close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Определяемость векторных групп своими голоморфами.

код для вставкиСкачать
УДК 512.541
И.Э. Гриншпон
ОПРЕДЕЛЯЕМОСТЬ ВЕКТОРНЫХ ГРУПП СВОИМИ ГОЛОМОРФАМИ
Исследуются голоморфы векторных групп. Установлены свойства Г-разложений таких групп. Получен критерий определяемости векторных групп своим голоморфом.
Пусть G – абелева группа, Г(G) – ее голоморф, т.е.
полупрямое расширение группы G с помощью группы
ее автоморфизмов Aut(G). Для групповой операции в
группе Aut(G) пользуемся мультипликативной записью, а для групповых операций в G и Г(G) – аддитивной записью. Группу Г(G) можно рассматривать как
множество всех упорядоченных пар вида ( g , ϕ) , где
g ∈ G , ϕ ∈ Aut(G ) . Групповая операция в Г(G) определяется по правилу ( g , ϕ) + (h, ψ ) = ( g + ϕ h, ϕψ) для
любых (g, ϕ), (h, ψ)∈Г(G). Нейтральным элементом в
Г(G) является элемент (0, ε) (ε – тождественный автоморфизм группы G), элементом, противоположным элементу (g, ϕ) – элемент ( −ϕ −1 g , ϕ −1 ) . Элементы вида
(g, ε) образуют в голоморфе Г(G) нормальную подгруппу, изоморфную группе G, а элементы вида (0, ϕ) –
подгруппу, изоморфную группе Aut(G). Будем отождествлять эти подгруппы с группами G и Aut(G) соответственно. Понятно, что G ∩ Aut(G ) = {(0, ε)} . Часто вместо записи элементов группы Г(G) в виде (g, ε) и (0, ϕ)
будем просто писать g и ϕ соответственно.
В настоящей работе рассматриваются голоморфы
абелевых групп и вопросы, связанные с определяемостью групп своими голоморфами.
Если G и H – изоморфные группы, то их голоморфы
Г(G) и Г(H) также изоморфны. Однако из изоморфизма
голоморфов Г(G) и Г(H) не всегда следует изоморфизм
групп G и H. Группы с изоморфными голоморфами
называются голоморфно изоморфными. Исследованию
голоморфно изоморфных групп посвящен ряд работ
Миллса, Миллера, Беккера и других алгебраистов (см.,
например, [1–5]).
Будем говорить, что группа G определяется в классе
ℜ своим голоморфом, если для любой группы H из
этого класса из голоморфного изоморфизма групп G и
H (т.е. из изоморфизма голоморфов Г(G) и Г(H)) следует изоморфизм самих групп G и H.
Известно, что всякая абелева группа G является
максимальной абелевой нормальной подгруппой в своем голоморфе. Если S – нормальная абелева подгруппа
в Г(G) и S1, Φ – множества всех первых, вторых компонент элементов группы S соответственно, то S1 – характеристическая подгруппа группы G, Φ – нормальная
подгруппа группы Aut(G) и если S ≠ 0 , то и S1≠0 [6].
Подгруппа S голоморфа Г(G) называется голоморфно
разложимой, если для любого элемента (g, ϕ)∈S следует, что (g, ε) ∈S и (0, ϕ)∈S, т.е. S = S1 ⊕ Φ , S1, Φ – множества всех первых, вторых компонент элементов группы S соответственно. Понятие голоморфной разложимости групп было введено И.Х. Беккером [4].
Будем использовать следующую важную для исследования голоморфов абелевых групп теорему [5, 6].
Теорема 1. Всякая максимальная абелева нормальная подгруппа голоморфа абелевой группы без элементов порядка 2 голоморфно разложима.
Из этой теоремы следует, что любая максимальная
абелева нормальная подгруппа голоморфа абелевой
группы без кручения голоморфно разложима.
Известно, что если две абелевы группы голоморфно
изоморфны, и одна из них без кручения, то делимые
части этих групп изоморфны. Поэтому рассматриваются только редуцированные абелевы группы без кручения [6].
Пусть G и H – голоморфно изоморфные группы без
кручения ( Γ(G ) ≅ Γ( H ) ) и пусть µ : Γ(G ) → Γ( H ) –
изоморфное отображение группы Г(G) на группу Г(H).
Тогда µG = H ′ = H 1 ⊕ Ψ , µ −1 H = G ′ = G1 ⊕ Φ , где
G1 , H 1 , Φ, Ψ – соответственно множества всех первых,
вторых компонент групп G′ и H ′ соответственно.
Группы G1 и H 1 – характеристические подгруппы
групп G и H соответственно. Так как G1 = G ∩ G ′ ,
H 1 = H ∩ H ′ , то
µG1 = µ(G ∩ G ′) = µG ∩ µG ′ = H ′ ∩ H = H 1 .
Следовательно, H 1 ≅ G1 .
Имеем G = G1 ⊕ G2 , H = H 1 ⊕ H 2 , где G1 и H 1 – характеристические подгруппы групп G и H соответственно,
G1 ≅ H 1 , G2 ≅ Hom(H 2 , H 1 ) , H 2 ≅ Hom(G2 , G1 ) [5].
Определение 1. Разложение G = G1 ⊕ G2 группы G,
индуцированное изоморфизмом голоморфов, назовем
Г-разложением.
Лемма 1. Всякое Г-разложение группы G обладает
свойствами:
1) Hom(G1 , G2 ) = 0 ;
2) Hom(Hom(G2 , G1 ), G1 ) ≅ G2 .
Прямое произведение групп без кручения ранга 1
называется векторной группой [7. С. 199].
Теорема 2. Векторная группа G, мощность которой
не превосходит первого кардинала ненулевой меры,
определяется своим голоморфом в классе всех абелевых групп тогда и только тогда, когда всякое ее Г-разложение
G = G1 ⊕ G2
обладает
свойством
Hom(G2 , G1 ) ≅ G2 .
Доказательство. Необходимость. Пусть группа G
определяется своим голоморфом в классе абелевых
групп, т.е. из изоморфизма голоморфов групп G и H
следует изоморфизм самих групп. Пусть G = G1 ⊕ G2 ,
H = H 1 ⊕ H 2 – Г-разложения групп G и H, индуцированные изоморфизмом голоморфов этих групп. Пусть
Ω(G ) и Ω(H ) – множества всех различных типов
прямых слагаемых ранга 1 групп G и H соответственно.
111
Так как G1 характеристична в G, H 1 характеристична
в H, то Ω(G1 ) ∩ Ω(G2 ) = ∅ , Ω( H 1 ) ∩ Ω( H 2 ) = ∅ . Учитывая, что любые два разложения группы G в прямое
произведение групп без кручения ранга 1 изоморфны
[8], из G ≅ H , G1 ≅ H 1 получаем G2 ≅ H 2 . Но
H 2 ≅ Hom(G2 , G1 ) , поэтому G2 ≅ Hom(G2 , G1 ) .
Достаточность. Пусть Γ(G ) ≅ Γ( H ) . Этому изоморфизму соответствуют Г-разложения G = G1 ⊕ G2 ,
H = H 1 ⊕ H 2 , причем G2 ≅ Hom(G2 , G1 ) . По свойству
Г-разложений H 2 ≅ Hom(G2 , G1 ) , откуда G2 ≅ H 2 . Так
как G1 ≅ H 1 , то G = G1 ⊕ G2 ≅ H 1 ⊕ H 2 = H . Таким
образом, группа G определяется своим голоморфом.
Заметим, что достаточное условие теоремы справедливо для произвольных абелевых групп.
Пусть G = Π Gi – редуцированная векторная групi∈I
G = G1 ⊕ G2 – некоторое ее Г-разложение и
G1 = Π Gα , G2 = Π Gβ .
па,
α∈I1
β∈I 2
Введем обозначения
I 1′ = {α ∈ I1 | Hom(G2 , Gα ) ≠ 0} ;
I ( α) = {β ∈ I 2 | t (Gβ ) < t (Gα )} .
= Π ⊕ Π Hom(Gαβ , Gα ) = ⊕ Π Gαβ ⊕ D
α ′∈I1 α ∈I1′ β ∈I (α )
[9, теорема 43.1], где Gαβ = Hom(Gαβ , Gα ) ≠ 0 – группа
без
кручения
ранга
1
типа
t = t (Gβ ) − t (Gα )
и
D = Π ⊕ Π Hom(Gαβ , Gα′ ) .
α′≠α α∈I1′ β∈I ( α )
Таким образом,
Hom(Hom(G2 , G1 ), G1 ) ≅ ⊕ Π Gαβ ⊕ D .
(2)
α∈I1′ β∈I ( α )
Лемма 4. Г-разложение редуцированной векторной
группы G, мощность которой не превосходит первого
кардинала ненулевой меры, обладает свойствами:
1) | I1′ |< ℵ0 ;
2) если r (G2 ) < ℵ0 , то
а) для любого индекса β ∈ I 2 существует единственный индекс α′ ∈ I 1′ такой, что β ∈ I (α′) ;
б) группы Gαk ( α k ∈ I 1′ ) и Π Gβ одновременно
β∈I ( αk )
π( α k ) -делимы, где π( α k ) = { p ∈ P | pGαk = Gαk } , P –
α∈I1′ β∈I ( α )
Предположим, что | I1′ |≥ ℵ0 . Из каждой группы
Π Gαβ выделим по одному прямому слагаемому ран-
β∈I ( α )
га 1. Получим G2 ≅ ⊕ Gαβ ⊕ ⊕ Π Gαβ′ ⊕ D . В группе
α∈I1′
Таким образом,
(1)
n
Hom(Hom(G2 , G1 ), G1 ) ≅ ⊕ Π Gαkβ ⊕ D ≅ G2 = Π Gβ .
k =1 β∈I ( αk )
ранга 1 типа t = t (Gα ) − t (Gβ ) [11].
β ∈ I2
группа
Заметим, что для любого
Hom(Gβ , G1 ) отлична от нуля, т.е. существует хотя бы
один индекс α ∈ I1′ такой, что группа Hom(Gβ , Gα ) ≠ 0 .
α ∈ I1′
Если предположить, что для любого
Hom(Gβ , Gα ) = 0 , то группа {G ′, Gβ } будет нормальной
абелевой подгруппой в Г(G), что противоречит максимальности подгруппы G' в Г(G).
Теперь
Hom(Hom(G2 , G1 ), G1 ) ≅
β∈I 2
а) Так как каждое β ∈ I 2 принадлежит некоторому
I (αk ) ,
n
Группа Hom(Gβ , Gα ) = Gαβ – группа без кручения
α∈I1′ β′≠β
G2 выделили вполне разложимое прямое слагаемое
бесконечного ранга, что невозможно [12]. Следовательно, I 1′ – конечное множество.
Пусть I 1′ = {α1 , α 2 , ..., α n } .
2)
Формула
(2)
принимает
вид
α ∈I1′ β ∈I (α )
α∈I1′ β∈I ( α )
α∈I1′ β∈I ( α )
множество простых чисел.
Доказательство. 1) Согласно (2)
G2 ≅ ⊕ Π Gαβ ⊕ D .
Опишем некоторые свойства Г-разложений векторной группы.
Hom(G2 , G1 )
и
Рассмотрим
группы
Hom(Hom(G2 , G1 ), G1 ) .
Имеем
Hom(G2 , G1 ) ≅ Hom⎛⎜ G2 , Π Gα ⎞⎟ ≅ Π Hom(G2 , Gα )
α∈I1
⎝
⎠ α∈I1′
[9. Теорема 43.2]. Так как группа без кручения ранга 1
является
узкой
группой
[10],
то
⎛
⎞
Π Hom(G2 , Gα ) = Π Hom⎜ Π Gβ , Gα ⎟ ≅
α∈I1′
α∈I1′
⎝ β∈I 2
⎠
≅ Π ⊕ Hom(Gβ , Gα ) [7. Следствие 94.5].
Hom(G2 , G1 ) ≅ Π ⊕ Hom(Gβ , Gα ) .
′
n
то
| I 2 |≥ ∑ | I (α k ) | ≥| I 2 | .
∑ | I (α k ) | =| I 2 |
k =1
k =1
Следовательно,
и в силу конечности множества I 2
каждое β ∈ I 2 может принадлежать только одному
I ( α k ) . Множество I 2 распадается на непересекающиеся множества I (α1 ), I (α 2 ), ..., I (α n ) .
б) Формулы (1) и (2) запишутся в виде
n
n
Hom(G1 , G2 ) ≅ Π ⊕ Gαkβ ≅ ⊕ ⊕ Gαkβ ,
k =1 β∈I ( αk )
k =1 β∈I ( αk )
(3)
n
G2 ≅ ⊕ Π Gα k β
k =1 β∈I ( αk )
(4)
и t (Gαk β ) = t (Gαk ) − t (Gαk β ) .
≅ Hom Π ⊕ Hom(Gβ , Gα ), Π Gα ≅
Пусть для некоторого α k ∈ I 1′ существует группа
Gβ ( β ∈ I (α k ) ), которая не делится на π( α k ) . Тогда в
≅ Π ⊕ Π Hom(Hom(Gβ , Gα ), Gα ) =
правой части равенства (4) число π( α k ) -делимых сла-
(
α ∈I1′ β ∈I (α )
α ′∈I1 α ∈I1′ β ∈I (α )
112
′
α ′∈I1
′
)
гаемых | I ( α k ) | , а в левой части их не больше
| I ( α k ) | −1 . Полученное противоречие доказывает, что
Gαk и Π Gβ одновременно π( α k ) -делимы. Лемма
β∈I ( α k )
доказана.
Таким образом, Г-разложение редуцированной векторной группы G = G1 ⊕ G2 , мощность которой не
превосходит первого кардинала ненулевой меры, обладает свойствами:
a) Hom(G1 , G2 ) = 0 ;
b) Hom(Hom(G2 , G1 ), G1 ) ≅ G2 ;
c) множество I 1′ – конечно ( I 1′ = {α1 , α 2 , ..., α n } );
d) если r (G2 ) < ℵ0 ( I 2 = {β1 , β 2 , ..., β k } ), то для любой группы Gβ
s
( β s ∈ I 2 ) существует единственная
группа Gαk ( α k ∈ I 1′ ) такая, что Hom(Gβ , Gαk ) ≠ 0 , и
s
для любого простого числа p группа Gαk p-делима тогда и только тогда, когда группа
Π Gβ p-делима.
β∈I ( αk )
Cледующая теорема дает критерий определяемости
векторной группы своим голоморфом.
Теорема 3. Векторная группа G, мощность которой
не превосходит первого кардинала ненулевой меры,
определяется своим голоморфом в классе всех абелевых групп тогда и только тогда, когда она удовлетворяет одному из условий:
1) G имеет только тривиальные Г-разложения;
2) для любого нетривиального Г-разложения группы G = G1 ⊕ G2 имеем r (G2 ) < ℵ0 и существует такая
биекция
η
множества
I2
на
себя,
что
Hom(Gβ , Gα ) ≅ Gη(β ) для некоторого α ∈ I1′ .
Доказательство. Если Г-разложение группы G, индуцированное изоморфизмом голоморфов групп G и H
тривиально, т.е. G = G1 , то H 2 = 0 , H = H 1 и G ≅ H .
Пусть группа G имеет нетривиальное Г-разложение
G = G1 ⊕ G2 . Тогда, согласно теореме 2, для определяемости группы G своим голоморфом необходимо и
достаточно, чтобы Hom(G2 , G1 ) ≅ G2 .
Из формулы (3) следует, что
n
⊕
⊕ Hom(Gβs , Gαk ) ≅ G2 .
(5)
k =1 β s ∈I ( αk )
Группа G2 , как вполне разложимое прямое слагаемое векторной группы, должна иметь конечный ранг
[12], т.е. r (G2 ) < ℵ0 .
Так как любые два разложения вполне разложимой
абелевой группы без кручения в прямую сумму групп
ранга 1 изоморфны [7], то равенство (5) верно тогда и
только тогда, когда существует биекция η множества
I 2 на себя такая, что Hom(Gβ s , Gαk ) ≅ Gη(β ) .
s
Определение 2. Разложение G = G1 ⊕ G2 группы G
называется полухарактеристическим, если подгруппа
G1 – характеристическая подгруппа группы G, а подгруппа G2 не является характеристической подгруппой
группы G.
Следствие 1. Векторная группа G, мощность которой не превосходит первого кардинала ненулевой
меры, определяется своим голоморфом в классе всех
абелевых групп, если она удовлетворяет одному из
условий:
a) группа G не имеет полухарактеристических разложений;
б) для любого полухарактеристического разложения
G = G1 ⊕ G2 группы G, удовлетворяющего свойствам
a) – d), и существует такая биекция η множества I 2 на
себя, что Hom(Gβ , Gα ) ≅ Gη(β ) для некоторого α ∈ I1′ .
ЛИТЕРАТУРА
1. Беккер И.Х. О голоморфах абелевых групп без кручения // Известия вузов. Математика. 1974. № 3. С. 3–13.
2. Беккер И.Х. Абелевы группы с изоморфными голоморфами // Известия вузов. Математика. 1975. № 3. С. 97–99.
3. Беккер И.Х. Определяемость редуцированных абелевых групп без кручения своими относительными голоморфами // Абелевы группы и
модули. 1980. С. 3–19.
4. Беккер И.Х. Абелевы голоморфные группы // Избранные доклады междунар. конф. «Всесибирские чтения по матем. и мех.». Т. 1: Математика. 1997. С. 43–47.
5. Беккер И.Х. О голоморфах нередуцированных абелевых групп // Известия вузов. Математика. 1968. № 8. С. 3–8.
6. Гриншпон И.Э. Нормальные подгруппы голоморфов абелевых групп и почти голоморфный изоморфизм // Фундаментальная и прикладная
математика (в печати).
7. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. М.: Мир, 1977. Т. 2. 416 с.
8. Sasiada E. On the isomorphism of decomposition of torsion-free abelian groups into complete direct sum of group of rank one // Bull. Acad. Polon.
Sci. 1959. № 3. Р. 145–149.
9. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. М.: Мир, 1974. Т. 1. 335 с.
10. Sasiada E. Proof that every countable and reduced torsion-free abelian groups is slender // Bull. Acad. Polon. Sci. 1959. № 3. Р. 143–144.
11. Кишкина З.М. Эндоморфизмы р-примитивных абелевых групп без кручения // Известия АН СССР. Сер. матем. 1945. Т. 9. С. 201–232.
12. Мишина А.П. О прямых слагаемых полных прямых сумм абелевых групп без кручения ранга 1 // Сибирский математический журнал. 1962.
Т. 3, № 2. С. 244–249.
Статья представлена кафедрой алгебры механико-математического факультета Томского государственного университета, поступила в научную редакцию «Математика» 15 мая 2006 г., принята к печати 22 мая 2006 г.
113
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
16
Размер файла
722 Кб
Теги
своими, группы, векторных, голоморфами, определяемость
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа