close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Основные уравнения термоупругости композиций из оболочек гладко сопряженных между собой.

код для вставкиСкачать
Фундаментальные проблемы теоретической и прикладной механикиа
Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (5), с. 2013–2015
2013
УДК 539.3
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕРМОУПРУГОСТИ КОМПОЗИЦИЙ
ИЗ ОБОЛОЧЕК, ГЛАДКО СОПРЯЖЕННЫХ МЕЖДУ СОБОЙ
 2011 г.
Г.Н. Белосточный
Саратовский государственный технический университет
belostochny@mail.ru
Поступила в редакцию 24.08.2011
Статья посвящена исследованию плавно сопряженных оболочечных композиций с термочувствительной
толщиной с помощью теорий оболочек Лява и Рейсснера, отличающихся точностью. Основными геометрическими объектами, используемыми для построения оболочечных композиций, являются тор, конус, сфера и
цилиндр. Анализ обобщенного вектора положения любой точки на срединной поверхности такой композиции позволяет определить главную кривизну и главные компоненты метрического тензора для срединной
поверхности такой композиции с использованием методов дифференциальной геометрии. Рассматриваются
три типа композиций: открытая, замкнутая и покатая. Несвязанные уравнения термоупругости и собственные краевые условия выводятся из принципа Гамильтона в смещениях и вращениях. Получены уравнения
для температурных функций, входящие в уравнения термоупругости. В качестве примера приводится решение осесимметричной задачи термоупругости для оболочечной композиции из трех элементов.
Ключевые слова: термоупругость, оболочки, сингулярность, композиции.
1. Поле перемещений композиции
с термочувствительной толщиной
2. Обобщенный вектор r ( ϕ, ϑ) положения
любой точки СПК, компоненты
ковариантного метрического тензора
и главные кривизны
Рассмотрим нагретую до температуры
θ(α1α2 α3t) композицию, стандартным образом отнесенную к триортогональным координатам. РасКомпозиция из четырех элементов конус−
крывая ковариантные производные в выражении сфера−цилиндр−сфера (К-С-Ц-С):
для тензора Грина

 1
ctgψ tgϕ

r = R
+ 
− cos ϕ  −
1
 sin ψ (1 + ctgψ tgϕ )  sin ψ

e = (∇ iu j + ∇ j ui + ∇ iu k ∇ ju k ) r i ⊗ r j ,
2
 
ctgψ tgϕ

π
−
H  ϕ −  − ψ   +
после ряда стандартных преобразований получим

sin ψ (1 + ctgψtgϕ ) 

2
выражения для тангенциальных компонент поля
 

π
1   1
перемещений по толщине композиции в рамках
 − 
− cos ϕ  ×
+  tg ϕ −  +
модели типа Рейсснера:
2  sin ψ   sin ψ

 
1 2
u l = u 0 l (α α t ) z l +
π  
1
3π  


+ sin  2ϕ −   −
× H  ϕ −  + 1 +
2   sin ψ
2 


ϕ  h2
h2 2 1 3
1 4  w,l
+ l  z+
z − z −
z +
×
G  4
8Rl
3
12Rl 
Gll
 
1  
3π 
π
 H  ϕ − e1 +
−  tg ϕ −  +
2  sin ψ  
4 
 

1 
εαθ1  2
z −
× − ( 2 + ε(1 + αθ0 )) z −
+


tgϕ
2h 
3Rl z 3 

+ R
+  sin ϕ −
 sin ψ (1 + ctgψtg ϕ) 
 2

αθ0, l
1
+
+
( 2ε + 1) z −
 
tgϕ

π
3

−
H  ϕ −  − ψ   +
2 Gll
3
R
z

l


sin ψ (1 + ctgψtgϕ ) 

2


αθ1,l
1 
π  
3π  

+
( 2ε + 1)  z 3 −
.
+ (1 − sin ϕ) H  ϕ −  + cos  2ϕ −  − 1 ×
4
Gll 6h
3Rl z 
2  
2  


Г.Н. Белосточный
2014
1
k1 = ( H1 − H 2 ),
r

1
cos χ
1 
H 1 +
k2 =
+ 
−
xtgψ  R − r + r cos χ xtgψ 
1

cos χ
 H 2 .
+  +
 R R − r + r cos χ 
3π 

× H  ϕ − (sin ϑe2 + cos ϑe3 ).
4 

Композиция из трех элементов С-Ц-С:


π 

r = R(1 − cos ϕ ) + 1 + tg ϕ −   −
2 



π 
3π 


− (1 − cos ϕ) ]H  ϕ −  + 2 + sin  2ϕ −  −
2 
2 




π   
3π 

− 1 + tg  ϕ −   H  ϕ − e1 + R  sin ϕ +
2   
4 



π  
3π  

+ (1 − cos ϕ) H  ϕ −  + cos 2ϕ −  − 1 ×
2  
2  

3π 

× H  ϕ − (sin ϑe2 + cos ϑe3 ).
2 

Здесь Hi − обобщенные функции Хевисайда, неопределенные и ограниченные в точках ϕ = ϕi
(если параметризация по образующей, как в последнем случае, то в точках x = xi).
Определение обобщенного вектора положения позволяет стандартным образом вычислять
компоненты основного метрического тензора срединной поверхности композиции Gij = r,i ⋅ r, j .
Тогда
G11 = 1, G12 = 0,
G22 = x sin ψ + ( R − r + r cos χ −
− x sin ψ ) H1 + [ R − ( R − r + r cos χ)]H 2 .
На рис. 1 изображена композиция из трех элементов конус−тор−цилиндр. Вектор r ( x, ϑ) запишется в виде
Рис. 1
r ( x , ϑ) = 〈 x cos ψ + ( x1 cos ψ + r sin ψ − r sin χ −
− x cos ψ ) H 1 + ( x − x 2 + x1 cos ψ + r sin ψ −
− x1 cos ψ − r sin ψ + r sin χ) H 2 〉 ξ + cos ϑ ×
× 〈 x sin ψ + ( R − r + r cos χ − x sin ψ ) H1 + [ R −
− ( R − r + r cos χ] H 2 〉 η + sin ϑ〈 x sin ψ + ( R − r +
+ r cos χ − x sin ψ) H1 + [ R − ( R − r + r cos χ]H 2 〉 ζ.
Главные кривизны k1 и k2 определим, исходя
из необходимого и достаточного условия
de3 = −kdr ,
где dr идет по одному из главных направлений.
Выражения для главных кривизн на основании
решения алгебраического уравнения и ряда преобразований примут вид:
По этой же схеме рассматриваются композиции из цилиндрических оболочек и пластин:
r = R{(1 − cos ϕ) + [(1 − tgϕ) − (1 − cos ϕ)]H1 +
+ [(2 + cos(2ϕ)) − (1 − tgϕ)]H 2}e2 + ηe2 +
+ R{sin ϕ + (1 − sin ϕ) H 1 + ( − sin 2ϕ − 1) H 2 }e3 .
Уравнения термоупругости и естественные
краевые условия выводятся из интегрального вариационного принципа Гамильтона с последующей конкретизацией главных кривизн и параметров Ламе. Следует отметить возможность перехода к уравнениям и условиям на линиях контакта дискретной модели. Краевая задача при таком
подходе чрезвычайно громоздка, и использование
аналитических методов анализа приводит к непреодолимым математическим трудностям.
Основные уравнения термоупругости композиций из оболочек, гладко сопряженных между собой
2015
GOVERNING THERMOELASTIC EQUATIONS FOR SMOOTHLY ADJOINED SHELL COMPOSITIONS
G.N. Belostochny
This article is focused upon the research of smoothly adjoined shell compositions with thermo sensitive thickness in
terms of Love and Reissner shell theories that differ in accuracy.
The main geometric objects used to form shell compositions are torus, cone, sphere and cylinder. Examination of the
generalized location vector of any point on the median surface of the composition makes it possible to determine the main
curvatures and main metrical tensor components for the median surface of the composition using differential geometry methods.
Three types of shell compositions are examined: open, closed and gently sloping ones. Uncoupled thermoelastic equations and
natural boundary conditions are derived from the Hamilton principle in terms of displacements and rotations. Equations for
temperature functions included in thermoelastic equations for shell compositions are obtained. The solution of the axisymmetric
thermoelastic problem for three-element shell composition is given as an example.
Keywords: thermoelasticity, shells, singularity, compositions.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
619 Кб
Теги
гладкой, уравнения, термоупругость, между, основные, сопряженное, оболочек, композиций
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа