close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Оптимизация параметров нового вида зацепления колёс с криволинейными зубьями.

код для вставкиСкачать
Управление, вычислительная техника и информатика
УДК 514.85
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ
НОВОГО ВИДА ЗАЦЕПЛЕНИЯ В ПЕРЕДАТОЧНЫХ МЕХАНИЗМАХ
А.М. Бубенчиков, Н.Р. Щербаков
Томский государственный университет
Email: nrs@math.tsu.ru
Построена математическая модель работы редуктора, использующего новый вид зацепления рабочих колёс, одно из которых
представляет собой винтовой эксцентрик, а профиль другого построен на базе циклоидальной кривой. Такое зацепление облада
ет повышенными силовыми характеристиками и позволяет получать высокие передаточные отношения в одной ступени. Создана
компьютерная программа, иллюстрирующая кинематически согласованное движение идеальных геометрических фигур – торце
вых сечений работающего механизма и позволяющая находить необходимые для конструирования числовые характеристики.
Ключевые слова:
Математическое моделирование, эксцентриковоциклоидальное зацепление, циклоидальная кривая.
Введение
Широко применяемое эвольвентное зацепле
ние колес при всех его достоинствах обладает и ря
дом недостатков, таких как недостаточная несущая
способность зубьев изза малой кривизны рабочих
поверхностей, сравнительно высокие потери, свя
занные с наличием трения скольжения. Кроме то
го, эвольвентное зацепление имеет ограничения по
величине передаточного отношения для одной сту
пени. Все эти недостатки обуславливают поиск но
вых видов зацеплений.
Известно зацепление Новикова [1], которое
имеет выпукловогнутые винтовые зубья с проти
воположным направлением винтовой линии и с на
чальным касанием в точке, которая при вращении
перемещается параллельно оси колес. Профили в
торцовом сечении очерчиваются дугами окружно
стей и имеют кривизну разных знаков. В зацепле
нии Новикова преобладает качение, поэтому оно
имеет более высокий КПД, и обладает большей
контактной прочностью при тех же основных раз
мерах, чем эвольвентное зацепление. Однако, ре
дукторы с таким зацеплением обладают повышен
ной чувствительностью к изменению межосевого
расстояния колес, высокой виброакустической ак
тивностью, низкой конструктивной гибкостью, что
ограничивает область их практического использо
вания. В [2] описан новый вид зацепления колес с
криволинейными зубьями – эксцентриковоци
клоидальное зацепление, которое частично объеди
няет достоинства эвольвентного зацепления и заце
пления Новикова. В данной статье построена мате
матическая модель динамики этого зацепления.
щения колеса ОО1. Криволинейный профиль коле
са 1 образован последовательным и непрерывным
смещением этой окружности вдоль оси колеса ОО1
с одновременным поворотом её вокруг этой же оси.
Таким образом, поверхность зуба колеса 1 образует
винтовой эксцентрик.
Геометрическая модель механизма
Общий вид редуктора с плоскостью Р, перпен
дикулярной осям колес, приведен на рис. 1, а фраг
мент участка контакта червячного элемента с боль
шим колесом – на рис. 2. Зубчатый профиль мень
шего колеса 1 в торцовом сечении представляет со
бой окружность D диаметра d=2r, эксцентрично
смещенную на расстояние ε относительно оси вра
Рис. 1.
Общий вид редуктора. Плоскость P перпендикулярна
осям колёс
Профиль зуба большего колеса 2 в торцовом се
чении сопрягается с эксцентрично смещенной
окружностью D колеса 1. Профиль построен как
241
Известия Томского политехнического университета. 2009. Т. 314. № 5
огибающая семейства эксцентриковых окружно
стей в разных фазах зацепления и представляет со
бой циклоидальную кривую G, являющуюся экви
дистантой эпитрохоиды [3]. Винтовая криволиней
ная поверхность зубьев колеса 2 образуется анало
гично поверхности зуба колеса 1 последователь
ным и непрерывным поворотом циклоидальных
торцовых сечений колеса вокруг оси СС1 колеса 2.
Винтовые поверхности колес 1 и 2 имеют противо
положное направление вращения.
Рис. 2. Фрагмент участка контакта
Нахождение линии контакта
Параметрические уравнения эпитрохоиды име
ют вид
τ
⎧
⎪ x(τ ) = − ε cosτ + a cos z + 1 ,
⎪
2
⎨
τ
⎪ y (τ ) = − ε sinτ + a sin
,
⎪⎩
z2 + 1
где τ=0,...,2π(z2+1) – текущий параметр, ε – эк
сцентриситет, a – межцентровое расстояние колес,
z2 – количество циклов кривой (количество зубьев
колеса 2).
Параметрические уравнения эквидистанты G,
удалённой по нормали на радиус d/2 окружности D
от эпитрохоиды, имеют вид:
d
⎧
⎪⎪ X (τ ) = x(τ ) + 2 n1 (τ ) ,
⎨
⎪Y (τ ) = y (τ ) + d n (τ ) ,
2
⎪⎩
2
где n1(τ), n2(τ) – координаты единичного вектора
нормали.
Как видно из схемы построения зубчатых по
верхностей колес 1 и 2, профиль зуба колеса 1 в лю
бом торцовом сечении представлен эксцентрично
смещенной окружностью D, а профиль колеса 2 –
повёрнутой циклоидальной кривой G. Окружность
D в любом торцовом сечении имеет точку касания
А с соответствующей циклоидальной кривой. Вин
товой зуб колеса 1 имеет одновременно множество
точек контакта с винтовым циклоидальным зубом
колеса 2. Эти точки образуют непрерывную винто
образную (с непостоянной кривизной) линию кон
такта АА2А4.
242
Координаты точки A контакта окружности D с
циклоидальной кривой G находятся как сумма ра
диусвектора центра окружности D с вектором, на
правленным по нормали к этой окружности в точ
ке контакта и имеющим длину равную радиусу
окружности D. Для нахождения этой нормали нет
необходимости прибегать к дифференцированию
– достаточно применить свойство циклоидальных
кривых: нормаль в произвольной точке такой кри
вой проходит через полюс (точка соприкосновения
обкатывающихся кругов, с помощью которых по
лучается исходная циклоидальная кривая
[3. С. 113]). Линия АА2А4 строится с помощью
встроенной в пакете MathCad функции интерполя
ции массива точек контакта, соответствующих
близким торцевым сечениям. Полученная при
этом векторфункция Kυ(υ) (υ=0,...,2π – угол по
ворота окружности D вокруг оси ОО1, при котором
получается соответствующее торцевое сечение) то
чек линии контакта АА2А4 даёт возможность диф
ференцирования с помощью символьного процес
сора пакета MathCad с целью нахождения кривиз
ны в каждой точке этой линии в любой момент вре
мени. Эта кривизна оказывается не постоянной,
т. е. линия контакта не является винтовой.
Радиусы кривизны и расчёт усилий в точках контакта
Для нахождения контактных напряжений в точ
ках линии АА2А4 необходимо знать радиус кривизны
той линии на большом зубе 2, которая получается
торцевым сечением, соответствующим точке кон
такта, т. е. при заданном угле υ. Эта линия является
результатом поворота исходной линии G на угол
−(υ + δ )
,
z2
где δ – угол поворота генератора. Радиусы кривиз
ны вычисляются по обычной формуле
R (υ , δ ) =
3
( X ′(ϕ (υ , δ )) 2 + Y ′(ϕ (υ , δ )) 2 ) 2
=
,
X ′(ϕ (υ , δ ))Y ′′(ϕ (υ , δ )) − X ′′(ϕ (υ ,δ )) Y ′(ϕ (υ ,δ ))
где
ϕ (υ , δ ) =
z2 + 1
(υ + δ ),
z2
а X(ϕ(υ,δ)), Y(ϕ(υ,δ)) – координаты точки контак
та на соответствующей эквидистанте.
Формула для расчёта усилий в точках контакта
при угле поворота генератора δ принимает инте
гральный вид:
F (υ , δ ) =
= δ +π
∫
M sin(γ (υ , δ ))
, (1)
( X (ϕ (υ , δ )) − a) + Y (ϕ (υ , δ )) sin (γ (υ, δ )) dυ
2
2
2
δ
где M – входной момент на генераторе, а γ(υ, δ) –
угол между радиусвектором точки контакта отно
Управление, вычислительная техника и информатика
сительно оси червячного элемента и общей нор
малью к касающимся кривым (окружность и экви
дистанта). Интегрирование ведётся по половине
длины червячного элемента – «рабочей части» чер
вяка, изменяющейся в зависимости от δ.
Выходной момент и расчёт потерь мощности на трение
Сечениями перпендикулярными осям вращения
выделим элементарные по глубине фрагменты дета
лей с размером в направлении осей dh их в дальней
шем будем называть плоскими фрагментами (фигу
рами) зубчатого колеса и червяка. Далее мы предпо
лагаем, что различные по глубине фрагменты каж
дой отдельно взятой детали не участвуют между со
бой в силовом взаимодействии. В случае же суще
ствования такого взаимодействия реализующие его
усилия были бы направлены лишь вдоль осей враще
ния. Таким образом, распределённые по линии кон
такта усилия, определяемые соотношением (1), дей
ствуют в плоскости нормальной осям вращения де
талей. Поскольку на глубине dh реализуется поворот
плоской линии G на угол dυ, то со стороны входной
детали (червяка) на выделенный элементарный
фрагмент зубчатого колеса будет действовать сила
величиной F(υ,δ) dυ, направленная по общей нор
мали к плоским фигурам в точке контакта. В свою
очередь, со стороны зубчатого колеса вдоль того же
направления общей нормали будет действовать рав
ная по величине, но противоположно направленная
сила реакции. Точками опоры выделенных вращаю
щихся плоских фигур являются центры вращения
этих фигур. Эти центры остаются неподвижными во
всё время движения, в случае же, если центробежные
силы являются не слишком значительными, они
взаимодействуют между собой по законам статики,
т.е. по закону равенства действия и противодействия.
После определения вектора f(υ,δ) (|f(υ,δ)|=F(υ,δ))
выходной момент найдётся по формуле:
δ +π
M âûõ =
∫
f (υ , δ ) × ρ (υ , δ ) dυ ,
δ
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Батурин А.Т., Ицкович Г.М. и др. Детали машин. – М.: Маши
ностроение, 1970. – 264 с.
2. Пат. 2338105 РФ. МПК8 F16H 55/08. Зацепление колес с криво
линейными зубьями (варианты) и планетарная передача на его
основе / В.В. Становской, С.М. Казакявичюс, Т.А. Ремнёва,
В.М. Кузнецов. Заявлено 09.07.2007; опубликовано 10.11.2008,
Бюл. № 31.
где ρ(υ,δ)= CA – радиусвектор точки контакта пло
ских фигур относительно центра вращения фраг
мента зубчатого колеса. Таким образом, если «раз
брос» входного воздействия определяется по форму
ле (1), то, следуя принципу Лагранжа, при статиче
ском нагружении системы мы должны иметь:
M ω1 = M âûõω2 ,
(2)
где ω1, ω2 – угловые скорости, соответственно, чер
вяка и зубчатого колеса, а M – входной момент. В
динамических же условиях, т. е. при наличии в си
стеме движения, соотношение (2), следуя принци
пу ДаламбераЛагранжа, можно обобщить следую
щим образом:
M ω1 = M âûõω2 − Qòð ,
где Qтр – потери входной мощности на трение.
Величины потерь входной мощности на трение
рассчитываются следующим образом:
δ +π
Qòð = k ∫ F (υ , δ )(Δ V , t ) dυ .
δ
Здесь k – коэффициент трения, t – единичный
вектор касательной в точке контакта, ΔV=v1–v2,
v1=rk.ω1, v2=ρk.ω2, rk, ρk – радиусвекторы точки
контакта, соответственно, относительно оси вра
щения червяка и оси вращения зубчатого колеса.
Программа и метод расчета могут быть исполь
зованы и для других значений ε, d, z2, a, M.
Таким образом, построена математическая мо
дель нового вида зубчатого зацепления, а именно,
эксцентриковоциклоидального зацепления с кри
волинейными зубьями. Модель включает в себя
точные уравнения кривых – профилей деталей ме
ханизма и уравнения поверхностей этих деталей, а
также алгоритм расчёта силовых характеристик. На
основании этой модели создана компьютерная
программа, позволяющая визуализировать процесс
кинематически согласованного взаимодействия
деталей механизма, получать значения КПД и ве
личины контактных напряжений.
3. Савёлов А.А. Плоские кривые. – М.: ГИФМЛ, 1960. – 294 с.
Поступила 24.02.2009.
Печатается в авторской редакции
без учета мнений рецензентов
243
Известия Томского политехнического университета. 2009. Т. 314. № 5
УДК 514.85
ОПТИМИЗАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ НОВОГО ВИДА ЗАЦЕПЛЕНИЯ КОЛЁС
С КРИВОЛИНЕЙНЫМИ ЗУБЬЯМИ
Н.Р. Щербаков
Томский государственный университет
Email: nrs@math.tsu.ru
Рассмотрена оптимизация геометрических параметров нового вида зацепления колес с криволинейными зубьями, а именно эк
сцентриковоциклоидального. Зацепление образовано винтовыми зубьями, причем меньшее колесо имеет один зуб, профиль
которого в торцовом сечении представляет собой эксцентрично смещенную окружность. Профиль зуба большего колеса в тор
цовом сечении представляет собой циклоидальную кривую. Показано, что КПД и контактные напряжения зависят от эксцентри
ситета и диаметра окружности профиля меньшего колеса. Дан алгоритм расчета оптимальных значений этих параметров для до
стижения наивысшего КПД при предельно допустимых контактных напряжениях.
Ключевые слова:
Математическое моделирование, эксцентриковоциклоидальное зацепление, оптимизация.
В [1] построена математическая модель работы
редуктора, использующего новый вид зацепления
рабочих колёс [2], одно из которых представляет
собой винтовой эксцентрик, а профиль другого по
строен на базе циклоидальной кривой. Такое заце
пление обладает повышенными силовыми характе
ристиками и позволяет получать высокие переда
точные отношения в одной ступени.
Рассмотрим геометрические параметры заце
пления, изменением которых можно было бы оп
тимизировать зацепление по КПД, а также по мак
симально допустимым значениям контактных на
пряжений. Поскольку малое колесо (винтовой эк
сцентрик) в зацеплении имеет один зуб (z1=1), то
передаточное отношение зацепления определяется
только числом зубьев большего колеса z2. При про
ектировании редукторов передаточное отношение
обычно является заданной величиной, следова
тельно, для нашего зацепления варьировать число
зубьев большего колеса мы не можем. Вторым за
данным параметром редуктора является его номи
нальный крутящий момент, характеризующий на
грузочную способность передачи. Величина крутя
щего момента определяется габаритами передачи.
Поэтому второй постоянной величиной в нашем
случае мы выбрали межцентровое расстояние ко
лес a. Таким образом, в качестве изменяемых для
оптимизации параметров были выбраны диаметр
окружности d в поперечном сечении однозубого
колеса и эксцентриситет ε смещения этой окруж
ности от оси вращения колеса.
С помощью рабочей программы была найдена
матрица средних значений КПД (сетка узлов) при
различных величинах ε и d для a = 70 мм и z2 = 10.
Для получения численных значений КПД выбрали
коэффициент трения скольжения равным 0,05.
Далее, выполняя в MathCad интерполяцию ку
бическими сплайнфункциями двух переменных
(ε, d) проводим через сетку узлов поверхность, со
ставленную из кубических полиномов от перемен
ных ε, d так, что первые и вторые частные произ
водные являются непрерывными в каждом узле сет
244
ки. Эта поверхность представляет собой график яв
но заданной функции двух аргументов ε, d (рис. 1).
Таблица 1. Значения КПД для различных эксцентриситетов и
диаметров
диаметр/
эксцентри 13,7 мм 14,3 мм 14,9 мм 15,5 мм 16,1 мм 16,7 мм 17,3 мм
ситет
3,0 мм
96,39 96,339 96,317 96,142 95,874 95,511 95,053
3,5 мм
96,308 96,371 96,359 96,275 96,118 95,889 95,586
4,0 мм
96,169 96,298 96,338 96,317 96,237 96,097 95,898
4,5 мм
96,05 96,187 96,269 96,297 96,273 96,198 96,072
5,0 мм
95,868 96,039 96,158 96,227 96,249 96,224 96,155
5,5 мм
95,644 95,852 96,007 96,112 96,173 96,19 96,166
6,0 мм
95,369 95,618 95,809 95,95 96,045 96,098 96,112
Рис. 1.
Значения КПД как график функции двух аргументов
Наибольшее значение КПД находится стан
дартными средствами MathCad как максимум зна
чений этой функции на выбранных участках значе
ний ε, d. Одновременно определяются и значения
аргументов, при которых достигается этот макси
мум:
КПДмакс=96,34 % при ε=4 мм, d=15 мм.
Управление, вычислительная техника и информатика
Таблица 2. Значения контактных напряжений для различных эксцентриситетов и диаметров
диаметр/
эксцентриситет
3,0 мм
3,5 мм
4,0 мм
4,5 мм
5,0 мм
5,5 мм
6,0 мм
13,7 мм
14,3 мм
14,9 мм
15,5 мм
16,1 мм
16,7 мм
17,3 мм
1,568.106
1,48.106
1,409.106
1,347.106
1,294.106
1,268.106
1,238.106
1,546.106
1,461.106
1,394.106
1,335.106
1,29.106
1,267.106
1,377.106
1,526.106
1,444.106
1,38.106
1,324.106
1,287.106
1,268.106
1,402.106
1,507.106
1,429.106
1,367.106
1,314.106
1,284.106
1,313.106
1,529.106
1,489.106
1,415.106
1,356.106
1,306.106
1,284.106
1,325.106
2,074.106
1,473.106
1,402.106
1,345.106
1,298.106
1,284.106
1,34.106
2,311.106
1,458.106
1,39.106
1,336.106
1,292.106
1,285.106
1,358.106
2,682.106
Для этих же значений ε, d находится матрица
средних значений максимальных контактных на
пряжений σe при углах поворота винтового эк
сцентрика от 0 до 180° при заданном размере шири
ны колёс L = 30 мм, и при входном крутящем мо
менте Mвх = 50 Нм.
С помощью интерполяции строится поверх
ность (рис. 2), проходящая через узлы сетки, яв
ляющаяся графиком функции двух аргументов ε, d.
где ri – радиусвектора q точек границы общей ча
сти проекций (рис. 4).
Рис. 3. Проектирование аргументов на плоскость аргумен
тов
Рис. 2. Значения контактных напряжений как график функ
ции двух аргументов
Минимальное значение этой функции – σe
6
=1,2·10
кг·м–1·с–2 при ε=5,4 мм, d=14,6 мм.
мин
Следует отметить, что максимальный КПД и
минимальные значения контактных напряжений
достигаются при разных значениях параметров ε, d.
Для нахождения оптимальных значений ε, d, позво
ляющих получить необходимые КПД и среднее
значение максимально допустимых контактных на
пряжений ?e, создана специальная программа. Сна
чала вводятся величины, равные желаемому КПД
(minkpd) и желаемому контактному напряжению
(maxσe) и проводятся плоскости z=minkpd и z=max)
σe. Затем на поверхностях, изображённых на рис. 1
и рис. 2 оставляются только те точки, которые ле
жат выше (для рис. 1) и ниже (для рис. 2) этих пло
скостей. Оставшиеся части поверхностей проекти
руются на плоскость аргументов ε, d (рис. 3) и опре
деляется граница пересечения этих проекций.
Оптимальные значения ε, d находятся как век
тор Optim (ε,d) по формуле:
1
q
Optim (ε,d)= q ∑ ri ,
i =1
Рис. 4. Точка оптимальных значений
Таким образом, при ε=4,9 мм, а d=16,23 мм по
лучаем при прочих равных условиях наибольший
КПД=96,25 % при контактных напряжениях, не
превышающих σe=1,3·106 кг·м–1·с–2.
Программа и метод расчета могут быть исполь
зованы и для других значений z2, a, L, Mвх. Выбор
другого коэффициента трения изменит только аб
солютное значение КПД, не изменяя оптимальных
значений геометрических параметров, при кото
рых достигается этот КПД.
245
Известия Томского политехнического университета. 2009. Т. 314. № 5
В.М. Кузнецов. Заявлено 09.07.2007; опубликовано 10.11.2008,
Бюл. № 31.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бубенчиков А.М., Щербаков Н.Р. Математическое моделиро
вание динамики нового вида зацепления в передаточных меха
низмах // Известия Томского политехнического университета.
– 2009. – № 5. – С. 241–243.
2. Пат. 2338105 РФ. МПК8 F16H 55/08. Зацепление колес с криво
линейными зубьями (варианты) и планетарная передача на его
основе / В.В. Становской, С.М. Казакявичюс, Т.А. Ремнёва,
Поступила 24.02.2009.
Печатается в авторской редакции
без учета мнений рецензентов
УДК 514.85
КОМПЬЮТЕРНАЯ МОДЕЛЬ ДИНАМИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ
ЗУБЧАТОЙ РЕЕЧНОЙ ПЕРЕДАЧИ С ЗАЦЕПЛЕНИЕМ НОВОГО ВИДА
Н.Р. Щербаков
Томский государственный университет
Email: nrs@math.tsu.ru
Построена математическая модель работы реечной передачи, преобразующей вращательное движение в поступательное и ис
пользующей эксцентриковоциклоидальное зацепление. Механизм состоит из червячного элемента, выполняющего роль гене
ратора, и выходной детали (рейки), построенной на базе циклоиды. Предложенный новый вид зацепления обладает повышен
ными силовыми характеристиками и позволяет получать не высокие скорости перемещения рейки. Создана компьютерная про
грамма, иллюстрирующая кинематически согласованное движение идеальных геометрических фигур – торцевых сечений рабо
тающего механизма и позволяющая находить необходимые для конструирования числовые характеристики, а так же находить
оптимальные режимы функционирования рассматриваемых систем.
Ключевые слова:
Математическое моделирование, реечное зацепление, оптимизация.
Введение
Рассматриваемый передаточный механизм от
носится к зубчатым кинематическим парам, а более
конкретно, к реечным передачам, преобразующим
вращательное движение в поступательное и наобо
рот. Известные реечные передачи – цилиндриче
ские, [1. С.381] червячные и др. имеют либо недо
статочную нагрузочную способность, либо низкий
КПД. Предлагаемый механизм имеет повышенную
нагрузочную способность зацепления при тех же
габаритах, а также возможность получения не высо
ких скоростей перемещения рейки независимо от
габаритов вращающегося колеса (а зависящих толь
ко от углового шага рейки). Устройство может быть
использовано вместо обычных реечных механизмов
в линейных приводах станков, в устройствах руле
вого управления автомобилей, а также в грузопо
дъемной технике (реечные домкраты и т. п.).
Рис. 1.
246
Фрагмент реечной передачи в районе зацепления
Геометрическая модель механизма
На рис. 1 изображён фрагмент реечной переда
чи в районе зацепления её составных элементов.
Передача состоит из колеса – винтового эк
сцентрика и зубчатой рейки. Идеальная поверх
ность винтового эксцентрика получается как гео
метрическое место точек окружности, центр кото
рой перемещается по винтовой линии вокруг оси
вращения колеса. Следовательно, в каждом сече
нии винтового эксцентрика, перпендикулярном
его оси вращения, мы имеем окружность радиуса ρ,
центр которой смещён относительно оси на эк
сцентриситет ε. В таком же сечении рейки получа
ется эквидистанта трохоиды [2] (укороченной ци
клоиды), удалённая по нормалям к трохоиде на ве
личину ρ. Таким образом, поверхность рейки полу
чается смещением такой эквидистанты вдоль оси
эксцентрика с одновременным смещением её в на
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
565 Кб
Теги
зубьями, оптимизация, вида, зацепления, нового, колёс, параметры, криволинейных
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа