close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Постановки и интегральные методы анализа спектральных задач устойчивости в механике сплошных сред.

код для вставкиСкачать
2098
Фундаментальные проблемы теоретической и прикладной механики
Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (5), с. 2098–2099
УДК 539.374
ПОСТАНОВКИ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА
СПЕКТРАЛЬНЫХ ЗАДАЧ УСТОЙЧИВОСТИ В МЕХАНИКЕ СПЛОШНЫХ СРЕД
 2011 г.
Д.В. Георгиевский
Московский госуниверситет им. М.В. Ломоносова
georgiev@mech.math.msu.su
Поступила в редакцию 24.08.2011
Приводятся постановки новых линеаризованных задач устойчивости деформирования несжимаемых
материалов с определяющими соотношениями, которые могут включать в себя тензорно нелинейные функции. Описываются случаи, когда эти задачи сводятся к спектральным проблемам устойчивости. Развиваются методы интегральных соотношений, позволяющие получать достаточные оценки устойчивости относительно того или иного класса возмущений.
Ключевые слова: динамика, устойчивость, спектральные проблемы, тензорные функции, определяющие
соотношения, интегральные оценки.
Решение линеаризованной системы уравнений устойчивости невозмущенного процесса деформирования несжимаемого материала, задаваемого известными распределениями давления
p°(x, t), скорости v°(x, t) и напряжений ( − p∼I + s∼) ×
×(x, t); x ∈ Ωt ⊂ R3, t > 0, относительно неизвестных возмущений δp(x, t), δv(x, t) и δs∼(x, t) заключается в решении в области Ωt трех уравнений
движения и условия несжимаемости
− gradδp + divδ∼s( δv ) =
o
o
 ∂A  v o : δv  ∂A  v o2 : δv
δ Aα =  α  ∼ o ∼ +  α  ∼ o2 ∼ . (5)
 ∂I v 2  I v 2
 ∂I v 3  I v 3
Для тензорно линейных или квазилинейных
определяющих соотношений (3) скалярные связи (5) записываются в более простом виде

A1o ( I v 2 ) δ∼v + 
o
∂A1  v∼ o : δv∼ o

v.
δ∼s =
(6)
o
∼
 ∂I v 2  I v 2
Для тела Бингама с пределом текучести σs и динамической вязкостью µ из (6) следует
∂δv
= ρ 
+ ( δv ⊗ ∇) ⋅ vo + ( vo ⊗ ∇) ⋅ δv  , (1)
∂
t


σ

v o : δv
(2)
div δv = 0 .
δs∼ =  os + 2µ  δv∼ − σ s ∼ o3 ∼ v∼ o.
(7)
I v2
 I v2

Незамкнутая система (1), (2) должна быть
Замкнутая система уравнений в возмущенидополнена связью δ∼s( δv), следующей из линеаризации тензорно нелинейных определяющих со- ях должна быть дополнена граничными условиями, заданными на невозмущенной поверхности
отношений материала [1]:
∂Ωt области Ωt, вообще говоря, меняющей свое
1


s∼o = A1 ( I vo2 , I vo3 ) v∼ o + A2 ( I vo2 , I vo3 )  v∼o2 − I vo22∼I  ,
положение в R3 со временем. Чаще всего, в силу
3


простоты, выбираются условия прилипания
v~o = def vo , I vo2 = tr v∼ o2 , I vo3 = 3 tr v∼ o3 , (3) δv ∂Ω t = 0 , однако могут быть использованы статические условия либо требования свободной
где I vo2 и I vo3 − квадратичный и кубический инграницы.
o
варианты тензора скоростей деформаций v∼ ( x , t ) ;
Одними из методов исследования линеаризоAαo ≡ Aα ( I vo2 , I vo3 ) , α = 1, 2, − материальные фунванной системы уравнений (1), (2), (4), (5) с сооткции определяющих соотношений (3), не меняюветствующими граничными условиями являются
щиеся при переходе из основного процесса в возметоды интегральных соотношений, интенсивно
мущенный. Эта тензорная связь имеет общий вид
развиваемые в последние десятилетия примени
o
o
o 2 1 o2 
тельно к материалам со сложными определяющиδ∼s = v∼ δA1 + A1 δv∼ +  ∼v − I v 2 ∼I δA2 +
3
ми
соотношениями [2−4]. Эти методы позволяют


получать
достаточные оценки устойчивости про1
+ A2o  v∼ o ⋅ δv∼ + δv∼ ⋅ v∼ o − ( v∼ o : δ∼v )I∼  ,
(4) цесса, не находя точного либо приближенного
3


решения линеаризованной задачи в каждой точ-
Постановки и интегральные методы анализа спектральных задач устойчивости в механике сплошных сред
ке x ∈ Ωt в любой момент t .
Большое внимание в исследовании уделяется
частному случаю кинематики v°( x, t) невозмущенного процесса, а именно, одномерному плоскопараллельному установившемуся сдвигу vio ( x, t ) =
= v o ( x2 )δ1i , v° ∈ C2(0; 1), в слое 0 < x2 < 1. Для
материалов с квазилинейной тензорной связью ∼s
и ∼v система (1), (2), (6) редуцируется к одному
уравнению
′
 d2

2
•
2
2  To


′
′
′
+ s [To ( ϕ + s ϕ )] − 4 s  o ϕ  =
 dx 2


U
 2

(8)
= ( α + isv o )(ϕ ′ − s 2 ϕ) − isvo′′ϕ,
δv1 = ∂δψ/ ∂x2 , δv2 = −∂δψ/ ∂x1;
δψ( x1 , x2 , t ) =
= ϕ( x2 ) exp( isx1 + αt ), s > 0, α ∈ C,
To = so : so / 2 , U o = 2v o : vo ≡ 2 I vo2 ;
∼ ∼
∼ ∼
2To o
dT o
o
o
s = o v , To ≡ T (U ( x )), To• ≡
(U ( x)),
∼
dU
U ∼
o
o
o
U o = 2 | v12
|=| v o′ |, s12
= Tosign v12
;
To (0) = 0, To• U ≥ 0 > 0,
являющемуся обобщением классического уравнения Орра−Зоммерфельда в линеаризованной теории устойчивости в механике сплошных сред. В
уравнении (8) α − спектральный параметр, s − волновое число возмущения вдоль оси x1; To (U o ) −
2099
материальная функция упрочнения или реологическая кривая.
Выводятся обобщения теоремы Сквайра применительно к спектральным задачам для уравнения (8) [5], даются новые, более сильные чем ранее, оценки устойчивости [6, 7].
Список литературы
1. Победря Б.Е., Георгиевский Д.В. Основы механики сплошной среды. М.: Физматлит, 2006. 272 с.
2. Георгиевский Д.В. Устойчивость процессов деформирования вязкопластических тел. М.: УРСС, 1998.
176 с.
3. Климов Д.М., Петров А.Г., Георгиевский Д.В.
Вязкопластические течения: динамический хаос, устойчивость, перемешивание. М.: Наука, 2006. 394 с.
4. Георгиевский Д.В. Вариационные оценки и метод интегральных соотношений в задачах устойчивости // Современная математика. Фундаментальные направления. 2007. Т. 23. С. 96−146.
5. Georgievskii D.V. Applicability of the squire
transformation in linearized problems on shear stability //
Russian Journal of Mathematical Physics. 2009. V. 16,
No 4. P. 478−483.
6. Георгиевский Д.В. Новые оценки устойчивости
одномерных плоскопараллельных течений вязкой несжимаемой жидкости // ПММ. 2010. Т. 74, №4.
С. 633−644.
7. Георгиевский Д.В. Обобщенные оценки Джозефа устойчивости плоских сдвиговых течений со скалярной нелинейностью // Изв. РАН. Сер. физическая.
2010. Т. 74, №12. С. 1809−1812.
THE FORMULATIONS AND INTEGRAL METHODS OF THE ANALYSIS OF SPECTRAL PROBLEMS
OF STABILITY IN CONTINUUM MECHANICS
D.V. Georgievskii
Formulations of new linearized problems of stability of deformation processes in incompressible materials with constitutive
relations which can include tensor nonlinear functions are presented. Examples of reduction of these problems to spectral
problems of stability are described. Integral equation methods permitting to obtain the sufficient stability estimates (with
respect to the certain perturbation class) are developed.
Keywords: dynamics, stability, spectral problems, tensor functions, constitutive relations, integral estimates.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
8
Размер файла
608 Кб
Теги
анализа, среды, механика, метод, интегральная, спектральная, устойчивость, задачи, сплошных, постановка
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа