close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Особенности обоснования раздела дисциплин математического цикла.

код для вставкиСкачать
НАУЧНОЕ ПЕРИОДИЧЕСКОЕ ИЗДАНИЕ «IN SITU» №11/2016 ISSN 2411-7161
Прояева Ирина Владимировна
канд.физ.- математ. наук, доцент ОФ ПГУТИ
г. Оренбург, РФ
Е-mail:docentirina@mail.ru
Преснов Алексей Андреевич
Кан. пед. наук.,доцент ОФ ПГУТИ
г.Оренбург, РФ
presnov.aleksey@mail.ru
Цветкова КристинаЕвгеньевна
канд. пед. наук, доцент ОФ ПГУТИ
г.Оренбург, РФ
Е-mail:ke-tsvetkova@mail.ru
ОСОБЕННОСТИ ОБОСНОВАНИЯ РАЗДЕЛА ДИСЦИПЛИН МАТЕМАТИЧЕСКОГО ЦИКЛА
Аннотация
В статье рассмотрен один из самых актуальных вопросов преподавания школьного курса геометрии –
аксиоматическое построение геометрии. В настоящее время для решения задач по стереометрии в школьном
курсе и при решении задач ЕГЭ всё чаще используется векторный метод. Этот метод решения является одним
из наиболее простых и удобных.
Ключевые слова
Аксиоматическое построение геометрии, вектор, евклидово пространство.
В течение всего периода своего существования как учебного предмета курс геометрии во всех странах
был построен на системе аксиом Евклида. Никакой другой учебный предмет математического цикла не имел
до последнего времени столь древней и столь устойчивой традиции, как геометрия[1].
По мере развития математики многие ученые занимались усовершенствованием логической структуры
геометрии Евклида. Сначала такие усовершенствования вносились в ее отдельные фрагменты, а затем
Давидом Гильбертом (1862-1943) была построена полная система аксиом этой геометрии.
Интересно отметить, что Д.Гильберт не связывает никаких наглядных и чувственных представлений с
понятиями точки, прямой и плоскости. Этими терминами он обозначает произвольные объекты,
удовлетворяющие требованиям, сформулированным в аксиомах.
Дальнейшее исследование аксиоматики Д.Гильберта и возникшая в результате этих исследований идея
о многообразии аксиоматических теорий построения любой геометрии выявили определенные недостатки
этой аксиоматики. В частности, система аксиом Гильберта оказалась неудобной во многих современных
приложениях математики в силу того, что с ее помощью осуществлялось построение только трехмерной
геометрии.
При переходе к геометрии с большим числом измерений система аксиом Гильберта требовала
дополнения ее новыми аксиомами, видоизменения некоторых аксиом, причем число этих дополнений и
изменений возрастало с увеличением числа измерений рассматриваемой геометрии.
Между тем, так называемая п-мерная геометрия стала приобретать все большее значение по мере
возникновения новых возможностей в ее приложениях.
Так, например, в физике, характеризуя состояние тела определенными параметрами, оказалось
возможным рассматривать совокупность этих параметров в качестве точки n-мерной геометрии и трактовать
изменение параметров состояния тела как изменение положения точки в п-мерном пространстве.
Поэтому возникла идея замены системы аксиом Гильберта более компактной и более универсальной
системой [2].
Система аксиом n-мерной геометрии, тесно связанная с понятием векторного пространства, была
предложена в 1917 г. известным немецким математиком Г. Вейлем (1885 – 1955).
15
НАУЧНОЕ ПЕРИОДИЧЕСКОЕ ИЗДАНИЕ «IN SITU» №11/2016 ISSN 2411-7161
Возникшее с работами Н. Бурбаки движение за «алгебраизацию» математики привело к тому, что
особая роль n-мерной геометрии, построенной на основе аксиоматики Вейля, стала подчеркиваться не только
со стороны возможных научных приложений, но и со стороны возможной замены этой геометрией геометрии
Евклида-Гильберта как учебного предмета средней школы.
В качестве основных, неопределяемых геометрических понятий в аксиоматике Вейля принимаются
понятие вектора и точки; в качестве основных отношений вступают сумма векторов, произведение вектора
на действительное число, скалярное произведение векторов и откладывание вектора от точки.
Понятие прямой, плоскости, равенства фигур и т. д. в геометрии, построенной по схеме Вейля,
являются определяемыми. Система аксиом по Г. Вейлю содержит 5 групп аксиом (аксиомы сложения
векторов, умножения вектора на число, скалярного произведения, размерности и аксиомы откладывания
вектора).
Отметим, что при замене группы аксиом размерности аксиомой «существует плинейно-независимых
векторов, но любые (п+1) вектор линейно-зависимы (n-целое неотрицательное число)», возникает важное
понятие евклидова n-мерного пространства.
Действительные евклидовы пространства разделяются на два класса: собственно евклидовы
пространства и псевдоевклидовы пространства (играющие большую роль в теории относительности).
Собственно евклидово пространство при п= 3 представляет собой обычную стереометрию, при n = 2 планиметрию, при п = 1 - геометрию прямой (лонгиметрию).
В системе аксиом Вейля можно получить пространства с любым фиксированным числом измерений (и
вообще, изучать сразу n-мерное пространство), чем устраняет указанное выше неудобство системы аксиом
Гильберта.
Так же, как аксиоматика Д. Гильберта, аксиоматика Г. Вейля представлена в виде нескольких групп
аксиом, которые сами по себе (и в сочетании отдельных групп аксиом друг с другом) определяют весьма
содержательную геометрию.
Так, например, группы аксиом (сложение векторов, умножение вектора на число, размерности и
откладывание вектора) и их следствия определяют n-мерное аффинное пространство (аффинную
геометрию), 1, 2 и 5 группы аксиом (сложение векторов, умножение вектора на число, откладывание вектора)
и их следствия, вводят векторное пространство, незначительное изменение аксиом скалярного произведения
приводит нас к псевдоевклидовой геометрии (к понятию псевдоевклидового пространства); переименование
объектов связки трехмерного векторного пространства (точками назовем «прямые» - одномерные
пространства; прямыми - плоскости) приводит к проективной геометрии; аналогичное переименование
объектов трехмерного евклидова пространства приводит к геометрии Б. Римана, а трехмерного
псевдоевклидова - к геометрии Н. И. Лобачевского. Таким образом, аксиоматика Г. Вейля по возможности
развития содержащихся в ней идей значительно превосходит аксиоматику Д. Гильберта, то есть позволяет
излагать все вопросы евклидовой и неевклидовой геометрии, а так же вопросы проективной геометрии,
руководствуясь при этом общей точечно - векторной аксиоматикой[3].
Список использованной литературы:
1. Прояева И.В. Компетентностный подход в преподавании математических дисциплин на инженерных
специальностях. //Материалы I Международной очно заочной конференции. Реализация компетентностного
подхода в сфере инженерной подготовки. Оренбург, ПГУТИ, 2015, с. 140-141
2. Прояева И.В.О методе координат. //Материалы XIV Международной научно-практической конференции.
Россия и Европа: связь культуры и экономики. 2016, с. 284-285.
3. Прояева И.В.,Сафарова А.Д. Решение стереометрических задач: учебное пособие/ Оренбург: изд-во ОГПУ,
2014.-59 с.
©Прояева И.В., Преснов А.А., Цветкова К.Е., 2016
16
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
8
Размер файла
865 Кб
Теги
особенности, дисциплины, раздел, обоснование, цикл, математические
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа