close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Потенциалы для линеаризованного уравнения Кавахары.

код для вставкиСкачать
Вестник РУДН
Серия Математика. Информатика. Физика.
№ 3 (1). 2010. С. 5–16
Математика
УДК 517.958
Потенциалы для линеаризованного уравнения
Кавахары
Р. В. Кувшинов
Кафедра нелинейного анализа и оптимизации
Российский университет дружбы народов
ул. Миклухо-Маклая, д. 6, 117198, Москва, Россия
Исследуются свойства решений потенциального типа смешанной задачи в полуполосе
для линеаризованного уравнения Кавахары.
Ключевые слова: линеаризованное уравнение Кавахары, решения потенциального типа.
1.
Введение
В настоящей работе исследуются свойства решений потенциального типа смешанной задачи для линеаризованного уравнения Кавахары
 −  +  +  =  (, )
(1)
( и  некоторые действительные константы) в левой полуполосе Π−
 = (0,  )×R−
(R− = (0, −∞),  > 0 — произвольно).
Для данной задачи установим начальное условие:
(0, ) = 0 (),
 < 0;
(2)
и для  ∈ [0,  ] следующие граничные условия:
(, 0) = 1 (),
 (, 0) = 2 (),
 (, 0) = 3 ().
(3)
Впервые уравнение  −  +  +  +  =  (, ) было получено Кавахарой в 1972 году в работе [1] для описания длинных нелинейных волн в средах
со слабой дисперсией (см. также [2, 3]). В литературе уравнение Кавахары также
называют уравнением Кортевега–де Фриза (КдФ) 5-го порядка или сингулярно
возмущённым уравнением КдФ (см. [4, 5])  +  +  +  =  (, ).
В работах [6, 7] строятся решения потенциального типа для уравнения КдФ
и далее используются для доказательства глобальной корректности смешанной
задачи. Глобальная корректность смешанной задачи для уравнения Кавахары
в полуполосе Π+
 была установлена в работе [8], где было построено решение,
представленное в виде суммы потенциалов.
В статье [9] с помощью потенциалов исследованы вопросы существования и
единственности слабых решений смешанной задачи для обобщённого уравнения
Кавахары в Π+
 , если начальная функция (возможно, с некоторым степенным
весом на +∞) принадлежит пространствам 2 или  2 .
Основным результатом настоящей работы является построение и изучение
свойств решений потенциального типа для линеаризованного уравнения Кавахары при 0 ≡ 0,  ≡ 0, 1 ∈  (+2)/5 (0,  ), 2 ∈  (+1)/5 (0,  ), 3 ∈  /5 (0,  ),
 > 0 целое. Подобные условия гладкости граничных данных являются естественными, поскольку индуцированы свойствами оператора  − 5 в следующем
Статья поступила в редакцию 12 апреля 2010 г.
6
Кувшинов Р. В.
смысле. Рассмотрим задачу Коши для линеаризованного однородного уравнения
Кавахары при  =  = 0
 −  = 0,
(0, ) = 0 ().
Тогда, если 0 ∈   (R) для некоторого  ∈ R, то, как легко показать методами
работы [10], существует единственное решение этой задачи (, ) ∈ (R ;   (R))
и для любого  ∈ R выполняются соотношения
1/5
2/5
‖ (·, )‖ /5 (R ) = ‖  (·, )‖ /5 (R ) = ‖ (·, )‖ /5 (R ) = ()‖0 ‖  (R) .
2.
Обозначения
Пусть () — некоторая функция, такая, что  ∈  ∞ (R), () > 0,  ′ () > 0
∀, () = 0 для  6 0, () = 1 для  > 1,  ′ () > 0 для 0 <  < 1. Положим
 ( ) = 5 −3 − . Далее, если не оговорено противное, будем считать, что  —
некоторый интервал на R (ограниченный или неограниченный), , , , ,  – целые неотрицательные числа,  ∈ [1, +∞],  ∈ R. Через  () обозначим пространство функций с непрерывными и ограниченными в  производными до порядка 
включительно. Положим  () = 0 (). Если интервал  ограничен, индекс 
будем опускать.
Символы ̂︀ ≡ ℱ[ ] и ℱ −1 [ ] используются соответственно для обозначения
прямого и обратного преобразований Фурье, понимаемых как операции в 2 (R).
В частности, для  ∈ (R) (пространство Шварца быстро убывающих функций)
∫︁
∫︁
1
−
−1
̂︀
 () = 
 ()d, ℱ [ ]() =
  ()d.
2
R
R
]︁
}︁
{︁
[︁
Положим   =   (R) =  : ℱ −1 (1 + ||) ̂︀() ∈ 2 (R) . Через   () обозначим пространство сужений на  функций из   . Свойства пространств  
можно найти, например, в [11].
В дальнейшем если  = R, то символ R в обозначениях для функциональных
пространств будем опускать:  =  (R),  =  (R) и т.д., а если  = R+ или
 = R− , то будем использовать нижний индекс + или −, а именно: ,+ =  (R+ ),


∞
= 0∞ (R+ ),
,− =  (R− ), +
=   (R+ ), −
=   (R− ), ,+ =  (R+ ), 0,+




,+ =  (R+ ), ,− =  (R− ) и т.д.
Если ℬ – некоторое банахово пространство, то через  (; ℬ) будем обозначать
пространство непрерывных ограниченных отображений отрезка  в ℬ (если 
ограничен, то индекс , разумеется, опускается). Символы  (; ℬ) используются
в общепринятом смысле.
Будем использовать следующее простое интерполяционное неравенство. Пусть
 > 1,  ∈ [2, +∞],  < . Тогда для любого интервала  существует такая
константа  = (, , ), что для любого  ∈   ()
(︂
)︂
1
1 1
1−
()
() 
‖ ‖ () 6 ‖ ‖2 () ‖ ‖2 () + ‖ ‖2 () ,  =
+ −
.
(4)

2 
Решение рассматриваемой задачи строится в следующих классах функций.
Определение 1. Для  > 0 и  > 0 через  ((0,  ) × ) ( может быть R
или R− ) обозначим пространство функций (, ) таких, что
(︀
)︀
  ∈  [0,  ];  −5 () ,  6 /5,
(5)
Потенциалы для линеаризованного уравнения Кавахары
7
(︁
)︁
  ∈  ;  (−+2)/5 (0,  ) ,  6  + 2,
(︀
)︀
   ∈ 8 0,  ;  () , 5 +  6 ,
(6)
(7)
Основным результатом работы является доказательство теоремы о представлении решения линейной смешанной задачи с нулевыми начальной функцией и
правой частью.
3.
Потенциалы
Решение задачи Коши для уравнения (1) с  ≡ 0 и начальным условием (2)
при  ∈ R может быть записано в виде (см., например, [12])
[︁
]︁
5
3
(, ) = ℱ−1 ( + −) 
̂︀0 () () ≡ (, ; 0 ).
(8)
Тогда верна лемма
Лемма 1. Если 0 ∈   ,  ≡ 0, то для некоторого  > 0 решение (, )
задачи (1), (2) в пространстве  (Π ) (Π = (0,  ) × R) существует и для
любого 0 ∈ (0,  ] справедливо неравенство
‖‖ (Π0 ) 6 (, )‖0 ‖  .
(9)
Лемма доказана в статье [8].
Для построения решения потенциального типа для уравнения (1) нам понадобятся некоторые свойства корней алгебраического уравнения
5 − 3 −  −  = 0,
 ∈ R ∖ {0}.
(10)
Если  =  = 0, то корни этого уравнения тривиально находятся и среди них
есть ровно два корня 1 () и 2 () с положительной действительной частью и
один чисто мнимый корень 3 (). Тогда для произвольных  и  существует такое
0 (, ) > 0, что при || > 0 для некоторых констант ̃︀
 > 0 и ̃︀
1 > 0 корни
 () обладают следующими свойствами (нумерацию корней можно выбрать так,
чтобы они были непрерывны по ,  (−) =  (), при  = 1, 2 и 3):
Re  () > ̃︀
||1/5 ,
при  = 1, 2;
1/5
| () |6 ̃︀
1 | |
| () −  ()| > ̃︀
||1/5 ,
,
Re 3 () = 0;
при  = 1, 2, 3;
(11)
при ,  = 1, 2, 3 и  ̸= .
В дальнейшем без ограничения общности будем считать, что 0 (, ) > 1 для
любых  и .
Заметим, что для уравнения (10) существуют ещё 2 корня ˜1 () и ˜2 () с
отрицательной действительной частью и обладающие аналогичными свойствами (см. [8])
Re ˜ () 6 −̃︀
||1/5 ,
|˜
 ()| 6 ̃︀
1 ||1/5 ,
|˜
1 () − ˜2 ()| > ̃︀
||1/5 .
Корни ˜1 () и ˜2 () используются в статье [8] для построения граничного потенциала для однородного уравнения (1) в Π+
 , а именно, для  > 0 и некоторых
функций () ∈  (+2)/5 и () ∈  (+1)/5 (с дополнительным условием ()
̂︀
=
= ()
̂︀
= 0 при || < 0 (, )) строится потенциал вида
[︂
]︂
˜1 ()˜2 () − ˜2 ()˜1 ()
˜1 () − ˜2 ()
−1 
+
 (, ; , ) ≡ ℱ
()
̂︀
+
()
̂︀
.
˜1 () − ˜2 ()
˜1 () − ˜2 ()
8
Кувшинов Р. В.
Введём теперь функцию типа граничного потенциала для однородного уравнения (1) в Π−
.
Определение 2. Пусть граничные функции (3) 1 (), 2 (), 3 () ∈ 2 и 
̂︀1 () =

̂︀2 () = 
̂︀3 () = 0 при || < 0 (, ). Пусть также
⃒
⃒
⃒ 1 1 () 12 () ⃒
⃒
⃒
(︀
)︀
Δ ≡ Δ 1,  (), 2 () = ⃒⃒ 1 2 () 22 () ⃒⃒ = (3 − 2 )(3 − 1 )(2 − 1 ).
⃒ 1  () 2 () ⃒
3
3
(︀  ()
)︀
(︀
)︀
По аналогии с Δ определим Δ1  
,  (), 2 () , Δ2 1,  () , 2 () и
(︀
)︀
Δ3 1,  (),  () путём замены соответствующих столбцов на  () . Тогда
для  ∈ R и  6 0
[︂
]︂
Δ2
Δ3
−1 Δ1
(, ; 1 , 2 , 3 ) ≡ ℱ

̂︀1 () +

̂︀2 () +

̂︀3 () .
(12)
Δ
Δ
Δ
Теорема 1. Пусть 1 ∈  (+2)/5 , 2 ∈  (+1)/5 , 3 ∈  /5 для некоторого
 > 0, причём ()
̂︀
=
̂︀2 () = 
̂︀3 () = 0 при || < 0 (, ). Тогда для любого  > 0
имеет место неравенство
‖(·, ·; 1 , 2 , 3 )‖ (Π− ) 6 (, ) (‖1 ‖ (+2)/5 + ‖2 ‖ (+1)/5 + ‖3 ‖ /5 ) .
(13)

Доказательство. Преобразуем потенциал  следующим образом
⃒
[︂ 3 () (︂⃒
⃒1 () 12 ()⃒
−1 
̃︀
⃒
⃒ ̂︀1 ()−
 ≡  + ℱ
⃒ () 2 ()⃒ 
Δ
2
2
⃒
⃒
⃒
⃒
)︂]︂
[︁
]︁
⃒1 12 ()⃒
⃒1 1 ()⃒
̃︀ + ℱ−1 3 () () ,
⃒
⃒
⃒
⃒
− ⃒

̂︀
()
+

̂︀
()
≡

2
3
⃒1 2 ()⃒
1 22 ()⃒
где
⃒
⃒
[︂ 1 () (︂⃒
⃒1
⃒2 () 22 ()⃒
−1 
̃︀
⃒
⃒

̂︀1 () − ⃒⃒
 ≡ ℱ
2
⃒
⃒
Δ
3 () 3 ()
1
⃒
⃒
(︂⃒
2
2 ()
⃒1 () 1 ()⃒
⃒1

⃒
⃒
−
̂︀1 () − ⃒⃒
2
⃒
⃒
Δ
3 () 3 ()
1
⃒
⃒
⃒1
22 ()⃒⃒

̂︀2 () + ⃒⃒
2
⃒
1
3 ()
⃒
⃒
2
⃒1
1 ()⃒⃒

̂︀2 () + ⃒⃒
2
⃒
1
3 ()
⃒
)︂
1 ()⃒⃒

̂︀ () −
3 ()⃒ 3
⃒
)︂]︂
1 ()⃒⃒

̂︀ () .
3 ()⃒ 3
Так как 3 () — чисто мнимый корень уравнения (10), то его можно представить в виде 3 () = (). Нетрудно видеть, что функция () — непрерывна и
монотонна при || > 0 , и обладает свойствами: |()| 6 ||1/5 , ′ () — непре1
6 ||4/5 . Сделав замену  = (), получим
рывна и |′ ()|
]︁
[︁
]︁
[︁ −1
ℱ−1 3 () () = ℱ−1  () (−1 ())(−1 ())′ =
(︀
[︀
]︀)︀
=  , , ℱ−1 (−1 ())(−1 ())′ ,
где −1 () =  5 +  3 − .
Воспользуемся неравенством (9)
⃦ (︀
[︀
]︀)︀⃦
⃦ , , ℱ−1 (−1 ())(−1 ())′ ⃦
6
 (Π )
⃦ −1 [︀
⃦
⃦
]︀⃦
6 ⃦ℱ (−1 ())(−1 ())′ ⃦  6  ⃦(1 + ||) (−1 ())(−1 ())′ ⃦2 =
Потенциалы для линеаризованного уравнения Кавахары
⎛
∫︁
= ⎝
9
⎞1/2
)︁2
(︁(︀
⃒
)︀
(︀
)︀⃒
′
2
=
d ⎠
−1 ()
(1 + ||)2 ⃒ −1 () ⃒
R
⎞1/2
⎛
∫︁
= ⎝
(1 + |()|)
2
−1
2 () (′ ())
d⎠
6
R
⃦
⃦(︁
)︁ (︁
)︁
⃦
⃦
1/5
3/5
2/5
1/5
2/5
3/5 ⃦
⃦
|̂︀
1 ()| || + |̂︀
2 ()| || + |̂︀
3 ()| ||
|| /|| ⃦
6 1 ⃦ 1 + ||
6
2
6 (, ) (‖1 ‖ (+2)/5 + ‖2 ‖ (+1)/5 + ‖3 ‖ /5 ) .
Для оценки ̃︀ в норме (5) воспользуемся неравенством, установленным в [13]:
если некоторая непрерывная функция () удовлетворяет неравенству Re () >
|| для некоторого  > 0 и любого  ∈ R, то
⃦
⃦ ∫︁
⃦
⃦
⃦ ()  ()d ⃦
6 ()‖ ‖2 .
⃦
⃦

2,−
R
Тогда для любого  заменой  =  5 с учётом неравенств (11) получим, что равномерно по  ∈ R выполняется цепочка неравенств
⃦ ∫︁
⃒
⃒
⃒
[︂
(︂⃒
⃦
⃒1 22 ()⃒
1 () ⃒⃒2 () 22 ()⃒⃒
⃦

 ̃︀

⃒
1 ()
‖ ‖2,− = ⃦ 
̂︀1 () − ⃒⃒
̂︀2 ()+
⃒ () 2 ()⃒ 
⃦
Δ
1 32 ()⃒
3
3
R
⃒
⃒
⃒
(︂⃒
)︂
⃒1 2 ()⃒
2 () ⃒⃒1 () 12 ()⃒⃒

⃒
⃒
+ ⃒

̂︀ () − 2 ()
̂︀1 ()−
⃒ () 2 ()⃒ 
1 3 ()⃒ 3
Δ
3
3
⃦
⃒
⃒
⃒
⃒
)︂ ]︂⃦
⃒1 12 ()⃒
⃒1 1 ()⃒
⃦
⃒
⃒
⃒
⃒
− ⃒

̂︀2 () + ⃒

̂︀ () d ⃦
6
1 3 ()⃒ 3
⃦
1 32 ()⃒
2,−
⃦ ∫︁
⃦ (︁
)︁ (︁
⃦
6 ⃦
Re 1 () + Re 2 () ||/5 |̂︀
1 ()|+
⃦
R
⃦
)︁ ⃦
⃦
+||(−1)/5 |̂︀
2 ()| + ||(−2)/5 |̂︀
3 ()| d⃦
6
⃦
2,−
6 1 (‖
+4
̂︀3 ( 5 )‖2 ) 6
̂︀2 ( )‖2 + ‖ 

̂︀1 ( )‖2 + ‖ 
6 2 (‖1 ‖ (+2)/5 + ‖2 ‖ (+1)/5 + ‖3 ‖ /5 ).
5
+3
5
+2
Оценка в норме (6) очевидна при  < 0, поскольку Re  > 0,  = 1, 2.
Оценка   ̃︀ в норме 8 (0,  ; [−1, 0]) следует из уже установленных оценок в
нормах (5), (6) и интерполяционного неравенства (4) (где следует взять  = 2,
 = 0,  = +∞):
⃦
⃦
⃦  ̃︀⃦
⃦  ⃦
8 (0, ;[−1,0])
6
⎛ 
∫︁ (︂⃦
⃦1/4
⃦
⃦
⎝
6
 ⃦+2 ̃︀⃦
2 (−1,0)
0
⃦
⃦
⃦  ̃︀⃦3/4
⃦  ⃦
2 (−1,0)
⃦
⃦
⃦
⃦
+ ⃦ ̃︀⃦
)︂8
2 (−1,0)
⎞1/8
d⎠
6
10
Кувшинов Р. В.
⎛
6 1
⃦
⃦3/4
⃦
⃦
sup ⃦ ̃︀⃦
2 (−1;0)
∈[0, ]
6 2
∫︁ (︂⃦
⃦
⃦ +2 ̃︀⃦1/4
⎝
⃦  ⃦
2 (−1,0)
⃦
⃦1/4
⃦
⃦
+ ⃦ ̃︀⃦
⎞1/8
)︂8
2 (−1,0)
d⎠
6
0
⃦3/4
⃦
⃦
⃦
sup ⃦ ̃︀⃦
∈[0, ]
sup
2 (−1,0) ∈[−1,0]
(︂⃦
⃦
⃦ +2 ̃︀⃦1/4
⃦  ⃦
2 (0, )
⃦1/4
⃦
⃦
⃦
+ ⃦ ̃︀⃦
)︂
2 (0, )
6
6 3 (‖1 ‖ (+2)/5 + ‖2 ‖ (+1)/5 + ‖3 ‖ /5 ) .
Для оценки в норме 8 (0,  ; [−∞, −1]) заметим, что для любого 0 < 0 и ,  > 0
верно неравенство
⃒
⃒
⃒
⃒
sup ⃒  ̃︀⃒ 6 (0 , , ) (‖1 ‖2 + ‖2 ‖2 + ‖3 ‖2 ) ,
60
∈R
которое очевидно следует из свойств корней  (). Тогда оценка ̃︀ в норме
8 (0,  ; [−∞, −1]) вытекает из этого неравенства.
Рассмотрим задачу в Π−
 для уравнения (1) с начальными и граничными данными (2), (3). Корректность этой задачи установлена в [14]. Целью нашего исследования является уточнение некоторых свойств решений задачи (1)–(3).
̃︀0 () ≡ 0 () и для
Начнём с одного вспомогательного результата. Положим 
любого натурального 
̃︀ () ≡ −1  (0, ) +  ( )
̃︀−1 ().

()


для любого ,  ≡ 0, 1 (0) =
Лемма 2. Пусть 0 ∈ −
, 1 , 2 , 3 ∈ 1,+
()
()
′
′′
̃︀
̃︀
̃︀
 (0), 2 (0) =  (0), 3 (0) =  (0) для любого . Тогда существует единственное бесконечно дифференцируемое решение (, ) задачи (1)–(3) такое,
что для любого , если 5 +  6 5, то
(︁
)︁
⃦   ⃦
⃦  ⃦

6
()
‖
‖
+
‖
‖
+
‖
‖
+
‖
‖
. (14)
5
+1
+1
+1
0
1
2
3
−



 (R ;2,− )

+
1,+
1,+
1,+
Доказательство. Положим
(, ) ≡ 1 ()(1 + ) + 2 ()(1 + ) + 3 ()
2
(1 + )
2
и перейдём от исходной задачи к задаче такого же типа для функции
(, ) ≡ (, ) − (, ) с нулевыми краевыми условиями, начальной функцией
0 ≡ 0 − (0, ·) и правой частью  ≡  ( ) −  . Рассмотрим линейный опера5
тор  =  ( ) в 2,− с областью определения () = { ∈ −
: (0) = ′ (0) =
′′ (0) = 0}. Этот оператор является диссипативным: (, ) = 0, и замкнутым.
Диссипативным является и сопряжённый оператор * = − ( ) с областью опре5
деления (* ) = { ∈ −
: (0) =  ′ (0) = 0}. Если замкнутый оператор диссипативен вместе со своим сопряжённым, то этот оператор порождает сжимающую
полугруппу класса 0 (см., например, [15]), откуда (заметим, что 0 ∈ () в
силу условий согласования) вытекает существование единственного решения , а
следовательно, и , для которого неравенство (14) выполнено при  = 0.
Дифференцированием уравнения (1) по  и аналогичными рассуждениями для
соответствующей смешанной задачи для производной  получаем сначала неравенство (14) при  =  = 1, а затем (выражая 5  из самого уравнения (1) и
используя (4) для оценки младших производных) при  = 1,  = 0.
Установим теперь теорему о представлении решения линейной смешанной задачи с нулевыми начальной функцией и правой частью.
Потенциалы для линеаризованного уравнения Кавахары
11
Определение 3. Пусть 0 ≡ 0, 1 , 2 , 3 ∈ 2 (0,  ),  ≡ 0. Тогда функция
(, ) ∈ 2 ((0,  ) × (−0 , 0)) для любого 0 > 0 называется обобщённым решени5
ем задачи (1)–(3), если для любой функции (, ), такой, что  ∈ 2 (0,  ; −
),
 ∈ 2 (0,  ; 2,− ) и такой, что (, ) ≡ 0 при  6 −0 для некоторого 0 > 0,
|= = 0, |=0 =  |=0 = 0, выполняется интегральное тождество
∫︁
∫︁ ∫︁
[ ( −  +  +  )] dd +
Π−

(1 () ( (, 0) −  (, 0)) −
0
−2 () (, 0) + 3 () (, 0)) d = 0.
Теорема 2. Пусть 0 ≡ 0,  ≡ 0, 1 ∈  2/5 , 2 ∈  1/5 , 3 ∈ 2 и 1 () =
2 () = 3 () = 0 при  < 0. Тогда для любого  > 0 в Π−
 существует обобщённое
решение задачи (1)–(3), вида
(, ) = (, ; 
˘1 , 
˘2 , 
˘3 ) + (, ),
(15)
где
1 ()](),

˘1 () ≡ ℱ −1 [(1 − 0 ())̂︀
2 ()](),

˘2 () ≡ ℱ −1 [(1 − 0 ())̂︀
3 ()]()

˘3 () ≡ ℱ −1 [(1 − 0 ())̂︀
(0 — характеристическая функция интервала (−0 , 0 )), а функция  бесконечно дифференцируема при  > 0,  6 0 и для любых , , 0 > 0 выполняется
неравенство
⃦   ⃦
⃦  ⃦
(16)
6 (0 , , ) (‖1 ‖2 + ‖2 ‖2 + ‖3 ‖2 ) .
([0, ];[−0 , 0])
∞
Доказательство. Пусть 1 , 2 , 3 ∈ 0,+
, и рассмотрим построенное в предыдущей лемме гладкое решение (, ) для задачи (1)–(3). Применим преобразование Лапласа для  =  + , где  > 0, а именно положим
+∞
∫︁
(,
̃︀ ) ≡
− (, )d.
0
Тогда функция 
̃︀ для любого  удовлетворяет следующему уравнению (при  6 0)
и граничным условиям:
̃︀
(, ) −  ( )̃︀
(, ) = 0,
(,
̃︀ 0) = 
̃︀1 (),

̃︀ (, 0) = 
̃︀2 (),

̃︀ (, 0) = 
̃︀3 (),
где 
̃︀1 , 
̃︀2 , 
̃︀3 – преобразования Лапласа функций 1 , 2 , и 3 соответственно.
Характеристическое уравнение 5 − 3 −  −  −  = 0 имеет ровно три
корня 1 (, ), 2 (, ) и 3 (, ) с положительной действительной частью. Поэтому
функцию 
̃︀ можно записать в виде
(,
̃︀ ) = 1 (, , )̃︀
1 () + 2 (, , )̃︀
2 ()+, 3 (, , )̃︀
3 (),
где в случае 1 ̸= 2 ̸= 3
1 =
Δ1
,
Δ
2 =
Δ2
,
Δ
3 =
Δ3
Δ
(17)
12
Кувшинов Р. В.
(смотри Определение 3); в случае равенства двух корней, например, 2 = 3 = 
12 + 1 ( − 1 − 2) 
2

+
 1  ,
( − 1 )2
( − 1 )2
2 − (2 − 12 ) 
2
−1 + ( − 1 ) 
1
 −
 1  ,  3 =
 +
1  ;
2 =
2
2
2
( − 1 )
( − 1 )
( − 1 )
( − 1 )2
1 =
и в случае равенства трёх корней 1 = 2 = 3 = 
1 = (1 −  +
2 2 
 ) ,
2
2 = ( − 2 )  ,
3 =
2 
 .
2
Функции 1 , 2 и 3 непрерывны (также как и производные любого порядка по
 этих функций), более того, их можно по непрерывности продолжить для  = 0
и равномерно по  ∈ [0, 1] при  6 0, для любого натурального :
(︁
)︁
⃒  ⃒
⃒ 1 ⃒ 6  ||/5 + ||(+1)/5  + ||(+2)/5 2 ,
)︁
(︁
⃒  ⃒
⃒ 2 ⃒ 6  ||/5 + ||/5  + ||(+1)/5 2 ,
(18)
(︁
)︁
⃒  ⃒
⃒ 3 ⃒ 6  ||/5 + ||/5 2 .
Для доказательства неравенств (18) воспользуемся следующими вспомогательными неравенствами.
Для любой выпуклого множества  и гладкой функции  () ∈ (),  ∈ C,
A) Если | ′ ()| 6  ( > 0) и ,  ′ ∈ , то выполняется неравенство
⃒
⃒
⃒  () −  ( ′ ) ⃒
⃒ 6 .
⃒
⃒
⃒  − ′
B) Если | ′′ ()| 6  ( > 0) и ,  ′ , 0 ∈ , то выполняется неравенство
⃒
⃒[︂
]︂
⃒  () −  (0 )  ( ′ ) −  (0 )
⃒
′ ⃒
⃒
−
/( −  )⃒ 6 2.
⃒
′
 − 0
 − 0
C) Если | ′′ ()| 6  ( > 0) и ,  ′ ∈ , то выполняется неравенство
⃒(︂
⃒
)︂
⃒  () −  ( ′ )
⃒
′
′ ⃒
⃒
−  () /( −  )⃒ 6 .
⃒
′
−
Перейдём теперь к доказательству (18). Рассмотрим сначала случай 1 ̸= 2 ̸= 3 .
Без ограничения общности можно считать, что 0 6 Re 1 6 Re 2 и 0 6 Re 1 6
Re 3 , и, если положить 3 = 3 − 1 , 2 = 2 − 1 (Re 3 > 0, Re 3 > 0), получим
1 =
2 =
1  2 3
2  1 3
3  1 2
−
+
=
(2 − 1 )(3 − 1 ) (2 − 1 )(3 − 2 ) (3 − 1 )(3 − 2 )
[︂
(︂ 3 
)︂
 − 2  3  − 1 2  − 1
= 1  1 + 1
−
−
+
3 − 2
3
2
(︂ 3 
)︂]︂
 − 1 2  − 1
12
+
−
,
3 − 2
3
2
−1  (2 + 3 )
2  (1 + 3 )
−3  (1 + 2 )
+
+
=
(2 − 1 )(3 − 1 ) (2 − 1 )(3 − 2 ) (3 − 1 )(3 − 2 )
Потенциалы для линеаризованного уравнения Кавахары
=  1  1 
3 =
[︂
2
3 − 2
(︂
 2  − 1  3  − 1
−
2
3
13
3  − 1 2  − 1 3  − 
+
−
3
2
3 −  2
]︂
2 
)︂
+
,
2 
 3 
 1 
−
+
=
(2 − 1 )(3 − 1 ) (2 − 1 )(3 − 2 ) (3 − 1 )(3 − 2 )
[︂
]︂
 1 
 3  − 1  2  − 1
=
.
−
3 −  2
3
2
Пусть  = { : Re  > 0}. Применим неравенство A) для  () ≡  , где в
разных случаях  = 3 ,  ′ = 2 или  = 3 ,  ′ = 0 или  = 2 ,  ′ = 0, а также
неравенство B) для  () ≡  , где  = 3 ,  ′ = 2 , 0 = 0. Так как Re  6 0, то
| ′ ()| 6 ||| | 6 ||, и | ′′ ()| 6 ||2 | | 6 ||2 . Поэтому выполняется (18) для
1 , 2 , 3 при  = 0.
Оценим теперь производную  функций 1 , 2 , 3 :
 1 = 1 1 + 1 
−1
∑︁
[︃
 1+1
=0
3− 3  − 2− 2 
+ 3−−1 3  +
3 −  2
+
 2
=
1 1
+
1 
−1
∑︁
[︃

1+1
−2
=0
2−−1 2 
]︃
3−−1 3  − 2−−1 2 
+ 1
,
3 −  2
3−−1 3  − 2−−1 2 
+
3 −  2
]︃
− 3 
− 2 


−


2
+ 3−−1 3  + 2−−1 2  − 3
,
3 −  2
 3 = 1 1 + 1 
−1
∑︁
=0
[︃

1
]︃
3−−1 3  − 2−−1 2 
.
3 − 2
Пусть  = { : Re  > 0}. Слагаемые 1 1 , 1 2 , 1 3 оцениваются аналогично 1 , 2 , 3 с учётом множителя 1 . Для доказательства оставшейся части
суммы применим неравенство A) для  () ≡  −  и для  () ≡  −−1  , где
 = 3 ,  ′ = 2 . Тогда получим, что для 1 , 2 , 3 выполняется (18) для  > 1.
Рассмотрим теперь случай равенства двух корней 2 = 3 =  ̸= 1 .
1) Случай 0 6 Re 1 6 Re . Если положить  =  − 1 (Re  > 0), получим
1 =
[︂
]︂
1  12 + 1 ( + 1 )( − 2)  ( + 1 )2
 +
=



[︂
(︂
)︂
]︂
12  − 1
 − 1
1 


=
1−
− 
− 21
+ 1 
,



[︂
]︂
1  2( + 1 ) − ( + 21 )  2( + 1 )
2 =
 −
=



[︂ 
(︂
)︂]︂
 −1
21  − 1
= 1  2
−  +
−  ,



14
Кувшинов Р. В.
]︂
[︂
]︂
1  −1 +   1
 1 
 − 1

3 =
 +
=
 −
.





[︂
Пусть  = { : Re  > 0}. Применим неравенство A) для  () ≡  , где
 = ,  ′ = 0, а также неравенство C) для  () ≡  , где  = ,  ′ = 0. Так
как Re  6 0, то | ′ ()| 6 ||| | 6 || и | ′′ ()| 6 ||2 | | 6 ||2 . Поэтому
выполняется неравенство (18) для 1 , 2 , 3 при  = 0.
Оценим теперь производную  функций 1 , 2 , 3 :
 1 = 1 1 + 1 
−1
∑︁
[︀
 1+1  −−1  ( + 1 )+
=0
]︀
+( −  − 1)1  −−2  + ( −  − 2) −−1  ,
 2
=
1 2
1 
+
−1
∑︁
[︀
 1 −( + 21 ) −−1  +
=0
]︀
+2( −  − 1)1  −−2  − ( −  − 2) −−1  ,
 3 = 1 3 + 1 
−1
∑︁
[︀
]︀
 1  −−1  + ( −  − 1) −−2  .
=0
Отсюда видно, что для 1 , 2 , 3 выполняется (18) для  > 1.
2) Случай 0 6 Re  6 Re 1 и, если положить  = 1 −  (Re  > 0), то получим
[︂
]︂
[︂
(︂
)︂]︂
2  − 1
 ( + )2 − ( + )( + 2) 2 

+
=
1 −  +
− ,
1 =





[︂
]︂
[︂
(︂
)︂]︂
 2 + ( + 2) 2
2  − 1

2 =
−
=
−
− ,





[︂
]︂
[︂
]︂

1 +  
  − 1
3 =
−
+
=
− .





Пусть  = { : Re  > 0}. Применим неравенство C) для  () ≡  , где  = 0,
 ′ = . Так как Re  6 0, то | ′ ()| 6 ||| | 6 || и | ′′ ()| 6 ||2 | | 6 ||2 .
Поэтому выполняется (18) для 1 , 2 , 3 при  = 0.
Оценим теперь производную  функций 1 , 2 , 3 :
⎧
[︂ 
]︂
 −1
⎪

⎪
 1 = 1 +   
−1 ,
⎪
⎪
⎨

−2
∑︁ 
[︀ −−2  ]︀
⎪



+2
⎪
⎪


=


+





+ −1 −1 [ 1 − 1 ] ,
1
1
⎪


⎩
 > 2,
=0
⎧
[︂
]︂
 − 1
⎪

⎪
,
 2 = 2 + 
1 − 2
⎪
⎪
⎨

−2
∑︁ 
[︀
]︀
⎪



⎪
⎪


=


−

 +1 2 −−2  + −1 −1 [ 2 − 2 ] ,
2
2
⎪
⎩ 
=0
 > 2,
Потенциалы для линеаризованного уравнения Кавахары
15
⎧
[︂ 
]︂
−1
⎪
 
⎪
 3 = 3 + 
,
⎪
⎪
⎨

−2
∑︁  [︀
]︀
⎪



⎪
⎪
   −−2  + −1 −1 [ 3 − 3 ] ,
⎪
⎩  3 =  3 + 
 > 2.
=0
Пусть  = { : Re  > 0}. Применим неравенство A) для  () ≡  , где
 = ,  ′ = 0. Так как Re  6 0, то | ′ ()| 6 ||| | 6 ||. Поэтому выполняется (18) для 1 , 2 , 3 при  > 1. Неравенства (18) в случае равенства трёх
корней 1 = 2 = 3 =  очевидны.
Применяя формулу обращения преобразования Лапласа и переходя к пределу
при  → +0 (что законно в силу (18)), из представления (17) выводим, что
(, ) = ℱ−1 [1 (, 0, )̂︀
1 () + 2 (, 0, )̂︀
2 () + 3 (, 0, )̂︀
3 ()]() =
= (, ; 
˘0 , 
˘1 , 
˘3 ) + ℱ−1 [(1 (, 0, )̂︀
1 () + 2 (, 0, )̂︀
2 ()+
+ 3 (, 0, )̂︀
3 ())0 ()]() ≡ (, ; 
˘0 , 
˘1 , 
˘3 ) + (, ).
Изучим свойства функции . Очевидно, что она бесконечно дифференцируема
при  6 0 и для любых ,  справедлива оценка
‖ (·, )‖  6 (, )(1 + 2 )(‖1 ‖2 + ‖2 ‖2 + ‖3 ‖2 ).
В общем случае утверждение теоремы получается замыканием на основе неравенств (13) и (16). Теорема доказана.
Литература
1. Kawahara T. Oscillatory Solitary Waves in Dispersive Media // J. Phys. Soc.
Japan. — 1972. — Vol. 33. — Pp. 260–264.
2. Марченко А. В. О длинных волнах в мелкой жидкости под ледяным покровом // Прикл. матем. мех. — 1988. — Т. 52. — С. 230–234.
3. Ильичев А. Т. О свойствах одного нелинейного эволюционного уравнения пятого порядка, описывающего волновые процессы в средах со слабой дисперсией // Труды МИАН. — 1989. — Т. 186. — С. 222–226.
4. Pomeau Y., Ramani A., Grammaticos B. Structural Stability of the Korteweg–
de Vries Solitons under a Singular Perturbation // Physica D. — 1988. — Vol. 31. —
Pp. 127–134.
5. Boyd J. P. Weakly Non–Local Solitons for Capillary–Gravity Waves: Fifth Degree
Korteweg–de Vries Equation // Physica D. — 1991. — Vol. 48. — Pp. 129–146.
6. Faminskii A. V. An Initial Boundary-Value Problem in a Half-Strip for the
Korteweg–de Vries Equation in Fractional-Order Sobolev Spaces // Comm. Partial
Differential Equations. — 2004. — Vol. 29. — Pp. 1653–1695.
7. Faminskii A. V. Global Well-Posedness of Two Initial-Boundary-Value Problems
for the Korteweg–de Vries Equation // Differential Integral Equations. — 2007. —
Vol. 20. — Pp. 601–642.
8. Кувшинов Р. В., Фаминский А. В. Смешанная задача в полуполосе для уравнения Кавахары // Дифференциальные уравнения. — 2009. — Т. 45. — С. 391–
402.
9. Сангаре К., Фаминский А. В. Слабые решения смешанной задачи в полуполосе для обощенного уравнения Кавахары // Математические заметки. —
2009. — Т. 85. — С. 98–109.
10. Kenig C. E., Ponce G., Vega L. Well-Posedness of the Initial Value Problem for
the Korteweg–de Vries Equation // J. Amer. Math. Soc. — 1991. — Vol. 4. —
Pp. 323–347.
11. Лионс Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. — М.: Мир, 1971.
16
Кувшинов Р. В.
12. Cui S., Tao S. Stricharts Estimates for Dispersive Equations and Solvability of the
Kawahara Equation // J. Math. Anal. Appl. — 2005. — Vol. 304. — Pp. 683–702.
13. Bona J. L., Sun S., Zhang B.-Y. A Nonhomogeneous Boundary–Value Problems
for the Korteweg-de Vries Equation in a Quarter–Plane // Trans. Amer. Math.
Soc. — 2002. — Vol. 354. — Pp. 427–490.
14. Волевич Л. Р., Гиндикин С. Г. Смешанная задача для (2+1)-гиперболических
уравнений // Труды ММО. — 1981. — Т. 43. — С. 197–259.
15. Иосида К. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1967.
UDC 517.958
Potentials for a Linearized Kawahara Equation
R. V. Kuvshinov
Department of Nonlinear Analysis and Optimization
Peoples’ Friendship University of Russia
6, Miklukho-Maklaya str., Moscow, Russia, 117198
Properties of special solutions of potential type for a linearized Kawahara equation in a
half-strip are studied.
Key words and phrases: linearized Kawahara equation, solutions of potential type.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
642 Кб
Теги
линеаризованной, уравнения, кавахары, потенциал
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа