирамид. Окончательное значение площади
вычислим по способу итераций. В результате мы получаем достаточно точные
значения даже после двух делений (табл. 1).
Отсюда следует, что при вычислении площади физической поверхности
необходимо намечать линии с таким расчѐтом, что бы можно было применить в
дальнейшем способ итераций. Для этого основные вершины фигур размещаем
на точках и линиях перегибов местности, а в дальнейшем делим полученные
между ними линии на четыре равные части.
Таблица 1. Относительные погрешности площади полусферы вычисленной по
пирамидам
Число
пирамид
Начальные
результаты
Первая
итерация
Вторая
итерация
1
1: 2
2
1: 8
1: 65
4
1: 30
1: 820
1: 3 500
8
1:125
1:12 500
1: 217 000
Третья итерация
1: 4 670 000
В местности со сложным рельефом проводить линии перегибов местности
и затем делить расстояния между ними на равные части представляет собой
сложную и трудоѐмкую задачу. В этом случае для нахождения площади
физической поверхности применим известные способы с некоторыми
упрощениями и повышением точности получаемого результата.
В работе [2] рассмотрено несколько способов определения физической
площади участка. Для эксперимента был взят объект, обработанный в
программе ГИС «Карта 2005». По результатам измерений был создан
топографический план в масштабе 1 : 1 000 и построена матрица высот. Из
этого плана был выбран участок, (рис. 1) длиной 205 м, и шириной 145 м,
сплошные горизонтали проведены через 0,25 метра. Участок разделѐн на 16
частей по каждой оси, всего на 256 частей. Площадь физической поверхности
вычислялась по трѐм вариантам:
1) По имеющейся в ГИС «Карта 2005» программе;
2) По длинам горизонталей;
3) По длинам отрезков прямоугольной сетки.
Вычисление площади объекта в ГИС «Карта 2005» производится по
заданной матрице высот объекта. Погрешность вычисления зависит от
заданного шага интерполяции - деления объекта на элементарные квадраты с
заданной длиной стороны. Значение этого параметра устанавливается при
вычислении площади. Минимальный размер шага интерполяции 1 м.
При вычислениях вначале был выбран минимальный шаг, и затем
последующие шаги увеличивались в два раза. Результаты вычислений даны в
табл. 2. В ней дано и примерное время вычислений по каждому интервалу. Для
дополнительной проверки площади вычислялись по способу итерации.
Рис. 1. Участок местности. Сплошные горизонтали проведены через 0,25 метра
Таблица 2. Вычисление площади участка по ГИС «Карта 2005»
Шаг
интерполяции (м)
Время вычислений
(в секундах)
1
2
4
8
16
32
10
7
3
2
1
1
По матрице
высот
29 816,3
29 810,6
29 804,8
29 798,3
29 786,8
29 787,3
Площадь (м2)
Первая
итерация
Вторая
итерация
29 818,2
29 812,5
29 807,0
29 802,1
29 786,7
29 818,6
29 812,9
29 807,4
29 803,2
Из табл. 2 видно, что с увеличением шага интерполяции происходит
уменьшение значения площади физической поверхности, которое происходит за
счѐт генерализации рельефа. Применение способы итерации повышает
точность вычисления площади, когда берѐтся большой шаг интерполяции.
Другой способ вычисления физической площади участка, рассмотренный в
[2], по длинам горизонталей. По полученной матрице высот были построены
горизонтали с высотой сечения рельефа равной 0,25 м и были вычислены
длины всех горизонталей на участке. Физическая площадь участка вычислялась
по горизонталям с сечением рельефа 0,25 м, 0,5 м, 1,0 м, 2,0 м и 4,0 м (табл. 3).
Таблица 3. Вычисление площади участка по длинам горизонталей
Высота сечения (м)
0,25
0,50
1,00
2,00
4,00
По горизонталям
29823,3
29822,5
29824,8
29822,1
29799,2
Площадь (м2)
Первая итерация
Вторая итерация
29823,6
29821,7
29825,6
29829,7
29823,7
29821,4
29825,4
Сходимость результатов полученных по различным высотам сечений
рельефа хорошая, при условии, что горизонтали достаточно полно охватывают
территорию участка в высотном и плановом отношении. Максимальная разница
высот на участке составляет 8,4 м, поэтому последний результат заметно
отличается от остальных, хотя в относительной мере разница менее 0,001.
Благодаря высокой плотности результатов применение способа итерации для
данного случая практически не приводит к повышению точности. Однако это не
значит, что в других случаях способ итерации так же будет не эффективен.
Здесь требуются дополнительные исследования.
Следующий способ вычисления физической площади участка путѐм
разбивки взаимно перпендикулярных профилей. Разделим каждую сторону
участка на 16 равных интервалов и соединим их концы линиями. По ЦММ
определим длины этих линий с учѐтом рельефа. По этим данным можно
вычислить физическую площадь участка тремя способами. Первый вычисление коэффициентов увеличения длин линий и в соответствии с ними
вычислить коэффициент увеличения физической площади участка
относительно площади на горизонтальной плоскости [2]. Второй способ – это
вычисление физической площади, как произведение интервалов, длины
которых берутся с учѐтом рельефа (табл. 4). Третий способ – это вычисление
длины и ширины участка по полученным интервалам с применением
формулы Симпсона. Во всех трѐх способах вычисления площади по длинам
отрезков получаем близкие результаты, расхождение между ними не более
6,4 м2. Максимальное значение площади получаем по первому способу - 29
847,4 м2, минимальное по способу Симпсона 29 841,0 м2. Соответственно и
средние квадратические погрешности вычислений в первом способе
составляют 16 м2, во втором 15 м2 и третьем 9 м2. Как видим, погрешности
полученных результатов очень малы. Отсюда можно сделать вывод, что
применение способа итераций позволяет при минимальных затратах
получать значение площади физической поверхности с погрешностями,
намного меньшими, чем применяемые в настоящее время.
Таблица 4. Вычисление площади участка по длинам отрезков
Число делений
16
8
4
2
1
Площадь (м2)
По интервалам
Первая итерация
Вторая итерация
29 841,9
29 844,5
29 855,8
29 904,2
29 935,4
29 841,0
29 840,7
29 839,7
29 893,8
29 841,0
29 840,8
29 836,1
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Виноградов А.В. Вычисление площади участка на поверхности вращения путѐм
решения определѐнного интеграла способом итерации [Текст] / А.В. Виноградов // Геодезия
и картография. – 2006. - № 7. – С. 12-23.
2. Волков Н.М. Принципы и методы картометрии [Текст] / Н.М. Волков. – М.: Изд-во
Академии наук СССР, 1950. – С. 328.
3. Маслов А.В. Способы и точность определения площадей [Текст] / А.В. Маслов. М.: Изд-во геод. лит., 1955. – 228 с.
4. Патент 2166731, кл. G 01 С 1/00, 15/00, Способ определения физической площади
земельного участка [Текст] / А. В. Никитин, 2001. – 4 с.
5. Патент RU 2 251 075 Способ определения площади рельефа [Текст] / В.Ф.
Давыдов, О.Н. Новосѐлов, А.В. Корольков и др. // C1 G 01 C 11/00., Федеральная служба по
интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам. 7с.
6. Патент RU 2 253 089 Способ определения площади рельефа [Текст] / В.Ф. Давыдов,
О.Н. Новосѐлов, А.В. Корольков и др. // C1 G 01 C 11/00., Федеральная служба по
интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам. 8с.
7. Самратов У.Д. Аналитический способ определения площадей землепользований
[Текст] / У.Д. Самратов // Геодезия и картография. – 1981. - № 9. – С. 16-19.
© А.В. Виноградов, 2009
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
24
Размер файла
584 Кб
Теги
физическая, итераций, способы, определение, площадь, участка, поверхности
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа