close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Определение стационарного режима рекуррентных марковских цепей итеративно-мажорантным методом.

код для вставкиСкачать
Вестник Нижегородского университета
им.Федоткин
Н.И. Лобачевского, 2009, № 4, с. 130–140
А.М.
130
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
УДК 519.21
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТАЦИОНАРНОГО РЕЖИМА РЕКУРРЕНТНЫХ
МАРКОВСКИХ ЦЕПЕЙ ИТЕРАТИВНО-МАЖОРАНТНЫМ МЕТОДОМ
© 2009 г.
А.М. Федоткин
Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского
fandr@vmk.unn.ru
Поступила в редакцию 15.04.2009
Изучаются предельные свойства одномерных распределений конечного семейства управляемых
векторных марковских цепей со счётным числом состояний. При этом компоненты марковской цепи
определяются некоторым функционально-рекуррентным соотношением. Предлагается эффективный
метод определения достаточных условий существования стационарного распределения целого класса
управляемых векторных марковских цепей.
Ключевые слова: рекуррентная марковская цепь, одномерное распределение, производящая функция, стационарное распределение, итеративно-мажорантный метод, нелокальное описание потоков
событий.
Введение
Пусть (Ω, ℑ, P(·)) ― основное вероятностное
пространство, ω ― произвольный элемент достоверного события Ω и P(A) ― вероятность события A, где A ∈ ℑ и A ⊂ Ω. Эта статья является
непосредственным продолжением работы [1].
Поэтому исходным материалом для нас послужат обозначения и результаты из [1]. В работе
[1] рассматриваются инвариантные свойства конечного семейства {(Гi(ω), æj, i(ω), ξ′j, i – 1(ω));
i ≥ 0}, j = 1, 2, …, m, из управляемых векторных
марковских цепей с пространством состояний
вида Г × X × Yj. При этом множество
Г содержит элементы Г(1), Г(2), …, Г(2m), множество X = {0, 1, ...} и множество Yj = = {0, 1, …,
lj}, где m ≥ 2 , l1, l2, …, lm – заранее заданные
натуральные числа. Каждая марковская цепь
{(Гi, æj, i, ξ′j, i – 1); i ≥ 0} рассматривается на основном вероятностном пространстве (Ω, ℑ, P(·))
и задаётся рекуррентно-функциональным соотношением
(Гi + 1, æj, i + 1, ξ′j, i) = (u(Гi ),
max{0, æj, i + ηj, i – ξj, i}, min{æj, i + ηj, i, ξj, i}), (1)
циклическим отображением u(Г(s)): Г → Г вида
⎧⎪Γ ( s + 1) при s = 1, 2, ..., 2m − 1;
u(Г ) = ⎨
⎪⎩Γ (1) при s = 2m ,
(s)
(2)
и некоторым семейством случайных величин
ηj, i(ω) ∈ X и ξj, i(ω) ∈ Yj. В [1] считается, что при
Г(sk) ∈ Г, xk ∈ X , yk ∈ Yj, Г(si) = Г(s), k = 0, i и
A0, i = {ω: Гk(ω) = Г(sk), æj, k(ω) = xk, ξ′ j, k – 1(ω) = yk,
k = 0, i } условные распределения случайных
величин ηj, i и ξj, i удовлетворяют равенствам:
P(ηj, i = n | A0, i) = P(ηj, i = n | Гi = Г(s)) =
=
e
− λ jTs
= ϕ j(n; Ts) =
(λ j T ) n − r
n −2r r
r
s
qj
∑ C n−r p j
(
n
−
r )! ,
r =0
[ n / 2]
n ∈ X,
(3)
P(ξj, i = b | A0, i η j, i = n) =
= P(ξj, i = b | Гi = Г(s) ) = β j(b; Г(s)) =
⎧1, если b = l j и Γ( s ) = Γ( 2 j − 1) ;
⎪⎪
= ⎨1, если b = 0 и Γ( s ) ∈ Γ \ {Γ( 2 j − 1)};
⎪0 в остальных случаях.
⎪⎩
(4)
Определение стационарного режима рекуррентных марковских цепей
В соотношениях (3) и (4) при j = 1, 2, …, m и
s = 1, 2, …, 2m числа λj, Ts, pj, qj = 1 – pj, lj строго
положительные и являются параметрами условных распределений величин ηj, i и ξj, i, а символ
[n/2] означает целую часть числа n/2. При этом
параметры λj и pj фиксированы, а величины T1,
T2, …, T2m, l1, l2, …, lm, можно выбирать. Поэтому при каждом j = 1, 2, …, m векторная случайная последовательность {(Гi, æj, i, ξ′j, i – 1); i ≥ 0}
будет управляемой. В [1] проведена полная
классификация по Колмогорову пространства
Г × X × Yj состояний такого рода управляемых
марковских цепей. В терминах параметров распределений (3) и (4) были определены легко
проверяемые необходимые условия существования стационарного распределения семейства
{(Гi, æj, i, ξ′j, i – 1); i ≥ 0}, j = 1, 2, …, m, из управляемых цепей Маркова.
131
Aj, 2mi(z) = z–ljexp{λjT(pjz + qjz2 – 1)}×
lj −1
× ∑ Qj, 2mi(Г(2j), 0, w) − z – lj×
w=0
l
×
j
−1
∑
v=0
×
Qj, 2m(i + 1) – 1(Г(2j – 1), v, 0)zv×
lj −v −1
∑
k=0
zk ϕj(k; T2j – 1).
Для остальных последовательностей из производящих функций рассуждения аналогичные.
Далее, построим доказательство от противного
и в два этапа.
a) Итак, имеем λjT (1 + qj) – lj < 0. Пусть не
существует стационарного режима работы системы. В этом случае [5, с. 549 − 550] имеем lim Qj, 2mi(Г(s), x, y) = 0 при любых допустиi → +∞
Достаточное условие существования
стационарного распределения
управляемой цепи Маркова
{(Гi, æj, i, ξ′j, i – 1); i ≥ 0}
Прежде всего, получим ограничения на параметры условных распределений случайных
величин ηj, i и ξj, i, при которых каждая управляемая векторная марковская цепь вида {(Гi, æj,i,
ξ′j, i – 1); i ≥ 0} имеет единственное стационарное
распределение и не происходит неограниченное
увеличение при i → ∞ математического ожидания Mæj, i случайной величины æj, i при любом
j = 1, 2, …, m. Справедлива следующая теорема.
Теорема 1. Для существования единственного стационарного распределения последовательности {(Гi, æj, i, ξ′j, i – 1); i = 0, 1, …} при
Т = Т1 + Т2 + …+ Т2m достаточно выполнения
неравенства λjT (1 + qj) – lj < 0.
Доказательство. Доказательство теоремы
проводится итеративно-мажорантным методом
[2–4], который основан на анализе рекуррентных соотношений (16)–(18) из [1] для производящих функций Φj, 2mi(Г(2j), z, lj), Φj, 2mi(Г(2j + 1), z,
0), Φj, 2mi(Г(r), z, 0), где Г(r) ∈ Г(j) = = Г \ {Г(2j), Г(2j
+ 1)
}. Подробно рассмотрим рассуждения на
примере соотношения (16) из [1]
Φj, 2m(i + 1)(Г(2j), z, lj) =
= rj(z) Φj, 2mi(Г(2j), z, lj) + Aj, 2mi(z),
где
rj(z) = z – lj exp{λjT(pjz + qjz2 – 1)},
(5)
мых s, x, y. Оценим математическое ожидание
Mæj, 2mi случайной величины æj, 2mi при i → ∞.
Для этого представим математическое ожидание Mæj, 2mi в следующем виде:
∞
2m l j
(r)
Mæj, 2mi = ∑ x ∑
∑ Qj, 2mi(Г , x, y) =
x= 0 r=1 y= 0
∞
(r)
=
∑
∑ xQj, 2mi(Г , x, 0) +
( r )∈ \ ( 2 j )} x = 0
Γ Γ {Γ
lj −1
∞
(2j)
+ ∑ xQj, 2mi(Г , x, lj) + ∑ 0 ×
y=0
x=0
(2j)
× Qj, 2mi(Г , 0, y) =
N
(r)
=
∑
∑ xQj, 2mi(Г , x, 0) +
(2 j)
(r )
Γ ∈Γ \{Γ } x = 0
∞
(r)
+
∑
∑ x Qj, 2mi(Г , x, 0) +
(
2
j
)
(r )
Γ ∈Γ \{Γ } x = N +1
N
+ ∑ x Qj, 2mi(Г(2j), x, lj) +
x=0
∞
+ ∑ x Qj, 2mi(Г(2j), x, lj) ≥
x = N +1
∞
(r)
≥
∑
∑ x Qj, 2mi(Г , x, 0) +
(2 j)
(r )
Γ ∈Γ \{Γ } x = N +1
∞
+ ∑ x Qj, 2mi(Г(2j), x, lj) ≥
x = N +1
∞
(r)
≥N(
∑
∑ Qj, 2mi(Г , x, 0) +
(2 j)
(r )
Γ ∈Γ \{Γ } x = N +1
∞
+ ∑
Qj, 2mi(Г(2j), x, lj)) =
x = N +1
132
А.М. Федоткин
∑
= N (1 –
N
(r)
∑ Qj, 2mi(Г , x, 0) –
(2 j)
(r )
Γ ∈Γ \{Γ } x = 0
lj −1
N
(2j)
_ ∑ Qj, 2mi(Г , x, lj) – ∑ Qj, 2mi(Г(2j), 0, y)).
y=0
x=0
Так как lim Qj, 2mi(Г(s), x, y) = 0 при s =
i →+∞
= 1, 2, …, 2m , x ∈ X и y ∈ Yj, то для любого натурального N и для любого ε > 0 найдётся номер I(N, ε), что при всех i > I(N, ε) будет выполнено:
N
(r)
∑
∑ Qj, 2mi(Г , x, 0) +
(2 j)
(r )
Γ ∈Γ \{Γ } x = 0
N
+ ∑ Qj, 2mi(Г(2j), x, lj) +
x=0
lj −1
+ ∑ Qj, 2mi(Г(2j), 0, y) < ε и Mæj, 2mi ≥ N(1 – ε).
y=0
Другими словами, математическое ожидание
длины очереди Mæj, 2mi по потоку Пj стремится к
бесконечности при i → ∞.
b) Рассмотрим соотношение (5) и функцию
d
rj(z)| z = 1 = – lj +
rj(z). Так как rj(1) = 1 и
dz
+ λjT (1 + qj) < 0, то существует такое число
z* > 1, что в области D = {z: 1 < z ≤ z*} верно неравенство rj(z) < 1. Используя формулу для
Aj, 2mi(z) , оценим значение Aj, 2mi(z) в области D:
| Aj, 2mi(z)| ≤ | z – lj exp{λjT (pj z + qj z2 –
lj −1
–1)} ∑ Qj, 2mi(Г(2j), 0, w) | +
w=0
l
+|z
– lj
×
j
−1
∑ Qj, 2m(i + 1) – 1(Г(2j – 1), v, 0)zv×
v=0
lj −v−1
∑
k=0
zk ϕj(k; T2j – 1)| ≤
≤ | z – ljexp{λjT (pj z + qj z2 – 1)}| +
lj −1 w
∑ Qj, 2m(i + 1) – 1(Г(2j − 1), v, 0) ×
+ | z – lj ∑
w = 0 v=0
× ϕj(w – v; T2j – 1) zw| ≤
lj −1
– lj
(2j)
w
≤ rj(z) + z
∑ Qj, 2m(i + 1)(Г , 0, w)z =
w=0
lj −1
= rj(z) + ∑ Qj, 2m(i + 1)(Г(2j), 0, w)z w – lj < K2j < 2,
w=0
где K2j – некоторая константа. Выберем для цепи Маркова {(Гi, æj, i, ξ′j, i – 1); i ≥ 0} начальное
распределение {Qj, 0(Г(s), x, y): (Г(s), x, y) ∈ Г × X
× Yj} такое, что Φj, 0(Г(2j), z*, lj) < ∞. Это всегда
можно сделать, если в качестве начального распределения выбрать вырожденное распределение Qj, 0 (Г (2j); 0; lj) = 1 и Qj, 0(Г(s), x, y) = 0 для
всех (Г(s), x, y) ∈ Г × X × Yj \ {(Г (2j); 0; lj)}. Напомним, что при наличии единственного неразложимого класса существенных состояний поведение марковской цепи со счетным числом
состояний не зависит от начального распределения. Построим новую последовательность
~
функций { Φ j, 2mi(Г(2j), z, lj); i = 0, 1, ...}, которая
~
определяется равенством Φ j, 0(Г(2j), z*, lj) =
(2j) *
= Φj, 0(Г , z , lj) и рекуррентным соотношением
~
Φ j, 2m(i + 1)(Г(2j), z, lj) =
~
= rj(z) Φ j, 2mi(Г(2j), z, lj) + K2j.
(6)
~
Очевидно, что |Φj, 2mi(Г(2j), z, lj)| ≤ | Φ j, 2mi(Г(2j),
z, lj)| при всех i = 0, 1, ... Так как в области
D выполняется неравенство rj(z) < 1, то известно [6, с. 605–606], что отображение (6) будет
сжимающим. Поэтому последовательность
~
{ Φ j, 2mi(Г(2j), z, lj); i = 0, 1, ...} сходится и огра~
ничена, т. е. | Φ j, 2mi(Г(2j), z, lj)| ≤ С2j и |Φj, 2mi(Г(2j),
z, lj)| ≤ С2j для всех i = 0, 1, ... и z ∈ D. Так как
функции Φj, 2mi(Г(2j), z, lj), i = 0, 1, ..., являются
аналитическими в области G = {z: | z | ≤ z*}, то
они имеют ограниченные производные в этой
области [7, с. 80–86], и, значит,
|
d
Φj, 2mi(Г(2j), z, lj) | ≤ L2j.
dz
(7)
Как уже отмечалось ранее, для остальных
рекуррентных соотношений (17) и (18) из [1],
которые определяют последовательности из
производящих функций Φj, 2mi(Г(s), z, 0), i ≥ 0,
s ∈ {1, 2, ..., 2m} \ {2j}, рассуждения аналогичны. Поэтому приведем для них следующий конечный результат:
|
d
Φj, 2mi(Г(s), z, 0)| ≤ Ls,
dz
s ∈ {1, 2, ..., 2m} \ {2j}.
(8)
Теперь оценим математическое ожидание
Mæj, 2mi случайной величины æj, 2mi, используя
свойства (7) и (8) производящих функций:
Mæj, 2mi =
+
d
Φj, 2mi(Г(r), z, 0)| z = 1 +
( r )∈ \ ( 2 j )} d z
Γ Γ {Γ
∑
2m
d
Φj, 2mi(Г(2j), z, lj) | z = 1 ≤ ∑ Lr.
dz
r=1
133
Определение стационарного режима рекуррентных марковских цепей
Значит, величина Mæj,2mi ограничена при
любом i = 0, 1, ... Отсюда получили противоречие. Итак, при λjT (1 + qj) – lj < 0 стационарное
распределение существует. Теорема 1 установлена.
Пусть æi = (æ1, i, æ2, i, …, æm, i) и ξ′i – 1 = (ξ′1, i – 1,
ξ′2, i – 1, …, ξ′m, i – 1). Тогда, применяя методику
работы [1] и этого раздела для последовательности {(Гi, æi, ξ′i – 1); i = 0, 1, ...}, легко показать
следующее утверждение.
Теорема 3. Для существования стационарного распределения управляемой марковской
последовательности {(Гi, æi, ξ′i – 1); i = 0, 1, ...}
необходимо и достаточно выполнения неравенств λjT (1 + qj) – lj < 0, j ∈ {1, 2, ..., m}.
Из этих теорем следует, что для семейства
+ ∑ Qj, i(Г(2j), 0, y) =
y=0
∞
x+l
∑
=
x=0 v = 0
l j −1 y
+ ∑ ∑ Qj, i − 1(Г(2j – 1), v, 0)ϕj(y – v; T2j – 1) =
y = 0 v=0
y
∞
∑
=
∑
y = lj v = 0
l j −1
y
∑
+
∑
y=0
y
∞
=
∑
∑
Qj, i − 1(Г(2j – 1), v, 0)ϕj(y – v; T2j – 1) =
y=0 v=0
∞
=
Qj, i − 1(Г(2j – 1), v, 0)ϕj(y – v; T2j – 1) =
v=0
∑
Qj, i − 1(Г(2j – 1), v, 0)
v=0
=
Вычисление стационарных вероятностей
∞
Запишем выражения (9)–(12) из [1] для стационарного распределения:
y
v=0
Qj(Г(2j – 1), v, 0)ϕj(y – v; T2j – 1),
∑
v=0
v=0
∑
v=0
+
Qj(Г , v, lj)ϕj(x – v; T2j),
∑
v=0
∞
∑
=
(2j)
Qj(Г(r), x, 0) =
×ϕj(x – v; Tr – 1),
(9)
где Г ∈ Г(j), x ∈ X, y ∈ {0, 1, …, l j – 1}. После(r)
(2j)
довательно вычислим вероятность P(Гi = Г ),
предворительно полагаем, что начальное распределение является стационарным:
ϕj(y – v; T2j – 1) =
Qj, i(Г(2j – 1), v, 0) = P(Гi = Г(2j − 1)).
∞
∑
∑
x
∑
x=0 v=0
∑
w=0
∞
∑
x=0
∑
w=0
Qj, i (Г(2j + 1), x, 0) =
Qj, i − 1(Г(2j), 0, w)ϕj(x; T2j) +
Qj, i − 1(Г(2j), v, lj) ϕj(x – v; T2j) =
Qj, i − 1(Г(2j), 0, w) +
l j −1
=
l j −1
x=0 w=0
l j −1
=
Qj(Г(r – 1), v, 0)×
y=v
Qj, i − 1(Г(2j – 1), v, 0) =
P(Гi = Г(2j + 1)) =
x
∞
∑
Аналогично для P(Гi = Г(2j + 1)) получаем:
Qj(Г(2j), x, lj) = ∑ Qj(Г(2j – 1), v, 0)ϕj(x + lj – v; T2j – 1),
v=0
l j −1
Qj(Г(2j + 1), x, 0) = ∑ Qj(Г(2j), 0, w)ϕj(x; T2j) +
w=0
+
∑
=
x+lj
x
Qj, i − 1(Г(2j – 1), v, 0)×
×ϕj(y – v; T2j – 1) +
∞
∑
j
(2j – 1)
, v, 0)×
∑ Qj, i − 1(Г
× ϕj(x + lj – v; T2j – 1) +
– lj < 0, j ∈1, m .
Qj(Г(2j), 0, y) =
Qj, i(Г(2j), x, lj) +
x= 0
l j −1
{(Гi, æj, i, ξ′j, i – 1); i ≥ 0}, j ∈1, m , из управляемых
векторных марковских цепей возможно существование стационарного распределения как для
отдельной управляемой векторной марковской
цепи, так и для всего указанного семейства в
зависимости от выполнения соответственно
неравенства λjT (1 + qj) − lj < 0 только лишь при
каком-либо j или же m неравенств λjT (1 + qj) –
∞
∑
P(Гi = Г(2j)) =
Qj, i(Г(2j), 0, w) +
∞
∑
v=0
∞
∑
v=0
Qj, i − 1(Г(2j), v, lj) =
Qj, i(Г(2j), v, lj) =
= P(Гi = Г(2j)).
Наконец, рассуждая подобным способом для
P(Гi = Г(r)), где Г(r)∈Г(j), имеем:
134
А.М. Федоткин
∞
(r)
P(Гi = Г ) =
=
=
=
∞
∑
x
∑
x=0 v=0
∞
∑
v=0
∞
∑
v=0
∑
x=0
= Qj(Г(2m), 0, 0)ϕj(0; T2m)ϕj(0; T1) ×…× ϕj(0; T2j – 2) ×
(r)
Qj, i(Г , x, 0) =
×ϕj(0; T2j – 1) = Qj(Г(2m – 1), 0, 0)ϕj(0; T2m – 1) ×
Qj, i − 1(Г(r – 1), v, 0)ϕj(x – v; Tr – 1) =
Qj, i − 1(Г(r – 1), v, 0)
Qj, i − 1(Г(r – 1), v, 0) =
∞
∑
x=v
∞
∑
v=0
ϕj(x – v; Tr – 1) =
Qj, i(Г(r – 1), v, 0) =
= P(u(Гi) = Г(r) | Гk = Г(sk), k = 0, i ) = P(u(Г(si)) =
(sk)
= … = Qj(Г(2j + 1), 0, 0)ϕj(0; T2j + 1) × … ×
× ϕj(0; T2m)ϕj(0; T1) ×…× ϕj(0; T2j – 2)ϕj(0; T2j – 1) =
lj
= P(Гi = Г(r – 1)).
Учитывая всё это и P(Гi = Г(1)) + P(Гi = Г(2)) +
+ … + P(Гi = Г(2m – 1)) + P(Гi = Г(2m)) = 1, найдем,
что P(Гi = Г(r)) = 1/2m для всех Г(r) ∈ Г, если начальное и стационарное распределения совпадают. Заметим, что в силу соотношения (1) вероятность P(Гi + 1 = Г(r) | Гk = Г(sk), k = 0, i ) =
(r)
×ϕj(0; T2m)ϕj(0; T1) ×…× ϕj(0; T2j – 2)ϕj(0; T2j – 1) =
(si)
(r)
= Г | Гk = Г , k = 0, i ) = P(u(Г ) = Г ) и вероятность P(Гi + 1 = Г(r) | Гi = Г(si)) = P(u(Гi) =
= Г(r) | Гi = Г(sk)) = P(u(Г(si)) = Г(r)). Отсюда с учётом равенства (2) вытекает, что случайная последовательность {Гi; i = 0, 1, …} является марковской с периодом 2m. Поэтому результат
P(Гi = Г(r)) = 1/2m является вполне ожидаемым.
Перейдём теперь к получению соотношений
между стационарными вероятностями Qj(Г(r), 0, 0),
Г(r) ∈ Г и Qj(Г(2j), 0, y), y ∈ {1, 2, …, lj}. Из соотношения (9) имеем:
Qj(Г(1), 0, 0) =
= ϕj(0; T2m)Qj(Г(2m), 0, 0), Qj(Г(2), 0, 0) =
= ϕj(0; T1)Qj(Г(1), 0, 0), …, Qj(Г(2j – 1), 0, 0) =
=
= ϕj(0; T2j – 1)Qj(Г
lj
∑
= ϕj(0; T2j)
y=0
, 0, 0), Qj(Г
lj
×
, 0, 0) ϕj(0; T2j – 1) = Qj(Г
– λj T
lj
∑
× ϕj(0; T2j – 2)ϕj(0; T2j – 1) = … = Qj(Г(1), 0, 0) ×
×ϕj(0; T1) ϕj(0; T2) × … × ϕj(0; T2j – 2) ϕj(0; T2j – 1) =
Qj(Г(2j), 0, y),
Qj(Г(2j), 0, y)/ (1 – e – λjT).
y =1
(10)
Qj(Г(2j + 1), 0, 0) =
lj
=
∑
y=0
Qj(Г(2j), 0, y)ϕj(0; T2j) = Qj(Г(2j), 0, 0) ×
lj
×ϕj(0; T2j) +
∑
= (1 – e
Qj(Г(2j), 0, y)ϕj(0; T2j) =
y =1
– λjT −1
– λjT
) ×e
lj
×ϕj(0; T2j) +
= [e
– λjT
(1 – e
= (1 – e
∑
y =1
lj
∑
y =1
lj
) + 1]ϕj(0; T2j)
)
Qj(Г(2j), 0, y) ×
Qj(Г(2j), 0, y)ϕj(0; T2j) =
– λjT −1
– λjT −1
, 0, 0) ×
y =1
Используя соотношение (10), найдём выражение для Qj(Г(2j + 1), 0, 0):
Qj(Г(2j), 0, y), Qj(Г(2j + 2), 0, 0) =
(2j – 2)
lj
∑
Qj(Г(2j), 0, 0) =
= e
= ϕj(0; T2m – 1) Qj(Г(2m − 1), 0, 0).
= Qj(Г
Qj(Г(2j), 0, 0) =
или
= Qj(Г(2j + 1), 0, 0)ϕj(0; T2j + 1), …, Qj(Г(2m), 0, 0) =
(2j – 1)
Qj(Г(2j), 0, y).
= e – λjT Qj(Г(2j), 0, 0) + e – λjT
, 0, 0) =
Qj(Г(2j), 0, 0) =
∑
y=0
Значит,
(2j + 1)
Преобразуем одно из этих равенств, а именно
Qj(Г(2j), 0, 0) = ϕj(0; T2j – 1) Qj(Г(2j – 1), 0, 0), используя оставшиеся. Тогда получим, что
Qj(Г(2j), 0, y)ϕj(0; T2j) … × ϕj(0; T2m) ×
×ϕj(0; T1) ×… × ϕj(0; T2j – 2)ϕj(0; T2j – 1) = e – λjT ×
= ϕj(0; T2j – 2) × Qj(Г(2j – 2), 0, 0), Qj(Г(2j), 0, 0) =
(2j – 1)
∑
y=0
lj
∑
y =1
∑
y =1
Qj(Г(2j), 0, y) =
Qj(Г(2j), 0, y)ϕj(0; T2j) =
= e– λjT 2j(1 – e– λjT)−1
lj
∑
y =1
Qj(Г(2j), 0, y).
Определение стационарного режима рекуррентных марковских цепей
Аналогичным способом получим формулы для
вероятностей Qj(Г(r), 0, 0), Г(r) ∈ Г(j). Запишем
теперь окончательные равенства для вероятностей Qj(Г(r), 0, 0), Г(r) ∈ Г:
(2j)
lj
– λjT −1 – λjT
Qj(Г , 0, 0) = (1 – e
) e
∑
y =1
Qj(Г(2j + 1), 0, 0) = (1 – e–λjT)−1e – λjT 2j
lj
∑
y =1
Qj(Г(2j), 0, y),
Qj(Г(2j), 0, y),
Qj(Г(2j + 2), 0, 0) =
–λjT −1 – λjT2j – λjT2j+1
= (1 – e
) e
e
lj
∑
y =1
Qj(Г(2j), 0, y),
Qj(Г(2j + 3), 0, 0) = (1 – e–λjT)−1e – λjT2j×
×e – λjT2j + 1e – λjT2j + 2
lj
∑
y =1
Qj(Г(2j), 0, y),
Qj(Г(2m), 0, 0) = (1 – e– λjT)−1e – λjT2j ×
×… × e – λjT2m – 1
lj
∑
y =1
Qj(Г(2j), 0, y),
Qj(Г(2j – 1), 0, 0) = (1 – e– λjT)−1e – λjT2j ×
×… × e
– λjT2j – 2
lj
∑
y =1
Qj(Г(2j), 0, y).
(11)
Нетрудно видеть, что всего в левых частях
равенств (11) присутствуют 2m неизвестных, а в
правых частях — lj. Тогда для решения системы
нам понадобится ещё lj уравнений. Получим их
из следующих соображений. Рассмотрим формулы (16) — (18) из работы [1] в случае стационарного распределения для марковской цепи
{(Гi, æj, i, ξ′j, i – 1); i ≥ 0}:
Φj(Г(2j), z, lj) = z – ljexp{λjT (pj z + qj z2 – 1)} ×
+z
– lj
lj −1
×Φj(Г(2j), z, lj) +
2
w
∑ (exp{λjT (pj z + qj z – 1)} – z ) ×
w=0
×Qj(Г(2j), 0, w),
Φj(Г(2j + 1), z, 0) = z – lj exp{λjT (pj z + qj z2 – 1)} ×
× Φj(Г(2j +1), z, 0) +
lj −1
+ ∑ Qj(Г(2j), 0, w)Ψj(T2j, z) (z lj – zw),
w=0
Φj(Г(r), z, 0) = z – lj exp{λjT (pj z + qj z2 – 1)} ×
× Φj(Г(r), z, 0) + z – ljΨj(Tr – 1, z) ×
lj −1
× ... × Ψj(T2j, z) ∑ Qj(Г(2j), 0, w) (z lj – zw),
w=0
где Г(r)∈ Г(j). Эти соотношения можно представить в следующем виде:
135
Φj(Г(2j), z, lj) = (z lj – exp{λjT (pj z + qj z2 – 1)})−1 ×
lj −1
× ∑ (exp{λjT (pj z + qj z2 – 1)} – zw)Qj(Г(2j), 0, w),
w=0
Φj(Г(2j + 1), z, 0) =(z lj – exp{λjT (pj z + qj z2 – 1)})−1 ×
lj −1
2
× exp{λjT2j(pj z + qj z – 1)} ∑ Qj(Г(2j), 0, w) (z lj – zw),
w=0
(r)
lj
Φj(Г , z, 0) = (z – exp{λjT (pj z + qj z2 – 1)})−1 ×
× Ψj(Tr – 1, z) × ... × Ψj(T2j + 1, z)Ψj(T2j, z)×
lj −1
× ∑
Qj(Г(2j), 0, w) (z lj – zw).
w=0
Представим выражения для
lj −1
(2j)
(s)
(s)
∑ Qj(Г , 0, w), Φj(Г , z, 0), Г ∈ Г
w=0
в следующем виде:
lj −1
(2j)
l
−1
∑ Qj(Г , 0, w) = (z j – Ψj(T, z)) ×
w=0
lj −1
(12)
×(z lj – Ψj(T, z) ∑ Qj(Г(2j), 0, w),
w=0
Φj(Г(2j), z, lj) = (z lj – Ψj(T, z))−1×
lj −1
(13)
× ∑ (Ψj(T, z) – zw)Qj(Г(2j), 0, w),
w=0
Φj(Г(2j + 1), z, 0) =
=(z lj – Ψj(T, z))−1Ψj(T2j, z)×
lj −1
(z lj – zw)Qj(Г(2j), 0, w),
(14)
× ∑
w=0
Φj(Г(r), z, 0) = (z lj – Ψj(T, z))−1Ψj(Tr – 1, z) × ... ×
lj −1
× Ψj(T2j, z) ∑ (z lj – zw)Qj(Г(2j), 0, w). (15)
w=0
Рассмотрим, например, выражение для
функции Φj(Г(2j + 1), z, 0). Так как Φj(Г(2j + 1), z, 0)
является степенной функцией по z и Qj(Г(2j),
x, 0) ∈ (0, 1), x ∈ X, то Φj(Г(2j + 1), z, 0) является
функцией, ограниченной на единичном круге
| z | ≤ 1. Таким образом, внутри единичного круга и на его границе числитель имеет нули, которые совпадают со всеми нулями знаменателя
внутри единичного круга и на его границе. Покажем, что знаменатель (z lj – Ψj(T, z)) имеет
ровно lj нулей внутри единичного круга | z | ≤ 1 и
на его границе | z | = 1. Используем теорему Руше: если две функции f(z) и g(z) аналитические
в замкнутой области, ограниченные контуром С
и удовлетворяют на этом контуре условию
| g(z) | < | f(z) |, то внутри контура С функции f(z)
136
А.М. Федоткин
и f(z) + g(z) имеют одинаковое число нулей.
Рассмотрим круг {z: | z | ≤ 1 + δ}, где δ – достаточно малое положительное число. Пусть
f(z) = z lj, g(z) = – Ψj(T, z) = −exp{λjT(pj z + qj z2 –
1)}. Функции f(z) и g(z) являются аналитическими в круге {z: | z | ≤ 1 + δ}. Сравним теперь
функции f(z) и g(z) на контуре С = {z:
| z | = 1 + δ}.
При
z = (1 + δ)(cosφ
+
isinφ) проверим выполнение неравенства | g(z) |
< | f(z) |:
|exp{λjT ((1 + δ) (cosφ + isinφ)pj +
+qj(1 + δ)2 (cos2φ + isin2φ) – 1)}| <
< |(1 + δ)lj (cos(ljφ) + isin(ljφ))|.
(16)
Оценим левую часть неравенства (16):
|exp{λjT ((1 + δ) (cosφ + isinφ) pj +
+(1 + δ)2 (cos2φ + isin2φ)qj – 1)}| =
= exp{λjT ((1 + δ)pjcosφ + (1 + δ)2qj cos2φ – 1)} <
< exp{λjT ((1 + δ)pj + (1 + δ)2qj – 1)} =
= exp{λjT ((pj + δpj + qj + 2δqj + δ2qj – 1)} =
= exp{λjT ((pj + δ − δqj + qj + 2δqj + δ2qj – 1)} =
= exp{λjT (δ + δqj + δ2qj)} =
= 1 + λjT δ(1 + qj) + О(δ2).
Для правой части неравенства имеем:
|(1 + δ)lj (cosljφ + isinljφ)| =
= (1 + δ)lj = 1 + ljδ + О(δ2).
Таким образом, неравенство (16) сводится к
неравенству λjT (1 + qj) < lj + О(δ). Поскольку
для стационарного потока выпоняется условие
(8), то существует такое достаточно малое δ > 0,
что справедливо и неравенство λjT (1 + qj) < lj +
О(δ), а значит и неравенство (16). Условия теоремы Руше выполнены. Поскольку f(z) = z lj
имеет lj нулей в круге {z: | z | ≤ 1 + δ}, то сумма
функций f(z) + g(z) = z lj – Ψj(T, z), также имеет lj
нулей.
Оказывается также, что все корни уравнения
(17)
z lj – Ψj(T, z) = 0
различны. Действительно, если был хотя бы
один кратный корень zk, то первая производная
от (z lj – Ψj(T, z)) также бы обращалась в ноль
при подстановке z = zk. Тогда zklj – Ψj(T, zk) = 0, и
lj zklj
– 1
– λjT (pj + 2qj zk)Ψj(T, zk) = 0 или zklj =
= Ψj(T, zk), lj zklj – 1 – λjT (pj + 2qj zk) zklj = 0. Отсюда λjT (pj + 2qj zk) zk = lj. С учётом условия
последовательно
имеем:
λjT (1 + qj) – lj < 0
λjT(1 + qj) < λjT (pj + 2qj zk) zk, 2qj zk2 + (1 – qj) zk –
– (1 + qj) > 0, (zk + 1 + pj / 2qj) (zk – 1) > 0, zk < 1 –
– pj / 2qj, zk > 1. Но все найденные корни должны
лежать внутри круга | z | ≤ 1+δ. Получили противоречие, которое показывает, что кратных корней уравнение (17) не имеет. Итак, существует lj
различных корней z0, z1, … zlj – 1 уравнения (17).
Рассмотрим соотношение (14). В числителе
этого соотношения величина Ψj(T2j, z) ≠ 0 при
любых z. Поэтому корни уравнения (17) должны совпадать с корнями полинома
lj −1
l
w
(2j)
(18)
∑ (z j – z )Qj(Г , 0, w) = 0.
w=0
Очевидно, что z0 = 1 есть один из корней знаменателя и числителя. Существует методика нахождения корней уравнения (17). Эта методика
подробно описана (Downton F. On Limiting Distributions Arising in Bulk Service Queues // J. Roy.
Statist. Soc. Ser. B. 1956. Vol. 18. Р. 265–274).
Подставляя корни z1, … zlj – 1 в (18), получим ещё
lj – 1 дополнительное уравнение к системе (11):
lj −1
(2j)
l
w
∑ (zk j – zk )Qj(Г , 0, w) =
w=0
= 0, k ∈ {1, 2, …, lj – 1}.
(19)
Наконец, найдём последнее уравнение, добавление которого к системам (11) и (19) приведёт к
их однозначной разрешимости относительно неизвестных вероятностей. Для этого сложим выражения (12)–(15) и составим сумму Φj(z):
Φj(z) =
lj −1
(2j)
(2j)
∑ Qj(Г , 0, w) + Φj(Г , z, lj) +
w=0
+
Φj(Г(r), z, 0) =
∑
(
2
j
)
(r )
Γ ∈Γ \{Γ }
lj −1
= (z lj – Ψj(T, z))– 1[ ∑ Qj(Г(2j), 0, w) ×
w=0
lj −1
× (z lj – Ψj(T, z)) + ∑ Qj(Г(2j), 0, w) (Ψj(T, z) – zw) +
w=0
lj −1
(2j)
l
w
+
∑ Qj(Г , 0, w) (z j – z ) ×
∑
(2 j)
(r )
Γ ∈Γ \{Γ } w = 0
× Ψj(Tr – 1, z) × ... × Ψj(T2j, z)] =
lj −1
= (z lj – Ψj(T, z))– 1[ ∑ Qj(Г(2j), 0, w) (z lj – zw) +
w=0
lj −1
(2j)
l
w
+
∑
∑ Qj(Г , 0, w) (z j – z ) ×
( r )∈ \ ( 2 j )} w = 0
Γ Γ {Γ
Определение стационарного режима рекуррентных марковских цепей
Таким образом, получаем
×Ψj(Tr – 1, z) × ... × Ψj(T2j, z)] =
= (z lj – Ψj(T, z))– 1
× (1 +
lj −1
w=0
∑
(2 j)
(r )
Γ ∈Γ \{Γ }
lj
lj −1
2m(lj – λjT (1 + qj))– 1 ∑ Qj(Г(2j), 0, w) (lj – w) = 1,
w=0
Qj(Г(2j), 0, w) (z lj – zw) ×
∑
Ψj(Tr – 1, z) × ... × Ψj(T2j, z)) =
lj −1
2m ∑ Qj(Г(2j), 0, w) (lj – w) =
w=0
–1
= (z – Ψj(T, z)) (1 + Ψj(T2j, z) + Ψj(T2j + T2j + 1, z) +
= lj – λjT (1 + qj).
+ ... + Ψj(T – T2j – 1, z)) ×
×
lj −1
∑
w=0
(2j)
лучили следующее равенство:
–1
Φj(z) = (z – Ψj(T, z))
(21)
Объединим уравнения (10), (21), (19) в систему:
Qj(Г(2j), 0, w) (z lj – zw).
Итак, для производящей функции Φj(z) по-
lj
137
Qj(Г , 0, 0) – e
lj −1
(2j)
l
w
∑ Qj(Г , 0, w) (z j – z ) ×
lj
∑
– λjT
y =1
Qj(Г(2j), 0, y)/ (1 – e – λjT) = 0,
lj −1
w=0
(2j)
∑ Qj(Г , 0, w) (lj – w) 2m = lj – λjT (1 + qj),
w=0
× (1 + Ψj(T2j, z) + Ψj(T2j + T2j + 1, z) +
(20)
lj −1
При z → 1 – 0 имеем Φj(z) → 1, а применение к
w=0
+... + Ψj(T – T2j – 1, z)).
(2j)
l
w
∑ Qj(Г , 0, w) (zk j – zk ) =
= 0, k ∈ {1, 2, …, lj – 1}.
правой части (20) правила Лопиталя при
z → 1 – 0 даёт 2m(lj – λjT (1 + qj))– 1×
lj −1
Определитель матрицы коэффициентов этой
(2j)
× ∑ Qj(Г , 0, w) (lj – w).
w=0
e
−1
− λ jT
−λ T
l
z1 j
−1
M
− 1 zl j −1 − zl
l
lj +2
l
z1 j
j
=(– 1)
− λ jT
1− e
− λ jT
j −1
= (– 1)lj + 2
e
M
−1
− λ jT
1− e
− λ jT
lj
lj
z1
−1
l
zl j −1
j
−λ jT
e
− λ jT
− λ jT
1− e
0
l
l −1
j
j
L z1 j − z1 j
O
M
lj
l −1
L zl −1 − zl j −1
lj
e
− λ jT
1− e
1
L
− z1
M
l
zl j −1
j
e
L
1− e j
l j −1
lj
l
z1 j
системы равен
l
zl j −1
j
−1
M
− zl
1
j −1
l
z1 j
l −1
j
j
− z1 j
L
=
O
M
l
l −1
L zl j −1 − zl j −1
1
1
L
1
l j −1
1 z1 L z1
M
M
M
M
l j −1
1 zl −1 L zl −1
j
0
L
− z1
=
0
M
j
l j −1
∏ ( zi − 1)
i =1
138
А.М. Федоткин
и отличен от нуля, так как последний определитель является определителем Вандермонда и
все величины 1, z1, … zlj – 1 различны. Поэтому
вероятности Qj(Г(2j), 0, y), y ∈ {0, 1, …, lj}
находятся однозначно. А поскольку вид
функций Φj(Г(r), z, y) также станет известным, то
для рассматриваемого случайного процесса
{(Гi, æj, i, ξ′j, i – 1); i = 0, 1, …} будут найдены и
все оставшиеся стационарные вероятности.
Проделаем вышеуказанные вычисления для
случая lj = 1. Система уравнений (11), (19), (21)
принемает вид
Qj(Г(2j), 0, 0) – e – λjT Qj(Г(2j), 0, 1)/ (1 – e – λjT) = 0,
Qj(Г(2j + 1), 0, 0) = Φj(Г(2j + 1), z, 0) | z = 0 =
=
=
1 − λ jT (1 + q j )
2m
Qj(Г
, 0, 0) =
e
− λ jT2 j
,
−λ T
2m
e j
Qj(Г
, 0, 0) =
1 − λ jT (1 + q j ) 1
− λ (T +T
)
=
e j 2 j 2 j +1 ,
− λ jT
2m
e
Qj(Г(2j – 1), 0, 0) =
1 − λ jT (1 + q j ) 1
− λ (T +T
+K+T2 j − 2 )
=
e j 2 j 2 j +1
,
−
λ
T
2m
e j
1 − λ jT (1 + q j )
×
Qj(Г(2j), 0, 0) =
2m
1
− λ (T +T
+K+T2 j − 2 +T2 j −1 )
=
× −λ T e j 2 j 2 j +1
j
e
1 − λ jT (1 + q j ) 1
1 − λ jT (1 + q j )
− λ jT
=
=
.
e
−λ T
2m
2m
e j
(2j + 2)
Другие вероятности находятся исходя из вида формул Φj(Г(r), z, 0). Рассмотрим, например, выражение
для производящей функции Φj(Г(2j + 1), z, 0):
Φj(Г(2j + 1), z, 0) =
1 − λ j T (1 + q j )
2m
× (z – 1) Ψj(T2j, z) / (z – Ψj(T, z)).
Отсюда находим
,
d
Φj(Г(2j + 1), z, 0) | z = 0 =
dz
[Ψj(T2j, z) / (z – Ψj(T, z)) +
× Ψj(T2j, z) / (z – Ψj(T, z)) – (z – 1) Ψj(T2j, z) ×
×Ψj(T, z)) / (z – Ψj(T, z))2] | z = 0 =
1 − λ jT (1 + q j ) 1 − e
.
Qj(Г , 0, 1) =
−λ T
2m
e j
Остальные вероятности вида Qj(Г(r), 0, 0) вычисляются так:
1
e
− λ j T2 j
+ (z – 1) λjT2j (pj + 2qj z – 1)×
=
×
1 − λ jT (1 + q j )
2m
+ λjT2j (qj + 1)
− λ jT
1 − λ jT (1 + q j )
2m
e
×(1 – λjT (pj + 2qj z – 1)×
Решение системы выглядит следующим образом:
1 − λ jT (1 + q j )
Qj(Г(2j), 0, 0) =
,
2m
(2j + 1)
1
−λ jT
Qj(Г(2j + 1), 1, 0) =
2mQj(Г(2j), 0, 0) = 1 – λjT (1 + qj).
(2j)
1 − λ jT (1 + q j )
+ (e
=
λ jT
2m
+ e
e
λ jT
− λ jT
1
e
− λ jT
– λjT (qj + 1))
1 − λ jT (1 + q j )
1
[–
e
e
− λ jT2 j
1
e
− λ jT2 j
− λ jT
e
+
+
− λ jT2 j
]=
(– 1 + λjT2j (qj + 1) +
– λjT (qj + 1))
1
e
− λ jT
e
− λ jT2 j
и так далее.
Вычислим теперь стационарные вероятности
вида P(æj = x), x ∈ X. Воспользуемся выражением (20) для Φj(z). Так как Φj(z) получается сложением функций Φj(Г(r), z, y), Г(r) ∈ Г, y ∈ {0, 1,
…, lj}, то Φj(z) представляет собой производящую функцию для последовательности случайных величин {æj, i; i = 0, 1, …}, отражающих
сосотояние очереди требований, ожидающей
обслуживания. Вероятности P(æj = x), x ∈ X, являются коэффициентами при соответствующих
степенях z в разложении функции Φj(z) в ряд
Маклорена и вычисляются следующим обра-
1 dx
Φj(z) | z = 0. Для случая lj =
x! dz x
= 1 функция Φj(z) запишется в виде Φj(z) =
= (z – 1)(1 + Ψj(T2j, z) + Ψj(T2j + T2j + 1, z) + ... +
+ Ψj(T – T2j – 1, z))(z – Ψj(T, z))–1 × Qj(Г(2j), 0, 0) .
Для некоторых конкретных вероятностей вида
P(æj = x) получим, что
зом: P(æj = x) =
Определение стационарного режима рекуррентных марковских цепей
P(æj = 0) = Φj(z) | z = 0 =
– λjT – 1
) Qj(Г , 0, 0) (0 – 1) ×
= (0 – e
– λjT2j
(2j)
– λj(T2j + T2j + 1)
+e
× (1 + e
(2j)
+ ... + e– λj(T – T2j – 1) ) =
λjT
= Qj(Г , 0, 0) (e
λj(T – T2j)
+e
1 − λ jT (1 + q j )
2m
λj(T – T2j – T2j + 1)
+e
P(æj = 1) =
+ ... + e
),
× (1 – λjT (pj + 2qj z – 1)Ψj(T, z)) ×
× (1 + Ψj(T2j, z) + Ψj(T2j + T2j + 1, z) + ... +
+ Ψj(T – T2j – 1, z)) / (z – Ψj(T, z))2 +
(2j)
+ (z – Ψj(T, z)) Qj(Г , 0, 0) ×
× (1 + Ψj(T2j, z) + Ψj(T2j + T2j + 1, z) + ... +
+ Ψj(T – T2j – 1, z)) +
+ (z – Ψj(T, z))– 1Qj(Г(2j), 0, 0) (z – 1) ×
× (λjT2j (pj + 2qj z – 1)Ψj(T2j, z) + ... +
+ λj(T – T2j – 1) (pj + 2qj z – 1)Ψj(T – T2j – 1, z))]| z = 0 =
= – Qj(Г(2j), 0, 0) (eλjT – λjT (qj + 1)) ×
×(eλjT + eλj(T – T2j) + eλj(T – T2j – T2j + 1) + ... + eλjT2j – 1) +
+ Qj(Г(2j), 0, 0) (eλjT + eλj(T – T2j) +
× (1 + Ψj(T2j, z) + Ψj(T2j + T2j + 1, z) + ... +
+ Ψj(T – T2j – 1, z)) +
+ Ψj(T2j + T2j + 1, z) + ... + Ψj(T – T2j – 1, z)) +
+ (z – Ψj(T, z))– 1Qj(Г(2j), 0, 0)(z – 1) ×
× (λjT2j (pj + 2qj z)Ψj(T2j, z) + ... + λj(T – T2j – 1)×
× (pj + 2qj z)Ψj(T – T2j – 1, z))]|z = 1 =
= 2mQj(Г(2j), 0, 0)[−(z – Ψj(T, z))−2×
× (1 – λjT (1 + qj))(z − 1) + (z – Ψj(T, z))– 1]|z = 1 +
+ (1 − λjT (1 + qj))−1Qj(Г(2j), 0, 0)λj(1 + qj) ×
× ((2m − 1)T2j + (2m − 2)T2j + 1 + ... + T2j − 2).
Применяя теперь при z → 1 – 0 правило Лопиталя к первому слагаемому дважды и ко второму слагаемому один раз, окончательно для
среднего значения Mæj размера очереди при
1 − λ jT (1 + q j )
Qj(Г(2j), 0, 0) =
получим:
2m
Mæj = 2mQj(Г(2j), 0, 0) [−(z – Ψj(T, z))−2×
+ eλj(T – T2j – T2j + 1) + ... + eλjT2j – 1) +
× (1 – λjT (1 + qj) + (z – Ψj(T, z))– 1]|z = 1 +
+ Qj(Г(2j), 0, 0) (qj + 1) (λjT2j eλj(T – T2j) + ... +
+ (1 − λjT (1 + qj))−1Qj(Г(2j), 0, 0)λj(1 + qj) ×
+ λj(T – T2j – 1) eλjT2j – 1) =
× ((2m − 1)T2j + (2m − 2)T2j + 1 + ... + T2j − 2) =
=–
1 − λ j T (1 + q j )
2m
(eλjT – λjT (qj + 1)) ×
× (eλjT + eλj(T – T2j) + eλj(T – T2j – T2j + 1) + ... + eλjT2j – 1) +
+
1 − λ jT (1 + q j )
2m
λj(T – T2j – T2j + 1)
+e
+
d
Φj(z) |z =1 = [−(z – Ψj(T, z))−2×
dz
+ (z – Ψj(T, z))– 1Qj(Г(2j), 0, 0) × (1 + Ψj(T2j, z) +
d
Φj(z) | z = 0 = [Qj(Г(2j), 0, 0) (z – 1)×
dz
–1
d
Φj(z) |z = 1, то последоваdz
×(1 – λjT (pj + 2qjz)Ψj(T, z))Qj(Г(2j), 0, 0)(z – 1) ×
(eλjT + eλj(T – T2j) +
λjT2j – 1
тельно имеем:
+
+ eλj(T – T2j – T2j + 1) + ... + eλjT2j – 1 ) =
=
ме. Так как Mæj =
139
1 − λ j T (1 + q j )
2m
λjT
(e
λj(T – T2j)
+e
λjT2j – 1
+ ... + e
+
)+
(qj + 1) (λjT2j eλj(T – T2j) + ... +
+ λj(T – T2j – 1) eλjT2j – 1)
и так далее.
Получим теперь формулу для математического ожидания Mæj величины очереди, если
система функционирует в стационарном режи-
= 2m
1 − λ j T (1 + q j )
2m
2−1(1 − λjT (1 + qj))−2×
× ((λjT)2 (1 + qj)2 + 2λjTqj) +
+ (2m)−1 λj(1 + qj)((2m − 1)T2j + (2m − 2) ×
×T2j + 1 + ... + T2j − 2) =
= 2−1(1 − λjT (1 + qj))−1(2 λjTqj + (λjT)2(1 + qj)2) +
+ (2m)−1 λj(1 + qj)((2m − 1)T2j +
+ (2m − 2)T2j + 1 + ... + T2j − 2).
Список литературы
1. Федоткин А.М. Свойства управляемой векторной марковской цепи со счетным числом состояний, удовлетворяющей рекуррентным соотношени-
140
А.М. Федоткин
ям // Вестник Нижегородского университета им.
Н.И. Лобачевского. 2009. № 3. С. 152–161.
2. Федоткин М.А. О существовании эргодического распределения в системе с переменной структурой обслуживания конфликтных потоков // Теория
вероятностей и её применения. 1976. Т. XXI. № 4.
C. 792−801.
3. Федоткин М.А. Строение пространства состояний случайного процесса, описывающее динамическое поведение систем с переменной структурой обслуживания при управлении конфликтными
потоками в классе нелинейных однородных алго-
ритмов. II // Литовский математический сборник.
1977. Т. XVII. № 2. C. 203−217.
4. Федоткин М.А. О предельных свойствах распределений для состояния систем с переменной
структурой обслуживания заявок при управлении
конфликтными потоками в классе нелинейных однородных алгоритмов. III // Литовский математический
сборник. 1977. Т. XVII. № 3. C. 73−85.
5. Ширяев А.Н. Вероятность. М.: Наука, 1980.
6. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977.
7. Титчмарш Е. Теория функций. М.: Наука,
1980.
DEFINITION OF THE STATIONARY MODE OF RECURRENT MARKOV CHAINS
BY THE ITERATIVE-MAJORANT METHOD
A.M. Fedotkin
Limiting properties are studied of one-dimensional distributions of controlled vector Markov chain finite family
with a countable number of states. Markov chain components are defined by some function-recurrent relation. An
effective method is proposed to define sufficient conditions of existence of a stationary distribution of the whole
class of controlled vector Markov chains.
Keywords: recurrent Markov chain, one-dimensional distribution, generating function, stationary distribution,
iterative-majorant method, nonlocal description of event flows.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
6
Размер файла
737 Кб
Теги
марковские, режим, методов, мажорантной, стационарного, определение, итеративные, цепей, рекуррентный
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа