close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Оценки погрешности линеаризации в критических случаях.

код для вставкиСкачать
имело единственное решение. Для этого
приравняем дискриминант к нулю:
y
4l 4 xP2 - 4(1 - l2 )[c2 - l2 (xP2 + yP2 )] = 0.
Отсюда
l2 xP 2
+
l2 yP2
Р(x Р ; yР )
0
= 1.
Е (0; с)
(2)
c2
(1 - l2 )c2
Искомая граница является верхней половиной эллипса (2). Внутренность эллипса,
лежащая в полуплоскости S, является выигрывающим множеством игрока Р в позиции
Е0.
Заметим, что в данном случае абсцисса
точки касания окружности Аполлония для начальных положений z1 = (xP ; yP ), z20 = (0; c)
x=-
l2
1 - l2
М ( x; 0)
О
х
Р и с. 2
xP .
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Петросян Л. А. Геометрия простого преследования / Л. А. Петросян, Г. В. Томский. — Новосибирск : Наука, 1983. — 144 с.
Поступила 10.03.2012.
УДК 517.977.8:53.088
ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТИ ЛИНЕАРИЗАЦИИ
В КРИТИЧЕСКИХ СЛУЧАЯХ*
О. В. Дружинина, В. Н. Щенников, Е. В. Щенникова
Объектом исследования является многосвязная нелинейная система дифференциальных уравнений, для которой построены верхние оценки на решения и найдена оценка
погрешности ее линеаризации. Следует отметить, что система первого приближения
является также нелинейной. Рассматриваемая система является более общей по сравнению с системами, описывающими критические случаи k нулевых и 2h чисто мнимых
корней.
Рассмотрим нелинейную многосвязную
систему дифференциальных уравнений
dxs
m
m
= Xs xs + X1s t, x1, ..., xq +
dt
+
q
е Xsj
j =1
m+a t, x1, ..., xq + D s t є
є Ms t, x + D s t (1)
© Дружинина О. В., Щенников В. Н., Щенникова Е. В., 2012
* Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований
(РФФИ) (проект № 10-08-00826-а).
Серия «Физико-математические науки»
113
с начальными условиями
(x1T (t0 ) , ..., xqT (t0 ))
T
= x (t0 ) = x (t0 ) - (t0 ) = x0.
m
m
Здесь Xs xs : Rns ® Rns и X1s t, x1, ...,
nq
n1
+
..., xq : R ґ R ґ ... ґ R ® Rns , s = 1, q ,
)
nq
n1
ns
xs О R , R
Е ... Е R
n
+
R = {t : t і
=R ,
T
і t0 > 0} , x = x1T , ..., xqT , векторные функm
m
ции Xs xs и X1s t, x1, ..., xq являются
непрерывными по совокупности переменных,
кроме того, непрерывно дифференцируемыми
по переменным x1, ..., xq. Векторные функции
Xsj
m+a t, x1, ..., xq : R+ ґ Rn
1
(s, j = 1, q),
nq
ґ ... ґ R
® Rns
m
Xs xs определяют связи в
подсистемах, а X1s t, x1, ..., xq
m
описывают
взаимосвязи подсистем, т. е.
m
m
x& s = Xs xs + X1s t, x1, ..., xq , s = 1, q,
векторные
m+a
Xsj
t, x1, ..., xq :
функции
Будем предполагать, что справедливы неравенства
X1s t, y1, ..., yq
m
Xsj
m+a ные
векторные
функции,
D s t Ј D% s , D s > 0, Ms t,0 є 0, s = 1, q.
Верхний индекс Т означает транспонироваp
ние, а индекс m = > 1, p и q — нечетные,
q
m
указывает на порядок однородности Xs xs m
и X1s t, x11, ..., x1q , для векторных функ-
(
ций
)
m+a Xsj
t, x1, ..., xq
верхний индекс
m + a, 0 < a = const также указывает на однородность относительно x1, ..., xq. Всюду
в дальнейшем будем считать, что норма вектора является евклидовой.
В качестве системы первого приближения по отношению к системе (1) примем систему
dys
m
m
= Xs ys + X1s t, y1, ..., yq + D s t , (2)
dt
для которой
(
x1T
t0 ,
...,
xqT t0
T
)
T
= x t0 =
= y (t0 ) = y1T (t0 ) , ..., yqT (t ) , s = 1, q. По существу, система (2) является линеаризованным вариантом системы (1).
114
m +1-m
c1s ys
j =1
yq
yj
q
Ј е bsj
j =1
Ј Vs ys Ј c2 s ys
gradVs y2 Ј c3 s ys
dVs
Ј -c4 s ys
dt 8 )
ограниченные
t, y1, ...,
q
Ј е a1sj
yj
m
(3)
,
m+a
(4)
при x j Ј rj , е qj =1 rj2 = r. Здесь а1sj и bsj —
некоторые положительные вещественные
числа и, кроме того, а1sj достаточно малы [3],
s, j = 1, q.
Предположим, что нулевое решение систем
dys
(5)
= Xs m ( ys ) , s = 1, q.
dt
асимптотически устойчиво. Тогда согласно
теореме об асимптотической устойчивости
Зубова — Красовского [2, гл. 1; 3; 4] для
каждой системы (5) существует функция Ляпунова, удовлетворяющая условиям:
: R + ґ R n обладают теми же свойствами, что
m
и X1s t, x1, ..., xq , D s t — непрерыв-
(
m -m
m +1-m
,
,
(6)
m
q
при ys Ј rs ,
е s =1 rs2 = r, s = 1, q. Здесь
m — достаточно большое четное вещественное положительное число; с1s, с2s, с3s, с4s —
постоянные положительные вещественные
числа, s = 1, q.
С целью получения искомых оценок
найдем вначале верхние оценки на решения
системы (1). Для этого зададим функцию
Ляпунова для системы (1) в виде
V x =
q
е dsVs xs ,
s =1
(7)
где ds > 0 — вещественные числа. Здесь Vs
(xs) удовлетворяет условиям (6).
Найдем далее
dV
=
dt 1
Ј
q
е ds - c4 s
j =1
q
е ds
s =1
xs
m
dVs xs Ј
dt
+ gradVs xs ,
m
X1s t, x1, ..., xq +
q
е
j =1
m+a ґ
Xsj
(8)
ґ t, x1, ..., xq + D s t .
ВЕСТНИК Мордовского университета | 2012 | № 2
Очевидно,
=
V x0 = V0 =
что
q
q
е dsVs x0 =
s =1
е dsVs0.
Исходя из определения функции V(x) в
виде (10), всегда можно найти положительные вещественные числа а1, а2, а3 и а4 такие,
что будут выполняться неравенства:
s =1
С учетом оценок (3), (4), (6) и ограничений на Ds(t) неравенство (8) преобразуется
в неравенство
ж
dV
Ј е ds з ( -c4 s + c3 s a1ss ) xs
з
dt 1 j =1 и
q
+ c3 s xs
m -m
ж q
з е a1sj x j
з j =1
и
ж q
ґ з е bsj x j
з
и j =1
m+a
m
+ c3 s xs
m
Ј
+
m -m
Ј
(9)
ґ
ццц
+ D s ч ч ч .
ччч
шшш
q,q
1,1
= c3sb1sj . Матрица W1 является матрицей
Метцлера [1, с. 199—207]. Будем считать,
что величины а1sj такие, что разности
-c4 s + c3 s a1sj будут отрицательными при s =
= j, т. е. -c4 s + c3 sa1ss < 0 и, кроме того,
существуют такие значения постоянных
ds s = 1, q , для которых справедливы неравенства:
2
+ dq c31a1q1 < 0, v = d1c32a112 +
M
+ dq (-c4q + c3qa1qq ) < 0.
x і
1
Серия «Физико-математические науки»
m +1-m
Ј
,
1Ј s Ј q
r
1 m +1-m a4 ,
x Ј
r
1 m +1-m a3 .
(12)
m +a
+
(13)
3
ные числа, D =
q
е D s .
s=1
ж
va5
dr
1
зЈ
rm +
dt m + 1 - m з a m +a m +1-m и
4
+
q
1
v , ..., v < 0,
1
q
s =1
dV
m
Ј -a5v x + a6v1 x
dt 1
m -m
+ c D x
,
Очевидно, что справедливы неравенства:
1
1
Ј a2 е xs
m +1-m
Перепишем далее неравенство (9) с учетом
неравенств (10) и (11). В результате получим неравенство
j = 1, q.
{
}
v = max {v , ..., v } > 0.
xs
q
Введем преобразование r = V1 m +1-m . Тогда
исходя из преобразования и условий (11)
будем иметь:
Далее введем обозначение
-v = max
(11)
m +1-m
С учетом введенного преобразования и
неравенства (12) в неравенстве (13) перейдем к одной неизвестной функции r = r t ,
т. е.
q
v = d1c3qa11q1 + d2c3qa12q + ... +
е ds c3sbsj ,
Ј V x Ј
где а5, а6 и с3 — положительные веществен-
+ d2 (-c42 + c31a122 ) + ... + dqc31a1q2 < 0,
s =1
е dsc2s
m +1-m
xs
1Ј s Ј q
1
v = d1 - c11 + c31a111 + d2c31a121 + ... +
vj =
s =1
Ј
a1 = min {ds c1s }, a2 = min {ds c2 s }.
,
1,1
q
q
s =1
m +1-m
s =1
е dsc1s
q
q
Ј a1 е xs
где
1
где wsj
= -c4s + c3sa1sj при s = j, а при s № j
1 c a
2 q,q , где w 2 =
wsj
= 3 s 1sj и W2 = wsj
sj
1
m +1-m
Ј a4 x
1
Введем в рассмотрение матрицы W1 = wsj
a3 xs
(10)
ц
v1a6c3
c3 D
ч,
rm+a +
m +a m +1-m m -m m +1-m ч
a3
a3
ш
дифференциальное уравнение сравнения для
которого имеет вид:
115
}
(141)
u11 m v, v1, a3, a4, a5, a6, c3 ж
va
du
1
m
5
зu +
=
dt m + 1 - m з a m +a m +1-m 1 m +1-m
и 4
x0 Ј u21 m ( v, v1, a3, a4, a5, a6, c3 ) .
(14) при a4
ц
Перейдем к построению искомой оценки
v1a6c3
c3um+a D
ч є F (u ) .
um+a +
+
m +a m +1-m m -m m +1-m ч
погрешности
линеаризации системы (1). Для
a3
a3
ш
этого введем в рассмотрение систему
Здесь r0 = r t0 = V1 m +1-m x1 t0 , ...,
1 m +1-m xq t0 = V
t0 Ј
a14 m +1-m
x0 .
de s
= Xs m ys t + e s - Xs m ys t +
dt
m
+ X t, y t + e , ..., y t + e -
При-
1 1
- Xs m t, y1 t , ...,
Постоянная a4 определяется из уравнения
1 m +1-m V t0 = a41 m +1-m x0 . Тогда по теореме сравнения [1, гл. 5; 5, гл. 1] имеем:
r t Ј u t при t і t0.
Пусть алгебраическое уравнение
F u = 0
в области u і 0 имеет решение. В данном
случае их будет не более двух, т. е. u11 m v,
q
+ е Xsj
m+a j =1
t,
через
Ј
u21 m
Ч
и
Ч .
Пусть 0 Ј
u11 m
Ч Ј
Ч .
(
) (
)
m
Отсюда следует, что u11 Ч является асимптотически устойчивым положением равновесия уравнения (17), а u21 m Ч — неустойчи-
вым. Значит, решение u t, t0, u0 уравнения
u11 m Ч
(17) монотонно стремится к
u0 < u21 m Ч и t - t0 ® +Ґ.
при
Так как r t Ј u t при t і t0 і 0, причем r0 = r t0 = u t0 = u0, то с учетом неравенств (13) и (11) следует верхняя оценка
на решения системы (1), т. е.
116
(15)
yq t +
x1 t , ..., xq t , s = 1, q.
)
yq (t ) , e1, ..., e q +
q
+ е Xsj
m+a j =1
(t, x1 (t ) ,
(16)
..., xs (t ) ) ,
где j s e s , ys t = Xs m ys t + e s - Xs m ys t ,
(
1m
1m
м
пі 0 при 0 Ј u Ј u1 ( Ч) Щ u і u2 ( Ч) ,
F (u) = н
пЈ 0 при u11 m ( Ч) Ј u Ј u1 m ( Ч) .
о
2
t іt0
)
j1s t, y1 (t ) , ..., yq (t ) , e1, ..., eq =
Очевидно, что
sup x t, t0, x0 Ј
q
(
a6, c3 . В дальнейшем будем их обозначать
u21 m
Здесь e s t = xs t - ys t , s = 1, q. Так как
xs t0 = ys t0 , то e s t0 = 0, s = 1, q.
Систему (15) можно записать в виде:
de s
= j s (e s , ys (t ) ) + j1s t, y1 (t ) , ...,
dt
v1, a3, a4, a5, a6, c3 , u21 m v, v1, a3, a4 , a5,
u11 m
q
1s
r0 = r t0 = u0 = u t0 = a41 m +1-m x0 .
мем
a3 1
1 m +1-m {
max a4 1 m +1-m x0 ,
m = X1s t, y1 t + e1, ..., yq t + eq -
- X1s t, y1 (t ) , ..., yq (t ) , s = 1, q.
m
(
)
Предположим, что для каждой системы
d es
= js (e s , ys (t ) ) , s = 1, q
dt
существует функция Ляпунова
удовлетворяющая условиям:
1) a1s Y es
2)
3)
(17)
V1s t, es ,
Ј V1s t, es Ј a2 s Y es ;
¶V1s t, es Ј M1s ;
¶es
dV1s t, es Ј -c1s Y es
dt
17 (18)
при
e s Ј 2rs , s = 1, q,
ВЕСТНИК Мордовского университета | 2012 | № 2
где a1s , a2 s , c1s и Ms — положительные
вещественные числа, функция Y Ч — не-
dV1
Ј
dt 16 ограниченно строго возрастающая, Y 0 = 0.
Будем считать, что при ys О Rns , e s О Rns и
t і t0 і 0 справедливы неравенства:
(
)
4) j1s t, e1, ..., e q, y1 (t ) , ..., yq (t ) Ј
Ј
q
е Bsj Y ( e j
),
j =1
q
m+a j =1
q
Ј е bsj x j (t )
(t, x1 (t ) ,
m+a
j =1
..., xs (t ) ) Ј
,
y j Ј rj ,
e j Ј 2rs . Тогда с
учетом неравенств 4 и 5 и того, что для каждой системы (17) существует функция Ляпунова, удовлетворяющая условиям (18), будем
иметь:
dV1s
Ј -c1s Y e s
dt 16 m+a j =1
Ј -c1s Y e s
q
q
q
j =1
j =1
(21)
m+a
1
+ е ds M1s е bsj x j (t )
, s = 1, q.
q
+ Ms е Bsj Y e j
j =1
m+a
j =1
мп-c1s + M1s Bsj при s = j,
m1sj = н
поM1s Bsj при s № j.
Матрица M есть матрица Метцлера [1,
с. 199—207]. Пусть -c1s + M1s Bsj M < 0 при
s = j и существуют такие ds (s = 1, q), при
которых выполняются неравенства:
1
1
1
v2 = d1 -c11 + M11B11 + d2 M12 B21 + ... +
M
q
1
1
v2 = d1 M11B1q + ... + dq-1Mq -1,q + ... +
1
+ dq (-c1q + M1q Bqq ) < 0.
(19)
{
}
Тогда -v2 = max v21, ..., v21 < 0. Выберем
+
положительные вещественные числа a1(1),
a2(1), a3(1), a41 такими, чтобы выполнялись
нервенства:
, s = 1, q.
q
1
1
1
a3 Y e Ј a1 е ds Y e s
s =1
Для системы (16) выберем функцию Ляпунова в виде:
V1 (t, e ) =
, в которой
1
+ dq M1q B1q < 0,
+
t, x1 t , ..., xq t Ј
+ M1s е bsj x j t q,q
1,1
s
q
кл
( )
+ grade V1s t, es ,
Y1s t, y1 t , ..., yq t , e1, ..., eq
+ е Xsj
j =1
q
щ
+ M1s е Bsj Y e j ъ +
ъы
j =1
M = m1sj
где Вsj и bsj — положительные вещественные числа при
й
Далее применим тот же прием, что и при построении верхней оценки на решения системы (1), т. е. введем в рассмотрение матрицу
Xsj
е
5)
q
1
е ds к-c1s Y es +
q
е ds Vs (t, e s ) ,
1
Ј
(20)
j =1
1
где ds > 0, s = 1, q. Учитывая неравенства
(18), условия 4 и 5, а также задание функции
Ляпунова V1 t, e в виде (20), из неравенств
(19) получим:
Ј
Ј
q
1
е ds a1s Y ( e s ) Ј V1 ( t, e ) Ј
s =1
q
q
s =1
s =1
(211)
1
1
е ds1a2 s Y ( e s ) Ј a2 е ds Y ( e s ) Ј
1
Ј a4 Y e .
Тогда неравенство (21) примет вид:
Серия «Физико-математические науки»
117
dV1
v
Ј - 2 V1 t, e +
1
dt 16 a2 q
ґ M1s е bsj x j t Исходя из определения функции Ляпунова
в виде (23) и с учетом неравенств (211) и
(241), получим искомую оценку, т. е.
q
1
е ds ґ
j =1
m+a
j =1
(22)
.
q
q
е ds M1s е bsj
1
j =1
j =1
x j t m+a
(23)
с начальным условием
r (t0 ) = r (t ) = V1 (t0, e0 ) =
1
= q е ds Vs (t0, e0 ) = V10.
s =1
Отметим при этом, что e t0 = 0. Значит,
V10 = 0.
Применяя снова теорему сравнения, получим:
V t, e t Ј r t при t і t0 і 0.
a2 1
q
е
v2
s, j =1
V1 (t, e (t ) ) Ј
v2
q
е
s, j =1
(24)
s, j
Введем в рассмотрение величины v3 =
1
= ds Ms bsj . Пусть
1Ј j,s Ј q
{v } > 0.
s, j
3
Тогда неравенство (24) получит вид:
V1 (t, e (t ) ) Ј
a2 v3
1
v2
q
е
s, j =1
x j (t )
m+a
{
ґ max a4 1 m +1-m x 0 , u11 m ґ
}
ґ ( v, v1, a3, a4, a5, a6, c3 ) щ
ъы
(242)
m+a ц
ч.
ч
ш
Таким образом, доказана теорема.
Теорема. Пусть:
а) xs = 0 — положения равновесий системы x& s = Ms t, x , (s = 1, q);
б) выполнены все ограничения на правые части системы (1);
в) для систем (5) и (17) существуют
функции Ляпунова Vs t, s и V1s t, e s ,
удовлетворяющие соответственно условиям
(6) и (18) (s = 1, q);
г) алгебраическое уравнение F u = 0 в
д) a41 4 x0 Ј u21 4 ( v, v1, a3, a4, a5, a6, c3 ) .
m+a
1
ds Msbsj x j (t )
при t і t0.
v3 = max
v2
жй
1
Y -1 з к
ґ
з к a1 m +1-m ил 3
a3, a4, a5, a6, c3 Ј u21 4 v, v1, a3, a4, a5, a6, c3 ;
m+a
1
ds Msbsj x j (t )
,
из которого следует неравенство:
1
a2 1
области u і 0 имеет решения 0 Ј u11 4 v, v1,
Интегрируя уравнения (23), находим:
r (t ) Ј
a2 a6v3
t іt0
Дифференциальному неравенству (22) соответствует
дифференциальное
уравнение
сравнения
dr
v
= - 2 r +
1
dt
a2 sup e t Ј
. (241)
Тогда:
1) решения системы (1) существуют для
всех t і t0 і 0;
2) справедливы оценки (141) и (242).
Замечание. Исходная система (1) является более общей по сравнению с системами
дифференциальных уравнений в критических случаях. Однако если одна из векторm
ных функций XS окажется линейной, то
такая система будет описывать критический
случай qs нулевых корней [2; 6]. Также можно рассматривать другие критические случаи. Метод получения верхних оценок в
критических случаях и оценок погрешностей
линеаризации совпадает с разработанным в
данной работе методом построения указанных оценок.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Воронов А. А. Введение в динамику сложных управляемых систем / А. А. Воронов. — М. :
Наука, 1985. — 352 с.
2. Зубов В. И. Устойчивость движения / В. И. Зубов. — М. : Высш. шк., 1973. — 272 с.
118
ВЕСТНИК Мордовского университета | 2012 | № 2
3. Косов А. А. Об устойчивости сложных систем по нелинейному приближению / А. А. Косов // Дифференц. уравнения. — 1997. — Т. 33, № 10. — С. 1432—1434.
4. Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения / Н. Н. Красовский. —
М. : Физматгиз. — 1959. — 211 с.
5. Метод векторных функций Ляпунова в теории устойчивости / под ред. А. А. Воронова,
В. М. Матросова. — М. : Наука, 1987. — 309 с.
6. Шестаков А. А. О степенной асимптотике неавтономной однородной и квазиоднородной системы / А. А. Шестаков // Дифференц. уравнения. — 1975. — Т. 11, № 8. — С. 1427—1436.
Поступила 09.02.2012.
Серия «Физико-математические науки»
119
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
12
Размер файла
909 Кб
Теги
оценки, критических, линеаризации, погрешности, случаях
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа