close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Поведение решений эллиптических уравнений с нестепенными нелинейностями в неограниченных областях.

код для вставкиСкачать
ISSN 2074-1871
Уфимский математический журнал. Том 8. № 3 (2016). С. 99-112.
ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
С НЕСТЕПЕННЫМИ НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ
В НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОБЛАСТЯХ
Р.Х. КАРИМОВ, Л.М. КОЖЕВНИКОВА, А.А. ХАДЖИ
Аннотация. Для некоторого класса эллиптических уравнений с нестепенными нелинейностями установлены оценки, характеризующие скорость убывания при || → ∞
решений задачи Дирихле в неограниченных областях.
Ключевые слова: анизотропное эллиптическое уравнение, нестепенные нелинейности, пространство Соболева-Орлича, неограниченная область.
Mathematics Subject Classification: 35J62
Введение
Пусть Ω — произвольная неограниченная область пространства R = { = (1 , 2 , ...,  )},
Ω ⊂ R ,  ≥ 2. Для анизотропных квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка рассматривается задача Дирихле

∑︁
(0.1)
( (, , ∇)) − 0 (, , ∇) = 0,  ∈ Ω;
=1
⃒
⃒
⃒
= 0.
(0.2)
Ω
Предполагается, что функции  (, 0 , ),  = 0, . . . , , измеримы по  ∈ Ω для
s = (0 , ) = (0 , 1 , . . . ,  ) ∈ R+1 , непрерывны по s ∈ R+1 для почти всех  ∈ Ω.
̂︀ и измеримые неотрицательные функции
Пусть существуют положительные числа ̂︀
, 
(), Ψ(), такие, что для п.в.  ∈ Ω и s = (0 , ), t = (0 , ) ∈ R+1 , s ̸= t справедливы
неравенства:


∑︁
∑︁
 (, 0 , ) ≥ 
 ( ) − ();
(0.3)
=0

∑︁
=0

∑︁
̂︀
  ( (, 0 , )) 6 
 ( ) + Ψ();
(0.4)
( (, 0 , ) −  (, 0 , ))( −  ) > 0.
(0.5)
=0

∑︁
=0
=0
Здесь 0 (), 1 (), ...,  () —  -функции удовлетворяющие ∆2 –условию, а  0 (),  1 (),
...,   () — дополнительные к ним (см. §1).
R.Kh. Karimov, L.M. Kozhevnikova, A.A. Khadzhi, Behavior of solutions to elliptic
equations with non-power nonlinearities in unbounded domains.
c Каримов Р.Х., Кожевникова Л.М., Хаджи А.А. 2016.
○
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект 16-31-50034/16).
Поступила 19 ноября 2015 г.
99
100
Р.Х. КАРИМОВ, Л.М. КОЖЕВНИКОВА, А.А. ХАДЖИ
В качестве примера можно рассмотреть уравнение

∑︁
(′ ( ) +  ()) − 0′ () − 0 () = 0
(0.6)
=1
с непрерывно дифференцируемыми  -функциями 0 (), 1 (), ...,  () (см. лемму 4).
Начиная с 70-х гг. прошлого столетия (см. [1]–[4]) и по настоящее время ведутся интенсивные исследования качественных свойств решений эллиптических уравнений с нестепенными нелинейностями как второго, так и высокого порядков. Решения краевых задач для уравнений вида (0.1) с функциями 0 (, s), 1 (, s), . . . ,  (, s), имеющими не
обязательно полиноминальный рост по переменным 0 , 1 , . . . ,  , рассматривались, в основном, в ограниченных областях. Так, в работе [5] в ограниченной области Ω исследовалась задача Дирихле для нелинейного эллиптического включения с вектор-функцией
a(, ) = (1 (, ), . . . ,  (, )), удовлетворяющей нестандартным условиям роста, описанных в терминах  -функций, зависящих от . Доказано существование ренормализованного решения, а при условии строгой монотонности установлена его единственность.
Краевые задачи в неограниченных областях для квазилинейных эллиптических уравнений со степенными нелинейностями также исследовались в многочисленных работах
[6], [7]. Следует отметить, что решение эллиптической задачи в неограниченной области с несуммируемыми данными принадлежит соответствующему пространству локально
сумммируемых функций. Как правило, для обеспечения единственности решения соответствующей краевой задачи в неограниченной области необходимо наложить условие на
рост решения на бесконечности, а для существования решения из выделенного класса
единственности обычно требуются ограничения на рост входных данных [8].
В 1984 г. Х. Брезис [9] на примере полулинейного уравнения
−∆ + ||0 −2  =  (),
 ∈ R ,
0 > 2,
показал, что имеются эллиптические уравнения, для которых существуют единственные
решения краевых задач без предположений на их поведение и рост входных данных на
бесконечности. А именно, Х. Брезис установил существование и единственность обобщенного решения  ∈ 0 −1,loc (R ) при  ∈ 1,loc (R ). Обобщение результатов Х. Брезиса на
уравнения высокого порядка было проведено Ф. Бернисом [10].
В работе [11] Ж.И. Диаз и О.А. Олейник, пользуясь методом интеграла энергии и устанавливая априорные оценки решения, доказали существование и единственность решения
краевой задачи с однородными граничными условиями первого и второго типа (в частности задач Дирихле и Неймана) для полулинейных уравнений с переменными коэффициентами

∑︁
(︀
)︀
−
 ()  + 0 ()||0 −2  =  (),  ∈ Ω, 0 > 2,
(0.7)
,=1
 () ∈ ∞,loc (Ω), 0 () ∈ 1,loc (Ω), 0 () ≥ 0 > 0, без условий на бесконечности. Кроме
того, в [11] авторы исследовали асимптотическое поведение решения уравнения (0.7) на
бесконечности. При условии, что  () = 0,  ∈ Ω ∖ Ω(0 ), Ω(0 ) = { ∈ Ω | || 6 0 }, 0 > 0,
для решения уравнения (0.7) получена оценка:
|()| 6 1 ||−2/(0 −2) ,
 ∈ Ω ∖ Ω(0 ).
(0.8)
А при дополнительном требовании на геометрию неограниченной области Ω установлено
неравенство:
|()| 6 2 −|| ,  ∈ Ω ∖ Ω(0 ),  > 0.
(0.9)
ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ . . .
101
В работе [12] М.М. Бокало, Е.В. Доманская исследовали краевые задачи в неограниченных областях для эллиптических анизотропных уравнений с переменными показателями
нелинейности. При этом корректность постановки краевых задач доказана без ограничений на рост решений и данных задач на бесконечности.
Авторам настоящей работы удалось выделить некоторый класс эллиптических уравнений, имеющих не обязательно степенные нелинейности, и получить результаты, близкие
к процитированным выше. Так, в работе [13] Л.М. Кожевниковой, А.А. Хаджи для уравнения (0.1) c функциями  (, s), удовлетворяющими условиям (0.3)–(0.5), установлено
существование решений задачи Дирихле в неограниченных областях без ограничений на
рост данных на бесконечности. А при дополнительных требованиях на структуру уравнения в [14] доказана единственность без ограничений на рост решений задачи (0.1), (0.2)
на бесконечности.
Здесь получены оценки, характеризующие поведение решений задачи (0.1), (0.2) при
|| → ∞ в неограниченных областях Ω. Оценка степенного характера установлена для
решений анизотропных уравнений в произвольных неограниченных областях (теорема 2).
А для «нешироких» неограниченных областей получена экспоненциальная оценка решений изотропных уравнений (теорема 3).
1.
N-функции и пространства Соболева-Орлича
Приведем необходимые сведения из теории  -функций и пространств Соболева-Орлича
[15]. Неотрицательная непрерывная выпуклая вниз функция  (),  ∈ R, называется  -функцией, если она четна и lim  ()/ = 0, lim  ()/ = ∞. Отметим, что
→0
→∞
 () 6  (), при 0 <  6 1. Для  -функции  () имеет место интегральное пред∫︀ ||
ставление  () = 0 (), где () — положительная при  > 0, не убывающая
и непрерывная справа при  ≥ 0 такая, что (0) = 0, lim () = ∞.
→∞
Для  -функции  () и дополнительной к ней  -функции
 () = sup(|| −  ())
≥0
справедливо неравенство Юнга:
|| 6  () +  (),
,  ∈ R
(1.1)
[15, гл. I, §2, неравенство (2.6)].
Для  -функций  (),  () записывают  () ≺  (), если существуют числа
 > 0, 0 ≥ 0 такие, что
 () 6  (), || ≥ 0 .
 -функции  (),  () называются сравнимыми, если имеет место одно из соотношений
 () ≺  () или  () ≺  ().  -функции  () и  () называются эквивалентными,
если  () ≺  () и  () ≺  ().
 -функция  () растет медленнее  -функции  () ( () ≺≺  ()), если для любого
числа  > 0
lim  ()/ () = 0.
→∞
 -функция  () удовлетворяет ∆2 -условию при больших значениях , если существуют такие числа  > 0, 0 ≥ 0, что  (2) 6  () для любых || ≥ 0 . ∆2 – условие
эквивалентно выполнению при || ≥ 0 неравенства
 () 6 () (),
где  — любое число больше единицы, () > 0.
(1.2)
102
Р.Х. КАРИМОВ, Л.М. КОЖЕВНИКОВА, А.А. ХАДЖИ
В каждом классе эквивалентных  -функций, подчиняющихся ∆2 -условию,
имеются  -функции, удовлетворяющие неравенству (1.2) при всех . В дальнейшем в
работе предполагается, что ∆2 -условие для рассматриваемых  -функций выполняется
при всех значениях  ∈ R (т.е. 0 = 0).
Для  -функции  (), ввиду выпуклости и оценки (1.2), справедливо неравенство
 ( + ) 6  () +  (),
,  ∈ R.
(1.3)
Пусть  – произвольная область пространства R . Классом Орлича  (), соответствующем  -функции  (), называется множество измеримых в  функций  таких,
что:
∫︁
 (()) < ∞.

Пространством Орлича  () называется линейная оболочка  (). Будем рассматривать пространство Орлича  () с нормой Люксембурга
⎫
⎧
⃒ ∫︁
⎬
⎨
⃒
⃒
 (()/)  6 1 .
‖‖ () = ‖‖, = inf  > 0 ⃒
⎭
⎩
⃒

Класс Орлича  () совпадает с пространством Орлича  () тогда и только тогда,
когда  () удовлетворяет ∆2 -условию [15, гл. II, §8, теорема 8.2].
Для функции  ∈  () справедлива оценка
∫︁
‖‖, 6  () + 1
(1.4)

[15, гл. II, §9, неравенство (9.12)]. Для функций  ∈  (),  ∈  () имеет место
неравенство Гельдера [15, гл. II, §9, неравенства (9.24), (9.27)]:
⃒∫︁
⃒
⃒
⃒
⃒ ()()⃒ 6 2‖‖, ‖‖
(1.5)
 , .
⃒
⃒

˚1 ()
Пусть 1 (), ...,  () –  -функции, определим пространство Соболева-Орлича 

∞
как пополнение 0 () по норме
‖‖˚1 () =

∑︁

‖ ‖ , .
=1
Нормы в пространствах 1 (), ∞ () будем обозначать ‖ · ‖1, , ‖ · ‖∞, , соответственно.
Положим
(︃ 
)︃1/
∏︁
ℎ() = −1/
−1 ()
=1
и предположим, что интеграл
 * () по формуле
∫︀1
ℎ()/ сходится. Тогда можно определить  -функцию
0
( * )−1 () =
∫︁||
ℎ()/.
0
Приведем теорему вложения А.Г. Королева [16], доказанную для ограниченных областей
.
ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ . . .
103
˚1 ().
Лемма 1. Пусть  ∈ 

1) Если
∫︁∞
ℎ()/ = ∞,
(1.6)
1
˚1 () ⊂  * () и
то 

‖‖ * , 6 1 ‖‖˚1 () ;

2) если
∫︁∞
ℎ()/ < ∞,
(1.7)
1
˚1 () ⊂ ∞ () и
то 

‖‖∞, 6 2 ‖‖˚1 () .

Здесь 1 =
−1
, 2

=
∫︀∞ ℎ()
0

.
Ввиду справедливости ∆2 -условия, сходимость по норме равносильна сходимости в среднем [15, гл. II, § 9, теорема 9.4]. Кроме того, в [17] доказана следующая
Лемма 2. Если  -функция  () удовлетворяет ∆2 -условию, (),   () ∈  (),
 = 1, 2, . . . ,   () → () в  (), то
∫︁
| (  ) −  ()| → 0,  → ∞.
(1.8)

2.
Формулировка теорем
Пусть  -функции 0 (), 1 (), ...,  () и дополнительные к ним  -функции  0 (),
 1 (), ...,   () удовлетворяют ∆2 -условию. Через LB (Ω) обозначим пространство
 0 (Ω) ×  1 (Ω) × . . . ×   (Ω) с нормой
‖g‖LB (Ω) = ‖0 ‖ 0 ,Ω + ‖1 ‖ 1 ,Ω + . . . + ‖ ‖  ,Ω ,
g = (0 , 1 , . . . ,  ) ∈ LB (Ω).
˚ 1 (Ω) как пополнение пространства  ∞ (Ω)
Определим пространство Соболева-Орлича 
0
B
по норме
‖‖
.
˚ 1 (Ω) = ‖‖0 ,Ω + ‖‖ ∘ 1
  (Ω)
B
В случае выполнения условия (1.6), будем считать, что
0 () ≺  * (),
(2.1)
а при выполнении (1.7) 0 () — произвольная  -функция.
˚ 1 (Ω) как пространства, состоящие из функций (), опредеОпределим 1,loc (Ω), 
B,loc
ленных в Ω, для которых при любой ограниченной  ⊂ Ω найдется функция из простран˚ 1 (Ω), соответственно, совпадающая с функцией () в . Будем считать, что
ства 1 (Ω), 
B
неотрицательные функции (), Ψ() ∈ 1,loc (Ω). Аналогично определяется пространство
LB,loc (Ω).
˚ 1 (Ω) → 1,loc (Ω) формулой:
Определим оператор B : 
B,loc
B() = 0 () +

∑︁
=1
 ( ),
˚ 1 (Ω).
∈
B,loc
104
Р.Х. КАРИМОВ, Л.М. КОЖЕВНИКОВА, А.А. ХАДЖИ
Обозначим
a(, s) = (0 (, s), 1 (, s), . . . ,  (, s)).
˚ 1 (Ω) и любой ограниченной  ⊂ Ω выводим
Из условия (0.4), пользуясь (1.4), для  ∈ 
B,loc
оценку
‖a(, , ∇)‖LB () =

∑︁
‖ (, , ∇)‖  , 6
(2.2)
=0
6
 ∫︁
∑︁
=0
̂︀
  ( (, , ∇)) +  + 1 6 ‖B()‖
1, + ‖Ψ‖1, +  + 1.

˚ 1 (Ω) с ограниченным носителем
Далее, по элементу a(, , ∇) ∈ LB,loc (Ω) для () ∈ 
B
определим функционал A() равенством:
)︃
∫︁ (︃∑︁

  + 0  .
(2.3)
⟨A(), ⟩ =
Ω
=1
˚ 1 (Ω), () ∈ 
˚ 1 (Ω)
Используя неравенство Гельдера (1.5), для функций () ∈ 
B
B,loc
(supp  =  ) выводим неравенства:
|⟨A(), ⟩| 6 2

∑︁
‖ ‖  , ‖ ‖ , + 2‖0 ‖ 0 , ‖‖0 , 6
(2.4)
=1
6 2‖a(, , ∇)‖LB ( ) ‖‖
˚ 1 (Ω) .
B
Таким образом, из оценок (2.2), (2.4) следует ограниченность функционала A() в про˚ 1 (Ω) с ограниченными носителями.
странстве функций 
B
Определение 1. Обобщенным решением задачи (0.1), (0.2) назовем функцию
˚ 1 (Ω), удовлетворяющую интегральному тождеству
() ∈ 
B,loc
⟨A(), ⟩ = 0
(2.5)
˚ 1 (Ω) c ограниченным носителем.
для любой функции () ∈ 
B
Будем считать, что существует такое 0 <  < 1, что выполнены условия
 ( 1+ ) ≺ 0 (),
 = 1, 2, . . . , .
(2.6)
В работе [13] доказано существование решения задачи (0.1), (0.2) в произвольных
неограниченных областях Ω. А именно, установлена следующая
Теорема 1. Пусть выполнены условия (0.3) – (0.5), (2.6), тогда существует обобщенное решение () задачи (0.1), (0.2).
Степенная оценка скорости убывания решения получена при условии, что:
 () =  || ,
|| < 1,
 > 1,
 > 0,
 = 0, 1, . . . , .
(2.7)
̃︀
Заметим, что для произвольной  -функции ()
такую  -функцию легко построить:
{︃

̃︀ ′ (1)
̃︀

(1)||
, || < 1;
> 1.
() =

=
̃︀
̃︀
(),
|| ≥ 1,
(1)
̃︀
При этом функции (),
() эквивалентны.
ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ . . .
105
Считаем, что показатели  ,  = 1, . . . ,  упорядочены: 1 ≥ 2 ≥ ... ≥  и подчиняются
условиям:

∑︁
1
0 > 1 ,
> 1.
(2.8)


=1
Тогда числа  =
предполагать, что
0 
,
0 −
 = 1, . . . , , также упорядочены: 1 ≥ 2 ≥ ... ≥  . Будем
 > .
(2.9)
Теорема 2. Пусть выполнены условия (0.3)–(0.5), (2.6)–(2.8). Тогда существует положительное число ℳ1 такое, что для обобщенного решения задачи (0.1), (0.2) справедлива оценка
(︀
)︀
‖B()‖1,Ω(/2) 6 ℳ1 − + ‖ + Ψ‖1,Ω() ,  ≥ 1,
(2.10)
в которой Ω() = { ∈ Ω | || < }.
Условия теоремы 2 выполнены, например, для уравнения (0.6) c функциями
{︂ 
|| , || < 1;
 () =
|| −1 (ln || + 1), || ≥ 1
при подходящем выборе  > 2,  = 0, 1, . . . ,  (см. пример 1).
Для неограниченных областей, расположенных вдоль выделенной оси, в терминах специальной геометрической характеристики в работах [17], [18] авторами установлены экспоненциальные оценки скорости убывания решения задачи (0.1), (0.2) с финитными данными. Здесь удалось получить экспоненциальную оценку для изотропного случая:
 () = (),
 = 1, 2, . . . , ,
(2.11)
для неограниченных областей, подчиняющихся лишь условию
() = diam () 6 ,
 > 0,
() = { ∈ Ω | || = },
 ≥ 1 .
(2.12)
Теорема 3. Пусть выполнены условия (0.3)–(0.5), (2.6), (2.11), (2.12). Тогда существуют положительные числа , ℳ2 , 0 такие, что решение () задачи (0.1), (0.2) при всех
 ≥ 0 подчиняется оценке
(︀
)︀
‖B()‖1,Ω(/2) 6 ℳ2 exp (−) −1 + ‖ + Ψ‖1,Ω(2) .
(2.13)
Следует отметить, что полученные в работе оценки (2.10), (2.13), согласуются с результатами статьи [11].
3.
Подготовительные сведения
Лемма 3. Пусть  -функции 0 (), 1 (), ...,  () подчиняются условиям (2.6), тогда
 () ≺≺ 0 (),  = 1, 2, . . . , .
(3.1)
Доказательство леммы см. [13, замечание 6].
Лемма 4. Если функции  ( ) = ′ ( ),  ≥ 0,  = 0, 1, . . . , , непрерывны и строго
монотонны, f = (0 , 1 , . . . ,  ) ∈ LB,loc (Ω), то функции
 (,  ) = ′ ( ) +  () =  (| |)sign  +  (),
 = 0, . . . , ,
удовлетворяют условиям (0.3) – (0.5).
Доказательство леммы см. [13, замечание 5].
В этом параграфе и ниже через  будем обозначать положительные константы.
106
Р.Х. КАРИМОВ, Л.М. КОЖЕВНИКОВА, А.А. ХАДЖИ
Лемма 5. Пусть N-функции
)︀0 (), 1 (), ...,  () подчиняются условиям (2.6), тогда
(︀
для N-функций  () =    () , ( () = −1 (0 ()) существуют числа  > 0,  ≥ 
такие, что справедливы неравенства
 () 6 || ,
|| ≥ 1,
 = 1, 2, . . . , .
(3.2)
Доказательство леммы см. [14, лемма 3.3] .
Лемма 6. Пусть N-функции (︀0 (), 1 )︀(), ...,  () подчиняются условиям (2.7), (2.8),
тогда для N-функций  () =    () существует число  > 0 такое, что справедливы неравенства
 () 6 || , || 6 1,  = 1, 2, . . . , .
(3.3)
Доказательство леммы см. [14, лемма 3.4] .
Лемма 7. Пусть Σ, — сферический сегмент диаметра  на поверхности сферы радиуса ,  6 /8 в пространстве R ,  ≥ 2. Если N-функция () удовлетворяет
∆⃒2 -условию, то существует число () > 0 такое, что для функции () ∈ 0∞ (R ),
 ⃒Σ ∈ 0∞ (Σ, ) справедливо неравенство
,
∫︁
∫︁
() 6 
(|∇|),
(3.4)
Σ,
Σ,
∇′ — градиент по касательному направлению.
Доказательство леммы см. [19].
4.
Доказательство теоремы 2
Доказательство. Пусть  — абсолютно непрерывная неотрицательная функция с компактным носителем. Полагая в тождестве (2.5)  =   ,  ≥  (см. лемму 5), получаем
неравенство
(︃ 
)︃
∫︁
∑︁

 (, , ∇) + 0 (, , ∇)  6
=1
Ω
6
 ∫︁
∑︁
| (, , ∇)|||| ()| −1  =  · 1 .
(4.1)
=1 Ω
Применяя (1.1), для  ∈ (0, 1) выводим
(︂
(︂
)︂)︂
 ∫︁
∑︁
 

1 6
   ( (, , ∇)) + 
 6
 
=1
(4.2)
Ω
6
 ∫︁
∑︁

   ( (, , ∇)) +
=1 Ω
 ∫︁
∑︁
=1 Ω

 
(︂
 
 
)︂
 = 11 + 12 .
Оценим интеграл 12 . Поскольку, согласно лемме 3, имеют место соотношения (3.1),
то справедливы представления  -функции 0 () =  ( ()) в виде композиций двух
 -функций  (),  (),  = 1, . . . , . Применяя (1.1), (1.3), устанавливаем
{︂
(︂
)︂}︂
 ∫︁
∑︁
1 |∇|

12 6
   () +  
 6
(4.3)
2 

=1
Ω
ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ . . .
6
 ∫︁
∑︁
=1 Ω
107
⎛
⎞
(︂
)︂)︂)︂
(︂
(︂
∫︁
1 |∇|
 = 1 ⎝   0 () + 2 ⎠ ,
  1 0 () + 1   
2
 
Ω
где
2 =
 ∫︁
∑︁
(︂

 
=1 Ω
1 |∇|
2 
)︂
(︀
)︀
 () =    () .
,
(4.4)
Далее, соединяя (4.2), (4.3), используя условие (0.4), выводим
(︃ 
)︃
∫︁
∑︁
̂︀
̂︀ 0 () +
1 6    
 ( ) + (1  + )
=1
Ω
∫︁
∫︁

 B() +
 Ψ + 1 2 6 2
+
∫︁

(4.5)
Ω
Ω
Ω
  Ψ + 1 2 .
Из (4.1), (4.5), применяя (0.3), получаем оценку
∫︁
∫︁
∫︁


  B() 6 2  B() +    {Ψ + }  + 1 2 .
Ω
Ω
Ω
Выбирая  достаточно малым, имеем неравенство
∫︁

‖ B()‖1 6 3   {Ψ + }  + 4 2 .
(4.6)
Ω
Пусть 0 — произвольное положительное число. Зафиксируем  > 0 , рассмотрим срезающую функцию () = 1 (2 − ||2 ) для || < , () = 0 для || ≥ . Обоснуем конечность
интеграла 2 . Очевидно, что |∇| 6 2, применяя (3.2), (3.3), выводим неравенства
2 6
 ∫︁
∑︁

 
=1
Ω()
(︂
5

)︂
∫︁
 6 6

−
∫︁
 + 7
Ω()∩{ | 5 /()<1}
 − . (4.7)
Ω()∩{ | 5 /()≥1}
В итоге имеем
2 6 8 − + ,
 ≥ 1,  > 0 .
Очевидно, () ≥  − 0 при || 6 0 , поэтому из (4.6), (4.8) выводим неравенство
(︂
)︂
(︀
)︀

‖B()‖1,Ω(0 ) 6 9
‖Ψ + ‖1,Ω() + − .
 − 0
(4.8)
(4.9)
Полагая в (4.9) 0 = /2, устанавливаем оценку (2.10).
Следствие 1. Пусть выполнены условия (0.3)–(0.5) c  = Ψ = 0 в Ω, (2.6)–(2.9),
тогда обобщенное решение () задачи (0.1), (0.2)  = 0 в Ω. Действительно, полагая
в (4.9) () = Ψ() = 0,  ∈ Ω, и устремляя  к бесконечности, устанавливаем, что
‖B()‖1,Ω(0 ) = 0 для любого 0 > 0. Отсюда следует, что 0 () = 0 в Ω, поэтому  = 0
в Ω.
108
Р.Х. КАРИМОВ, Л.М. КОЖЕВНИКОВА, А.А. ХАДЖИ
5.
Доказательство теоремы 3
Доказательство. Зафиксируем  ≥ max(21 , 2 , 32) (1 из условия (2.12), 2 будет определено ниже). Пусть (),  > 0, — абсолютно непрерывная функция, равная единице при
 ≤ /2, нулю при  ≥ 2, линейная при  ∈ [, 2] и удовлетворяющая уравнению
′ () = −(),
 ∈ (/2, ),
(5.1)
(постоянную  определим позднее). Решая это уравнение, находим
() = exp (−( − /2)) ,
 ∈ (/2, ),
тогда
()
1
= exp (−/2) ,  ∈ (, 2).
(5.2)


Полагая в (4.1) () =  (||),  ≥  , применяя (5.1), (5.2), получаем
(︃ 
)︃
∫︁
∫︁

∑︁
∑︁

 (, , ∇) + 0 (, , ∇)  6 

||| (, , ∇)| +
′ () =
Ω
=1
=1
Ω()∖Ω(/2)
+

∑︁
∫︁
−1 ||| (, , ∇)|
=1
Ω(2)∖Ω()
()
 = 1 + 2 .

(5.3)
Далее, пользуясь (1.1), при помощи (0.4), (2.11), оценим первый интеграл (1 ∈ (0, 1))
(︂
(︂
)︂)︂
∫︁

∑︁


 (1  (, , ∇)) +  
1 6
 6
1
=1
Ω()∖Ω(/2)
(︃
∫︁

6
̂︀
1 

∑︁
)︃
( ) + Ψ  + 12 ,
(5.4)
=1
Ω()∖Ω(/2)
(︂
)︂

  
.
1
∫︁

12 =
Ω()∖Ω(/2)

̂︀ ,
8
Выберем 1 6
а также  так, чтобы  6 1 .
Ввиду вложения () ⊂ Σ,2() для () ∈ 0∞ (Ω) справедливо неравенство
12

6
1
∫︁

∫︁
 ()
().
Σ,2()
/2
Применяя неравенство (3.4) и условие (2.12), пользуясь (1.2), выводим
12

6 
1
∫︁
/2

∫︁
 ()

(2()|∇ |) 6 1
1
′
Σ,2()
∫︁

 ()
/2
Далее, с помощью (1.3) устанавливаем неравенство
∫︁

 ∑︁
12 6 2
 (||)( ).
1 =1
Ω()∖Ω(/2)
∫︁
(|∇|).
()
(5.5)
ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ . . .
109
Пользуясь леммой 2, выполняя предельный переход, выводим неравенство (5.5) для функ˚ 1 (Ω). Соединяя (5.4), (5.5), выбирая 2 6 1  , получим
ции () ∈ 
B,loc
8
∫︁

1 6
 B() + ‖Ψ‖1,Ω()∖Ω(/2) .
(5.6)
4
Ω()∖Ω(/2)
Оценим интеграл 2 . Применяя (1.1), для 2 ∈ (0, 1) выводим
)︂
(︂
∫︁
∫︁

∑︁
 ()


 = 21 + 22 . (5.7)
2 6
 
 (2  (, , ∇)) + 

(||)
2
=1
Ω(2)∖Ω()
Ω(2)∖Ω()
Оценим интеграл 22 . Поскольку имеют место соотношения (3.1), то справедливо представление  -функции 0 () = ( ()) в виде композиций двух  -функций  (), ().
Далее, применяя (1.1), (1.3), устанавливаем
{︂
)︂}︂
(︂
∫︁
1 ()

22 6 
   (2 ) + 
 6
(5.8)
22 (||)
Ω(2)∖Ω()
∫︁

6
(︂
⎛
(︂ (︂
)︂)︂)︂
1 ()
⎜
2 3 0 () + 3  
 = 3  ⎝2
22 (||)
Ω(2)∖Ω()
⎞
∫︁
⎟
 0 () + 3 ⎠ ,
Ω(2)∖Ω()
где
∫︁

3 =
(︂
 
1 ()
22 (||)
)︂
(︀
)︀
 () =   () .
,
(5.9)
Ω(2)∖Ω()
Далее, соединяя (5.7), (5.8), используя условие (0.4), выводим
)︃
(︃ 
∫︁
∑︁
̂︀ 0 () +
̂︀
 ( ) + (3 + )
2 6 2
 
=1
Ω(2)∖Ω()
∫︁
+
∫︁

 Ψ + 3 3 6 2 4
Ω(2)∖Ω()
Выберем 2 6
∫︁

 B() +
Ω(2)∖Ω()

,
44 
(5.10)
Ω(2)∖Ω()
в итоге получим
∫︁

2 6
 B() +
2
Ω(2)∖Ω()
Ψ + 4 3 .
∫︁
Ψ + 4 3 .
(5.11)
Ω(2)∖Ω()
Подставляя в (5.3) оценки (5.6), (5.11), применяя условие (0.3), выводим
∫︁
‖B()‖1,Ω(/2) 6 5
{Ψ + }  + 5 3 .
(5.12)
Ω(2)
Оценим интеграл 3 . Положим 2 = 1/22 , тогда при  ≥ 2 , ввиду выпуклости функции
 (), справедливо неравенство
(︂
)︂
∫︁
()
2

3 6
 
.

(||)
Ω(2)∖Ω()
110
Р.Х. КАРИМОВ, Л.М. КОЖЕВНИКОВА, А.А. ХАДЖИ
При || ∈ (, 2) имеет место неравенство (||) 6 (), поэтому, применяя лемму 5, получаем оценку
∫︁
6
3 6
− (||) () 6 7 −1 exp (−/2) .
(5.13)

Ω(2)∖Ω()
Соединяя (5.12), (5.13) выводим (2.13).
6.
Примеры
Пример 1. Пусть  = 3, 1 = 11/3, 2 = 11/4, 3 = 11/5,
{︂ 
||  ,
|| < 1
 () =
,  = 1, 2, 3.
 −1
||
(ln || + 1) , || ≥ 1,
Поскольку || −1 6  () 6 || при || ≥ 1, то 1/( −1) ≥ −1 () ≥ 1/ при  ≥ 1,
 = 1, 2, 3. Отсюда получаем
∫︁ 1
1/33
−1 ℎ() < ∞,
ℎ() =  , 0 <  < 1,
0
131/504

1/33
≥ ℎ() ≥ 
∞
∫︁
−1 ℎ() = ∞,
,  ≥ 1,
1
поэтому можно определить функции ( * )−1 (),  * (), при этом справедливы неравенства:
( * )−1 () = 331/33 , 0 <  < 1,
 * () = (||/33)33 , || < 33,
504/131131/504 ≥ ( * )−1 () ≥ 331/33 ,  ≥ 1,
(131/504||)504/131 6  * (||) 6 (||/33)33 , || ≥ 33.
Возьмем 0 () = ||42/11 , такой выбор функций  (),  = 0, 1, 2, 3, обеспечивает выполнение условий (2.1), (2.6).
Рассмотрим функции 0 (, ) = ||20/11  + 0 (),
{︂
 || −2 ,
|| < 1
′
,
 (, ) =  () +  () =  () +
 −3
||
 (( − 1) ln || +  ) , || ≥ 1
 ∈   ,loc (Ω),  = 0, 1, 2, 3. Согласно лемме 4, выполнены условия (0.3)–(0.5). Таким
образом, по теореме 1, существует обобщенное решение задачи (0.1), (0.2).
3
Поскольку 1/1 + 1/2 + 1/3 = 12/11 > 1, 3 = 00−
= 462/89 > 3, то условия (2.8),
3
(2.9) также выполнены. Согласно теореме 2, обобщенное решение задачи (0.1), (0.2) подчиняется оценке
(︀
)︀
‖B()‖1,Ω(/2) 6  −195/89 + ‖ + Ψ‖1,Ω() ,  ≥ 1.
(6.1)
Пример 2. Пусть  > 2, 2 <  < ,
)︁
(︁
{︃
, || < 1
||−1 − ln || + +1
−1
() =
2
+ ||−1 (ln || + 1) , || ≥ 1.
−1
(︁
)︁1/(−1)
+1
+1
Поскольку () ≥ −1
||−1 при || < 1, то  −1 () 6 −1

при 0 <  < −1
. Кроме
+1
(︁
)︁1/
+1
−1
того, ||−1 6 () 6 −1
|| при || ≥ 1, поэтому +1

6  −1 () 6 1/(−1) при
≥
+1
.
−1
Отсюда получаем
ℎ() 6 1 
−+1
(−1)
+1
, 0<<
,
−1
∫︁
0
1
−1 ℎ() < ∞,
ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ . . .
111
∫︁ ∞
+1
6 ℎ() 6 
−1 ℎ() = ∞,
2 
, ≥
,
−1
1
* −1
*
можно определить функции ( ) (),  (), при этом справедливы неравенства:
−+1
(−1)
−

3 ||
−

−+1
6 ( * )−1 () 6 4 || (−1) , || ≥
(−1)
+1
,
−1

5 || −+1 6  * () 6 6 || − , || ≥ 7 .
Возьмем 0 =
(−1)
,
−+1
(︁
)︁
+1
||0 −1 − ln || + 00 −1
, || < 1
0 () =
2
+ ||0 −1 (ln || + 1) , || ≥ 1.
0 −1
√
такой выбор функций 0 (), () при  > (1 + 1 + 4)/2 обеспечивает выполнение условий (2.1), (2.6).
Рассмотрим функции
{︃
 (, ) =  () +  ′ () =  () + ||−3  (( − 1)| ln ||| + ) ,  = 1, . . . , ,
0 (, ) = 0 () + 0′ () = ||0 −3  ((0 − 1)| ln ||| + 0 ). Согласно лемме 4, выполнены условия (0.3)–(0.5). Таким образом, по теореме 1, существует обобщенное решение задачи
(0.1), (0.2).
Согласно теореме 3, обобщенное решение задачи (0.1), (0.2) в областях, удовлетворяющих условию (2.12), подчиняется оценке
(︀
)︀
‖B()‖1,Ω(/2) 6 ℳ2 exp (−) −1 + ‖ + Ψ‖1,Ω(2) ,  ≥ 0 .
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. T. Donaldson №nlinear elliptic boundari value problems in Orlicz-Sobolev spaces // J. Diff. Eq.
1971. V. 10. № 3. P. 507–528.
2. Климов В.С. Теоремы вложения для пространств Орлича и их приложения к краевым
задачам // Сиб. матем. журн. 1972. Т. 13. С. 334–348.
3. A. Fougeres Operateurs elliptiques du calcul des variations a coefficients tres fortement №n lineaires
// C. R. Acad. Sei. Paris Ser. A-B. 1972. V. 274. P. 763–766.
4. J.P. Gossez №nlinear elliptic boundary value problems for equations with rapidly (or slowly)
increasing coefficients // Trans. Amer. Math. Soc. 1974. V. 190. P. 163–206.
5. P. Gwiazda, P. Wittbold, A. Wróblewska, A. Zimmermann Re№rmalized solutions of №nlinear
elliptic problems in generalized Orlicz spaces. PhD programme: Mathematical methods in natural
sciences (MMNS). 2011. Preprint №. 2011-013. 32 p.
6. Кожевникова Л.M., Каримов Р.Х. Поведение на бесконечности решений квазилинейных
эллиптических уравнений второго порядка в неограниченных областях // Уфимск. матем.
журн. 2010. Т. 2. № 2. С. 53–66.
7. Кожевникова Л.M., Хаджи A.A. Решения анизотропных эллиптических уравнений в неограниченных областях // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2013. № 1. C. 90–96.
8. Гладков А.Л. Задача Дирихле для некоторых вырожденных эллиптических уравнений в
неограниченных областях // Дифференц. уравнения. 1993. Т. 29. № 2. C. 267–273.
9. H. Brezis Semilinear equations in  without condition at infnity // Appl. Math. Optim. 1984.
V. 12. № 3. P. 271–282.
10. F. Bernis Elliptic and parabolic semilinear problems without conditions at infnity // Arch. Rational
Mech. Anal. 1989. V. 106. № 3. P. 217–241.
112
Р.Х. КАРИМОВ, Л.М. КОЖЕВНИКОВА, А.А. ХАДЖИ
11. J.I. Diaz, O.A. Oleinik №nlinear elliptic boundary-value problems in unbounded domains and the
asymptotic behaviour of its solution // C. R. Acad, Sci. Paris Ser. I Math. 1992. V. 315. № 1. P.
787–792.
12. M. Bokalo, O. Domanska On well-posedness of boundary problems for elliptic equations in general
anisotropic Lebesgue-Sobolev spaces // Mathematychni Studii. 2007. V. 28. № 1. P. 77–91.
13. Кожевникова Л.M., Хаджи A.A. Существование решений анизотропных эллиптических
уравнений с нестепенными нелинейностями в неограниченных областях // Матем. сб. 2015.
Т. 206. № 8. C. 99–126.
14. Кожевникова Л.М., Хаджи А.А. Единственность решений анизотропных эллиптических
уравнений с нестепенными нелинейностями в неограниченных областях // Проблемы математического анализа. 2016. № 85. С. 153-163.
15. Рутицкий Я.Б., Красносельский М.А. Выпуклые функции и пространства Орлича. М.: Физматлит. 1958. 587 с.
16. Королев А.Г. Теоремы вложения анизотропных пространств Соболева–Орлича // Вестн.
Моск. унив. 1983. Сер. 1. № 1. C. 32–37.
17. Кожевникова Л.M., Хаджи A.A. О решениях эллиптических уравнений с нестепенными
нелинейностями в неограниченных областях // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат.
науки. 2015. № 19. C. 44–62.
18. Кожевникова Л.M., Каримов Р.Х., Хаджи A.A. О поведении решений эллиптических уравнений с нестепенными нелинейностями в неограниченных областях // Актуальные проблемы
гуманитарных и естественных наук. 2015. № 9. C. 13–17.
19. Хаджи A.A. О неравенстве типа Фридрихса // Научно-технический вестник Поволжья.
2015. № 9. C. 30-33
Руслан Халикович Каримов,
Стерлитамакский филиал Башкирского государственного университета,
пр. Ленина, 37,
453103, г. Стерлитамак, Россия
E-mail: ruslan7k7@mail.ru
Лариса Михайловна Кожевникова,
Стерлитамакский филиал Башкирского государственного университета,
пр. Ленина, 37,
453103, г. Стерлитамак, Россия
Елабужский институт Казанского федерального университета,
ул. Казанская, 89,423600, г. Елабуга, Россия,
E-mail: kosul@mail.ru
Анна Александровна Хаджи,
Тюменский государственный университет,
ул. Володарского, 6, Тюмень,
625003, г. Тюмень, Россия
E-mail: anna_5955@mail.ru
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
619 Кб
Теги
поведения, областям, решение, уравнения, нелинейностями, нестепенными, неограниченных, эллиптическая
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа