close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Представление общего решения многомерных неклассических систем уравнений высшего порядка.

код для вставкиСкачать
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН
2015, том 58, №4
МАТЕМАТИКА
УДК 517.953
Д.Х.Сафаров, С.С.Мирзоев
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ МНОГОМЕРНЫХ
НЕКЛАССИЧЕСКИХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА
Таджикский национальный университет
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан З.Д.Усмановым 05.01.2015 г.)
В работе конструируются многомерные неклассические системы уравнений с частными
производными высшего порядка, обладающих одним семейством многократных вещественных
характеристик, и найдены представления их общего решения.
Ключевые слова: неклассические системы уравнений – бигармонические функции –
полигармонические функции – представление общего решения – семейство вещественных
характеристик.
Неклассические системы уравнений с частными производными второго (и выше) порядка и
связанные с ними задачи рассматривались в работах [1-4]. В частности, в работах [3,4]
рассматривалась неклассическая система уравнений второго порядка относительно вектор-функции
U (t, x)  (u1, u2 ,
, un )
 2U
 grad (divU )  0 ,
t 2
(1)
оператор левой части которой вместе с оператором Лапласа s(t , x ) по всем переменным
пространства R n 1 получаются из квадрата оператора D , определяемого левой частью следующей
системы:
s u1 u2



t x1 x2

un
 0,
xn
s u1

 0,
x1 t
s un

 0.
xn t
Найдена формула представления общего решения системы (1) в виде
U (t, x)  gradH  tW  V ,
(2)
Адрес для корреспонденции: Сафаров Джума Холович. 734025, Республика Таджикистан, г. Душанбе,
пр. Рудаки, 17, Таджикский национальный университет. E-mail:safarovdh@mail.ru
285
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2015, том 58, №4
где H – регулярная гармоническая в R n 1 функция, а W и V – произвольные достаточно гладкие в
R n вектор-функции, удовлетворяющие соотношениям
divW  0 , divV  0 ,
и доказано, что задача типа задачи Дирихле в полупространстве Rn1  {(t, x) : x  Rn , t  0}
однозначно разрешима и допускает эллиптическую регуляризацию.
Четвёртая степень оператора D порождает бигармоническое уравнение  2 s  0 и систему
уравнений

 4U   2
  2    grad (divU )  0
4
t
 t

(3)
с характеристическим определителем
 (0 , 1, , т )  02 2( n1) (02  |  |2 )2 .
Шестая степень оператора D порождает полигармоническое уравнение 3s  0 и систему
уравнений
 2

 6U   4






 2
  grad (divU )  0
t 6  t 4
 t

(4)
с характеристическим определителем
 (0 , 1, , т )  02 3( n1) (02  |  |2 )3 .
Последовательно, продолжая этот процесс, убедимся, что оператор
D 2m порождает
полигармоническое уравнение  m s  0 и систему уравнений
 2 mU  m j 1  2( m j ) 
  
 grad (divU ) =0, m  1
t 2 m  j 1
t 2( m j ) 
или
2( m 3)
 2 mU   2( m1)
 2( m2)
2 






t 2 m  t 2( m1)
t 2( m2)
t 2( m3)
  m 2
(5)

2
  m1  grad (divU )  0
2
t

с характеристическим определителем
 (0 , 1, , т )  02m( n1) (02  |  |2 )m .
Найдём формулы представления общих решений систем (3) – (5).
Действуя оператором div по x  R n на систему (3), получим соотношение 2 (divU )  0 ,
где  =
2
  x ,  x – оператор Лапласа по x  R n . Тогда нетрудно заметить, что система
2
t
286
Математика
Д.Х.Сафаров, С.С.Мирзоев
4 2
U 0
t 4
(6)
является следствием системы (3) и если вектор-функция U (t, x ) – решение системы (3), то она также
является решением системы (6). Следуя методу, разработанному в [4], найдём формулу
представления общего решения системы (3) при помощи представления решения системы (6). Всякое
решение системы (6) можно представить в виде
U (t, x)  U0 (t, x)  V0 (t, x) ,
(7)
где U 0 (t , x ) – бигармоническая вектор-функция, а V0 (t , x ) удовлеворяет системе
 4V0
 0.
t 4
(8)
Выражение (7) будет решением системы (3), если бигармоническая вектор-функция U 0 (t , x )
удовлетворяет также соотношению

 4U 0   2
  2    grad (divU 0 )  0 ,
4
t
 t

а вектор-функция V0 (t , x ) – соотношению divV0  0 , при этом U0 (t, x)  gradh , а решение системы
(8)
V0 (t, x)  0 ( x)  t1 ( x)  t 22 ( x)  t 33 ( x) ,
пространстве
R n 1 ,
где
h(t , x ) -
бигармоническая
k ( x ) – произвольные достаточно гладкие в
Rn
функция
в
вектор-функции,
удовлетворяющие соотношениям divk ( x)  0 , k  0,3 .
Таким образом, все регулярные в некоторой области G  Rn 1 решения системы (3)
представляются в виде
3
U (t , x )  gradh   t k k ( x ) ,
(9)
k 0
что является аналогом формулы (2).
Теперь найдём формулу представления общего решения системы уравнений шестого порядка
(4). Действуя, как и выше оператором div по x  R n на систему (4), получим следующее
соотношение:
 2

 6   4



 4
 2      x  0 ,
6
t
 t

 t
(10)
где   divU . Упростив левую часть уравнения (10), нетрудно заметить, что из (10) следует
полигармоническое уравнение 3  0 , учитывая которое, из системы (4) как следствие получим
систему
287
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2015, том 58, №4
6 3
 U  0.
t 6
(11)
Аналогично предыдущему случаю общее решение системы (11) представляется в виде (7), где
теперь U 0 (t , x ) – решение полигармонического уравнения 3U 0  0 , а V0 (t , x ) – решение уравнения
 6V0
 0 , V0 (t, x)   0 ( x)  t1 ( x) 
t 6
где  0 ( x), 1 ( x),
 t 5 5 ( x) ,
, 5 ( x) – произвольные и достаточно гладкие вектор-функции переменной
x  R n . Далее, рассуждая так же, как и в предыдущем случае, запишем формулу общего
представления решения системы (4) в виде (9)
5
U (t , x )  gradH   t k k ( x ) ,
k 0
где H (t, x ) – полигармоническая функция,  k ( x ) – произвольные и достаточно гладкие векторфункции, удовлетворящие соотношениям div k  0 , k  0,5 .
Таким образом, из приведенного выше способа нахождения представления общего решения
неклассических систем (3) – (4) легко заметить, что для нахождения представления общего решения
произвольной неклассической системы (5) следует применять следующий алгоритм:

применить операцию div по x  R n на систему (5), которая систему приводит к соотношению
m  0 , где   divU ;

учитывая последнее, получить следствие системы (5) в виде системы
 2m m
 U 0
t 2 m
(12)
U (t, x)  U0 (t, x)  V0 (t, x) ,
(13)
и найти общее её решение вида (7), то есть
где U 0 (t , x ) – решение полигармонического уравнения  mU 0  0 , а V0 (t , x ) – решение уравнения
 2 mV0
0,
t 2 m
(14)
удовлетворяющее соотношению divV0  0 ;

очевидно, если вектор-функция U (t, x ) – решение системы (5), то она будет удовлетворять и
систему (12);

обратно, если бигармоническая вектор-функция U 0 (t , x ) удовлетворяет также соотношению
288
Математика
Д.Х.Сафаров, С.С.Мирзоев
 2 mU 0  m j 1  2( m j ) 
  
 grad (divU 0 )  0 ,
t 2 m  j 1
t 2( m j ) 
а вектор-функция V0 (t , x ) – соотношению divV0  0 , то выражение (13) будет решением системы
(5), при этом U0 (t, x)  grad  , где (t , x ) – решение полигармонического уравнения  m  0 , а
общее решение системы (14) имеет вид
V0 (t , x ) 
2 m 1
 t  ( x) ,
k
k
k 0
где  k ( x ) – произвольные вектор-функции класса C 2 m ( R n ) , удовлетворяющие соотношениям
divk ( x )  0, k  0,2m  1 .
Таким образом, все регулярные в некоторой области G  Rn 1 решения общей системы (5)
представляются по следующей формуле:
U (t , x )  grad  
2 m 1
 t  ( x) .
k
k 0
(15)
k
Из формулы (15) следует, что свойства решений неклассической системы (5) связаны со
свойствами полигармонических функций многих переменных.
Известно,
что
некоторые
свойства
гармонических
функций
также
переносятся
с
соответствующими изменениями на полигармонические функции (см. [5]). Для полигармонических
функций любого порядка m  1 обобщаются представления при помощи гармонических функций,
известные для бигармонических функций (см. [6,7]). Например, для полигармонической функции
двух переменных u( x, y ) справедливо следующее представление [5]:
m 1
u( x, y )   r 2 kk ( x, y ) , r 2  x 2  y 2 ,
k 0
где k ( x, y ) , k  0, m  1 – произвольные гармонические функции.
Поступило 07.01.2015 г.
Л И Т Е РАТ У РА
1. Джураев А.Д. Метод сингулярных интегральных уравнений. – М.:Наука, 1987, 416 с.
2. Бойматов К.Б. Многомерные системы дифференциальных уравнений составного типа с
негладкими коэффициентами. - ДАН СССР, 1990, т. 313, №3, с. 525-528.
3. Сафаров Д.Х. Эллиптическая регуляризация системы уравнений составного типа. – ДАН СССР,
1990, т. 311, №1, с. 36-39.
4. Сафаров Д.Х. Неклассические системы уравнений. – Душанбе: Дониш, 2008, 431 с.
5. Математическая энциклопедия. Полигармоническая функция. Т. 4. – М.: Советская энциклопедия,
1984, с. 403-404.
289
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2015, том 58, №4
6. Векуа И.Н. Новые методы решения эллиптических уравнений. – М.-Л.: Гостехиздат, 1948, 296 с.
7. Миранда К. Уравнения с частными производными эллиптического типа. - М.: ИЛ, 1961, 256 с.
Љ.Х.Сафаров, С.С.Мирзоев
ТАСВИРИ ЊАЛЛИ УМУМИИ СИСТЕМАЊОИ БИСЁРЧЕНАКАИ
ЃАЙРИКЛАССИКИИ МУОДИЛАЊОИ ТАРТИБИ ОЛЇ
Донишгоњи миллии Тољикистон
Дар
маќола
созмони
системањои
бисёрченакаи
ѓайриклассикии
муодилањои
дифференсиалї бо њосилањои хусусии тартиби олии дорои оилаи характеристикањои њаќиќии
бисёркарата ва формулањои њалли умумии онњо мавриди баррасї қарор меёбанд.
Калимањои калидї: системањои ѓайриклассикии муодилањо – тасвири њалли умумї – функсияњои
бигармоникї – функсияњои полигармоникї – оилаи характеристикањои њаќиќї.
D.Kh.Safarov, S.S.Mirzoev
PRESENTATION OF THE GENERAL SOLUTION OF MULTI-DIMENSIONAL
NON-CLASSICAL SYSTEMS OF EQUATIONS OF HIGHER ORDER
Tajik National University
We find representations of the general solution of multi-dimensional non-classical systems of equations of higher order having a family of multiple real characteristics.
Key words: non-classical system of equations – representation of the general solution – biharmonic functions – polyharmonic functions – family of real characteristics.
290
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
7
Размер файла
554 Кб
Теги
решение, уравнения, высшего, система, представление, неклассическая, порядке, общего, многомерная
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа