close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Погружение плоскости Евклида в в виде поверхности с плоской нормальной связностью и параллельным вектором средней кривизны.

код для вставкиСкачать
Вестник ТГПИ
Естественные науки
Отметим, что при
альной.
R 0
или
sin
0
бесконечно малая деформация является триви-
Из условия 12 следует, что функция
в области
D
существует, если
uv
vu
, то
есть, если
Ev
EG
v
u
ds 2
Последнее условие означает, что метрика
визна
K
Gu
EG
0.
является плоской, то есть ее гауссова кри-
тождественно равна нулю. В этом случае имеем для односвязной области
u ,v
Ev
du
EG
u, v
u0 ,v0
Gu
dv
EG
c2 ,
где интегрирование ведется по любому контуру с концами в точках
c2
u 0 , v0 , u , v
77
g11
, из формул
c1 E
g12
g 22
0
c2 0
Формулы
c1G
13
, находим:
R cos
0
c2 E ;
R sin
0
c2
R cos
0
c2 G,
13
EG ;
удобно представить в виде:
c1 E
g12
g 22
R sin c2 ,
где
11
.
g11
E cos
EG sin
c1G G cos
R cos c2
E sin
0
0
;
0
EG cos
0
G sin
;
,
0
– произвольные постоянные,
0
2
2
0 . Этим заверша-
ется доказательство теоремы 2.
1.
2.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
В.Ф. Каган. Основы теории поверхностей. ОГИЗ. М., 1948. Ч. II.
Н.С. Синюков. Геодезические отображения римановых пространств. М.: Наука, 1979.
В.Т. Фоменко, В.В. Сидорякина, О.Н. Бабенко
4
ПОГРУЖЕНИЕ ПЛОСКОСТИ ЕВКЛИДА В E В ВИДЕ ПОВЕРХНОСТИ
С ПЛОСКОЙ НОРМАЛЬНОЙ СВЯЗНОСТЬЮ И
ПАРАЛЛЕЛЬНЫМ ВЕКТОРОМ СРЕДНЕЙ КРИВИЗНЫ
24
;
const .
Используя уравнение
где
D:
Раздел I
Алгебра и геометрия
2
2
Пусть на числовой плоскости R задана метрика ds , кривизна которой равна нулю. Такую плоскость будем называть плоскостью Евклида, а метрику – плоской.
Ставится задача изометрического погружения плоскости Евклида в четырехмерное евклидово пространство в виде поверхности класса
C
3
с плоской нормальной связностью и параллель-
ным вектором средней кривизны. Такие погружения будем называть
чения.
В работе доказывается следующая теорема.
Теорема. Плоскость Евклида допускает
H
H
– погружениями без кру-
4
– погружения в E только в виде двумерной
E
плоскости, универсальной накрывающей круглого цилиндра в
3
4
E и универсальной накры-
4
вающей тора Клиффорда в E .
Доказательство проводится путем изучения разрешимости системы уравнений ГауссаПетерсона-Кодацци-Риччи, записанной для данной метрики и рассматриваемой на всей числовой
R
плоскости
2
.
§1. Некоторые сведения теории двумерных поверхностей в
Будем считать, что рассматриваемая поверхность
1
r
2
E
в
1
r u ;u , u ;u
2
E
4
.
4
задана векторным уравнением
R
2
,
где
r C
3
. Тогда метрическая форма поверхности записывается в виде
ds
2
1
2
i
gij u ; u du du
j
,
gij
i, j
ri , r j , ri
r
i
u .
где по индексам
проводится суммирование от 1 до 2;
Здесь и далее латинские индексы пробегают значения от 1 до 2, а греческие – от 3 до 4.
Выберем в нормальной плоскости
мированный базис
поверхности
Nu
, g
n
Nu
поверхности
1
u ;u
2
ортонор-
4
3.
Тогда множество
со слоем
Nu
Nu
. Пусть
,u
g
, образует нормальное расслоение
1
u ;u
2
– метрический тензор слоя
1 0
n ,n , g
0 1
.
Второй основной квадратичной формой поверхности
n
в точке
u
относительно нормального вектора
называется выражение
def
II
def
II n
i
j
b ij du du ,
3,4
,
25
Вестник ТГПИ
Естественные науки
2
b
n , r ij , r ij
ij
r
i
j
u u .
где
Далее наряду с коэффициентами
b
ij
будем использовать выражения
bij
где
g g
;
u
,
– символ Кронекера.
Пусть в точке
в точке
g b ij
1
u
плоскости
u ;u
Tu
2
поверхности
задан единичный вектор
. Совокупность трех векторов
t ; n3 ; n
t
в касательной к
образуют евклидово про-
3
E u; t
странство
t ; n3 ; n 4
, являющееся линейной оболочкой векторов
мальным секущим пространством поверхности
в точке
u
и называемое нор-
по направлению
t . Известно, что
3
множество
E u; t
n
является кривой, лежащей на поверхности
мальным сечением поверхности
u
в точке
по направлению
, называемой нор-
t . Вектор k n k m , где m
-
3
вектор главной нормали кривой
n
в
E u; t
вектором нормальной кривизны поверхности
надлежит нормальной плоскости
плоскости
Nu
дящих из точки
k
– кривизна кривой
в точке
u
n
в точке
по направлению
и приложен к точке
u
u , называют
t . Вектор k n
. Конец вектора
при-
kn
в
P . Таким образом, множество единичных векторов t , исхов касательной плоскости, отображается в кривую L , лежащую в нор-
порождает точку
u
мальной плоскости
ности
Nu
,
в точке
Nu
. Кривая
L
называется индикатрисой нормальной кривизны поверх-
u.
L 1
Известны следующие свойства индикатрисы нормальной кривизны
1) между направлениями, порождаемыми векторами
навливается биекция описанным выше образом;
t
в
Tu
:
, и точками кривой
L
уста-
2) кривая L является эллипсом, который может вырождаться в дважды проходимый отрезок
или точку;
3) ортогональные направления в точке u на поверхности
противоположные относительно центра эллипса точки;
отображаются в диаметрально
Q
N
u
4) вектор, имеющий началом точку u
и концом точку
– центр эллипса
нормальной кривизны, называют вектором средней кривизны и обозначают через
def
H
где
26
H
– средняя кривизна поверхности
H n ,
относительно нормали
n
:
Раздел I
Алгебра и геометрия
H
Длина вектора
ся через
H
g b
называется средней кривизной поверхности
a, b
Если
ке
в точке
u
и обозначает-
H . Таким образом, имеем
H
1.
.
u
точке
g H H
.
– длины полуосей эллипса нормальной кривизны
2
есть число
ab , где
u . Очевидно, что
поверхности
в точке
L , то площадь эллипса в точ-
называют гауссовым кручением поверхности в
0 тогда и только тогда, когда эллипс нормальной кривизны L
u
вырождается в отрезок или в точку.
N
Рассмотрим в нормальной плоскости u
множество точек, из которых эллипс нормальной кривизны, отличный от точки, виден под прямым углом. Это множество точек ле-
2.
1
жит на окружности S , называемой ортооптической. Центр ее совпадает с центром эллипса, а радиус равен половине диагонали прямоугольника, образованного касательными к эллипсу в его вершинах. Гауссова кривизна
K
поверхности в точке
u
дается формулой
3.
K
H
2
a
2
b
2
,
где
a, b
точки
u
– длины полуосей эллипса кривизны. Очевидно, что гауссова кривизна есть степень
относительно окружности
K
S
1
. В самом деле, имеем
H
a
2
b
2
H
a
2
b
2
.
H
a
2
b
2
Тогда сумма
диуса окружности
точка
u
равна сумме расстояний точки
S
лежит вне
H
1
u
2
, а разность
S
b
до центра эллипса и ра-
2
равна разности этих величин. Поэтому, если
1
, то гауссова кривизна поверхности положительна, если внутри окружно-
сти – отрицательна, если точка
в точке
a
u
u
лежит на окружности
S
1
, то гауссова кривизна поверхности
равна нулю.
1) Из сказанного в п. 6 следует, что если
0
и эллипс кривизны вырождается в отрезок,
то длина этого отрезка равна удвоенной длине вектора средней кривизны, а окружность
ходит через точку поверхности
S
1
про-
.
Обратимся теперь к линейным формам кручения поверхности
, i
n ,n i
в точке
u . Положим
,
27
Вестник ТГПИ
Естественные науки
n
ni
i
u .
где
Линейной формой кручения поверхности
в точке
, i
, i
а символы
называют выражение
i
,
– коэффициентами нормальной связности.
Известно, что на поверхностях
с нулевым гауссовым кручением, и только на них, суще-
ствует ортонормированное оснащение
n
du
u
n
4
*
3,
для которого
0 . При повороте репера
, i
4
*
, i не изменяются.
на постоянный угол значения
Справедливы следующие классические теоремы:
3
4
Теорема 1. Для поверхности
в E величины
уравнениями Гаусса-Петерсона-Кодацци-Риччи:
3
3
3
3
2
14
b11b22 b12b12
1)
3
1
2)
4
3
24
4
4
g , где
1 lh
g b3 1l b4 2 h
g
3)
3
i
4)
b jk
b
4
b11b22 b12b12
3
0
j ik
i
5)
b jk
b
4
0
j ik
ij ,
, i
связаны между собой 6
2
K g , где g det gij , K – кривизна метрики ds ;
- гауссово кручение поверхности
:
;
b jk
b
i jk
u
, где
тельной связности поверхности
4
g ij , b
i
l
l
b
ij lk
ik
b jl
i
b jk ;
k
ij
– коэффициенты каса-
;
.
D односвязна и решение системы уравнений Гаусса-Петерсонаg ij , b ij , , i
Теорема 2. Если область
Кодацци-Риччи
g11
0, g 22
оснащение
n
удовлетворяют
0, g11g 22
2
g12
0 , то в E 4
существует поверхность
3
такие, что
g ij
– метрический тензор поверхности
n ;
, i
28
E
;
b
ij
- тензор второй
- коэффициенты линейной формы круче-
.
§2. Дифференциальные уравнения, описывающие
в
и ее нормальное
4
квадратичной формы относительно нормали
ния поверхности
условию:
4
и их решение.
H -погружения плоскости Евклида
Раздел I
Алгебра и геометрия
Будем считать, что плоскость Евклида задана метрикой
1 0
gij
0 1
i
,
ds
1 2
2
du
du
2 2
, тогда име-
0
jk
ем
. Это означает, что гауссова кривизна тождественно равна нулю и потому система уравнений Гаусса-Петерсона-Кодацци-Риччи принимает вид:
3
1)
3
3
2)
3
3
24
1
14
2
u
u
3
3
b21
b11
1
2
3) u
u
3
4
4
4
4
b22
1
u
4
b11
2
u
4
3
4
3
4
b
0
24 11
4
b
3
24 12
b
4
0
14 22
4
b
3
4
13 12
b
3
0
23 11
;
b22
2
во кручение
b
4
b12
Так как
3
14 12
;
1
u
;
4
b21
5)
g
;
2
u
0;
3
b12
4) u
6)
3
b11b22 b12b12 b11b22 b12b12
u
4
b
3
4
23 12
1
b
3
0
13 22
.
H -погружение метрики предполагает, что поверхность
имеет нулевое гауссо0 , то нормальная связность поверхности
является плоской и потому на по-
верхности
существует ортонормированное оснащение
будем считать далее выполненным.
Для поверхности
вектор средней кривизны
H
что
H
3
H
0 , то есть
const
3
H0 , H
постоянный угол
4
u
i
i
H
4
*
n3 cos
n3 sin
* 3
H0
const , H 0
образует с вектором
n3
4
3
по формулам
n 4 sin ;
const.
4
*
Тогда будем иметь новое оснащение
* 3
n
n 4 cos ;
n
H
0 , что и
i
0 , то отсюда следует, что
i
H 0 . Это означает, что вектор H
n3
* 3
для которого
является параллельным. Это означает,
0
. Осуществим поворот репера
*
3,
. Так как
const
n4
H
4
n
3,
3 2
H0
для которого
4 2
H0
* 4
,H
* 3
0, H 0 H 0
.
29
Вестник ТГПИ
Естественные науки
0 , эллипс кривизны L вырождается в отрезок
Следует отметить, что в силу условия
(или точку). Поэтому окончательно рисунок индикатрисы нормальной кривизны выглядит следующим образом (рис. 1):
n4
Nu
1;0
c3
4
b11
A
3
3
b22
b11
u
H
c1
n3
0;1
B
Рис. 1. Индикатриса кривизны – отрезок
Точки
A 1;0 , B 0;1
на индикатрисе кривизны соответствуют ортогональным коор-
динатным направлениям на поверхности
u . Это означает, что
в точке
3
3
4
4
b11 b22
2H 0 ;
b11 b22
0.
Тогда уравнения Петерсона-Кодацци принимают вид:
3
3
b22
u
b12
1
u
3
b12
2
u
4
1
2
u
Отсюда следует, что функции
z
0;
4
b22
u
0;
4
b12
4
1
1
b22
u
0;
3
b22
u
2
b12
2
u
3
1
0.
3
b22 ib12 ,
2
4
z
1
тическими
30
функциями
комплексного
переменного
4
b22 ib12
z u
2
iu ; i
2
являются анали-
1.
Так
как
Раздел I
H
Алгебра и геометрия
H0
const , то длина эллипса нормальной кривизны ограничена на плоскости R
3
4
му функции b22 , b22 являются ограниченными функциями на
Из уравнения Гаусса находим
3
2
2
4
b12
3
b12
R
левая часть, то есть функции
и пото-
2
.
3
2
4
b22 2 H 0 b22
b22
.
Так как правая часть этого соотношения ограничена на всей плоскости
3
2
R
2
, то ограничена и
4
b13 , b12
являются ограниченными функциями на всей числовой
2
плоскости R . Но тогда по теореме Лиувилля аналитические функции
ются постоянными. Это означает, что
3
b11
z
1
и
2
z
явля-
2 H 0 c1;
3
b22
c1;
3
b12
c2 ;
4
b11
c3 ;
4
b12
c4 ;
4
b22
c3 ;
c , c2 , c3 , c4 - некоторые постоянные.
где 1
Так как уравнения Петерсона-Кодацци выполнены, проверим выполнимость уравнений Гаусса и Риччи.
Имеем для уравнения Гаусса:
2
2
c2
c4
2
c1 2 H 0 c1
c3 ;
для уравнения Риччи:
c3 c2
Рассмотрим
II 3
2H 0
две
c1 du
1 2
c4 H 0 c1
квадратичные
1
2c2du du
2
c1 du
0
.
ds
формы:
привести к каноническому виду:
c1 , c2
II 4
ds
1 2
du
2 2
и
– некоторые постоянные. Но тогда и форма
c3 du
1 2
c4 du
du
2 2
и
.
Известно, что линейным преобразованием переменных
du
1 2
du
2 2
1
2
2
u ,u
2
их можно одновременно
1 2
c2 du
2 2
II 3
c1 du
II 4
примет канонический вид
, где
2 2
, что соответствует рисунку 2:
31
Вестник ТГПИ
Естественные науки
n4
A 0;1
c4
H0
c
2
H0
H0
c1
c2
u
c
2
H
c3
H0
n3
c
B 1;0
Рис. 2. Индикатриса кривизны в линиях кривизны
c
Здесь 1
c2
2 H 0 ; c3
Уравнение Гаусса дает:
c4 .
2
c1 2 H 0 c1
c3
0.
2
Уравнение Риччи выполняется тождественно. Отсюда следует, что
или
c1
Мы
c2
2
H0
H0
2
H0
.
считать,
что
c1
2
H0
H0
2
c3
,
где
c3
–
произвольно;
c3
.
Отсюда следует, что искомая поверхность лежит на гиперсфере радиуса
ем:
c3
; r
H0
тогда
2
r
sin
0;
2
c3
H0
можем
2
c1` 2 H 0c1 c3
1
1
c3 , так как име-
c3
H 0 sin
.
§3. Доказательство теоремы.
Ранее было показано, что все решения уравнений Гаусса-Петерсона-Кодацци-Риччи, выпи-
ds
санные для плоской метрики
виями
0
и
H
2
dx
2
2
2
dy , заданной на всей числовой плоскости R , с усло-
0 , могут быть приведены к виду:
1 0
;
0 1
gij
3
bij
H0
2
H0
c
2
0
H0
c
0
4
bij
i
где
32
H0 , c
0
0
;
c
0,0 ;
– произвольные вещественные постоянные.
2
H0
c
2
;
(
*)
Раздел I
Алгебра и геометрия
x, y
Так как область изменения параметров
R
есть вся числовая плоскость
2
, то соглас-
4
но теореме 2 в пространстве E существуют поверхности
и их нормальные оснащения,
имеющие указанные функции в качестве коэффициентов основных форм поверхности.
Изучим более подробно все варианты указанных поверхностей
Пусть H 0
0 . Тогда необходимо имеем
Это означает, что поверхность
Далее считаем H 0
0 . Пусть
c 0,
в
E
E
II n 4
тогда
II n3
и потому
есть двумерная плоскость
кажем, что в этом случае поверхность
C
c 0,
2
в
.
E
II n 4
34
0
.
4
.
2
0; II n3
2 H 0 dx ;
34
0
. По-
есть универсальная накрывающая круглого цилиндра
3
.
Подсчитаем основные формы цилиндра
C: r
C:
1
1
cos 2 H 0 x ;
sin 2 H 0 x ; y;0 ; 0 x
2H 0
2H 0
H0
;
y
.
Имеем
rx
r xx
sin 2 H 0 x ;cos 2 H 0 x ;0;0 ;
2 H 0 cos 2 H 0 x ; 2 H 0 sin 2 H 0 x ;0;0 ;
ry
0;0;1;0 ;
r yy
0;0;0;0 ;
r xy
0;0;0;0 ;
g11 1, g12
3
b11
0, g 22 1;
3
3
2 H 0 , b12
4
0, b22
4
4
b11 b12
b22
3
3
14
24
0;
0;
0.
Сравнивая полученные значения коэффициентов основных форм цилиндра C со значениями соответствующих коэффициентов по формулам (*), убеждаемся в силу теоремы 2, что случай
H0
0, c
0
крывающая C .
приводит нас к круговому цилиндру в E
Будем считать, что
Рассмотрим в
E
H0
3
4
E , т.е.
есть универсальная на-
0, c 0 .
4
тор Клиффорда
T
2
, заданный уравнением
33
Вестник ТГПИ
Естественные науки
1
1
1
1
cos au; sin au; cos bv; sin bv ;
a
a
b
b
2
2
;0 v
; a const ; b const.
a
b
2
T :r
0 u
Имеем:
ru
sin au;cos au;0;0 ;
rv
0;0; sin bv;cos bv ;
n3
cos au; sin au;0;0 ;
n4
0;0; cos bv; sin bv ;
r uu
a cos au; a sin au;0;0 ;
r uv
0;0;0;0 ;
r vv
0;0; b cos bv; b sin bv ;
g11 1, g12
34
H
13,4
du
23,4
0, g 22 1;
2
II n3
adu ;
II n 4
bdv ;
dv
2
n 4 , n34 du
n 4 , n32 dv 0;
4
a
b
, H
;
2
2
a
a
b
b
cos au; sin au; cos bv; sin bv .
2
2
2
2
3
H
Положим
1
n3
a
2
b
a cos au; a sin au; b cos bv; b sin bv ;
2
3
a
b11
a
2
2
1
n4
a
2
b
b
a
2
b
2 2
H0
H0
ab
a
2
b
, b12
a
2
a
2
a
4
, b12
2
2
b
2
ab
0, b 22
a
2
;
2
2
b
;
2
2 2
b
2
2
, H0
H0
ab
c
a
34
b
0, b22
4
ab
b11
2
2
3
b cos au; b sin au; a cos bv; a sin bv ;
2
4
3
2
b
2
;
ab
a
2
b
b
2
a
2
2
b
2
;
Раздел I
Алгебра и геометрия
1 2
a
2
H0
3
b11
1 2
a
2
1 2
a
2
3
b 22
b
b
H0
2
2
b
2
a
b
2 a
b
a
2
2
2
2
2
b
2
b
b
1a
2
2
2
a
2 2
2
a
2
2
b
2
b
2
a
2
2
a b
a
2
a
2
H0
a
cH 0
2
a
a
a
2
b
2
b
a
2
b
2
b
2
b
2
;
2
b
2
2
b
2
.
2
совпадают со значениями, опре-
cH 0 ;
cH 0 ,
cH 0 ;
2
cH 0
2
b
a
2
2
cH 0 ,
2
2
2
2
b
2
T
b
4 a
2
2
2
2
a
b
2
4 H0
a b 2 H0
H0
b
2
2
b ,
2
2
2
a
a
2
b
4 H0
a b 2 H0
2a
2
b
2ab,
4H 0
2
b
2
4 a
2
Это означает, что коэффициенты основных форм тора
деленных формулами (*). В самом деле, имеем
a b
a
2
1 2
a b
2
2
4cH 0
,
cH 0 ,
2
1 2
a b
2
ab
a
b
b
1a
2
2
cH 0
2
2
2
b
b
2 a
H0
2 2
2
2
a
cH 0
ab
4
2
H0
a
2
2
cH 0
2
4
2
1 2
a b
2
1 2
a
2
H0
a
2
b
2
a
2
b ;
2
b
H0
2
H0
cH 0 ,
cH 0 ;
2
4H 0 ;
2
2H 0 ;
1
2
H0
c
H0 c ,
1
2
H0
c
H0 c .
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Картан Э. Риманова геометрия в ортогональном репере. М.: Изд-во Москв. гос. ун-та, 1960.
35
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа