close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Оценка возможности применения сингулярных чисел для классификации цифровых изображений площадных объектов земной поверхности.

код для вставкиСкачать
УДК 528.7:004.93’1 Вестник СПбГУ. Сер. 7. 2013. Вып. 4
А. А. Симинеев, Н. А. Позднякова, Е. И. Тарасова
ОЦЕНКА ВОЗМОЖНОСТИ ПРИМЕНЕНИЯ СИНГУЛЯРНЫХ ЧИСЕЛ
ДЛЯ КЛАССИФИКАЦИИ ЦИФРОВЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ
ПЛОЩАДНЫХ ОБЪЕКТОВ ЗЕМНОЙ ПОВЕРХНОСТИ
Изображение земной поверхности на цифровом снимке представляет собой
растр: матрицу B = (bi,j)m,n, состоящую из отдельных элементов (пикселов) bi, j, записанных в m строк (i = 1, 2, …, m) и n столбцов (j = 1, 2, …, n). Каждый пиксел характеризуется своим местоположением (i, j) и яркостью bi, j. Множества таких элементов,
объединенных по величине яркости, образуют на снимке изображения отдельных
объектов земной поверхности.
Для распознавания объектов по их изображениям применяются различные методы компьютерной классификации [1], в том числе и с использованием сингулярного разложения матриц (общепринятая аббревиатура — SVD) [2]. Несмотря на то,
что SVD-разложение, возможно, является самым важным матричным разложением
из всех известных [3], оно не нашло широкого применения в отечественной практике компьютерного анализа изображений.
Выделим в матрице B подматрицу Bk, состоящую из k строк и k столбцов
(k < min (m, n). Тогда ее сингулярное разложение имеет вид [2, 3]
Bk = U ΣV T ,
(1)
где U, V T — ортогональные матрицы размера (k × k), символ тильда у матрицы V
введен для отличия матрицы от вектора поправок V (см. ниже); T — верхний индекс,
обозначающий операцию транспонирования матриц;
⎛ σ1
⎜
∑ =⎜
⎜
⎜⎜
⎝0
σ2
0 ⎞
⎟
⎟ — диагональная матрица размера (k × k);
⎟
⎟
σk ⎟⎠
σ1 , σ2 , , σk — сингулярные числа (σ1 ≥ σ2 ≥ ≥ σk > 0).
В отличие от матриц U и V , обладающих свойствами лишь частичной однозначности, сингулярные числа σi (i = 1, 2, …, k) определяются однозначно [3]. Известно [2,
3], что количество чисел σ ≠ 0 соответствует рангу матрицы, а ее число обусловленСиминеев Алексей Александрович — кандидат технических наук, доцент, Санкт-Петербургский
государственный университет; e-mail: simineev.aa@gmail.com
Позднякова Наталия Александровна — старший преподаватель, Санкт-Петербургский государственный университет; e-mail: qlnat@mail.ru
Тарасова Евгения Ивановна — студент, Санкт-Петербургский государственный университет;
e-mail: evgenia59-007@mail.ru
© А. А. Симинеев, Н. А. Позднякова, Е. И. Тарасова, 2013
162
ности κ2 = σmax/ σmin (где σmax, σmin — максимальное и минимальное сингулярные
числа).
Существующие методы распознавания, использующие SVD-разложение, основываются на применении всех матриц разложения (1). Так, в [4] предлагается
использовать наборы троек, состоящих из сингулярного числа и соответствующих
ему левого и правого сингулярных векторов матриц U и V . В [5] предварительно
вычисляется нормальная матрица BTB, а затем ее полное сингулярное разложение.
Однако вычисление матриц U и V связано с некоторым произволом [3], что может
сказаться на результатах и привести к определенным сложностям при повторении
вычислений в других условиях. Кроме того, известно [2], что числа обусловленности матриц В и BTB связаны соотношением κ2(BTB) = (κ2(B))2. Поэтому в случае
плохой обусловленности матрицы В обусловленность матрицы BTB будет во много
раз хуже. Вследствие чего переход к нормальным матрицам представляется необоснованным.
Рассмотрим возможность распознавания площадных объектов местности с использованием только одной матрицы разложения (1), а именно матрицы ∑. В качестве тест-объекта выберем участок соснового леса природного парка «Самаровский
чугас», расположенный в Ханты-Мансийском автономном округе. Территория заповедника покрыта материалами съемки, выполненной 12 мая 2000 г. космической
съемочной системой Landsat-7 в панхроматическом, а также зеленом (З), красном
(К) и ближнем инфракрасном (ИК) диапазонах спектра [6]. Основные характеристики снимков приведены в табл. 1.
Таблица 1. Характеристики цифровых снимков тест-объекта
Параметры съемки
и название характеристик
Высота орбиты, км
Время съемки (местное солнечное), час ± мин.
Спектральный диапазон, мкм
Фокусное расстояние, см
Пространственное разрешение в надир, м
Радиометрическое разрешение, бит на пиксел
Режим съемки
панхроматический
многозональный
705
10 ± 15
0,52–0,90
0,53–0,61 (З)
0,63–0,69 (К)
0,78–0,90 (ИК)
243,8
14,25
28,50
8
Изображение тест-объекта на панхроматическом снимке размером 32 × 32 пиксела разобьем на четыре равные части (элементарные участки). Схема расположения
тест-объекта и контрольных полигонов приведена на рис. 1.
Сингулярное разложение матрицы яркостей первого участка размером
16 × 16 пикселов выполним с помощью программы svd [7], особенностью которой
является то, что, в отличие от теории [2, 3], числа σi не упорядочиваются по величине (табл. 2).
163
Рис. 1. Изображение тест-объекта и контрольных полигонов на фрагменте
цифрового снимка.
Условные обозначения: 1 — населенный пункт Ханты-Мансийск; 2 — граница
природного заповедника «Самаровский чугас»; 3 — тест-объект (1–4 номера участков);
4 — контрольные полигоны (9 — номер полигона).
Таблица 2. Значения сингулярных чисел матрицы яркостей
Номер Значение Номер Значение Номер Значение Номер Значение
1
2
3
4
648,709
38,892
34,684
32,177
5
6
7
8
25,023
21,606
20,274
18,224
9
10
11
12
15,188
13,719
12,425
10,192
13
14
15
16
6,177
1,371
3,439
2,831
Из табл. 2 видно, что σ1 = 648,709 значительно отличается по величине от остальных сингулярных чисел. Кроме того, начиная с σ15, нарушается естественный порядок убывания их значений.
Исключив σ1 из дальнейшей обработки, расставим сингулярные числа в порядке их убывания и определим уравнение прямой σ(x) = a0 + a1(x), аппроксимирующей
множество точек (i, σi), i = 2,…,16, взятых из табл. 2.
16
Решив указанную задачу под условием
∑(σi − σ(xi ))2 = min,
где xi = i, найдем
i =2
значения параметров: a0 = 40,46, a1 = –2,5974. Параметр a1 = tg ϕ , где φ — угол наклона аппроксимирующей прямой к оси абсцисс. Очевидно, что ϕ = arctg(a1 ) = – 68°57′.
Учтя вычисленные значения параметров, составим уравнение искомой прямой:
σ(x) = 40,46 – 2,5974 x и нанесем его на график (рис. 2).
Для оценки точности найденных значений параметров в последнем приближении вычислим вектор поправок V, определим квадратичную форму VTV и матрицу
весовых коэффициентов Q. Затем найдем средние квадратические ошибки (СКО)
параметров [8]
ma j = μ Q jj ,
164
(2)
где μ =
V TV
— ошибка единицы веса; n — количество
n − 2
сингулярных чисел (n ≤ k–1); Qjj(j = 1, 2) — диагональные
элементы матрицы Q.
Выполнив необходимые действия, по формуле (2)
найдем: ma0 = 2,1, ma1 = 0,13. Аналогично вычислим значения сингулярных чисел, средние значения яркости b
и параметры аппроксимирующих прямых для остальных
участков тест-объекта. Обобщенные результаты экспериментальных исследований приведены в табл. 3.
Анализ данных табл. 3 показывает, что максимальное отклонение углов наклона φ от среднего значения
(–69°00´) не превышает 13´. В ходе вычислений было установлено, что количество сингулярных чисел, используемых для решения задачи, влияет на близость параметра
a0 к среднему значению яркости b. Вследствие чего при
определении параметров аппроксимирующих прямых использовалось различное количество сингулярных чисел.
Кроме того, сравнение чисел обусловленности, приведенРис. 2. Сингулярные
ных в табл. 3, показывает, что матрицы яркостей третьего числа и прямая, аппроксии четвертого участков плохо обусловлены. Объясняется мирующая их значения.
это тем, что на указанных участках имеются небольшие
поляны, элементы изображения которых bi, j близки друг к другу по своей величине (яркости), существенно отличающейся от окружающего фона. Исправив яркости
пикселов, соответствующих названным объектам, можно существенно улучшить
обусловленность и сходимость результатов. Отметим также, что общее изменение
фона практически не оказывает влияния на значения параметров. Так, увеличение
яркостей всех пикселов матрицы Bk на 4 единицы приводит к изменению угла φ на
пренебрегаемо малую величину равную 20˝, при этом параметр a0 остается без изменений.
Таблица 3. Результаты обработки панхроматических изображений тест-объекта
Номер Номера
участка
σi
1
2
3
4
2–16
3–16
2–16
3–16
Параметры прямой
a0
40,46
40,06
40,20
41,46
a1
–2,5974
–2,5759 –2,6171
–2,6350
СКО
ma1
0,13
0,14
0,15
0,08
Угол наклона
φ, град., мин.
–68 57
–68 47
–69 05
–69 13
Среднее
значение b
40,45
40,96
41,30
41,32
Число
обусловленности κ2
473,14
332,79
6377,52
15335,58
Тест-объект, помимо панхроматического, покрыт многозональными снимками,
пространственное разрешение которых в два раза хуже (см. табл. 1). Вследствие чего
изображение элементарных участков на них имеет размер 8 × 8 пикселов. Определим
по приведенной выше методике параметры прямых, аппроксимирующих сингулярные
165
числа матриц яркостей спектральных образов первого участка. Результаты вычислений приведены в табл. 4.
Таблица 4. Результаты обработки многозональных снимков
Спектраль- Номера
ный диапазон
σi
З
К
ИК
3–7
2–7
2–8
Параметры прямой
a0
a1
СКО
ma1
28,22
27,34
18,75
–3,8205
–3,2515
–2,5120
0,32
0,58
0,34
Угол наклона
φ, град., мин.
Среднее
значение b
Число
обусловленности κ2
–75 20
–72 54
–68 18
51,38
43,08
46,62
2410,73
193,91
15392,83
Из сравнения табл. 3 и 4 следует, что параметры a1 близки по величине только
для инфракрасного и панхроматического снимков с изображением одного и того же
участка леса.
Оценка возможности применения сингулярных чисел для классификации изображений других объектов местности на панхроматическом снимке приведена
в табл. 5.
Из табл. 3 и 5 следует, что изображения различных объектов местности имеют параметры a0 и a1, отличающиеся друг от друга. Указанный фактор позволяет
использовать названные величины в качестве признаков для распознавания объектов по их изображениям. Классификация объектов по рассматриваемым признакам
приведена на рис. 3, где вместо параметра a1 для наглядности показан модуль угла
наклона |φ| = |arctg (a1)|.
Таблица 5. Результаты обработки изображений контрольных полигонов
Название и номера полигонов
Болото, 5
6
7
Городская застройка, 8
9
10
Лес, 11
Водная поверхность, 12
13
14
Параметры прямой
a0
a1
29,16
28,17
29,18
53,04
56,01
51,15
36,88
25,89
26,77
25,13
–1,9242
–1,7936
–1,8109
–3,3585
–3,4092
–3,2349
–2,6372
–1,7095
–1,7488
–1,7232
Угол наклона Среднее
φ, град., мин. значение b
–62 32
–60 52
–61 06
–73 25
–73 39
–72 49
–69 14
–59 40
–60 14
–59 52
46,38
47,48
47,30
51,36
55,46
50,64
36,73
30,18
29,78
29,78
Число
обусловленности κ2
17121,92
2016,16
499,50
578,89
473,31
908,27
4669,20
814,45
688,29
8768,89
Анализ рис. 3 показывает, что поле признаков таких площадных объектов, как
сосновый лес, застроенные территории, болото, водная поверхность реки Иртыш
представляют собой замкнутые, непересекающиеся области, т. е. могут быть уверенно классифицированы с помощью предлагаемых параметров a0 и a1. Более четкое
различение водной поверхности от болота возможно с привлечением средних зна166
Рис. 3. Двумерное поле признаков
площадных объектов местности.
чений яркости b или снимка в ближней инфракрасной зоне. Так, в ИК-диапазоне
модули |φ| для указанных объектов (13 и 6 участки) соответственно равны 32°45´ и
51°44´.
Таким образом, параметры a0 и a1 прямых, аппроксимирующих сингулярные числа матриц яркостей, не зависят от изменения общего фона изображений и могут быть
использованы в качестве признаков для распознавания площадных объектов местности по их изображениям на цифровых снимках, в том числе и разновременных.
Литература
1. Шовенгердт Р. А. Дистанционное зондирование. Модели и методы обработки изображений /
пер. с англ. М.: Техносфера, 2010. С. 428–474.
2. Деммель Дж. Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения / пер. с англ. М.: Мир,
2001. 430 с.
3. Уоткинс Д. С. Основы матричных вычислений / пер. с англ. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний,
2006. С. 282–302.
4. Гальяно Ф. Р. Алгоритм классификации участков поверхности Земли на основе сингулярного
разложения матриц // Информационные технологии. 2010. № 12. С. 35–37.
5. Прэтт У. Цифровая обработка изображений / пер. с англ. М.: Мир, 1982. Т. 1. 310 с.; Т. 2. 790 с.
6. Global Observatory for Ecosystem Services. Michigan State University.USA. URL: http://35.8.163.34/?
version=Website&sensor=ETM&path=159&rpw=017 (дата обращения: 03.07.2009)
7. Куштин И. Ф., Куштин В. И. Геодезия: учеб.-практ. пособ. Ростов н/Д: Феникс, 2009. 909 с.
8. Форсайт Дж. Машинные методы математических вычислений / Дж. Форсайт, М. Малькольм,
К. Моулер. М.: Мир, 1980. С. 248–256.
Статья поступила в редакцию 19 июня 2013 г.
167
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа